精品解析：天津市武清区杨村第十二中学2026-2027学年度上学期九年级数学第一次小测试题

杨村十二中2026-2027学年度九年级数学第一次小测 本卷满分100分；考试时间80分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A、是二元一次方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、当时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，故本选项正确； D、由原方程得到，属于一元一次方程，故本选项错误． 故选：C． 2. 若是方程的一个根，则（ ） A. B. 2024 C. 2022 D. 2023 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，先根据一元二次方程解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故选：B 3. 三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程的两根，则该三角形的周长为（ ） A. 4 B. 13 C. 4或9 D. 13或18 【答案】B 【解析】 【分析】利用因式分解解方程得到三角形的第三边长为4或9，然后计算三角形的周长． 【详解】解：， ， 解得：或者， 即第三边长为9或4， 边长为9，3，6不满足三角形三边关系； 而4，3，6能构成三角形， ∴三角形的周长为，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的解以及三角形三边关系，理解三角形三边关系是解题的关键． 4. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则的值是（ ） A. −3或1 B. 1 C. −3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】把x=0代入原方程，转化为k的方程，并求解，注意二次项系数的非零性． 【详解】∵关于x的一元二次方程的一个根是0， ∴+2k-3=0，且k+3≠0, ∴k=1或k=-3, 且k+3≠0, ∴k=1, 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程的解法，一元二次方程的定义，熟练掌握两个概念，准确进行解方程是解题的关键． 5. 若抛物线的对称轴是直线，则b的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线的对称轴是直线是解题的关键． 根据抛物线的对称轴公式即可求解． 【详解】解：∵，对称轴是直线， ∴，即，解得． 故选：C． 6. 二次函数，下列说法正确的是（　　） A. 开口向下 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】将二次函数的顶点式化为一般式，确定二次函数的系数，由此即可求解． 【详解】解：，，，， ∴选项，开口向上，故选项错误； 选项，对称轴为，故选项错误； 选项，顶点坐标的横坐标为，纵坐标为，即顶点坐标为，故选项错误； 选项，开口向上，对称轴为，在对称轴坐标时，随的增大而减小，故选项正确． 故选：． 【点睛】本题主要考查二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数中图像的性质与系数的关系是解题的关键． 7. 抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】主要考查了二次函数图象的平移，根据平移的规律：左加右减，上加下减即可得出答案． 【详解】解：抛物线向右平移1个单位长度，则抛物线变成， 再向上平移3个单位长度，得到的抛物线是， 故选：A． 8. 在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组x人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设一共邀请了支球队参加比赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间都进行一场比赛），则每个队参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程． 【详解】解：由题意得，． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数二队数(队数，进而得出方程是解题关键． 9. 已知，，三点均在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】分别将三个点的横坐标代入抛物线的解析式中求得，，，再比较大小即可求解． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 10. 为进一步美化校园，某园艺小组设计了菱形花田，其中，菱形边长为．现安排一名同学从点A出发，沿匀速行走巡查花田，行走的路程为（）．该同学每到一处，都作一条垂直于的直线l，直线l扫过菱形花田的阴影部分面积为，则能反映y与x之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分三种情况：当时，当时，当时，分别画出对应的示意图求出对应的函数关系式，结合函数图象可得答案． 【详解】解：设该同学在点，直线与交于点， ∵四边形是菱形， ∴； 如图所示，当时， ∵直线与垂直， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点B作于点H，于点G， 同理可得，， ∴； 如图所示，当时，， 由菱形的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 如图所示，当时，， 同理可得， ∴， ∴ ； 综上所述，能反映y与x之间函数关系的图象是A选项中的图象． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题 11. 若y=（2-m）是二次函数，且开口向上，则m=________ 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的定义解答． 【详解】解：∵函数y=（2-m）是二次函数，且开口向上， ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】考点：二次函数的定义． 12. 已知二次函数与x轴有交点，则k的取值范围_____． 【答案】且 【解析】 【分析】根据抛物线与x轴有交点，可得相应方程有实数根，根据根的判别式，可得答案． 【详解】解：由二次函数与x轴有交点，得 一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 故答案为∶ 且． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系， 把二次函数与x轴有交点问题转化为一元二次方程有实数根的问题，是解题的关键． 13. 二次函数的图象的顶点坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求抛物线的顶点坐标．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 将一般式转化为顶点式，即可得解． 【详解】解：， ∴顶点坐标为， 故答案为：． 14. 若关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过第_____象限． 【答案】一 【解析】 【分析】先根据一元二次方程无实数根得到，求出，即可得到一次函数的图象经过二、三、四象限，不经过第一象限． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， ∴，，， ∴一次函数的图象经过二、三、四象限， ∴一次函数的图象不经过第一象限． 故答案为：一． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一次函数的图象等知识．一元二次方程 的根与判别式有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根．熟知一元二次方程根的判别式和一次函数的图象与性质是解题关键． 15. 二次函数的部分图象如图所示，则一元二次方程的解为_______________，当时，x的取值范围是____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】关于x的一元二次方程的解即为二次函数的图象与x轴的交点的横坐标，根据函数图象写出x轴上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：根据图象知，抛物线与x轴的一个交点是，对称轴是直线． 设该抛物线与x轴的另一个交点是． 则， 解得， 即该抛物线与x轴的另一个交点是． 所以关于x的一元二次方程的解为． 观察图象可知，当时，x的取值范围是． 16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点C，E为线段AC上一动点（不与点A、C重合）。P为第三象限内抛物线上一动点，连接PE并延长垂直x轴于点D，过点E作AC的垂线，与y轴交于点G，则的最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法求出直线的解析式，过点作轴于点，设，则，说明，从而得出，用含有m的式子表示，再运用二次函数求最值方法即可. 【详解】解：当时，， 点． 当时，， 解得：， . 设直线的解析式为， 把代入， 得：，解得：. 直线的解析式为：． ， ． 过点作轴于点， ， . . . . 设，则， . . 由题意有， 当时，取最大值，最大值为. 三、解答题 17. 解方程∶ （1） （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方法和因式分解法是解题的关键． （1）对于一元二次方程，采用配方法，将方程转化为完全平方式来求解． （2）对于方程，先通过移项提取公因式，将其转化为两个因式乘积为零的形式求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， ，． 18. 方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，以及完全平方公式的变形，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接利用一元二次方程根的判别式求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，利用完全平方公式代入进行变形计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 即， 解得， 则m的取值范围为； 【小问2详解】 由韦达定理可知：，， 若， 由可得， 即， 将，代入得：， 即， 解得， 由（1）可知，故符合题意， 因此，m的值为． 19. 如图，一面利用12m的住房墙，另外三面利用22m的建筑材料建成一个矩形花圃，其中有两个1m宽的小门，如果要建成面积为45的花圃，AB的长为多少米？ 【答案】5m 【解析】 【分析】设AB的长为为xm，可以得出平行于墙的一边的长为（22−3x＋2）m．根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了． 【详解】设AB的长为为xm，可以得出平行于墙的一边的长为（22−3x＋2）m． 由题意得x（22−3x＋2）＝45 ， 解得：x1＝3，x2＝5， 当x＝3时，22−3x＋2＝15＞12（舍去），当x＝5时，22−3x＋2＝9． 答：AB的长为5m． 【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键． 20. 某大型果品批发商场经销一种高档坚果，原价每千克元，连续两次降价后每千克元． （1）若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； （2）若该坚果每千克盈利元，每天可售出千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价元，日销售量将减少千克．现该商场要保证销售该坚果每天盈利元，且尽可能减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（）设每次降价的百分率为，为两次降价的百分率，降至就是方程的平衡条件，列出方程求解即可； （）根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为，则 ∴，（不符合题意，舍去）， 答：每次下降的百分率为． 【小问2详解】 解：设每千克应涨价元，则 ∴ ∵要求尽可能减少库存：涨价越少，日销售量越大，剩余库存越少， ∴选择较小的涨价幅度， 答：每千克应涨价元． 21. 已知二次函数． （1）将函数化成顶点式，并写出其开口方向、顶点坐标、对称轴； （2）求出与轴、轴交点的坐标； （3）当时，的取值范围为__________； （4）当时，的取值范围为__________． 【答案】（1）顶点式为，函数开口向上；顶点坐标为；对称轴为； （2）和；； （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键； （1）先把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质求解即可； （2）解方程求得抛物线与轴交点的横坐标，即可确定其与轴交点的坐标，求得横坐标为0时的点坐标即为抛物线与轴交点的坐标； （3）找出函数图象在轴下方所对应的自变量的范围； （4）利用开口方向和对称轴及自变量的取值即可求得的取值范围． 【小问1详解】 解： ∵ ∴函数开口向上；顶点坐标为；对称轴为； 【小问2详解】 解：令，则 ∴ 解得， ∴函数与轴的交点坐标为：和； 与轴的交点坐标为：； 【小问3详解】 解：∵函数开口向上， ∴当时，函数图象在轴下方， ∴的取值范围为：； 故答案为：； 【小问4详解】 解：∵函数开口向上；顶点坐标为；对称轴为； ∴当时，在对称轴两边， ∴当时，最小值为：；当时，最大值为：， ∴， 故答案为：． 22. 已知：抛物线（b，c为常数），经过点A（－2，0），C（0，4），点B为抛物线与x轴的另一个交点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标； （3）设点M，N是该抛物线对称轴上的两个动点，且，点M在点N下方，求四边形AMNC周长的最小值． 【答案】（1） （2）（3，5） （3） 【解析】 【分析】(1)利用待定系数法即可求出抛物线的函数表达式； (2)首先点B的坐标，再求出直线BC的解析式，过点P作PF⊥x轴于F，交于点Q，设点，,当时，有最大值,即可求出点P的坐标； （3）由四边形AMNC的周长，得到当AM+CN最小时，四边形AMNC的周长最小，得出AM+CN=AM+DM，求出的最小值即可得到结论. 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点A（-2，0），C（0，4）， ∴ 解得 ∴该抛物线的解析式： 【小问2详解】 解：∵点B是抛物线与x轴的交点， ∴ ， ∴， ∴点B的坐标为（6，0）， 设直线BC的解析式为y=kx+n， ∵点B（6，0），C(0，4) ∴ 解得 ， ∴直线解析式为：， 如图，过点P作PF⊥x轴于F，交于点Q， 设点， ∴， ∴ ∴当时，有最大值， ∴点P的坐标为（3，5）． 【小问3详解】 解：∵A（-2，0），C（0，4）， ∴， ∵四边形AMNC的周长，， ∴当AM+CN最小时，四边形AMNC的周长最小. 将CN向下平移2个单位长度，得到对应线段DM， ∴点C的对应点D的坐标为（0，2）， ∴AM+CN=AM+DM， 可知抛物线的对称轴为直线， 如图，作点D关于对称轴的对称点，可求得（4，2），连接， 则， 过点作⊥x轴于点E，，， ∴的最小值为， ∴四边形周长的最小值为． 【点睛】本题为二次函数中考压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、最短路线问题等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杨村十二中2026-2027学年度九年级数学第一次小测 本卷满分100分；考试时间80分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是方程的一个根，则（ ） A. B. 2024 C. 2022 D. 2023 3. 三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程的两根，则该三角形的周长为（ ） A. 4 B. 13 C. 4或9 D. 13或18 4. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则的值是（ ） A. −3或1 B. 1 C. −3 D. 5. 若抛物线的对称轴是直线，则b的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6. 二次函数，下列说法正确的是（　　） A. 开口向下 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 7. 抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 8. 在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组x人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（） A. B. C. D. 9. 已知，，三点均在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 10. 为进一步美化校园，某园艺小组设计了菱形花田，其中，菱形边长为．现安排一名同学从点A出发，沿匀速行走巡查花田，行走的路程为（）．该同学每到一处，都作一条垂直于的直线l，直线l扫过菱形花田的阴影部分面积为，则能反映y与x之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题 11. 若y=（2-m）是二次函数，且开口向上，则m=________ 12. 已知二次函数与x轴有交点，则k的取值范围_____． 13. 二次函数的图象的顶点坐标是___________． 14. 若关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过第_____象限． 15. 二次函数的部分图象如图所示，则一元二次方程的解为_______________，当时，x的取值范围是____________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点C，E为线段AC上一动点（不与点A、C重合）。P为第三象限内抛物线上一动点，连接PE并延长垂直x轴于点D，过点E作AC的垂线，与y轴交于点G，则的最大值为_______． 三、解答题 17. 解方程∶ （1） （2）． 18. 方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 19. 如图，一面利用12m的住房墙，另外三面利用22m的建筑材料建成一个矩形花圃，其中有两个1m宽的小门，如果要建成面积为45的花圃，AB的长为多少米？ 20. 某大型果品批发商场经销一种高档坚果，原价每千克元，连续两次降价后每千克元． （1）若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； （2）若该坚果每千克盈利元，每天可售出千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价元，日销售量将减少千克．现该商场要保证销售该坚果每天盈利元，且尽可能减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 21. 已知二次函数． （1）将函数化成顶点式，并写出其开口方向、顶点坐标、对称轴； （2）求出与轴、轴交点的坐标； （3）当时，的取值范围为__________； （4）当时，的取值范围为__________． 22. 已知：抛物线（b，c为常数），经过点A（－2，0），C（0，4），点B为抛物线与x轴的另一个交点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标； （3）设点M，N是该抛物线对称轴上的两个动点，且，点M在点N下方，求四边形AMNC周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $