四川省达州市渠县文化学校2026-2027学年九年级上册期中数学模拟卷（北师大版）

渠县文化学校 九年级 (上) 期中数学模拟卷 （测试范围第1-第3章） 总分：150分 考试时间：120分钟 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ） 1.如果四条线段、、、构成，，则下列式子中，成立的是（       ） A. B. C. D. 2.已知是一元二次方程的一个根，则的值是（       ） A.3 B. C.或3 D.或2 3.下列说法正确的是（        ） A.四个角相等的四边形是矩形 B.对角线互相垂直的四边形是平行四边形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相平分的四边形是菱形 4.已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（        ） A.0个 B.1个 C.2个 D.1个或2个 5.如图，，，分别交于点，，则下列结论中错误的是（       ） A. B. C. D. 6.如图，在菱形中，，，过点作于点，连接，则的长为（        ） A. B.2 C. D.4 7.宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为（       ） A. B. C. D. 8.新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（        ） A.或 B.或 C.或 D.或 9.如图，矩形与矩形是位似图形，点P是位似中心，若点B的坐标为，点E的横坐标为，则下列结论错误的是（     ） A. B. C. D. 10.如图，正方形中，的平分线交于点E，在上截取，分别交于点点P是线段的动点，于点Q，连接．下列结论：①；②；③；④的最小值是，其中正确结论的个数是（     ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ） 11.已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________． 12.如图，已知，直线与直线相交于点O．如果，，，则________． 13.如图，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，E、F分别是、的中点，若，，则的长为________． 14.小若利用欧几里得的一元二次方程图解法解方程的过程如下：将方程配方得，以和为两直角边作（如图），再在斜边及其延长线上截取，发现方程的解，．若，则的值为________． 15.如图，在中，，，点D是上一点，且，过点B作的垂线分别交，于点E和点F，则的长为________． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ） 16.解方程： （1）； （2）． 17.如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，． （1）以原点O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形，使它与的相似比是； （2）在（1）中，若点是边上一点，则点M对应的位似点的坐标为_________． 18.如图，在菱形中，，垂足为，，垂足为． （1）求证：； （2）若，则的度数为_________． 19.已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）若方程的一个根是1，求的值及另外一个根； （2），求的取值范围． 20.如图，在中，D为上一点，E为上一点，且，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 21.“户太八号”被广泛种植，某葡萄种植基地到年年底已经种植亩，到年年底的种植面积达到亩． （1）求该基地这两年“户太八号”种植面积的年平均增长率； （2）市场调查发现，当“户太八号”的售价为元千克时，每天能售出千克，销售单价每降低元，每天可多售出千克，为了尽快减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“户太八号”的平均成本为元/千克，若使销售“户太八号”每天可获利元，则销售单价应降低多少元？ 22.如图，矩形中，连接，于点，交于，于点，，交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若菱形的周长为，求的值． 23.如图，已知四边形是矩形，点在的延长线上， ，与相交于点，与相交于点，且. （1）求证： ； （2）求证：点是线段的黄金分割点； （3）若，求的长. 24.我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知25是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式________； （2）若可配方成（、为常数），则________； 【探究问题】 （3）已知，则_______； （4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； 25.综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． （1）【数学思考】 如图1，在矩形中，，，，分别是，上的两点，连接，，于点，则________； （2）【深入探究】 如图2，在矩形中，，分别交，于点，，分别交，于点，．求证：； （3）【拓展延伸】 如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交于点．若，，请求出的长． 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 渠县文化学校 九年级 (上) 期中数学模拟卷 （测试范围第1-第3章） 总分：150分 考试时间：120分钟 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ） 1.如果四条线段、、、构成，，则下列式子中，成立的是（       ） A. B. C. D. 2.已知是一元二次方程的一个根，则的值是（       ） A.3 B. C.或3 D.或2 3.下列说法正确的是（        ） A.四个角相等的四边形是矩形 B.对角线互相垂直的四边形是平行四边形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相平分的四边形是菱形 4.已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（        ） A.0个 B.1个 C.2个 D.1个或2个 5.如图，，，分别交于点，，则下列结论中错误的是（     ） A. B. C. D. 6.如图，在菱形中，，，过点作于点，连接，则的长为（        ） A. B.2 C. D.4 7.宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为（       ） A. B. C. D. 8.新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（        ） A.或 B.或 C.或 D.或 9.如图，矩形与矩形是位似图形，点P是位似中心，若点B的坐标为，点E的横坐标为，则下列结论错误的是（     ） A. B. C. D. 10.如图，正方形中，的平分线交于点E，在上截取，分别交于点点P是线段的动点，于点Q，连接．下列结论：①；②；③；④的最小值是，其中正确结论的个数是（     ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ） 11.已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________． 12.如图，已知，直线与直线相交于点O．如果，，，则________． 13.如图，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，E、F分别是、的中点，若，，则的长为________． 14.小若利用欧几里得的一元二次方程图解法解方程的过程如下：将方程配方得，以和为两直角边作（如图），再在斜边及其延长线上截取，发现方程的解，．若，则的值为________． 15.如图，在中，，，点D是上一点，且，过点B作的垂线分别交，于点E和点F，则的长为________． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ） 16.(8分) 解方程： （1）； （2）． 17.(6分) 如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，． （1）以原点O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形，使它与的相似比是； （2）在（1）中，若点是边上一点，则点M对应的位似点的坐标为____________． 18.(8分) 如图，在菱形中，，垂足为，，垂足为． （1）求证：； （2）若，则的度数为__________． 19.(8分) 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）若方程的一个根是1，求的值及另外一个根； （2），求的取值范围． 20.(8分) 如图，在中，D为上一点，E为上一点，且，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 21.(10分) “户太八号”被广泛种植，某葡萄种植基地到年年底已经种植亩，到年年底的种植面积达到亩． （1）求该基地这两年“户太八号”种植面积的年平均增长率； （2）市场调查发现，当“户太八号”的售价为元千克时，每天能售出千克，销售单价每降低元，每天可多售出千克，为了尽快减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“户太八号”的平均成本为元/千克，若使销售“户太八号”每天可获利元，则销售单价应降低多少元？ 22.(10分) 如图，矩形中，连接，于点，交于，于点，，交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若菱形的周长为，求的值． 23.(10分) 如图，已知四边形是矩形，点在的延长线上， ，与相交于点，与相交于点，且. （1）求证： ； （2）求证：点是线段的黄金分割点； （3）若，求的长. 24.(10分) 我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知25是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式________； （2）若可配方成（、为常数），则________； 【探究问题】 （3）已知，则________； （4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； 25.(12分) 综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． （1）【数学思考】 如图1，在矩形中，，，，分别是，上的两点，连接，，于点，则________； （2）【深入探究】 如图2，在矩形中，，分别交，于点，，分别交，于点，．求证：； （3）【拓展延伸】 如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交于点．若，，请求出的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 渠县文化学校 九年级 (上) 期中数学模拟卷 （测试范围第1-第3章） 总分：150分 考试时间：120分钟 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ） 1.如果四条线段、、、构成，，则下列式子中，成立的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 根据比例的性质变形，再进行判断． 【解答】 解：、，，；故本选项错误； 、，，；故本选项错误； 、，，；故本选项错误； 、，，；故本选项正确． 故选． 2.已知是一元二次方程的一个根，则的值是（       ） A.3 B. C.或3 D.或2 【答案】 B 【解析】 本题考查了一元二次方程的定义, 一元二次方程的解, 把 代入方程, 求出 的值, 然后结合一元二次方程定义求解即可. 【解答】 解： 是一元二次方程 的一个根， 解得 方程 是一元二次方程， 解得 故选：B. 3.下列说法正确的是（        ） A.四个角相等的四边形是矩形 B.对角线互相垂直的四边形是平行四边形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相平分的四边形是菱形 【答案】 A 【解析】 根据平行四边形、特殊四边形的判定定理逐项判断即可。 【解答】 解：四边形内角和为360°，四个角相等的四边形每个内角都为90°，四个角都是直角的四边形是矩形，∴ A正确； 对角线互相平分的四边形才是平行四边形，∴ B错误； 对角线相等的平行四边形是矩形，不是正方形，∴ C错误； 对角线互相平分的四边形是平行四边形，不是菱形，∴ D错误。 故选：A. 4.已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（        ） A.0个 B.1个 C.2个 D.1个或2个 【答案】 D 【解析】 先根据一次函数位置得到k、b的取值范围，再分情况讨论方程类型，判断根的个数. 【解答】 解：∵ 一次函数的图象不过第三象限， ， 分两种情况讨论： 当b=0时，原方程化为，是一元一次方程，仅有1个根； 当b>0时，原方程为一元二次方程，计算判别式得， ， ， ，即方程有2个不相等的实数根， 综上，方程根的个数为1个或2个. 故选：D. 5.如图，，，分别交于点，，则下列结论中错误的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键．根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定，进行逐一判断即可． 【解答】 解：， ， 选项正确，不符合题目要求； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 选项正确，不符合题目要求； ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ； 选项正确，不符合题目要求； ， ， ， ， 选项不正确，符合题目要求． 故选：． 6.如图，在菱形中，，，过点作于点，连接，则的长为（        ） A. B.2 C. D.4 【答案】 C 【解析】 作PE BC交BC的延长线于点E，利用平行四边形的性质求得AD=BC=CD=2， ，再利用直角三角形的性质结合勾股定理求得PD=1，CE PE ，在Rt 中，利用勾股定理求解即可. 【解答】 解：作PE BC交BC的延长线于点E， 菱形ABCD， 在Rt 中，由勾股定理得 7.宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 本题考查黄金分割、矩形的性质及翻折变换，设，，再根据翻折的性质及等角对等边得出，最后利用勾股定理表示出及即可． 【解答】 解：由题知， 令，， 由翻折可知，， 四边形是矩形， ， ， ， ， 令，则， 在中，， ， 解得， ， 在中，． 故选：． 8.新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（        ） A.或 B.或 C.或 D.或 【答案】 B 【解析】 通过因式分解求解一元二次方程 的两个根，再根据“倍根方程”的定义分两种情况讨论根的关系，最终求解得到 的值。 【解答】 解：， ， 解得 。 关于 的一元二次方程 是“倍根方程”， 分两种情况：①当 时，即 ，此时 ， ②当 时，即 ，此时 。 综上所述，代数式 的值为 或 。 故选：B. 9.如图，矩形与矩形是位似图形，点P是位似中心，若点B的坐标为，点E的横坐标为，则下列结论错误的是（     ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得出EF∥OC，DE∥OP是解题的关键。根据位似图形的概念得到EF∥OC，DE∥OP，进而证明ΔCED～ΔCPO，ΔPOD～ΔPAB，根据相似三角形的性质求出OP，再进一步分析即可得到答案。 【解答】 解：∵ 四边形OABC为矩形，B(2,3), ∴ AB=OC=3,OA=2, ∵ 矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，点E的横坐标为-1, ∴ EF∥OC，DE∥OP，DE=OF=1, ∴ ΔCED～ΔCPO，ΔPOD～ΔPAB, ∴ ，， ∴ ，， 解得：OP=2，OD=， ∴ ，OD=EF=，故B错误，C正确， ∴ PF=1， ∴ ，故A正确， ∴ S_{ΔPDE} = ，故D正确. 故选：B. 10.如图，正方形中，的平分线交于点E，在上截取，分别交于点点P是线段的动点，于点Q，连接．下列结论：①；②；③；④的最小值是，其中正确结论的个数是（     ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】 C 【解析】 本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法以及三角形全等的判定与性质是解题的关键. ①先证 ，可得 ，由 ，可得 ，即 ，则①正确； ②由①可知 ，易证 ，可得 ，由 ，可得 ，而 ，则 ，即 ，从而可得②正确； ③由于 ，根据勾股定理可得AC的长，进而可得AH的长，而 ，所以EA可求，即可得出③正确； ④由①② DG=GH,CG\bot DH GQ\bot AC ④$不正确. 【详解】 解： 在正方形ABCD中， ，即 正确. ②由①可知 , （ASA）, ，即 为等腰三角形， 正确. ③由②可知， 正确. ④由①② DG=GH,CG\bot DH $ 点H关于CE的对称点是点D， 过点D作 ，交CE于点P，此时PH+PO取得最小值，最小值即为DO的长， 在等腰直角三角形ADQ中， AD=2， 的最小值为 ④不正确. 故选：C 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ） 11.已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是___且 _____． 【答案】 且 【解析】 根据方程的根的判别式 且 ，计算即可. 本题考查了根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键. 【解答】 一元二次方程 有实根， 且 解得 且 故答案为： 且 ． 12.如图，已知，直线与直线相交于点O．如果，，，则___16_____． 【答案】 16 【解析】 根据题意列出比例关系求出AF的长度，即可求解. 【解答】 解： 13.如图，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，E、F分别是、的中点，若，，则的长为____5____． 【答案】 5 【解析】 本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质。连接CE，CF，根据矩形的性质可得 ，AB=CD=1cm，然后在Rt 中，利用勾股定理求出BD的长，再利用直角三角形斜边上的中线可得 最后根据旋转的性质可得：CE=CF， 从而利用等腰直角三角形的性质进行计算，即可解答. 【解答】 解：连接CE，CF， 四边形ABCD是矩形， 点E是BD的中点， 由旋转得： 故答案为：5. 14.小若利用欧几里得的一元二次方程图解法解方程的过程如下：将方程配方得，以和为两直角边作（如图），再在斜边及其延长线上截取，发现方程的解，．若，则的值为________． 【答案】 【解析】 根据勾股定理和已知条件求出AB的长，利用已知条件BD=BE=BC，即可求出AD=2a，求出a的值，再根据AE=AB+BE，求出AE和a的关系，即可知道AE的值，从而求出x_{2}的值. 【解答】 解：由题意可得，AC=4a，BC=3a， . 15.如图，在中，，，点D是上一点，且，过点B作的垂线分别交，于点E和点F，则的长为________． 【答案】 【解析】 过点A作AH BC交BC于点H，过点D作 DG BF交AC于点G，由题意可得，BD=10，DC=2，BH=HC=6，HD=4，由勾股定理得，AH=8，AD= ，在 中，利用等面积法得BE= ，由勾股定理得，AE= ，则DE= ，故E是AD的中点，由 EF DG可推得F是AG的中点，因此EF是 的中位线，故EF= DG，由DG BF得 ，故 ，从而 ，设EF=x，则DG=2x，BF= ，故 ，解得， 即 【解答】 解：如图，过点A作AH BC交BC于点H，过点D作DG BF交AC于点G， 在Rt 中， 在Rt 中， 在Rt 中， 是 AD的中点， 又 是 AG的中点， 是 的中位线， 设 ，则 化简得 11 化简得， 解得， 即 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ） 16.解方程： （1）； （2）． 【答案】 【解析】 （1）根据因式分解法求解即可； （2）根据公式法求解即可. 【解答】 （1）解： 移项得 或 解得： （2）解： 中 则 解得： 17.如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，． （1）以原点O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形，使它与的相似比是； （2）在（1）中，若点是边上一点，则点M对应的位似点的坐标为_________． 【答案】 见解答 【解析】 （1）根据 ，原点O为位似中心，相似比是2：1，确定 ，画图即可； （2）根据位似的性质即可解答. 【解答】 （1）解：如图，则 即为所求. （2）根据题意，得点 对应的位似点 的坐标为 . 18.如图，在菱形中，，垂足为，，垂足为． （1）求证：； （2）若，则的度数为____ ______． 【答案】 证明见解析 【解析】 （1）由菱形的性质可得 , , 结合 , , 可证明 (AAS), 则 ; （2）由三角形内角和定理可得 , 结合 , 则 . 根据菱形的邻角互补的性质可得 , 作差求得 . 【解答】 （1）证明: 四边形 是菱形, 在 和 中， （2） , 四边形ABCD是菱形 19.已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）若方程的一个根是1，求的值及另外一个根； （2），求的取值范围． 【答案】 ，方程的另外一个根是5 【解析】 （1）令 ，则 ，计算求解即可； （2）由题意知， ，可求 ，由 ，可得 ，计算求解，然后作答即可． 【解答】 （1）解：令 ， 关于 的一元二次方程 有两个实数根 ， ， 解得， ， ，方程的另外一个根是5； （2）解：由题意知， ， 解得， ， ， ， 解得， ， ． 20.如图，在中，D为上一点，E为上一点，且，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】 见解析 8 【解析】 （1）根据两角对应相等，两三角形相似证明即可； （2）根据 得到 ，然后求出 ，即可求解ED. 【解答】 （1）证明： （2）解： 在（1）中已证明 21.“户太八号”被广泛种植，某葡萄种植基地到年年底已经种植亩，到年年底的种植面积达到亩． （1）求该基地这两年“户太八号”种植面积的年平均增长率； （2）市场调查发现，当“户太八号”的售价为元千克时，每天能售出千克，销售单价每降低元，每天可多售出千克，为了尽快减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“户太八号”的平均成本为元/千克，若使销售“户太八号”每天可获利元，则销售单价应降低多少元？ 【答案】 该基地这两年“户太八号”种植面积的年平均增长率为 销售单价应降低元 【解析】 （1）设该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为，根据该基地年及年“户太八号”的种植面积，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设销售单价应降低元，根据当“户太八号”的售价为元/千克时，每天能售出千克，售价每降价元，每天可多售出千克即可求解，根据总利润每千克的利润销售数量，列出方程求解即可． 【解答】 （1）解：该基地“户太八号”种植面积的年平均增长率为，由题意得： ，（舍去） 答：该基地“户太八号”种植面积的年平均增长率为； （2）解：设销售单价应降低元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，． 为了尽快减少库存，则销售单价应降低元， 答：销售单价应降低元． 22.如图，矩形中，连接，于点，交于，于点，，交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若菱形的周长为，求的值． 【答案】 见解析 【解析】 （1）根据 ， 得出DI ，根据GI 得出四边形DFGI是平行四边形，结合 ，即可得证； （2）连接 DG、AF、IF，证明Rt 得出AD=AG=6则点A在DG的垂直平分线上，进而根据勾股定理求得 AF，即可求解. 【解答】 （1）证明： 四边形DFGI是平行四边形， 四边形DFGI是菱形； （2）解：连接 四边形DFGI是菱形， 是DG的垂直平分线， 在矩形ABCD中， Rt Rt , 点A在 DG的垂直平分线上， I、F三点共线. 菱形DFGI的周长为16 23.如图，已知四边形是矩形，点在的延长线上， ，与相交于点，与相交于点，且. （1）求证： ； （2）求证：点是线段的黄金分割点； （3）若，求的长. 【答案】 见解答 见解答 . 【解析】 此题暂无解析 【解答】 （1）证明：∵ 四边形是矩形， ∴ ，，， 在和中， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . （2）证明：∵ ，∴ ， ∴ ，  又 ，， ∴ ， ∴ 点是线段的黄金分割点. （3）解：设，则，， ∵ ，， ∴ ， ∴ ，又， ∴ 即， 解得： ， （舍去）， 即. 24.我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知25是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式________； （2）若可配方成（、为常数），则___-10_____； 【探究问题】 （3）已知，则_____-1___； （4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； 【答案】 -10 -1 ，理由见详解 【解析】 （1）根据“完美数”的定义找到两个整数的平方和为25即可； （2）对二次三项式用配方法，凑出完全平方形式，对比得出和的值进行计算即可； （3）将原始拆分为两个完全平方的和，利用非负数的性质求出，的值，再计算即可； （4）先对进行配方，整理为两个整数平方和的形式，结合“完美数”的定义，确定常数的值，使剩余项抵消即可. 【解答】 （1），符合“完美数”的定义． 故答案为（答案不唯一）； （2）对配方， 得到 ， ， ． 故答案为； （3）对式子进行配方 ， ， 且， ， ． 故答案为； （4）先对配方， 得到 ， 要让为完美数，可令， 即， 又是整数， 和也是整数，符合“完美数”的定义， 符合条件的一个值为10．（答案不唯一） 25.综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． （1）【数学思考】 如图1，在矩形中，，，，分别是，上的两点，连接，，于点，则________； （2）【深入探究】 如图2，在矩形中，，分别交，于点，，分别交，于点，．求证：； （3）【拓展延伸】 如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交于点．若，，请求出的长． 【答案】 见解答 【解析】 （1）通过证明 ，由相似比即可求解 （2）构造出两个相似三角形，利用相似比及矩形对边相等的性质证明； （3）作平行线构造相似三角形，结合勾股定理解出线段长度，再由相似比即可求出CD的长. 【解答】 （1）解： 四边形ABCD是矩形， 于点G， 在矩形ABCD中，AD=5，AB=CD=3， (2) 证明：过点E作 于点P，过点H作 于点Q，且交EF于点O. 四边形ABCD是矩形， 同理，EP (3) 解：过点A作 ，延长CF交AG于点G. 图2 在Rt 中， 又 学科网（北京）股份有限公司 $