精品解析：安徽阜阳市颍州区未来学校2026-2027学年第一学期九年级第一次学情自测数学试题（人教版）

九年级数学（人教版） 注意事项： 1．数学试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 用公式法解方程时，得，则“”处应填（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 5. 关于函数与的图象的共同点，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 都有最低点 C. 随增大而增大 D. 对称轴是轴 6. 抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表，则关于的方程的一个根的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 函数与（，是常数，且）的图象在同一平面直角坐标系中可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，连接，点运动到点时，点也停止运动．当的面积等于时，运动时间为（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线如图所示，该抛物线的对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥（为任意实数），其中正确的结论有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴翻折，所得抛物线相应的函数解析式为___________． 12. 已知是方程的两个根，则___________． 13. 如图所示的是该校一块长方形劳动场地，长36m，宽24m，要求在场地内修同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为种植区．若种植区的总面积为，则所修道路的宽为________m． 14. 如图，已知抛物线交轴于点． （1）此抛物线的对称轴为直线___________； （2）已知正方形边在轴上，点的坐标为，，若此抛物线与正方形的边没有交点，则的取值范围是______________________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 16. 已知二次函数（为常数）的图象经过点和． （1）求该二次函数的解析式； （2）当时，求该二次函数的最大值． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知关于的方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根为，，求代数式的值． 18. 如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于，两点． （1）求，的值； （2）求． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 对于抛物线． （1）将抛物线的解析式化为的形式，并写出对称轴和顶点坐标； （2）①根据抛物线的解析式填写下列表格： ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 3 ．．． ②描点画图： （3）观察图象，直接写出时，自变量的取值范围． 20. 【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为①． 解方程①可得． 当时，，即，； 当时，，即，． 原方程的解为． 【解决问题】 （1）方程的解为___________； （2）已知，则的值为___________； （3）请仿照材料中的方法，解方程：． 六、（本题满分12分） 21. 若二次函数的二次项系数为1，则该二次函数可表示为，我们称为此函数的特征数，如函数的特征数是． （1）若一个二次函数的特征数为，求此函数图象与轴的交点坐标； （2）根据二次函数的特征数，解决下列问题： （a）若一个二次函数的特征数为，将此二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，求得到的图象对应的二次函数的特征数； （b）若一个二次函数的特征数为，问此二次函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的二次函数的特征数为？ 七、（本题满分12分） 22. 综合与实践 背景 2026年，安徽黄山高山绿茶线上销售火爆，本地茶企春茶订单爆发式增长，加工生产持续爬坡，茶叶出货屡创新高，带动周边茶礼盒厂商迎来销售热潮． 素材1 已知某茶企一款高山云雾绿茶，周一出货收入500万元，随着电商客户备货需求激增，周三出货收入达到720万元． 素材2 为承接春茶消费热潮，本地厂商推出“皖茶·黄山礼”茶叶礼盒套装．已知礼盒物料及加工成本为200元/套；当定价为500元/套时，平均每天可售出40套．调研发现，售价每降低20元，平均每天就能多售出8套．现该厂商计划下调售价，使平均每天的销售利润达到12000元． 问题解决 （1）任务1：根据素材1，求从周一到周三，该款高山云雾绿茶出货收入的日平均增长率； （2）任务2：根据素材2，为尽可能多地售空“皖茶·黄山礼”茶叶礼盒库存，求下调后每套礼盒的售价； （3）任务3：根据素材2，该厂商平均每天能否获利16000元？若能，请求出每套礼盒应降价多少元；若不能，请说明理由． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线（为常数）关于直线对称． （1）求常数的值； （2）平面直角坐标系中，已知点与点，且点在抛物线上． ①若点也在抛物线上，当时，比较的大小； ②若点在抛物线上，，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学（人教版） 注意事项： 1．数学试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】二次函数的一般形式为，判断解答即可． 【详解】解：A. 不是二次函数，不符合要求； B. 是二次函数，符合要求； C. 不是二次函数，不符合要求； D. 不是二次函数，不符合要求． 2. 用公式法解方程时，得，则“”处应填（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用求根公式即可解答． 【详解】解：， ，，， ， 即“”处应填． 3. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，求得对应的函数值即可； 【详解】解：令，得， 故抛物线与轴的交点为． 4. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据配方法解方程的基本步骤，求解判断即可． 【详解】解：， ， ． 5. 关于函数与的图象的共同点，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 都有最低点 C. 随增大而增大 D. 对称轴是轴 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的开口方向、最值、增减性与系数的关系，以及对称轴的判定方法是解题的关键．先分别分析两个二次函数的开口方向、最值点、增减性和对称轴，再对比各选项找出它们的共同点． 【详解】∵函数的，开口向下，有最高点，当时随增大而增大，当时随增大而减小； 函数的，开口向上，有最低点，当时随增大而减小，当时随增大而增大； ∴A、B、C均不是共同点； ∵两个函数均为形式， ∴对称轴都是轴，故D正确. 故选：D． 6. 抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据左加下减平移的法则，解答即可． 【详解】解：根据题意，得即． 7. 二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表，则关于的方程的一个根的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，利用函数值的符号变化锁定根的位置是解题关键． 对于开口向上的二次函数，当函数值由负变正时，对应区间内必有方程的一个根，据此对选项进行判断． 【详解】解：根据题意，当时，； 当时，； ， 二次函数开口向上， 在这个取值范围内，函数值由负变正， 故存在一个x使得， 方程的一个根的取值范围为． 8. 函数与（，是常数，且）的图象在同一平面直角坐标系中可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数和二次函数图象的综合应用．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：A选项：二次函数中，一次函数中，矛盾，不符合题意， B选项：二次函数中，一次函数中，符合题意， C选项：二次函数中，一次函数中，矛盾，不符合题意， D选项：二次函数中，一次函数中，矛盾，不符合题意， 故选：B． 9. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，连接，点运动到点时，点也停止运动．当的面积等于时，运动时间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设运动时间为，则可得到，再根据三角形的面积公式建立方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵的面积等于， ∴， 整理得或， ∵， ∴， ∴， ∴运动时间为． 10. 已知抛物线如图所示，该抛物线的对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥（为任意实数），其中正确的结论有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【分析】先根据抛物线的开口，与轴交点位置，对称轴分析符号，即可判断①③，根据抛物线与轴交点个数判断②，根据和时，对应的点在轴的上方还是下方判断④和⑤，再根据最值判断⑥． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴为直线 ， 抛物线与轴的交点位于原点上方， ，故结论①错误； ∵抛物线与轴有两个交点， ，故结论②正确； 对称轴为直线， ，即 ，故结论③正确； 当时，对应的点在轴下方的抛物线上， ，故结论④正确； 对称轴为直线， 与时的函数值相等， 当时，， 当时，，故结论⑤正确； 抛物线开口向下， 当时，函数取得最大值， ，即，故结论⑥正确． 综上所述，正确的结论有5个． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴翻折，所得抛物线相应的函数解析式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于轴对称，横坐标不变，纵坐标变成相反数，解答即可． 【详解】解：设新抛物线上一个点的坐标为，根据题意，得一定在的图象上， ， ， 所得抛物线相应的函数解析式为． 12. 已知是方程的两个根，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：是方程的两个根， ， ． 13. 如图所示的是该校一块长方形劳动场地，长36m，宽24m，要求在场地内修同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为种植区．若种植区的总面积为，则所修道路的宽为________m． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握通过平移将不规则种植区转化为规则长方形，根据面积列方程并检验解的合理性是解题的关键． 将种植区通过平移转化为长为、宽为的规则长方形，根据种植区面积列方程求解，舍去不符合实际的解． 【详解】解：设所修道路的宽为．根据题意，得， 整理，得，解得（不合题意，舍去），， 即所修道路的宽为． 故答案为：1． 14. 如图，已知抛物线交轴于点． （1）此抛物线的对称轴为直线___________； （2）已知正方形边在轴上，点的坐标为，，若此抛物线与正方形的边没有交点，则的取值范围是______________________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】（1）把解析式化为顶点式即可得到对称轴； （2）把点E的坐标代入解析式可推出，根据正方形的性质推出点C和点D的坐标，再求出抛物线恰好经过点C和点D时a的值即可得到答案． 【详解】解：（1）由，得，故此抛物线的对称轴为直线． （2）把点代入，得，即 点的坐标为，且四边形为正方形， ． 当抛物线经过点时，，解得； 当抛物线经过点时，，解得 当抛物线与正方形的边没有交点时，的取值范围为或． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 16. 已知二次函数（为常数）的图象经过点和． （1）求该二次函数的解析式； （2）当时，求该二次函数的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）把解析式化为顶点式，得到对称轴和开口方向，再根据增减性求解即可． 【小问1详解】 解：把点和代入，得 ， 解得 该二次函数的解析式是． 【小问2详解】 解：， 该抛物线的对称轴为直线，开口向上， 当时，随的增大而减小， 又， 当时，该二次函数有最大值，最大值为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知关于的方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根为，，求代数式的值． 【答案】（1） 证明：方程中，，， 所以，该方程总有两个实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得，所以方程一定有两个实数根； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，可得：，，把展开后整体代入即可求出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得：，， ． 18. 如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于，两点． （1）求，的值； （2）求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）待定系数法进行求解即可； （2）联立，求出点坐标，设直线与轴的交点为，分割法求出三角形的面积即可. 【小问1详解】 解：把代入，得，解得． 把代入，得，解得． 【小问2详解】 解：联立，解得或． ， 设直线与轴的交点为，则． ． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 对于抛物线． （1）将抛物线的解析式化为的形式，并写出对称轴和顶点坐标； （2）①根据抛物线的解析式填写下列表格： ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 3 ．．． ②描点画图： （3）观察图象，直接写出时，自变量的取值范围． 【答案】（1）；对称轴为直线，顶点坐标为 （2） 解：填写表格如下： ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 3 0 0 3 ．．． ②描点画图如下： （3）或 【解析】 【分析】（1）配方法化为顶点式，根据顶点式的性质写出对称轴和顶点坐标即可； （2）①把自变量的值代入解析式，求出函数值填表即可；②描点，连线，画出函数图象即可； （3）图象法求出自变量的范围即可. 【小问1详解】 解：， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图象可知，当时，的取值范围或． 20. 【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为①． 解方程①可得． 当时，，即，； 当时，，即，． 原方程的解为． 【解决问题】 （1）方程的解为___________； （2）已知，则的值为___________； （3）请仿照材料中的方法，解方程：． 【答案】（1） （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）设，则原方程可化为，根据提供方法求解即可； （2）设，则原方程可化为，根据提供方法求解即可； （3）设，则原方程可化为，根据提供方法求解即可． 【小问1详解】 解：设，则原方程可化为， 解方程，得． 当时，，，故； 当时，，无意义． 原方程的解为． 【小问2详解】 解：设，则原方程可化为， 整理，得， 解得， ， 不符合要求，舍去； ， ， ． 【小问3详解】 解：设，则原方程可化为， 解方程，得． 当时，，解得； 当时，， 整理，得， 解得． 原方程的解为． 六、（本题满分12分） 21. 若二次函数的二次项系数为1，则该二次函数可表示为，我们称为此函数的特征数，如函数的特征数是． （1）若一个二次函数的特征数为，求此函数图象与轴的交点坐标； （2）根据二次函数的特征数，解决下列问题： （a）若一个二次函数的特征数为，将此二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，求得到的图象对应的二次函数的特征数； （b）若一个二次函数的特征数为，问此二次函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的二次函数的特征数为？ 【答案】（1） （2）（a）；（b）先向左平移3个单位长度，再向下平移9个单位长度 【解析】 【分析】（1）根据函数的特征数为，确定函数的解析式为． 解一元二次方程即可． （2）（a）根据新定义，得到函数的解析式，利用函数的平移，确定新的解析式，解答即可． （b）根据新定义，得到函数的解析式，利用函数的平移，确定新的解析式，解答即可． 【小问1详解】 解：（1）一个函数的特征数为， 该函数的解析式为． 当时，则，解得， 函数图象与轴的交点坐标为． 【小问2详解】 解：（a）一个函数的特征数为， 该函数的解析式为， 将此函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到抛物线． 得到的图象对应的函数的特征数为． （b）一个函数的特征数为， 函数的解析式为． 一个函数的特征数为， 函数的解析式为． 原函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移9个单位长度． 七、（本题满分12分） 22. 综合与实践 背景 2026年，安徽黄山高山绿茶线上销售火爆，本地茶企春茶订单爆发式增长，加工生产持续爬坡，茶叶出货屡创新高，带动周边茶礼盒厂商迎来销售热潮． 素材1 已知某茶企一款高山云雾绿茶，周一出货收入500万元，随着电商客户备货需求激增，周三出货收入达到720万元． 素材2 为承接春茶消费热潮，本地厂商推出“皖茶·黄山礼”茶叶礼盒套装．已知礼盒物料及加工成本为200元/套；当定价为500元/套时，平均每天可售出40套．调研发现，售价每降低20元，平均每天就能多售出8套．现该厂商计划下调售价，使平均每天的销售利润达到12000元． 问题解决 （1）任务1：根据素材1，求从周一到周三，该款高山云雾绿茶出货收入的日平均增长率； （2）任务2：根据素材2，为尽可能多地售空“皖茶·黄山礼”茶叶礼盒库存，求下调后每套礼盒的售价； （3）任务3：根据素材2，该厂商平均每天能否获利16000元？若能，请求出每套礼盒应降价多少元；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）300元 （3）能获利16000元，每套礼盒应降价100元 【解析】 【分析】（1）设从周一到周三，该款高山云雾绿茶出货收入的日平均增长率为，根据周一和周三的出货收入建立方程求解即可； （2）设每套礼盒降价元，根据利润（实际售价成本价）销售量建立方程求解即可； （3）设每套礼盒降价元，根据利润（实际售价成本价）销售量建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设从周一到周三，该款高山云雾绿茶出货收入的日平均增长率为， 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：从周一到周三，该款高山云雾绿茶出货收入的日平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每套礼盒降价元， 根据题意，得， 整理得， 解得（舍去），， 下调后售价：（元）， 答：下调后每套礼盒售价为300元； 【小问3详解】 解：不妨假设能获利16000元， 设每套礼盒降价元，根据题意，得， 整理得 解得，即降价（元）， 答：能获利16000元，每套礼盒应降价100元． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线（为常数）关于直线对称． （1）求常数的值； （2）平面直角坐标系中，已知点与点，且点在抛物线上． ①若点也在抛物线上，当时，比较的大小； ②若点在抛物线上，，求的最大值． 【答案】（1） （2）①；②最大值为 【解析】 【分析】（1）首先求得两条抛物线的对称轴，再根据图象的对称性，得到对称轴之间的关系，求解即可； （2）①根据抛物线的增减性，求得，解答即可． ②构造二次函数，根据二次函数的最值，求解即可． 【小问1详解】 解： 抛物线为 对称轴为直线， ， 对称轴为直线， 又抛物线与关于直线对称， ， 解得； 【小问2详解】 ①解：由题意，抛物线的对称轴为直线． ， ． 在抛物线中的系数为，且距离对称轴越远，函数值越小， ； ②解：， ． 将点代入，得． 将点代入，得． ， ， 当时，取最大值，为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $