精品解析：安徽安庆市第四中学2026-2027学年第一学期 第一次学情自测九年级数学（沪科版）试题

数学 一、单选题（每小题3分，共10题） 1. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．二次函数的顶点式为(a，h，k是常数，)，其顶点坐标为． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 故选：C． 2. 若双曲线在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质. 根据反比例函数的增减性得到，进行求解即可． 【详解】解：∵双曲线在每个象限内的函数值随的增大而减小， ∴， ∴. 故选：B． 3. 若一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则抛物线的对称轴为（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵一次函数的图象与轴的交点坐标为， ∴，即， ∴抛物线的对称轴为直线. 4. 将某二次函数的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得到新的二次函数的图象，则原二次函数的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定出抛物线的顶点坐标，再确定出平移前的顶点坐标，根据平移不改变图象的大小与形状即可确定平移后的函数表达式． 【详解】抛物线的顶点坐标为 图象向上平移2个单位，再向左平移3个单位后的顶点坐标为，由于平移不改变图形的形状与大小，则平移前的抛物线表达式为； 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，关键是抓住顶点的平移，问题便迎刃而解． 5. 如图，二次函数与反比例函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，以及二次函数图象，解题的关键是根据反比例函数的性质确定的正负．首先根据反比例函数所在象限确定，再根据确定抛物线的开口方向和与轴交点位置，即可选出答案． 【详解】解：选项A：反比例函数的图象经过第二、四象限，则，此时函数的开口向下，与所示图象不符，本选项不符合题意； 选项B：反比例函数的图象经过第一、三象限，则，此时函数的开口向上，与轴交点应在原点下方，与所示图象不符，本选项不符合题意； 选项C：反比例函数的图象经过第一、三象限，则，此时函数的开口向上，与所示图象不符，本选项不符合题意； 选项D：反比例函数的图象经过第二、四象限，则，此时函数的开口向下，与轴交点应在原点上方，与所示图象相符，本选项符合题意； 故选D． 6. 若抛物线的图象恰好只经过三个象限，则a的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题抛物线开口向上，先配方得到顶点坐标，再结合抛物线仅经过三个象限的条件，根据顶点纵坐标、与y轴交点纵坐标的限制求解a的取值范围； 【详解】解：根据题意，得， ∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴； 令，得抛物线与y轴交点纵坐标为； 抛物线恰好只经过三个象限，开口向上时，需满足顶点在x轴下方（保证抛物线与x轴有两个交点），且与y轴交点在原点或x轴上方（保证抛物线只经过三个象限）， 因此列不等式组：， 解第一个不等式得，解第二个不等式得，因此的取值范围是； 7. 已知抛物线，当时，，且当时，y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，结合题目给出的两个条件列出关于的不等式组，即可求解的取值范围． 【详解】解：∵抛物线 开口向上，当时，， ∴将代入解析式得： ， 化简得 ， 解得， ∵当时，随的增大而增大，开口向上的二次函数对称轴右侧随增大而增大， ∴抛物线对称轴不大于， ∵抛物线对称轴为， ∴ ， 解得：， 综上，的取值范围是． 8. 长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意知剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽各减少，因此底面积等于减少后的长与宽的乘积，再结合的取值范围即可确定函数关系式，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴， 又∵，且，， ∴， ∴函数关系式为， 故选：． 9. 已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵点，，在的图象上， ∴，，. ∵， ∴． ∴，即． 10. 如图是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②；③方程一定有一个根在2和3之间；④若为任意实数，则；⑤．其中正确结论的个数为（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵抛物线开口向下， ∴， 又， ∴， ∵抛物线与轴的交点在正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和0之间， ∴与x轴的另一个交点在2和3之间， ∴方程一定有一个根在2和3之间，故③正确； ∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，的最大值为， ∴对于任意实数，都有， ∴对于任意实数，，即，故④正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点在，0之间， ∴， ∵图象与y轴交点的纵坐标是2， ∴， ∴， 又， ∴， ∴,故⑤正确． 综上，②③④⑤正确，共4个． 二、填空题（每小题4分，共4题） 11. 已知二次函数（是常数）的图象与轴有两个不同的交点，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】因为二次函数图象与x轴有两个不同交点，那么对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，即根的判别式．代入二次项系数、一次项系数、常数项计算判别式，解关于a的一元一次不等式，即可得到a的取值范围． 【详解】∵二次函数（是常数）的图象与轴有两个不同的交点， ∴判别式 ，  解得． 12. 反比例函数的图象经过点，当时，x的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】先求出反比例函数的解析式，再根据增减性求解即可． 【详解】解：把代入，得， 解得：， ∴该反比例函数表达式为， 当时，， 解得， ∵， ∴函数图象在第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小， ∴当时，或． 13. 如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在线段上，且，函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，顺次连接点D、O、M，若的面积为，则k的值为_____ ． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数比例系数的几何意义，连接，由矩形的性质可得O、B、M三点共线，且，则可得到，据此求出即可得到答案． 【详解】解：如图，连接． ∵点M为矩形的对称中心， ∴O、B、M三点共线，且， ∴， ∵， ∴， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， 故答案为：6． 14. 若是直线上一动点，（是实数）是坐标平面内一动点． （1）B点纵坐标的最小值为___________． （2）线段长度的最小值是___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①B点纵坐标是二次函数，配方求顶点纵坐标得到最小值； ②A是直线上的动点，的运动轨迹是，作直线的平行线，当与抛物线只有一个交点时，两平行线间的距离即为线段长度的最小值，即可求解． 【详解】解：①B点纵坐标为， 配方： ，抛物线开口向上， 当时，． ②的运动轨迹是， 当时，，当时，， ∴直线与y轴交点为，与x轴交点为， ， ， 作直线的平行线， 当与抛物线只有一个交点B时作于A，两平行线间的距离即为线段长度的最小值， 联立，整理得， 与抛物线只有一个交点， ，解得， 此时， 即，， ∴直线与抛物线的切点坐标为． ∴．． 由可知是等腰直角三角形，， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴． 即线段长度的最小值为． 三、解答题 15. 若函数是二次函数． （1）求的值； （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的定义，函数值的计算，理解二次函数定义，函数值的计算方法是解题的关键． （1）根据二次函数的定义可得，即可求解； （2）由（1）可得二次函数解析式，把代入计算即可． 【小问1详解】 解：函数是二次函数， ∴， 解得，， ∴； 【小问2详解】 解：当时，二次函数解析式为， ∴当时，． 16. 对于抛物线． （1）求它与轴交点的坐标和顶点坐标； （2）在坐标系中画出此抛物线的图象； （3）当时，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 画图如下： （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，画二次函数的图象，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）令，求出抛物线与轴交点的坐标，将一般式化为顶点式，求出顶点坐标即可； （2）五点作图法，画出函数图象即可； （3）由图象直接获取信息，作答即可． 【小问1详解】 解：当时，解得或， ∴抛物线与轴的交点坐标为； ∵， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 列表如下： 0 1 2 3 4 3 0 0 3 描点，连线 【小问3详解】 ∵， 由图象可知，当时，最大， 当时，最小， ∴． 17. 已知，并且与成反比例，与成正比例．当时，；当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，，于是得到，把已知分别代入，得到方程组，解答即可； （2）根据解析式，求函数值即可． 【小问1详解】 解：设，，于是得到， 当时，；当时，， ， 解得， ． 【小问2详解】 解：， 当时，． 18. 紫外线杀菌灯的电阻随温度的变化的大致图象如图所示．通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比的函数关系．且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加． （1）当时时，求与之间的关系式． （2）紫外线杀菌灯在使用过程中，温度在什么范围内时，电阻不超过． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设关系为，将代入求； （2）将代入函数关系式求出的值． 【小问1详解】 解：设． 过点， ． 当时，与的关系式为：； 【小问2详解】 将代入上式中得：，． 温度在时，电阻． 在温度达到时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加， 当时， ， 把代入， 得； 把时代入， 得； 答：当时，电阻不超过． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． 19. 如图是乒乓球发球器某次发球过程的部分示意图，已知球台的长约为，球网在球台的中点处（点A是的中点），球网的高度约为，发球点的高度为，当乒乓球到的距离为时，乒乓球离球台的最大高度是，，．设乒乓球距离发球点C的水平距离为，乒乓球距离球台的竖直高度为，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球的运动轨迹可视为一条抛物线． （1）求乒乓球运动轨迹所在抛物线的函数表达式； （2）请你判断乒乓球发球器此次发出的球是否有效（球是否越过球网并落在球台上），并说明理由． 【答案】（1） （2）乒乓球发球器此次发出的球无效， 由题意可知点A的横坐标为1.4， 当时，， ， 乒乓球越过了球网． 令，则， 解得（舍去），． ， 乒乓球没有落在球台上． 综上可得乒乓球发球器此次发出的球无效． 【解析】 【分析】（1）由乒乓球到的距离为时，乒乓球离球台的最大高度是，设抛物线的函数表达式为，由发球点的高度为，得点C的坐标为，代入解方程求出a值即可． （2）先求得时的y值，可判断是不是越过球网；再求得时的x值，可判断是否落在球台上，进而可判断是否有效． 【小问1详解】 解：由题意可得抛物线的顶点坐标为，点C的坐标为． 设抛物线的函数表达式为， 将代入上式，得， 解得， 乒乓球运动轨迹所在抛物线的函数表达式为（或）． 【小问2详解】 略． 20. 已知抛物线． （1）若该抛物线的顶点在轴上，求该抛物线的函数表达式． （2）直线与该抛物线相交于，两点． ①若，求的值． ②点在抛物线上，且点不与点，重合，当时，，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意可得抛物线与x轴只有一个交点，则可利用判别式求解； （2）①将两个函数关系式联立，解方程组即可得出结论； ②求得抛物线的对称轴，利用对称性得到，将两个函数关系式联立，得到关于x的一元二次方程，利用一元次方程根与系数的关系求得，进而得到关于a的不等式组，解不等式组即可得出结论． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点在轴上， ∴此时抛物线与x轴只有一个交点， ， ， 该抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：①若，则直线的解析式为， 为直线与抛物线的交点， ， ， 若，的值为； ②抛物线的对称轴为直线， ，两点在抛物线上，且点不与点，重合，， ，两点关于对称轴直线对称， ， ， 联立得：， ∵直线与该抛物线相交于，两点， ∴，是方程的两个根， ， ， ， ∵， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，抛物线的对称轴，顶点坐标，一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 一、单选题（每小题3分，共10题） 1. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 若双曲线在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则（ ） A. B. C. D. 3. 若一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则抛物线的对称轴为（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 4. 将某二次函数的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得到新的二次函数的图象，则原二次函数的表达式是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，二次函数与反比例函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 若抛物线的图象恰好只经过三个象限，则a的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 7. 已知抛物线，当时，，且当时，y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（    ） A. B. C. D. 9. 已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 如图是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②；③方程一定有一个根在2和3之间；④若为任意实数，则；⑤．其中正确结论的个数为（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题（每小题4分，共4题） 11. 已知二次函数（是常数）的图象与轴有两个不同的交点，则的取值范围是___________． 12. 反比例函数的图象经过点，当时，x的取值范围是________． 13. 如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在线段上，且，函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，顺次连接点D、O、M，若的面积为，则k的值为_____ ． 14. 若是直线上一动点，（是实数）是坐标平面内一动点． （1）B点纵坐标的最小值为___________． （2）线段长度的最小值是___________． 三、解答题 15. 若函数是二次函数． （1）求的值； （2）当时，求的值． 16. 对于抛物线． （1）求它与轴交点的坐标和顶点坐标； （2）在坐标系中画出此抛物线的图象； （3）当时，求的取值范围． 17. 已知，并且与成反比例，与成正比例．当时，；当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）当时，求的值． 18. 紫外线杀菌灯的电阻随温度的变化的大致图象如图所示．通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比的函数关系．且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加． （1）当时时，求与之间的关系式． （2）紫外线杀菌灯在使用过程中，温度在什么范围内时，电阻不超过． 19. 如图是乒乓球发球器某次发球过程的部分示意图，已知球台的长约为，球网在球台的中点处（点A是的中点），球网的高度约为，发球点的高度为，当乒乓球到的距离为时，乒乓球离球台的最大高度是，，．设乒乓球距离发球点C的水平距离为，乒乓球距离球台的竖直高度为，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球的运动轨迹可视为一条抛物线． （1）求乒乓球运动轨迹所在抛物线的函数表达式； （2）请你判断乒乓球发球器此次发出的球是否有效（球是否越过球网并落在球台上），并说明理由． 20. 已知抛物线． （1）若该抛物线的顶点在轴上，求该抛物线的函数表达式． （2）直线与该抛物线相交于，两点． ①若，求的值． ②点在抛物线上，且点不与点，重合，当时，，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $