精品解析：安徽省安安庆市外国语学校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

安庆市外国语学校十月份阶段性检测 九年级数学 一、选择题（本大题共10小题） 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．利用二次函数的一般形式为：是常数，，进而判断得出即可． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故本选项不正确； B、是一次函数，不是二次函数，故本选项不正确； C、符合二次函数的定义，故本选项正确； D、的右边不是整式，因此不是二次函数，故本选项不正确． 故选：C． 2. 抛物线的顶点坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用顶点的公式首先求得横坐标，然后把横坐标的值代入解析式即可求得纵坐标． 详解】解：， 把代入得：． 则顶点的坐标是． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标的求解方法，可以利用配方法求解，也可以利用公式法求解． 3. 对于抛物线，下列结论正确是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线的图像和性质，熟练掌握抛物线的图像是解题的关键．根据抛物线的图像和性质依次进行判断即可． 【详解】解：， 故开口向下，选项A错误； 对称轴为直线，选项B错误； 顶点坐标为，选项C正确； 当时，随的增大而减小，选项D错误． 故选C． 4. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，根据二次函数的平移规律求解即可，熟练掌握二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”是解题的关键． 【详解】解：二次函数的图象平移后的函数为：． 故选：A 5. 某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式，直接利用二月的研发资金为：，故三月份新产品的研发资金为：，再求和即可，正确表示出三月份的研发资金是解题关键． 【详解】解：根据题意可得二月的研发资金为：，故三月份新产品的研发资金为：， 今年一季度新产品的研发资金， 故选：B． 6. 小颖用计算器探索方程的根，作出如图所示的函数的图象，并求得一个近似根，则方程的另一个近似根（精确到）为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用图像法求一元二次方程的近似根，二次函数的图像与性质，掌握二次函数的对称性和抛物线与轴的交点与一元二次方程的解的关系是解题的关键．根据一元二次方程的个近似根，得到抛物线与轴的一个交点，再根据抛物线的对称轴，求出另外一个交点，即可得到方程的另一个近似跟． 【详解】解：抛物线与轴的一个交点，且抛物线的对称轴为：， 抛物线与轴的另一个交点为， 则方程的另一个近似根为， 故选：D． 7. 已知的图像如图所示，根据图中提供的信息，可求得使成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根二次函数的图像，可知函数的对称轴为直线，二次函数与直线的两个交点横坐标，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，可得，的对称轴为直线，当时，， ∴时，，且中，， ∴当或时，， 故选：． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，图像法解不等式，掌握二次函数图像和性质，数形结合是解题的关键． 8. 当时，与的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系．根据题意，，即a、b同号，分与两种情况讨论，分析选项可得答案． 【详解】解：根据题意，、则a、b同号， 当时，则，抛物线开口向上，过原点、一次函数过一、二、三象限； 此时，没有选项符合， 当时，则，抛物线开口向下，过原点、一次函数过二、三、四象限； 此时，D选项符合， 故选：D． 9. 已知二次函数的图象与轴最多有一个公共点，若的最小值为3，则的值为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数与x轴交点问题，二次函数图象性质，二次函数的最值．根据二次函数的图象与轴最多有一个公共点，得，求得，再根据的最小值为3，分类讨论，求出t值即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴最多有一个公共点， ∴ 化简得 解得：， ∵， ∵，抛物线开口向上， 当时，∵，y随m增大而增大， ∴时y值最小，此时最小值为 ∵的最小值为3， ∴ 解得：； 当时， 当时，y有最小值 ∵的最小值为3， ∴ 此时t无解； 当时，∵，y随m增大而减小， ∴ ，y值最小，此时最小值为 ∵的最小值为3， ∴ 解得（舍去）； 综上，若的最小值为3，则． 故选：D． 10. 已知，，把，合起来的图形记为，在图像上，把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”，则上“整点”的个数是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简的解析式，再根据横、纵坐标都是整数的点称为“整点”即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵横、纵坐标都是整数的点称为“整点”， ∴当为整数，也为整数， ∴是整数， ∵， ∴符合条件的共有：（个）， ∵， ∴只要是整数，一定是整数， ∵， ∴符合条件的共有个， ∵上当时，，上当时，, ∴两点重合， ∴“整点”数为（个）， 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，根据函数的取值范围正确求出自变量的数量是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题） 11. 已知是二次函数，则m的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的概念，直接利用二次函数的概念进行求解即可．掌握形如的函数，是二次函数，是解题的关键． 【详解】解：∵是二次函数， ∴且， 解得． 故答案为：1． 12. 若点，，在抛物线上，则，，的大小关系为______（用“＞”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，利用对称性得点C关于对称轴的对称点D的坐标，这样A、B、D三点均在抛物线对称轴的左侧，由二次函数的性质即可判断，，的大小关系． 【详解】解：抛物线解析式为，则抛物线的对称轴为直线， 故点C关于对称轴的对称点D的坐标为， 而，且， 所以当时，函数值随自变量的增大而减小， 故， 故答案为：． 13. 如图，二次函数与一次函数为的图象相交于A，B两点，则不等式的解为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次函数与不等式（组），由图象可知，与图象的交点的横坐标为和3，当时，的图象在的图象的下方，即可得答案． 【详解】解：由图象可知，与图象的交点的横坐标为和3， ∵当时，的图象在的图象的下方， ∴不等式的解为：， 不等式的解为：． 故答案为：． 14. 函数，其中m是常数且，该函数的图象记为G． (1) 当时，图象G与x轴的交点坐标为 __________． (2)若直线与该函数图象G恰好只有两个交点，则m的取值为 __________． 【答案】 ①. ②. 3或##或3 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合应用． （1），从而两个解析式是已知的，令，解方程即可； （2）分，两种情况，画出草图，令与二次函数联列得方程组，求解即可． 【详解】解：（1）当时，对称轴为直线， 当时，对称轴为直线， 又当时，函数， 当时，令， ， 或（舍去）， 时，； 当时，令， ， ， ，无解， 与轴的交点坐标为， 故答案为：； （2）当时，图象大致如图1所示， 当经过顶点时，恰有2个交点， 当时，， ， 当时，， （舍去）， 当时，图象大致如图2所示， 当经过顶点时，恰有2个交点， 当时，， （舍去）， 当时，， ， 综上所述，取值为3或． 故答案为：3或． 三、解答题（共2小题） 15. 已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 0 ﹣1 0 m 8 … （1）m的值为 　 　； （2）求这个二次函数的解析式． 【答案】（1）3；（2） 【解析】 【分析】（1）观察表格可知当与当时的函数值相同，即可得到抛物线对称轴，然后根据对称性可直接得出m的值； （2）代入表格中前三组值，运用待定系数法求解即可． 【详解】解：（1）由表格得当与当 时的函数值相同， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴当时与时的函数值相同，即； 故答案为：3 （2）由题意得： ， ∴， ∴二次函数解析式为． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，利用二次函数的对称性求函数值，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法求二次函数解析式． 16. 已知关于x的二次函数． （1）求当时，y的最小值； （2）若点，在该二次函数的图象上，且，请直接写出q的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想是解题的关键． （）将解析式配成顶点式，根据函数的性质求解即可； （）先求出二次函数的对称轴为，再根据二次函数图象开口向上，利用函数图象上点离对称轴越近，函数值越小，反之越大，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，有最小值； 【小问2详解】 解：， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴二次函数图象开口向上； ∵点，在该二次函数的图象上，且， ∴点P到直线的距离小于点Q到直线的距离， ∴，即， 解得：或 ， ∴，的取值范围为或 ． 四、解答题（共2小题） 17. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中点，点都在抛物线上，M为抛物线的顶点． （1）求a，b的值； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等． （1）利用待定系数法求出解析式即可作答； （2）连接，，，过点M作垂足为N，则得到，，，，然后根据即可作答． 【小问1详解】 解：根据题意得，解得， ，； 【小问2详解】 解：连接，，，过点M作垂足为N， 由（1）知，， 对称轴为直线，，， ∴，，， 令， 解得：或， ， ， ． 18. 设二次函数，的图像的顶点坐标分别为，．若，，且开口方向相同，则称是的“反倍顶二次函数”． （1）请写出二次函数的“反倍顶二次函数”； （2）已知关于的二次函数和二次函数．若函数恰是的“反倍顶二次函数”，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据“反倍顶二次函数”的定义，求出顶点坐标即可解决问题； （2）根据“反倍顶二次函数”的定义，列出方程即可解决问题． 【小问1详解】 解：， 二次函数的顶点坐标为， 二次函数的一个“反倍顶二次函数”的顶点坐标为， 这个“反倍顶二次函数”的解析式为； 【小问2详解】 ，顶点坐标为， ，顶点坐标为， 函数恰好是的“反倍顶二次函数”， ， 解得． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握配方法确定顶点坐标是解题的基础，属于中考常考题型． 五、解答题 19. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，． （1）求该抛物线的表达式； （2）将抛物线沿轴的正方向平移个单位长度得到新抛物线，是新抛物线与轴的交点靠近轴，是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点，使得以为边，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）满足条件的点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，平行四边形的性质； （1）将点，代入抛物线表达式，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据二次函数平移的规律得出，进而求得点，设，，根据题意得出，即可求解． 【小问1详解】 解：将点，代入抛物线表达式， 得解得 该抛物线的表达式为． 【小问2详解】 ， 抛物线的对称轴为直线，平移后的抛物线表达式为， 把代入：得， 解得， ． 是原抛物线对称轴上一动点，点在新抛物线上， 设，． 当为平行四边形的一边时， 且． 由题可知． ． 即，解得或． 点的坐标为或． 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 六、解答题 20. 如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度米．如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米．下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到l的距离为d米． （1）求上边缘抛物线的函数表达式，并求喷出水的最大射程； （2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形位于上边缘抛物线和下边缘抛物线所夹区域内），求d的取值范围． 【答案】（1），6米 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可，再求出时，的值，由此即可得； （2）法一：根据对称性求出平移方式，再根据平移方式即可求出点的坐标；法二：先根据二次函数平移的特点求出下边缘的解析式，进而求出B的坐标即可； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过点，下边缘抛物线，计算即可． 小问1详解】 解：如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点，则设． 又∵抛物线经过点， ∴， ∴． ∴上边缘抛物线的函数解析式为． 当时，， ∴，（舍去）． ∴喷出水的最大射程为6米． 【小问2详解】 法一：∵上边缘抛物线对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴将点C向左平移得到点B的坐标为 法二：∵下边缘抛物线可以看做是上边缘抛物线向左平移t个单位长度得到的， ∴可设， 将点代入得，（舍去） ∴下边缘抛物线的关系式为， ∴当时，， 解得，（舍去）， ∴点B坐标为； 【小问3详解】 解：如图，先看上边缘抛物线， ∵， ∴点的纵坐标为． 当抛物线恰好经过点时，． 解得， ∵， ∴． 当时，随着的增大而减小， ∴当时，要使，则． ∵当时，随的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则． ∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带， ∴的最大值为． 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， ∴的最小值为2． 综上所述，的取值范围是． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题，构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安庆市外国语学校十月份阶段性检测 九年级数学 一、选择题（本大题共10小题） 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标为（　　） A. B. C. D. 3. 对于抛物线，下列结论正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 4. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A B. C. D. 5. 某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 6. 小颖用计算器探索方程的根，作出如图所示的函数的图象，并求得一个近似根，则方程的另一个近似根（精确到）为（ ） A. B. C. D. 7. 已知的图像如图所示，根据图中提供的信息，可求得使成立的的取值范围是（ ） A B. C. D. 或 8. 当时，与的图象大致是（　　） A B. C. D. 9. 已知二次函数的图象与轴最多有一个公共点，若的最小值为3，则的值为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 10. 已知，，把，合起来的图形记为，在图像上，把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”，则上“整点”的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题） 11. 已知是二次函数，则m的值为______． 12. 若点，，在抛物线上，则，，的大小关系为______（用“＞”连接）． 13. 如图，二次函数与一次函数为的图象相交于A，B两点，则不等式的解为______． 14. 函数，其中m是常数且，该函数的图象记为G． (1) 当时，图象G与x轴的交点坐标为 __________． (2)若直线与该函数图象G恰好只有两个交点，则m的取值为 __________． 三、解答题（共2小题） 15. 已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 0 ﹣1 0 m 8 … （1）m的值为 　 　； （2）求这个二次函数的解析式． 16. 已知关于x的二次函数． （1）求当时，y最小值； （2）若点，在该二次函数的图象上，且，请直接写出q的取值范围． 四、解答题（共2小题） 17. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中点，点都在抛物线上，M为抛物线的顶点． （1）求a，b的值； （2）求四边形的面积． 18. 设二次函数，的图像的顶点坐标分别为，．若，，且开口方向相同，则称是的“反倍顶二次函数”． （1）请写出二次函数的“反倍顶二次函数”； （2）已知关于的二次函数和二次函数．若函数恰是的“反倍顶二次函数”，求的值． 五、解答题 19 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，． （1）求该抛物线的表达式； （2）将抛物线沿轴的正方向平移个单位长度得到新抛物线，是新抛物线与轴的交点靠近轴，是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点，使得以为边，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点的坐标． 六、解答题 20. 如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度米．如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米．下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到l的距离为d米． （1）求上边缘抛物线的函数表达式，并求喷出水的最大射程； （2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形位于上边缘抛物线和下边缘抛物线所夹区域内），求d的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $