精品解析：江苏盐城市大丰区城东实验初级中学2026-2027学年上学期八年级第一次限时作业数学试卷

大丰区城东实验初级中学2026-2027学年度第一学期 八年级数学第一次限时作业 一、选择题 1. 下列三条线段的长度能构成三角形的是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 已知≌，且，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 3. 下列条件中，能使的是（ ） A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ，， 4. 到三角形三个顶点的距离相等的点是这个三角形的（ ） A. 三条高的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 5. 如图，，分别是的中线、高．已知的面积是6，，则的长是（ ）． A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 6. 如图，，，则下列判断正确的是（ ） A. 平分 B. 平分 C. 垂直平分 D. 与互相垂直平分 7. 用直尺和圆规画一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明的依据是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，平分，且，若点M，N分别在，上，且△为等边三角形，则满足上述条件的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个 二、填空题 9. 的算术平方根是______． 10. 如果等腰三角形的腰长和底边分别为9和4，那么它的周长为________． 11. 很多支架都会做成三角形的形状，这是应用了三角形的____性． 12. 如图，，点B、F、C、E在一条直线上，，则_____． 13. 如图，中，，，平分 交 于点D， ，垂足为E，且， 求 的周长为______． 14. 如图，，，，连接，若，则 ___________． 15. 命题“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”的逆命题是______命题．（填“真”或“假”） 16. 在△ABC中，已知∠A=60°，∠ABC的平分线BD与∠ACB的平分线CE相交于点O，∠BOC的平分线交BC于F，有下列结论：①∠BOE=60°，②∠ABD=∠ACE，③OE=OD，④BC=BE+CD．其中正确的是_________．（把所有正确结论的序号都选上） 三、解答题 17. 尺规作图，如图，中，． （1）试求作一点P，使得点P到B．C两点的距离相等，并且到两边的距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，则的度数为______． 18. 已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根 19. 如图，，线段相交于点O，且，求证：． 20. 如图，在中，，点D是的中点， ，求证：为等边三角形． 21. 如图，点是的中点，，且 连接． （1）求证：； （2）线段的关系是 ． 22. 如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于点O． （1）求证：△ABC≌△DCB； （2）判断△OBC的形状，并说明理由． 23. 如图，在中，是的平分线，，垂足分别为E，F． （1）若的面积为7，，，则的长是多少？ （2）连接，求证：垂直平分． 24. 李老师在数学课上，让同学们以“三角形的中线”为主题开展数学探究活动，并设计如下问题，引导同学们进行探究思考． 已知：如图，是的中线，． （1）若的面积为5，则的面积_______；（直接写出结果） （2）探究与证明：请探究线段与线段的大小关系，并证明你的结论； （3）求证：． 25. 如图，与均为等边三角形并且B，C，D三点共线． （1）求证：CH平分，并求的度数； （2）试探究之间的数量关系，并证明． 26. 定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”． 已知在中，，点在边上． （1）如图1，如果，求证：是的“等角分割线”； （2）如图2，如果，且是的“等角分割线”，求的度数； （3）是的“等角分割线”，的平分线交于点．如果，那么的度数为___________． 27. 在四边形中，． （1）若，，点，分别是，上的点，且．试探究线段，，之间的数量关系． 小亮同学认为：延长到点，使，连接，如图，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系．请你： ①直接写出的度数：________°； ②根据小亮同学的思路，直接判断，，之间的数量关系：________． （2）如图，若，点，分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． （3）如图，若，，点，分别是，延长线上的点，若，求的度数（结果用含的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大丰区城东实验初级中学2026-2027学年度第一学期 八年级数学第一次限时作业 一、选择题 1. 下列三条线段的长度能构成三角形的是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可，掌握三角形三边关系是解题的关键． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故选项不符合题意； B、，不能构成三角形，故选项不符合题意； C、，不能构成三角形，故选项不符合题意； D、，能构成三角形，故选项符合题意； 故选：D． 2. 已知≌，且，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等的性质是解题关键．根据全等三角形的性质即可得答案． 【详解】解：∵（、、分别与、、对应），， ∴， 故选：B． 3. 下列条件中，能使的是（ ） A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ，， 【答案】D 【解析】 【详解】解：A． ， ， ，“边边角”不能证明； B． ， ， ，“边边角”不能证明； C． ， ， ，“边边角”不能证明； D． ，， ，“边角边”能证明． 4. 到三角形三个顶点的距离相等的点是这个三角形的（ ） A. 三条高的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴到三角形任意两个顶点距离相等的点，在这两个顶点所对边的垂直平分线上， 因此到三角形三个顶点距离都相等的点，是这个三角形三边垂直平分线的交点. 5. 如图，，分别是的中线、高．已知的面积是6，，则的长是（ ）． A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三角形面积的求解，解题的关键是熟记三角形面积公式：． 由，代入可得，再由是的中线即可得即可求解． 【详解】，分别是的中线、高．已知的面积是6，， ， 解得， 即． 故选：C． 6. 如图，，，则下列判断正确的是（ ） A. 平分 B. 平分 C. 垂直平分 D. 与互相垂直平分 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的判定， 依据“”判定和全等，根据全等三角形性质得，再说明是线段的垂直平分线，即可判断． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴平分． 可知B正确； 不能说明平分，所以A不正确； ∵， ∴是线段的垂直平分线， 所以C，D不正确. 故选：B． 7. 用直尺和圆规画一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，，根据证，即可推出答案． 【详解】解：连接，， 在和中 （）， ， 所以A选项正确． 8. 如图，，平分，且，若点M，N分别在，上，且△为等边三角形，则满足上述条件的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个 【答案】D 【解析】 【分析】如图，过点P作于M，于N．根据角平分线的性质，由平分，于M，于N，得，，那么．此时，是等边三角形．然后再进行分类讨论． 【详解】解：如图，过点P作于M，于N， ∵平分， ∴，． ∴． ∴此时，是等边三角形． 当M向方向移动，N向方向移动，且． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴是等边三角形． ∴当M向方向移动，N向方向移动， ∴是等边三角形． 同理：当M向方向移动，N向方向移动． 综上：满足条件的有无数个． 故选：D． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质、等边三角形的判定，熟练掌握角平分线的性质、等边三角形的判定是解决本题的关键． 二、填空题 9. 的算术平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，先计算，再求的算术平方根，即可求解． 【详解】解： 5的算术平方根是. 故答案为：. 10. 如果等腰三角形的腰长和底边分别为9和4，那么它的周长为________． 【答案】22 【解析】 【分析】根据等腰三角形的定义可得这个等腰三角形的三边长分别为，再利用三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵等腰三角形的腰长和底边分别为9和4， ∴它的周长为． 11. 很多支架都会做成三角形的形状，这是应用了三角形的____性． 【答案】稳定 【解析】 【详解】解：很多支架都会做成三角形的形状，这是应用了三角形的稳定性． 12. 如图，，点B、F、C、E在一条直线上，，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出是解题关键．直接利用全等三角形的性质得出，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 13. 如图，中，，，平分 交 于点D， ，垂足为E，且， 求 的周长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查了三角形全等的判定及性质，角平分线的性质，先利用角平分线的性质得出，再由判定得出，再对构成的几条边进行变换，可得到其周长等于的长，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法、、、及其性质． 【详解】解：∵平分交于点， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴的周长为： ． 故答案为：6． 14. 如图，，，，连接，若，则 ___________． 【答案】##26度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据证明得出，再结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：， ， ， 在与中， ， ， ， 又，， ， ， 故答案为：． 15. 命题“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”的逆命题是______命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【解析】 【分析】把命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．然后判断真假即可． 【详解】解：命题“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”的逆命题是“一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形”，为真命题， 理由如下： ∵AD=CD， ∴∠A=∠DCA， 同理∠DCB=∠B． ∵∠DCB+∠B+∠A+∠DCA=180°， 即2（∠DCA+∠DCB）=180°， ∴∠DCA+∠DCB=90°，即∠ACB=90°， ∴△ABC是直角三角形． 故答案为：真． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，三角形内角和，等腰三角形的性质．解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，并熟练掌握直角三角形的判定方法． 16. 在△ABC中，已知∠A=60°，∠ABC的平分线BD与∠ACB的平分线CE相交于点O，∠BOC的平分线交BC于F，有下列结论：①∠BOE=60°，②∠ABD=∠ACE，③OE=OD，④BC=BE+CD．其中正确的是_________．（把所有正确结论的序号都选上） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①正确．根据外角的性质得：∠BOE=∠OBC+∠OCB=60°； ②不正确．∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，当AB=AC时，∠ABC=∠ACB，才有∠ABD=∠ACE； ③只要证明△BOE≌△BOF，△CDO≌△CFO，即可解决问题； ④根据③中的三角形全等，可得对应边相等，相加可得结论． 【详解】解：①如图，∵∠A=60°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°， ∵BD、CE分别是∠ABC和∠BCA的平分线， ∴∠OBC+∠OCB=×120°=60°， ∴∠BOE=∠OBC+∠OCB=60° 故①正确； ②∵BD、CE分别是∠ABC和∠BCA的平分线， ∴∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB， 当AB=AC时，∠ABC=∠ACB， 而已知AB和AC没有相等关系， 故②不正确； ③∵∠OBC+∠OCB=60°， ∴∠BOC=120°， ∵OF平分∠BOC， ∴∠BOF=∠COF=60°， ∴∠BOE=60°， ∴∠BOE=∠BOF， 在△BOE和△BOF中， ∵ ∴△BOE≌△BOF（ASA）， ∴OE=OF， 同理得：△CDO≌△CFO， ∴OD=OF， ∴OD=OE， 故③正确； ④∵△BOE≌△BOF，△CDO≌△CFO， ∴BF=BE，CF=CD， ∴BC=CF+BF=BE+CD， 故④正确； 则下列说法中正确的是：①③④ 故答案为①③④． 【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质．解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的方法解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题 17. 尺规作图，如图，中，． （1）试求作一点P，使得点P到B．C两点的距离相等，并且到两边的距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，则的度数为______． 【答案】 （1）如图，点P为所作； （2）10． 【解析】 【分析】（1）作BC的垂直平分线和∠ABC的平分线，它们的交点为P点； （2）设∠PBC=x，利用角平分线的定义得到∠ABC=2∠PBC=2x，利用线段垂直平分线的性质得到PB=PC，则∠PCB=∠PBC=x，然后根据三角形内角和定理可计算出x的值． 【详解】解：（1）略 （2）设∠PBC=x， ∵PB平分∠ABC， ∴∠ABC=2∠PBC=2x， ∵PB=PC， ∴∠PCB=∠PBC=x， ∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°， ∴2x+x+50°+100°=180°，解得x=10°． 即∠PBC的度数为10°． 故答案为10． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段的垂直平分线的性质． 18. 已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根、平方根的定义列方程可求a，b，根据可求c的值； （2）根据平方根的定义代入计算即可． 【小问1详解】 解：的算术平方根是3， ， ； 的平方根是， ， ， ； ，c是的整数部分， ． 【小问2详解】 解：的平方根为． 19. 如图，，线段相交于点O，且，求证：． 【答案】证明：在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即． 【解析】 【分析】根据证明，得，，由线段的和差关系可得． 【详解】略 20. 如图，在中，，点D是的中点， ，求证：为等边三角形． 【答案】证明：在中，，， ，， ∵点为的中点， ， ， 是等边三角形． 【解析】 【分析】由已知证明，，由点为的中点，得，进而证明，即可证明结论． 【详解】略 21. 如图，点是的中点，，且 连接． （1）求证：； （2）线段的关系是 ． 【答案】（1）证明：点是的中点， ， ， ， 在和中， ， ； （2）， 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，， ． 22. 如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于点O． （1）求证：△ABC≌△DCB； （2）判断△OBC的形状，并说明理由． 【答案】（1）∵∠A＝∠D＝90°， ∴在Rt△ABC和Rt△DCB中，， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）； （2）△OBC是等腰三角形， 理由：∵Rt△ABC≌Rt△DCB， ∴∠ACB＝∠DBC， ∴OB＝OC， ∴△OBC是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）由“HL”可证Rt△ABC≌Rt△DCB； （2）由全等三角形的性质可得∠ACB＝∠DBC，可证OB＝OC，可得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键． 23. 如图，在中，是的平分线，，垂足分别为E，F． （1）若的面积为7，，，则的长是多少？ （2）连接，求证：垂直平分． 【答案】（1） （2）证明：中，平分，， ，，, ∴点D在线段的垂直平分线上， 在和中， ， ， , ∴点A在线段的垂直平分线上， 垂直平分． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质定理得，根据即可求的长； （2）证明，得，结合，由线段垂直平分线的逆定理可证明结论． 【小问1详解】 解：是的平分线，， ， ，的面积为7，，， ， ； 【小问2详解】 略 24. 李老师在数学课上，让同学们以“三角形的中线”为主题开展数学探究活动，并设计如下问题，引导同学们进行探究思考． 已知：如图，是的中线，． （1）若的面积为5，则的面积_______；（直接写出结果） （2）探究与证明：请探究线段与线段的大小关系，并证明你的结论； （3）求证：． 【答案】（1）20 （2）解： ， 证明：如图，延长到，使，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形三边关系定理得， ， 即； （3）证明：由（2）知 ， ，， ， ， ， 是的一个外角， ， ， ， 在和中， ， ， ， 由（2）知， ． 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分求出的面积，继而求出的面积； （2）如图，延长到，使，利用证得和全等，得出，再根据三角形三边关系定理得出 ，从而问题得证； （3）结合（2）中的条件先证和全等，得出，从而问题得证； 【小问1详解】 解：是的中线，的面积为5， ， ， ， 是的中线， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 25. 如图，与均为等边三角形并且B，C，D三点共线． （1）求证：CH平分，并求的度数； （2）试探究之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：如图①，作，垂足为点，作，垂足为点， 和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ； ，且， ，， ， ， 又，， 点在的平分线上，即平分； ∴ ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2） ． 证明：如图，在上截取，连接， ， ， 又， ， ，且， 又， ，即， 为等边三角形， ， 又， ． 【解析】 【分析】（1）作、，由，可知，，由全等三角形性质知，据此得出平分，在和中利用三角形内角和可得到，即可求出的度数； （2）在上截取，连接，构造全等三角形，再根据全等三角形的性质，推理得出为等边三角形，进而得到，最后根据，得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及角平分线的性质，结合等边三角形的性质，通过作辅助线构造全等三角形是正确解答本题的关键．解题时注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 26. 定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”． 已知在中，，点在边上． （1）如图1，如果，求证：是的“等角分割线”； （2）如图2，如果，且是的“等角分割线”，求的度数； （3）是的“等角分割线”，的平分线交于点．如果，那么的度数为___________． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的“等角分割线”； （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理等知识点． （1）由等边对等角得到，，则，再由三角形的外角性质即可求证； （2）先由等腰三角形性质以及三角形内角和定理得到，再由外角性质得到，，然后再分类讨论即可； （3）分两种情况讨论，当时，由三线合一得到，，，设，则，可得垂直平分，则，然后根据外角性质表示出再由三角形内角和定理得到；当时，设，则，则，由，以及等腰三角形性质得到，在中由三角形内角和定理建立方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∵是的“等角分割线”， ∴①，， 解得：； ②，， 解得：（舍去）， 综上：； 【小问3详解】 解：记的平分线与交于点， ①当时， ∵，平分， ∴，，， 设，则 ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； ②当时， ∵平分， ∴， 设，则， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴， 综上：的度数为或． 27. 在四边形中，． （1）若，，点，分别是，上的点，且．试探究线段，，之间的数量关系． 小亮同学认为：延长到点，使，连接，如图，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系．请你： ①直接写出的度数：________°； ②根据小亮同学的思路，直接判断，，之间的数量关系：________． （2）如图，若，点，分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． （3）如图，若，，点，分别是，延长线上的点，若，求的度数（结果用含的代数式表示）． 【答案】（1）①；② （2）结论仍然成立，理由如下： 延长到点，使，连接，如图所示： ， ，， ， 在和中， ， ，， ， ， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ， 又， ， 结论仍然成立； （3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质的应用、角平分线的判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先由“”证明，得到、，进而推导出，再证明，即可得角的度数和线段关系； （2）利用可推导出，沿用（1）的截长补短构造全等的思路，先证明，再证明，判断结论是否成立； （3）采用截长补短法，在上截取，先证明，得到、，再证明，结合角的和差关系推导与的数量关系． 【小问1详解】 解：①延长到点，使，连接， ， ， ， 在和中， ， ， 、， ， ， ； ②由①知，、， 在和中， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 又， 在和中， ， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $