第一章勾股定理同步练习2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 本练习以勾股定理为核心，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，覆盖概念辨析、实际应用及探究证明，梯度合理，适配单元复习，培养几何直观、推理能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一知识点（概念辨析、简单计算）|单选2、3题考查直角三角形判定与正方形面积关系，夯实定理直接应用| |能力提升|综合知识点（折叠、动态问题）|填空13、15题结合折叠与空间最短路径，培养空间观念与运算能力| |综合应用|跨知识应用（实际情境、探究证明）|解答18、21题通过折纸实验与几何变换证明，发展模型意识与创新思维|

第一章勾股定理 一、单选题（本大题共12小题） 1．如图，在离水面点A高度为的岸上点处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，则船向岸边移动了（   ）（假设绳子是直的） A． B． C． D． 2．下列条件中，使不是直角三角形的是（       ） A． B． C． D． 3．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母所代表的正方形的边长为（    ） A．64 B．16 C．8 D．4 4．下列条件不能判定为直角三角形的是（     ） A． B． C．，， D． 5．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（   ） A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米 6．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则的长为（   ）．    A． B． C． D． 7．如图，中，，，，将折叠，使点与重合，得折痕，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 8．如图是小英爸爸设置的手机手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿 的顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（ ） A． 5 B． C． D． 6 9．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 10．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺.问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 11．利用下列图形，能验证勾股定理的有（ ） ① ② ③ ④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12．如图,一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动的距离为（ ） A． 4米 B． 6米 C． 8米 D． 15米 二、填空题（本大题共5小题） 13．如图是一个透明的长方体玻璃鱼缸，假设其长，高，水深.在水面上紧贴内壁处有一块面包屑，在水面线上，且，一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑,则蚂蚁爬行的最短路线的长为____. （第3题图） 14．如图1，M，N分别为锐角边，上的点，把沿折叠，点O落在所在平面内的点C处．若折叠后，直线与交于点E，且，垂足为点E，且，，则此时的长为 . 15．如图，长方形中：，．点E为射线上的一动点，将沿折叠，得到（点A的对应点为）并连接、，当为等腰三角形，的长是 ． 16．如图，动点，分别是正方形的边，上的动点，沿，折叠正方形，点，的对应点恰好都落在处，若，当点是边的三等分点时，的长为______________. 17．在中，，，，过点B的直线把分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 ． 三、解答题（本大题共6小题） 18．折纸是一门将数学、艺术与工程完美结合的学科．一张小小的纸片，通过动手折叠，能够创造出非常奇妙的图形，产生出许多有趣的数学问题．在学习了勾股定理和无理数之后，我们可以用折纸的方式，折出长度为，，等线段．利用一张边长为的正方形纸片，小明进行了如下探究． 探索（1）：如图1，将纸片沿着对角线对折，使得点落到点处；再对折一次，使得点落到点处，将纸片展开，两条折痕交于点，则_____； 探索（2）：如图2，将纸片沿过对边中点的直线对折后展开，折痕为；再将纸片折叠，使得点落在上的点处，折痕为，求线段和折痕的长度； 探索（3）：你能折出长度为的线段吗？ 请你在图3中画出折叠后的示意图（用虚线表示折痕），并说明如何得到该线段； 探索（4）：在探索（2）的基础上，你能折出长度为的线段吗？ 请你在图4中画出折叠后的示意图（用虚线表示折痕），并写出哪条线段即为所求． 19．综合探究： “在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积”． 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． （1）直接写出图1中的面积是________； （2）若的三边的长分别为、、，请你利用构图法在图2中，画出符合题意的，并写出它的面积________． （3）已知，均为正实数，且，求的最小值． 小明同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长，通过分析，小明想到了构图法解决此问题，于是构造出图3，将问题转化为求线段的长，如图，，，，，，，则、的长分别表示为，．由于，当、、共线时，取等号，所以只要求出的长，就可以解决问题．请在图3中，求出的长，并说明理由．所以的最小值是________． （4）拓展应用：求代数式：（）的最小值． 20．【阅读】小芳在学习了全等三角形后，她尝试用三种不同的方式摆放一副三角板．在中，；在中，． 【发现】 （1）如图1，将两个三角板互不重叠的摆放在一起，的顶点B在边上，过点A作，过点C作，垂足分别为，若，则 ； 【类比】 （2）如图2，将两个三角板叠放在一起，的顶点B在边上，顶点A在边上，过点C作，垂足为P，猜想之间的数量关系，并说明理由； 【拓展】 （3）如图3，将两个三角板叠放在一起，的顶点A在边上，顶点B在边上，若，连接，求的面积． 21．(10分)【问题背景】在△ABC中,AB=AC,点M,N在直线BC上,∠MAN=135°,探究MC,BN,MN之间的数量关系. 【初步感知】 (1)如图①、如图②,当∠BAC=90°时,探究如下: 思路一:如图①,将△ABN绕着点A逆时针旋转90°,得到△ACD,则BN=CD,且∠DCM=90°,连接DN和MD,易证△MAD≌△MAN. 思路二:如图②,把△MAN沿着AN所在直线折叠,得到△DAN,则MN=DN,且∠DAM=90°,连接BD,易证△MAC≌△DAB． 根据以上信息填空:图①、图②中,线段MC,BN,MN之间的量关系为　　　　　; 【类比探究】 (2)当∠BAC=60°时,∠MAN=150°,如图③,请写出线段MC,BN,MN之间的数量关系,结合图①、图②思路,请写出图③的证明过程; 【拓展延伸】 (3)当∠BAC=120°时,∠MAN=60°,如图④,请写出线段BM,NC,MN之间的数量关系　　　　　. 22．某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出∶“锐(钝)角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题．首先定义了一个新的概念∶如图（1）中，M是的中点，P是射线上的点，设，若，则称k为勾股比． （1）如图（1），过B、C分别作中线的垂线，垂足为E、D．求证∶． （2）①如图（2），当，且时， (填一个恰当的数)． ②如图（1），当，为锐角三角形，且时，①中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，也请说明理由； ③对任意锐角或钝角三角形，如图（1）、（3），请用含勾股比k的表达式直接表示与的关系(写出锐角或钝角三角形中的一个即可)． 23．【初步感知】 （1）如图1，已知为等边三角形，点D是边上一动点（点D不与点B，点C重合），以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】 （2）如图2，已知，在中，，，点G为边上一点，过点C作垂直射线于点，连接，请求出的度数； 【拓展应用】 （3）如图3，在四边形中，，是对角线，是等边三角形，，若，，请求出的长． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D C D C C C C B D D C 13．100 14．5或20 15．或或 16．或 17．解：在中，，， 则：， 沿过点B的直线把分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形， 设该直线与边交于点P．以下有三种情况： ①当时， ∴ ②当时， ③当且点P在边上时，过点B作，垂足为D． ∴ ∴ ∴ ∴． 综上所述：等腰三角形的面积可能为或或. 18．（1）在中，， ∴， 由折叠的性质可得； （2）由折叠的性质可得， ， ，， ∵， ∴，， ∴； 同理可得， ∵， ∴， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴； （3）如图3所示，将纸片沿过对边中点的直线对折后展开，折痕为，连接，则线段即为所求； （4）如图4所示，折叠将纸片沿过对边中点的直线对折，折痕为，再把纸片继续对折，折痕为，使得点H落在点T处，连接，则线段即为所求． 19．（1）解：如图， ， 则的面积是； （2）解：如图，即为所求， ， 则的面积是； （3）解：， 当、、共线时，取得最小值，即的长为5， 的最小值是5； （4）解：如图，，，，，，，则、的长分别表示为，， 则（）的最小值即为的最小值，即的长， 如图，过点C作交的延长线于点， 同（3）可得，，， 在中，， 则（）的最小值为5． 20．（1）解：∵，， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （）解：如图，过点作，交延长线于点， 同（2）得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ， ∴． 21.(1)MC2+BN2=MN2. (2)如图,作∠DAN=60°,使得AD=AN,连接MD和CD,过点D作DE⊥MN. ∵△ABC是等边三角形, ∴AB=AC, ∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°. ∵∠DAN=60°, ∴∠BAC+∠CAN=∠DAN+∠CAN. 即∠BAN=∠CAD． 在△BAN和△CAD中 ∴△BAN≌△CAD(SAS). ∴BN=CD,∠ABN=∠ACD=60°. ∴∠ACB+∠ACD=120°. ∴∠DCE=60°.即∠CDE=30°. ∵∠DAN+∠MAN=210°, ∴∠MAD=150°. ∴∠MAD=∠MAN=150°. 在△MAD和△MAN中 ∴△MAD≌△MAN(SAS). ∴MD=MN. ∵在Rt△DEC中,∠CDE=30°. ∴CE=CD． ∵在Rt△DEC中,根据勾股定理得,DE=CD． ∵在Rt△DEM中,根据勾股定理得,ME2+DE2=MD2. ∴(BN+MC)2+(BN)2=MN2. 即MC2+BN2+MC·BN=MN2. (3)图④结论:MC2+BN2-MC·BN=MN2. 22．（1）证明∶是的中点， ， 于点，交的延长线于点， ， 在和中， ， ， ． （2）解∶①，是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为∶． ②成立， 证明∶如图（1），，是的中点， ， ， ， ， ， 由（1）得， ，， 设，， 则，， ， ， ， ， ， ， ． ③结论∶锐角三角形∶， 钝角三角形∶， 理由如下∶设，则， ∵于E，于D， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，是的中线， ∴， 若是锐角三角形，则， ∴， 若是钝角三角形，则， ∴． 23．证明：∵、为等边三角形， ∴，，，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴, ∴． （2）解：如图，过点作，交延长线于，于， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴． （3）解：如图，以为边，作等边三角形，连接， ∴，， ∵， ∴，即， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴． 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $