第二章《一元二次方程》 期中考点总结与练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

北师大版九上数学 · 考点讲义系列 北师大版新版数学 · 九年级上册 · 期中知识点及考点讲义系列 第二章 考点 6｜一元二次方程的实际应用——传播、增长率、握手比赛、销售定价 ——第 2 章〈一元二次方程〉考点 6—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考·增长率与传播·握手与比赛·连续降价·销售定价·面积方阵·检验取舍 知识点总结 → 考点分析 → 例题 6 · 变式 10 · 拔高 8 ★☆☆★★★ 阶梯递进 课前预习 / 课后精练 / 考前逐一过关 使用说明 本资料共 24 题，选自 2023—2026 年各级各类考试（期中、期末、月考、中考、统测等）的网络试卷原题，每题均在题干开头标注年份与出处；本考点为列方程解应用题，全卷题目均不依赖图形，题面数值与设问未作改动； 全卷按题型分层编排：选择题 8 道、填空题 8 道、解答题 8 道；例题组（2 选＋2 填＋2 解）、变式组（4 选＋3 填＋3 解）、拔高组（2 选＋3 填＋3 解），每组内部均按选择、填空、解答的顺序排列； 本考点是期中卷解答题的稳定板块：增长率、传播、握手比赛、销售定价四大模型反复出现，命题背景常换、方程结构不变——先识模型、再找等量关系，是本资料的训练主线； 每题按【答案】【解析】【详解】三段式编排，【详解】按学生卷面解题格式逐行分步书写，便于对照板书、模仿格式；其中变 10 第 (2) 问的官方参考答案未取得，详解已标注待教师复核； 填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，学生自测时可先遮住红色部分再核对； 建议用法：例题教师精讲、学生模仿方法；变式学生限时独立完成；拔高供学有余力者挑战，也可作考前第二轮素材； 本考点与考点速览考点 6 对齐（★☆~★★★），三条主线：一线增长率与传播——复利式 结构，正增长、负下降同型；二线握手与比赛——组合计数列方程，注意除以 2 与双循环的差别；三线销售定价与检验——先提价再降价的基数变换、利润不等式方案题、面积方阵问题，解出的根必须检验实际意义。 PART 01 本考点知识点总结（与考点速览考点 6 保持一致） 考点范围：一元二次方程的实际应用（增长率与降价率、传播、握手与比赛、分支、销售定价与利润、面积与方阵六大模型）、列方程三步（设——设未知数并带单位；列——数清间隔期数、找准基数与等量关系；解——选择合适解法求根）、解后检验（根要过符号关、整数关、范围关，不合实际意义的解必须舍去；方案型设问在不等式解集中取满足题意的整数）——与考点速览考点 6 一致。 一、增长率与传播问题——复利式模型 ◆ 增长率模型：基数为 a、平均增长率为 x，经过两期为 a——复利式：每期在上一期结果的基础上再增长。列方程先数清间隔期数：3 月到 5 月中间经过两个月，是两期、二次方。连续两次降价率相同的售价为 a——降率与增长率同型，底数换成 (1−x)。 ◆ 传播模型：一人患流感，每轮平均传染 x 人：一轮后共 1＋x 人，两轮后共 1＋x＋x(1＋x) 人，即 人。注意第三轮新增人数＝第二轮总人数×x，不是再乘一次 (1＋x)。 二、握手比赛与分支问题——计数模型 ◆ 握手与单循环：x 人两两握手，每人握 (x−1) 次，共 x(x−1) 次，其中每两人重复计了一次，故握手总次数为 x(x−1)；单循环赛制（每两队只赛一场）同理。双循环赛制（每两队赛两场）恰好不重复，总场数为 x(x−1)——除不除以 2，看每两人（队）计了一次还是两次。 ◆ 分支模型：主干 1 棵长出 x 支支干，每支支干又长出 x 支小分支，总数为 1＋x＋。层级计数逐层相加，别漏主干这一层。 三、降价与销售定价问题——售价模型 ◆ 连续降价与复合变化：原价 a 元连续两次降价率 r 后售价为 a；先提价再降价的复合问题要逐段换基数——如原价 500 元先提价 20% 得 600 元，再以降率 r 连降两次得 600，降价的新基数是提价后的售价，不是原价。 实际应用六大模型·列方程三步·检验取舍速记表 主线 核心内容 典型应用 易错点 增长率 基数为 a、率为 x，两期为 a 盈利、产量、游客的增长 间隔期数数错 传播 两轮后 1＋x＋x(1＋x) 即 人 流感、传染问题 第三轮新增算错 握手单循环 总次数 x(x−1) 握手、单循环赛场次 忘除以 2 双循环分支 双循环 x(x−1)；分支总数 1＋x＋ 主客场赛事、植物分支 双循环误除 2、漏主干 连续降价 a；先提价再降价先换基数 售价、礼盒降价求率 降价基数用错 利润方阵 利润＝售价−进价；方阵 x(x＋k)＝总数 利润方案、方队人数 忘检验、忘取整 ◆ 利润与方案：利润＝售价−进价。两类常见设问：求降价率——按售价列方程；求最少（最多）售出件数——设件数，按总利润列一元一次不等式，解出范围后取满足题意的整数值。 四、面积方阵与解后检验——取舍收尾 ◆ 方案型设问：求“至少售出多少件”“最少购进多少件”这类设问时，设件数为未知数，按总价（或总利润）的限制列一元一次不等式，解出未知数的范围后，取满足题意的整数值作答——不等号方向与取整方向都要对照题意复核。 ◆ 面积与方阵：矩形田地设宽为 x，用周长（长阔之和）把长表示出来（如长阔共 60 步则长为 60−x），面积＝长×宽列方程；方队、方阵设行数为 x，用行数表示每排人数（每排人数比排数多 11，则每排 x＋11 人），按总人数列方程。 ◆ 解后必检验：应用题的根要过三关——符号关（人数、件数、排数为正）、整数关（人为整数）、范围关（单价不低于下限等限制条件）。如阶梯定价题解得 x＝40 或 60，x＝60 时单价 200 元低于下限 280 元，舍去。检验作答是应用题最主要的失分点。 PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 · 注意事项 考点特点 一元二次方程的实际应用是期中卷解答题的稳定板块：增长率（降价率）、传播、握手比赛、销售定价、面积方阵等模型反复出现，命题背景常换（盈利、游客、流感、赛事、票价），方程结构不变——先识模型、再找等量关系列方程，是这一板块的得分主线； 复利式结构 a 是全考点的心脏：正增长、负下降同型，平均增长率问题两期为二次方，连续两次降价率相同问题底数换成 (1−x)——间隔期数数错（3 月到 5 月是两期不是三期）是列方程环节的第一错点； 握手与比赛是计数模型的代表：x 人两两握手共 x(x−1) 次（每两人重复计了一次）；双循环每两队赛两场恰好不重复，共 x(x−1) 场——变 6 与变 7 正是这一对对照题； 解后检验是区分度来源：应用题的根必须过符号关、整数关、范围关三关，不合实际意义的解必须舍去；方案型设问（至少售出多少件、最少购进多少件）要列一元一次不等式，解出范围后取满足题意的整数值——本考点与考点速览考点 6 对齐（★☆~★★★）。 答题方法（三步法） 第一步·设：审题找出增长的基数（原量）与率（增长或下降的百分数），设未知数并带单位——设率为 x 时列方程最直接； 第二步·列：数清间隔期数（从 3 月到 5 月经过两个月，是两期）、找准等量关系（末量＝基数×、握手总数、总利润等），列出方程； 第三步·解与检验：选择合适解法求根，把根代入实际意义检验——符号、整数、范围三关都过的根才作答；方案型问题改列一元一次不等式，取满足题意的整数后作答。 注意事项（易错警示） 间隔期数是第一错点：平均增长率问题的底数是 (1＋x)、指数是期数——3 月到 5 月是两期，用 ；连续两次降价率相同，底数是 (1−x)，别与只降一次混同； 除不除以 2 看重复计数：握手、单循环每两人（队）之间只计一次，要除以 2；双循环每两队赛两场，不除以 2——除错这一步，方程就列错； 先提价再降价要换基数：500 元提价 20% 得 600 元，再连续两次降价时新基数是 600 不是 500——逐段换基数，别把原价一路用到底； 解后必检验再作答：人数、件数、排数必须为正整数，单价、售价有下限限制——两根中常有一个不合实际意义，检验后舍去；忘检验、忘取整是应用题最主要的失分点。 期中常见考法速览 题型 考什么 常见设问 难度 增长率列方程 基数为 a、两期为 a 型 可列方程为、求平均增长率 ★☆ 传播问题 一轮 1＋x 人、两轮 人 每轮传染几人、第三轮多少人 ★★☆ 握手与比赛 单循环除以 2、双循环不除 共握手多少次、共赛多少场 ★★☆ 分支问题 总数 1＋x＋ 每个支干长出多少小分支 ★★☆ 连续降价 a 型、复合先换基数 求每次降价的百分率 ★★☆ 销售与方阵 利润不等式方案、x(x＋k) 型 至少售出多少件、方队排数 ★★★ 命题边界：本考点考一元二次方程的实际应用（增长率与降价率、传播、握手与比赛、分支、销售定价与利润方案、面积与方阵六大模型，含解后检验与方案取舍）；素材选自 2023—2026 年各级各类考试的网络试卷原题，题干均已标注年份与出处；题面数值与设问未作改动，全卷题目均不依赖图形；解题工具均为一元二次方程及之前所学内容（列方程、解方程、一元一次不等式），未使用二次函数、相似、三角比等后续内容，属期中必考范围。 PART 03 例题精讲（6 题） 例题覆盖：书店盈利判断方程正误（选择）→ 景区游客两年平均增长率（选择）→ 工业园区岗位数列方程（填空·嵌空）→ 连续两次降价求百分率（填空·嵌空）→ 水稻亩产两问增长率（解答）→ 流感两轮传染两问（解答）。变式覆盖：超市盈利增长率开方速算（选择）→ 植物分支总数（选择）→ 充电桩增长认准两期（选择）→ 流感传染求率（选择）→ 盈利增长率（填空·嵌空）→ 足球双循环列方程（填空·嵌空）→ 会议握手人数（填空·嵌空）→ 年会握手人数（解答）→ 景区游客与日均上限（解答）→ 商品降价与利润方案（解答）。拔高覆盖：一季度总量方程（选择）→ 杨辉直田列方程（选择）→ 女兵方队排数（填空·嵌空）→ 先提价再连续降价（填空·嵌空）→ 微信红包计数（填空·嵌空）→ 进价降率与购货方案（解答）→ 聚会握手与多边形对角线（解答·嵌空）→ 大剧院阶梯票价检验（解答）。 例题组方法提要（先读再做） ◆ 例 1 教判断方程正误：盈利从 6000 元到 6200 元，基数是 6000、间隔两期为 ——对照四个选项的底数与指数，、(1＋2x)、 都是常见干扰项； ◆ 例 2 教两年平均增长率：25＝36，两边开方得 1＋x＝，增长率 20%——两期总量之比开方即得 (1＋x)，不必展开解二次方程； ◆ 例 3 教岗位数列方程（填空·嵌空）：1501 到 1815 经过七月、八月两期，列 1501＝1815——本题只列不解，认准两期是关键； ◆ 例 4 教连续两次降价：200 元连续两次降价 m% 后为 162 元，列 200＝162，开方得 1−m%＝0.9，m＝10——降率与增长率同型，底数换成 (1−m%)； ◆ 例 5 教两问增长率（解答）：第 (1) 问 700＝1008，开方得 1＋x＝1.2，增长率 20%；第 (2) 问按同一增长率再乘一期得 1008×1.2，与目标值比较大小即可作答； ◆ 例 6 教传播两问（解答）：一轮后共 1＋x 人，两轮后共 人，列方程解出 x；第 (2) 问第三轮新增＝第二轮总人数×x，不是再乘一次 (1＋x)。 例 1　选择题 （2025·云南·中考）某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元．设该书店每月盈利的平均增长率为x，下列方程正确的是（　　） A．6000＝6200　　B．6000＝6200 C．6000(1＋2x)＝6200　　D．6000＝6200 例 2　选择题 （2025·重庆·中考）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（　　） A．10%　　B．20%　　C．22%　　D．44% 例 3　填空题（嵌空） （26-27·广西月考）近年来国家有关部门出台一系列新政策鼓励消费者购买新能源汽车，新能源汽车销量连续增长．某新能源汽车今年3月份销售量为1万台，5月份销售量为1.21万台，则该新能源汽车月平均增长率为________。 例 4　填空题（嵌空） （26-27·浙江开学）一件原价为100元的衣服经过两次降价后的价格为81元，若设每次降价的百分率都是x，则可列方程为________． 例 5　解答题 （2025·吉林·期末）“杂交水稻之父”袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700千克的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008千克的目标。 (1)求第一阶段到第三阶段水稻亩产量的平均增长率； (2)按照(1)中亩产量的平均增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200千克，请通过计算说明他们的目标能否实现。 例 6　解答题 （2025·湖北襄阳·中考）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感。 (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ PART 04 变式练习（10 题） 与例题同考点、同方法，换数字换情境，供学生独立限时完成；填空题答案已嵌在空格中，建议先遮住答案自测 变式组训练要点 ◆ 变 1—变 4 练选择四型：变 1 盈利增长率 ＝1.21 开方速算；变 2 植物分支总数 1＋x＋ 列方程分解；变 3 充电桩增长认准两期；变 4 流感传染 ＝121 开方速算； ◆ 变 5—变 7 练填空三型（横线红色答案自测）：变 5 盈利增长率 5000＝7200 开方；变 6 足球双循环 x(x−1)＝110——每两队赛两场不除以 2；变 7 握手 x(x−1)＝55 化为 x(x−1)＝110 再分解； ◆ 变 6 与变 7 是一对对照题：同一个方程 x(x−1)＝110，双循环直接列、握手先除以 2——除不除以 2，看每两人（队）计了一次还是两次，这正是计数模型的命门； ◆ 变 8 练握手解答规范：x(x−1)＝36 化为 −x−72＝0，分解得 (x−9)(x＋8)＝0，负根舍去——检验一步必须写进卷面； ◆ 变 9 练增长与不等式综合：第 (1) 问 1.6＝2.5 开方得 25%；第 (2) 问按增长率算出 5 月总量上限，已接待人数＋后 10 天总量不超过它，列一元一次不等式求日均上限； ◆ 变 10 练降价与利润方案（压轴·解答）：第 (1) 问 60＝48.6 开方得 10%；第 (2) 问按两种售价分别算每件利润、列一元一次不等式，解出范围后取满足题意的最小整数。 变式 1　选择题 （2025·江苏南通·中考）李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是（　　） A．10.5%　　B．10%　　C．20%　　D．21% 变式 2　选择题 （2025·广东河源龙川县·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为57，设每个支干长出x个小分支，则x的值为（　　） A．6　　B．7　　C．8　　D．9 变式 3　选择题 （2025·山东滨州·中考）某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个．设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，则可列方程为（　　） A．10(1＋2x)＝16.9　　B．10＝16.9 C．10(1＋)＝16.9　　D．10(1＋x)＝16.9 变式 4　选择题 （2025·广东汕头濠江区·月考）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了（　　）个人。 A．12　　B．11　　C．10　　D．9 变式 5　填空题（嵌空） （2025·黑龙江牡丹江·中考）张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是________。 变式 6　填空题（嵌空） （2025·广东深圳·期中）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，列出的方程是________。 变式 7　填空题（嵌空） （2025·广东茂名·期中）参加会议的人两两彼此握手，一共握了55次手，那么一共有________人参加会议。 变式 8　解答题 （2024-2025·河南驻马店·期末）在一次公司年会上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，一共握了36次手．求这次会议到会的人数。 变式 9　解答题 （26-27·安徽月考）为庆祝的华诞，长沙市橘子洲举行了大型的音乐焰火晚会．据悉，当天下午3点钟的时候，橘子洲周边游客人数为2500人，下午5点钟时，游客人数达到了3600人． （1）若3点至5点橘子洲每小时游客人数的平均增长率相同，求这个平均增长率； （2）若橘子洲每小时游客人数的平均增长率保持不变，预计7点时，橘子洲游客人数有没有超过5000人？请用计算进行说明． 变式 10　解答题 （26-27·四川月考）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． （1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． （2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250 PART 05 拔高巩固（8 题） 一元二次方程的实际应用——传播、增长率、握手比赛、销售定价 拔高组闯关要点 ◆ 拔 1 练一季度总量方程：一月份 560 吨单独一期、二三月按增长率增长——总量＝560＋560(1＋x)＋560，三项相加，别只列最后一项； ◆ 拔 2 练杨辉直田：长阔共 60 步、积 864 平方步，设宽为 x 则长为 60−x，列 x(60−x)＝864——古人算题，方程工具完全一致； ◆ 拔 3—拔 5 练填空三关（横线红色答案自测）：拔 3 方队总人数先减领队得 350，列 x(x＋11)＝350 分解取正根；拔 4 先提价再降价，新基数 500×(1＋20%)＝600，再列 600＝486；拔 5 红包计数 x(x−1)＝72——每人给其他成员都发、恰好不重复，不除以 2； ◆ 拔 6 练降率与购货方案：第 (1) 问 125＝80 开方得 20%；第 (2) 问甲进价逐年降 25 元算出 2024 年 75 元，按总价不超过 7800 元列不等式，解出最少件数； ◆ 拔 7 练握手与对角线（解答·嵌空）：第 (1) 问 x(x−1)＝45 解出 10 人；第 (2) 问从 n 边形一个顶点可引 (n−3) 条对角线、每条计两次，列 n(n−3)＝27 分解取正根——九边形恰有 27 条对角线； ◆ 拔 8 练阶梯定价检验（压轴）：单价＝500−5x，列 x(500−5x)＝12000 分解得 40 或 60；x＝60 时单价 200 元低于下限 280 元，舍去——检验取舍正是应用题压轴的最后一关。 拔高 1　选择题 （2025·四川凉山州·中考）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（　　） A．560＋560(1＋x)＋560＝1860 B．560＝1860　　C．560(1＋2x)＝1860 D．560(1＋x)＋560＝1860 拔高 2　选择题 （2025·辽宁·中考）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步。设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为（　　） A．x(60−x)＝864　　B．x(x−60)＝864 C．x(60＋x)＝864　　D．2[x＋(x＋60)]＝864 拔高 3　填空题（嵌空） （2025·河北邯郸·期末）建国70周年阅兵式中，三军女兵方队共352人，其中领队2人，方队中，每排的人数比排数多11，则女兵方队共有________排。 拔高 4　填空题（嵌空） （2025·四川绵阳·中考）超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元．因销量持续攀升，商家在3月份提价20%，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4、5月份按照相同的降价率r连续降价．已知5月份礼盒的售价为486元，则r＝________（每次降价的百分率）。 拔高 5　填空题（嵌空） （2025·广东东莞·期末）在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了72个红包，那么这个微信群共有________人。 拔高 6　解答题 （2025·四川泸州·中考）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元。 (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品。 拔高 7　解答题（嵌空） （2025-2026·湖北咸宁·期末）某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有x人。 (1)填空：根据题意，可列方程：________； (2)我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，多边形的对角线可以有27条吗？ 拔高 8　解答题 （2025·陕西西安·期末）某大剧院举办文艺演出，收费标准：购票人数不超过30人，350元/人；超过30人，每增加1人，每张票的单价减少5元，但单价不低于280元。某公司组织一批员工去大剧院观看此场演出，共支付12000元的购票费用，求观看演出的员工人数。 附录 过关自查表（学生逐题归因，教师复核用） 题号 考点细目 若错，写出错因 订正完成 例 1 增长率列方程 例 2 平均增长率 例 3 增长率列方程 例 4 连续降价求率 例 5 增产两问 例 6 传播两问 变式 1 平均增长率 变式 2 分支总数 变式 3 增长率列方程 变式 4 传播求率 变式 5 平均增长率 变式 6 双循环列方程 变式 7 握手问题 变式 8 握手问题 变式 9 增长与不等式 变式 10 降价与利润方案 拔高 1 一季度总量方程 拔高 2 杨辉直田列方程 拔高 3 方队排数 拔高 4 先提价再降价 拔高 5 红包计数 拔高 6 降率与购货方案 拔高 7 握手与对角线 拔高 8 阶梯定价检验 使用建议：订正后让学生在订正完成栏打勾，并保留本表至考前——期中前只重做打不了勾的题。本考点口诀：先识模型、再找等量关系，列出方程解后必检验；“两期”用二次方、“握手”除以 2、“双循环”不除；两根中不合实际意义的必须舍去。填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，自测时先遮住再核对。 1 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版九上数学 · 考点讲义系列 北师大版新版数学 · 九年级上册 · 期中知识点及考点讲义系列 第二章 考点 6｜一元二次方程的实际应用——传播、增长率、握手比赛、销售定价 ——第 2 章〈一元二次方程〉考点 6—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考·增长率与传播·握手与比赛·连续降价·销售定价·面积方阵·检验取舍 知识点总结 → 考点分析 → 例题 6 · 变式 10 · 拔高 8 ★☆☆★★★ 阶梯递进 课前预习 / 课后精练 / 考前逐一过关 使用说明 本资料共 24 题，选自 2023—2026 年各级各类考试（期中、期末、月考、中考、统测等）的网络试卷原题，每题均在题干开头标注年份与出处；本考点为列方程解应用题，全卷题目均不依赖图形，题面数值与设问未作改动； 全卷按题型分层编排：选择题 8 道、填空题 8 道、解答题 8 道；例题组（2 选＋2 填＋2 解）、变式组（4 选＋3 填＋3 解）、拔高组（2 选＋3 填＋3 解），每组内部均按选择、填空、解答的顺序排列； 本考点是期中卷解答题的稳定板块：增长率、传播、握手比赛、销售定价四大模型反复出现，命题背景常换、方程结构不变——先识模型、再找等量关系，是本资料的训练主线； 每题按【答案】【解析】【详解】三段式编排，【详解】按学生卷面解题格式逐行分步书写，便于对照板书、模仿格式；其中变 10 第 (2) 问的官方参考答案未取得，详解已标注待教师复核； 填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，学生自测时可先遮住红色部分再核对； 建议用法：例题教师精讲、学生模仿方法；变式学生限时独立完成；拔高供学有余力者挑战，也可作考前第二轮素材； 本考点与考点速览考点 6 对齐（★☆~★★★），三条主线：一线增长率与传播——复利式 结构，正增长、负下降同型；二线握手与比赛——组合计数列方程，注意除以 2 与双循环的差别；三线销售定价与检验——先提价再降价的基数变换、利润不等式方案题、面积方阵问题，解出的根必须检验实际意义。 PART 01 本考点知识点总结（与考点速览考点 6 保持一致） 考点范围：一元二次方程的实际应用（增长率与降价率、传播、握手与比赛、分支、销售定价与利润、面积与方阵六大模型）、列方程三步（设——设未知数并带单位；列——数清间隔期数、找准基数与等量关系；解——选择合适解法求根）、解后检验（根要过符号关、整数关、范围关，不合实际意义的解必须舍去；方案型设问在不等式解集中取满足题意的整数）——与考点速览考点 6 一致。 一、增长率与传播问题——复利式模型 ◆ 增长率模型：基数为 a、平均增长率为 x，经过两期为 a——复利式：每期在上一期结果的基础上再增长。列方程先数清间隔期数：3 月到 5 月中间经过两个月，是两期、二次方。连续两次降价率相同的售价为 a——降率与增长率同型，底数换成 (1−x)。 ◆ 传播模型：一人患流感，每轮平均传染 x 人：一轮后共 1＋x 人，两轮后共 1＋x＋x(1＋x) 人，即 人。注意第三轮新增人数＝第二轮总人数×x，不是再乘一次 (1＋x)。 二、握手比赛与分支问题——计数模型 ◆ 握手与单循环：x 人两两握手，每人握 (x−1) 次，共 x(x−1) 次，其中每两人重复计了一次，故握手总次数为 x(x−1)；单循环赛制（每两队只赛一场）同理。双循环赛制（每两队赛两场）恰好不重复，总场数为 x(x−1)——除不除以 2，看每两人（队）计了一次还是两次。 ◆ 分支模型：主干 1 棵长出 x 支支干，每支支干又长出 x 支小分支，总数为 1＋x＋。层级计数逐层相加，别漏主干这一层。 三、降价与销售定价问题——售价模型 ◆ 连续降价与复合变化：原价 a 元连续两次降价率 r 后售价为 a；先提价再降价的复合问题要逐段换基数——如原价 500 元先提价 20% 得 600 元，再以降率 r 连降两次得 600，降价的新基数是提价后的售价，不是原价。 实际应用六大模型·列方程三步·检验取舍速记表 主线 核心内容 典型应用 易错点 增长率 基数为 a、率为 x，两期为 a 盈利、产量、游客的增长 间隔期数数错 传播 两轮后 1＋x＋x(1＋x) 即 人 流感、传染问题 第三轮新增算错 握手单循环 总次数 x(x−1) 握手、单循环赛场次 忘除以 2 双循环分支 双循环 x(x−1)；分支总数 1＋x＋ 主客场赛事、植物分支 双循环误除 2、漏主干 连续降价 a；先提价再降价先换基数 售价、礼盒降价求率 降价基数用错 利润方阵 利润＝售价−进价；方阵 x(x＋k)＝总数 利润方案、方队人数 忘检验、忘取整 ◆ 利润与方案：利润＝售价−进价。两类常见设问：求降价率——按售价列方程；求最少（最多）售出件数——设件数，按总利润列一元一次不等式，解出范围后取满足题意的整数值。 四、面积方阵与解后检验——取舍收尾 ◆ 方案型设问：求“至少售出多少件”“最少购进多少件”这类设问时，设件数为未知数，按总价（或总利润）的限制列一元一次不等式，解出未知数的范围后，取满足题意的整数值作答——不等号方向与取整方向都要对照题意复核。 ◆ 面积与方阵：矩形田地设宽为 x，用周长（长阔之和）把长表示出来（如长阔共 60 步则长为 60−x），面积＝长×宽列方程；方队、方阵设行数为 x，用行数表示每排人数（每排人数比排数多 11，则每排 x＋11 人），按总人数列方程。 ◆ 解后必检验：应用题的根要过三关——符号关（人数、件数、排数为正）、整数关（人为整数）、范围关（单价不低于下限等限制条件）。如阶梯定价题解得 x＝40 或 60，x＝60 时单价 200 元低于下限 280 元，舍去。检验作答是应用题最主要的失分点。 PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 · 注意事项 考点特点 一元二次方程的实际应用是期中卷解答题的稳定板块：增长率（降价率）、传播、握手比赛、销售定价、面积方阵等模型反复出现，命题背景常换（盈利、游客、流感、赛事、票价），方程结构不变——先识模型、再找等量关系列方程，是这一板块的得分主线； 复利式结构 a 是全考点的心脏：正增长、负下降同型，平均增长率问题两期为二次方，连续两次降价率相同问题底数换成 (1−x)——间隔期数数错（3 月到 5 月是两期不是三期）是列方程环节的第一错点； 握手与比赛是计数模型的代表：x 人两两握手共 x(x−1) 次（每两人重复计了一次）；双循环每两队赛两场恰好不重复，共 x(x−1) 场——变 6 与变 7 正是这一对对照题； 解后检验是区分度来源：应用题的根必须过符号关、整数关、范围关三关，不合实际意义的解必须舍去；方案型设问（至少售出多少件、最少购进多少件）要列一元一次不等式，解出范围后取满足题意的整数值——本考点与考点速览考点 6 对齐（★☆~★★★）。 答题方法（三步法） 第一步·设：审题找出增长的基数（原量）与率（增长或下降的百分数），设未知数并带单位——设率为 x 时列方程最直接； 第二步·列：数清间隔期数（从 3 月到 5 月经过两个月，是两期）、找准等量关系（末量＝基数×、握手总数、总利润等），列出方程； 第三步·解与检验：选择合适解法求根，把根代入实际意义检验——符号、整数、范围三关都过的根才作答；方案型问题改列一元一次不等式，取满足题意的整数后作答。 注意事项（易错警示） 间隔期数是第一错点：平均增长率问题的底数是 (1＋x)、指数是期数——3 月到 5 月是两期，用 ；连续两次降价率相同，底数是 (1−x)，别与只降一次混同； 除不除以 2 看重复计数：握手、单循环每两人（队）之间只计一次，要除以 2；双循环每两队赛两场，不除以 2——除错这一步，方程就列错； 先提价再降价要换基数：500 元提价 20% 得 600 元，再连续两次降价时新基数是 600 不是 500——逐段换基数，别把原价一路用到底； 解后必检验再作答：人数、件数、排数必须为正整数，单价、售价有下限限制——两根中常有一个不合实际意义，检验后舍去；忘检验、忘取整是应用题最主要的失分点。 期中常见考法速览 题型 考什么 常见设问 难度 增长率列方程 基数为 a、两期为 a 型 可列方程为、求平均增长率 ★☆ 传播问题 一轮 1＋x 人、两轮 人 每轮传染几人、第三轮多少人 ★★☆ 握手与比赛 单循环除以 2、双循环不除 共握手多少次、共赛多少场 ★★☆ 分支问题 总数 1＋x＋ 每个支干长出多少小分支 ★★☆ 连续降价 a 型、复合先换基数 求每次降价的百分率 ★★☆ 销售与方阵 利润不等式方案、x(x＋k) 型 至少售出多少件、方队排数 ★★★ 命题边界：本考点考一元二次方程的实际应用（增长率与降价率、传播、握手与比赛、分支、销售定价与利润方案、面积与方阵六大模型，含解后检验与方案取舍）；素材选自 2023—2026 年各级各类考试的网络试卷原题，题干均已标注年份与出处；题面数值与设问未作改动，全卷题目均不依赖图形；解题工具均为一元二次方程及之前所学内容（列方程、解方程、一元一次不等式），未使用二次函数、相似、三角比等后续内容，属期中必考范围。 PART 03 例题精讲（6 题） 例题覆盖：书店盈利判断方程正误（选择）→ 景区游客两年平均增长率（选择）→ 工业园区岗位数列方程（填空·嵌空）→ 连续两次降价求百分率（填空·嵌空）→ 水稻亩产两问增长率（解答）→ 流感两轮传染两问（解答）。变式覆盖：超市盈利增长率开方速算（选择）→ 植物分支总数（选择）→ 充电桩增长认准两期（选择）→ 流感传染求率（选择）→ 盈利增长率（填空·嵌空）→ 足球双循环列方程（填空·嵌空）→ 会议握手人数（填空·嵌空）→ 年会握手人数（解答）→ 景区游客与日均上限（解答）→ 商品降价与利润方案（解答）。拔高覆盖：一季度总量方程（选择）→ 杨辉直田列方程（选择）→ 女兵方队排数（填空·嵌空）→ 先提价再连续降价（填空·嵌空）→ 微信红包计数（填空·嵌空）→ 进价降率与购货方案（解答）→ 聚会握手与多边形对角线（解答·嵌空）→ 大剧院阶梯票价检验（解答）。 例题组方法提要（先读再做） ◆ 例 1 教判断方程正误：盈利从 6000 元到 6200 元，基数是 6000、间隔两期为 ——对照四个选项的底数与指数，、(1＋2x)、 都是常见干扰项； ◆ 例 2 教两年平均增长率：25＝36，两边开方得 1＋x＝，增长率 20%——两期总量之比开方即得 (1＋x)，不必展开解二次方程； ◆ 例 3 教岗位数列方程（填空·嵌空）：1501 到 1815 经过七月、八月两期，列 1501＝1815——本题只列不解，认准两期是关键； ◆ 例 4 教连续两次降价：200 元连续两次降价 m% 后为 162 元，列 200＝162，开方得 1−m%＝0.9，m＝10——降率与增长率同型，底数换成 (1−m%)； ◆ 例 5 教两问增长率（解答）：第 (1) 问 700＝1008，开方得 1＋x＝1.2，增长率 20%；第 (2) 问按同一增长率再乘一期得 1008×1.2，与目标值比较大小即可作答； ◆ 例 6 教传播两问（解答）：一轮后共 1＋x 人，两轮后共 人，列方程解出 x；第 (2) 问第三轮新增＝第二轮总人数×x，不是再乘一次 (1＋x)。 例 1　选择题 （2025·云南·中考）某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元．设该书店每月盈利的平均增长率为x，下列方程正确的是（　　） A．6000＝6200　　B．6000＝6200 C．6000(1＋2x)＝6200　　D．6000＝6200 【答案】A 【解析】盈利从 6000 元增到 6200 元，基数是 6000；3 月到 5 月中间经过两个月，是两期，用二次方。下降才用 (1−x)，两期不是 (1＋2x)。 【详解】 ∵3 月到 5 月中间经过两个月，且每月盈利的平均增长率相同， ∴5 月份盈利为 6000 元。 由 5 月份盈利 6200 元，可列方程 6000＝6200。 故选 A。 例 2　选择题 （2025·重庆·中考）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（　　） A．10%　　B．20%　　C．22%　　D．44% 【答案】B 【解析】两年两期，列 25＝36。两边开方得 1＋x＝——总量之比开方即得 (1＋x)，不必展开解二次方程。 【详解】 设年平均增长率为 x。 由题意：25＝36， ∴＝。 ∵1＋x＞0， ∴1＋x＝，解得 x＝0.2＝20%。 故选 B。 例 3　填空题（嵌空） （26-27·广西月考）近年来国家有关部门出台一系列新政策鼓励消费者购买新能源汽车，新能源汽车销量连续增长．某新能源汽车今年3月份销售量为1万台，5月份销售量为1.21万台，则该新能源汽车月平均增长率为___10％_____． 【答案】 10％ 【解析】 设月平均增长率为x，根据3月份和5月份的销售量列出一元二次方程，舍去不符合题意的负根后即可得到结果. 【解答】 解：设该新能源汽车月平均增长率为x. 根据题意列方程得： , 解得： ， , 因为增长率不能为负， 不合题意，舍去. ∴ 该新能源汽车月平均增长率为10%. 例 4　填空题（嵌空） （26-27·浙江开学）一件原价为100元的衣服经过两次降价后的价格为81元，若设每次降价的百分率都是x，则可列方程为________． 【答案】 【解析】 第一次降价后的价格为：100（1-x）元； 第二次降价后的价格为：100（1-x）（1-x）元。 【解答】 解：设每次降价的百分率都是x，由题意可列方程为. 例 5　解答题 （2025·吉林·期末）“杂交水稻之父”袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700千克的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008千克的目标。 (1)求第一阶段到第三阶段水稻亩产量的平均增长率； (2)按照(1)中亩产量的平均增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200千克，请通过计算说明他们的目标能否实现。 【答案】(1) 20%；(2) 能实现。 【解析】第一阶段到第三阶段经过两期，列 700＝1008，开方即得；第 (2) 问按同一增长率再乘一期，与 1200 千克比较大小作答。 【详解】 (1) 设第一阶段到第三阶段亩产量的平均增长率为 x。 由题意：700＝1008， ∴＝1.44。 ∵1＋x＞0， ∴1＋x＝1.2，解得 x＝0.2＝20%。 (2) 按平均增长率 20%，第四阶段亩产量为 1008×(1＋20%)＝1008×1.2＝1209.6（千克）。 ∵1209.6＞1200， ∴他们的目标能实现。 例 6　解答题 （2025·湖北襄阳·中考）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感。 (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 【答案】(1) 7 个人；(2) 448 人。 【解析】一轮后 1＋x 人，两轮后 (1＋x)＋x(1＋x)＝ 人；第 (2) 问第三轮新增＝第二轮总人数×x，不是再乘一次 (1＋x)。 【详解】 (1) 设每轮传染中平均一个人传染 x 个人。 一轮后患流感的人数为 1＋x， 两轮后总人数为 (1＋x)＋x(1＋x)＝。 由题意：＝64。 ∵1＋x＞0， ∴1＋x＝8，解得 x＝7。 答：每轮传染中平均一个人传染 7 个人。 (2) 第三轮新增人数＝第二轮总人数×7， 即 64×7＝448（人）。 答：第三轮将又有 448 人被传染。 PART 04 变式练习（10 题） 与例题同考点、同方法，换数字换情境，供学生独立限时完成；填空题答案已嵌在空格中，建议先遮住答案自测 变式组训练要点 ◆ 变 1—变 4 练选择四型：变 1 盈利增长率 ＝1.21 开方速算；变 2 植物分支总数 1＋x＋ 列方程分解；变 3 充电桩增长认准两期；变 4 流感传染 ＝121 开方速算； ◆ 变 5—变 7 练填空三型（横线红色答案自测）：变 5 盈利增长率 5000＝7200 开方；变 6 足球双循环 x(x−1)＝110——每两队赛两场不除以 2；变 7 握手 x(x−1)＝55 化为 x(x−1)＝110 再分解； ◆ 变 6 与变 7 是一对对照题：同一个方程 x(x−1)＝110，双循环直接列、握手先除以 2——除不除以 2，看每两人（队）计了一次还是两次，这正是计数模型的命门； ◆ 变 8 练握手解答规范：x(x−1)＝36 化为 −x−72＝0，分解得 (x−9)(x＋8)＝0，负根舍去——检验一步必须写进卷面； ◆ 变 9 练增长与不等式综合：第 (1) 问 1.6＝2.5 开方得 25%；第 (2) 问按增长率算出 5 月总量上限，已接待人数＋后 10 天总量不超过它，列一元一次不等式求日均上限； ◆ 变 10 练降价与利润方案（压轴·解答）：第 (1) 问 60＝48.6 开方得 10%；第 (2) 问按两种售价分别算每件利润、列一元一次不等式，解出范围后取满足题意的最小整数。 变式 1　选择题 （2025·江苏南通·中考）李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是（　　） A．10.5%　　B．10%　　C．20%　　D．21% 【答案】B 【解析】1 月到 3 月经过两期，列 3000＝3630；＝1.21，开方得 1＋x＝1.1。 【详解】 设每月盈利的平均增长率为 x。 由题意：3000＝3630， ∴＝1.21。 ∵1＋x＞0， ∴1＋x＝1.1，解得 x＝0.1＝10%。 故选 B。 变式 2　选择题 （2025·广东河源龙川县·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为57，设每个支干长出x个小分支，则x的值为（　　） A．6　　B．7　　C．8　　D．9 【答案】B 【解析】主干 1 棵、支干 x 棵、小分支 x×x 棵，总数 1＋x＋＝57；分解得 (x＋8)(x−7)＝0，取正根。 【详解】 ∵每个支干长出 x 个小分支，支干共有 x 棵，小分支共 x×x 棵。 由题意：1＋x＋＝57， 整理得 ＋x−56＝0， 分解得 (x＋8)(x−7)＝0， 解得 x＝−8 或 x＝7。 ∵x 为正整数， ∴x＝7。 故选 B。 变式 3　选择题 （2025·山东滨州·中考）某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个．设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，则可列方程为（　　） A．10(1＋2x)＝16.9　　B．10＝16.9 C．10(1＋)＝16.9　　D．10(1＋x)＝16.9 【答案】B 【解析】2023 年初到 2025 年初经过两年，年平均增长率相同——两期用 ；(1＋2x)、(1＋x) 都是间隔期数数错后的干扰项。 【详解】 2023 年初到 2025 年初，中间经过两年。 ∵年平均增长率相同， ∴2025 年初数量为 10 万个。 由题意可列方程 10＝16.9。 故选 B。 变式 4　选择题 （2024-2025·广东汕头濠江区·月考）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了（　　）个人。 A．12　　B．11　　C．10　　D．9 【答案】C 【解析】两轮后总人数为 ，列 ＝121，开方得 1＋x＝11。 【详解】 设每轮传染中平均一个人传染 x 个人。 一轮后共 (1＋x) 人，两轮后共 人。 由题意：＝121。 ∵1＋x＞0， ∴1＋x＝11，解得 x＝10。 故选 C。 变式 5　填空题（嵌空） （2025·黑龙江牡丹江·中考）张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是____20%____。 【答案】20% 【解析】3 月到 5 月经过两期，列 5000＝7200；＝1.44，开方得 1＋x＝1.2。 【详解】 设每月盈利的平均增长率为 x。 3 月份到 5 月份中间经过两个月。 由题意：5000＝7200， ∴＝1.44。 ∵1＋x＞0， ∴1＋x＝1.2，解得 x＝0.2＝20%。 变式 6　填空题（嵌空） （2025·广东深圳·期中）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，列出的方程是____x(x−1)＝110____。 【答案】x(x−1)＝110 【解析】每两支球队之间都赛两场——双循环，每两队恰好计两次、不重复，总场数为 x(x−1)，不除以 2。 【详解】 设有 x 支球队参加比赛。 每两支球队之间进行两场比赛，恰好不重复计数： x 支球队共有 x(x−1) 个球队对，每对赛 2 场， ∴总场数为 x(x−1)×2＝x(x−1)。 由共要比赛 110 场，可列方程 x(x−1)＝110。 变式 7　填空题（嵌空） （2025·广东茂名·期中）参加会议的人两两彼此握手，一共握了55次手，那么一共有____11____人参加会议。 【答案】11 【解析】握手每两人重复计了一次，总次数为 x(x−1)；两边乘 2 化为 x(x−1)＝110，分解取正根。 【详解】 设有 x 人参加会议。 每人握 (x−1) 次，共 x(x−1) 次，每两人重复计了一次， ∴握手总次数为 x(x−1)。 由题意：x(x−1)＝55， 两边乘 2，得 x(x−1)＝110， 整理得 −x−110＝0， 分解得 (x−11)(x＋10)＝0， 解得 x＝11 或 x＝−10。 ∵人数为正整数， ∴x＝11。 变式 8　解答题 （2024-2025·河南驻马店·期末）在一次公司年会上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，一共握了36次手．求这次会议到会的人数。 【答案】9 人。 【解析】握手总数＝x(x−1)：先两边乘 2 化为整系数方程，再分解因式，负根舍去。 【详解】 设这次会议到会 x 人。 每人握 (x−1) 次，共 x(x−1) 次，每两人重复计了一次， ∴握手总次数为 x(x−1)。 由题意：x(x−1)＝36， 两边乘 2，得 x(x−1)＝72， 整理得 −x−72＝0， 分解得 (x−9)(x＋8)＝0， 解得 x＝9 或 x＝−8。 ∵人数为正整数， ∴x＝9。 答：这次会议到会 9 人。 变式 9　解答题 （26-27·安徽月考）为庆祝的华诞，长沙市橘子洲举行了大型的音乐焰火晚会．据悉，当天下午3点钟的时候，橘子洲周边游客人数为2500人，下午5点钟时，游客人数达到了3600人． （1）若3点至5点橘子洲每小时游客人数的平均增长率相同，求这个平均增长率； （2）若橘子洲每小时游客人数的平均增长率保持不变，预计7点时，橘子洲游客人数有没有超过5000人？请用计算进行说明． 【答案】 20% 依题意：. 游客人数会超过5000人. 答：游客人数会超过5000人. 【解析】 （1）设这两个小时参观人数的平均增长率为x，根据题意列出等式解出即可； （2）利用（1）中求出的月平均增长率计算即可. 【解答】 （1） 解：设平均增长率为x， 依题意：， 解得：，（舍去）. 答：平均增长率为20%. （2） 依题意：. 游客人数会超过5000人. 答：游客人数会超过5000人 变式 10　解答题 （26-27·四川月考）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． （1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． （2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 【答案】 25% 降价5元 【解析】 （1）设平均增长率为 ，根据题意列出一元二次方程，解方程并取符合题意的解，即可求解. （2）设降价y元，根据商场六月份可获利4250元，列出一元二次方程，解方程并取符合题意的解，即可求解. 【解答】 （1）解：设平均增长率为x，由题意得： 解得： 或 （舍）； 四、五这两个月的月平均增长百分率为 25%； （2）设降价y元，由题意得： 整理得： 解得： 或 （舍）； 当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元. PART 05 拔高巩固（8 题） 一元二次方程的实际应用——传播、增长率、握手比赛、销售定价 拔高组闯关要点 ◆ 拔 1 练一季度总量方程：一月份 560 吨单独一期、二三月按增长率增长——总量＝560＋560(1＋x)＋560，三项相加，别只列最后一项； ◆ 拔 2 练杨辉直田：长阔共 60 步、积 864 平方步，设宽为 x 则长为 60−x，列 x(60−x)＝864——古人算题，方程工具完全一致； ◆ 拔 3—拔 5 练填空三关（横线红色答案自测）：拔 3 方队总人数先减领队得 350，列 x(x＋11)＝350 分解取正根；拔 4 先提价再降价，新基数 500×(1＋20%)＝600，再列 600＝486；拔 5 红包计数 x(x−1)＝72——每人给其他成员都发、恰好不重复，不除以 2； ◆ 拔 6 练降率与购货方案：第 (1) 问 125＝80 开方得 20%；第 (2) 问甲进价逐年降 25 元算出 2024 年 75 元，按总价不超过 7800 元列不等式，解出最少件数； ◆ 拔 7 练握手与对角线（解答·嵌空）：第 (1) 问 x(x−1)＝45 解出 10 人；第 (2) 问从 n 边形一个顶点可引 (n−3) 条对角线、每条计两次，列 n(n−3)＝27 分解取正根——九边形恰有 27 条对角线； ◆ 拔 8 练阶梯定价检验（压轴）：单价＝500−5x，列 x(500−5x)＝12000 分解得 40 或 60；x＝60 时单价 200 元低于下限 280 元，舍去——检验取舍正是应用题压轴的最后一关。 拔高 1　选择题 （2025·四川凉山州·中考）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（　　） A．560＋560(1＋x)＋560＝1860 B．560＝1860　　C．560(1＋2x)＝1860 D．560(1＋x)＋560＝1860 【答案】A 【解析】第一季度的总量＝一月份＋二月份＋三月份三部分相加：一月份 560 吨、二月份 560(1＋x) 吨、三月份 560 吨——别只列增长后的最后一项。 【详解】 ∵月平均增长率为 x， ∴二月份产量为 560(1＋x) 吨，三月份产量为 560 吨。 由第一季度共生产钢铁 1860 吨，得 560＋560(1＋x)＋560＝1860。 故选 A。 拔高 2　选择题 （2025·辽宁·中考）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步。设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为（　　） A．x(60−x)＝864　　B．x(x−60)＝864 C．x(60＋x)＝864　　D．2[x＋(x＋60)]＝864 【答案】A 【解析】长与宽共 60 步，设宽为 x 步则长为 (60−x) 步，按面积＝长×宽列方程。（顺带一提：解得宽 24 步、长 36 步，长比宽多 12 步。） 【详解】 设这个矩形田地的宽为 x 步。 ∵长与宽共 60 步， ∴长为 (60−x) 步。 由面积＝长×宽，得 x(60−x)＝864。 故选 A。 拔高 3　填空题（嵌空） （2025·河北邯郸·期末）建国70周年阅兵式中，三军女兵方队共352人，其中领队2人，方队中，每排的人数比排数多11，则女兵方队共有____14____排。 【答案】14 【解析】方队人数要先减去领队：352−2＝350（人）；设排数为 x，则每排 (x＋11) 人，列 x(x＋11)＝350，分解取正根。 【详解】 方队人数为 352−2＝350（人）。 设女兵方队共有 x 排，则每排 (x＋11) 人。 由题意：x(x＋11)＝350， 整理得 ＋11x−350＝0， 分解得 (x＋25)(x−14)＝0， 解得 x＝−25 或 x＝14。 ∵排数为正整数， ∴x＝14。 拔高 4　填空题（嵌空） （2025·四川绵阳·中考）超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元．因销量持续攀升，商家在3月份提价20%，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4、5月份按照相同的降价率r连续降价．已知5月份礼盒的售价为486元，则r＝____10%____（每次降价的百分率）。 【答案】10% 【解析】先提价再降价——降价的新基数是 3 月份售价 500×(1＋20%)＝600（元），不是原价；再列 600＝486。 【详解】 3 月份售价为 500×(1＋20%)＝600（元）。 4、5 月份按相同的降价率 r 连续降价， 由题意：600＝486， ∴＝0.81。 ∵1−r＞0， ∴1−r＝0.9，解得 r＝0.1＝10%。 拔高 5　填空题（嵌空） （2025·广东东莞·期末）在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了72个红包，那么这个微信群共有____9____人。 【答案】9 【解析】每人给其余 (x−1) 人各发一个，共 x(x−1) 个——甲发给乙与乙发给甲是两个不同的红包，恰好不重复，不除以 2。 【详解】 设这个微信群共有 x 人。 每人给其余 (x−1) 人各发一个红包， ∴红包总数为 x(x−1) 个。 由题意：x(x−1)＝72， 整理得 −x−72＝0， 分解得 (x−9)(x＋8)＝0， 解得 x＝9 或 x＝−8。 ∵人数为正整数， ∴x＝9。 拔高 6　解答题 （2025·四川泸州·中考）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元。 (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品。 【答案】(1) 20%；(2) 最少购进 40 件。 【解析】第 (1) 问 2022 到 2024 两年两期，列 125＝80；第 (2) 问甲种 2024 年进价按每年降 25 元算出，设购进甲种 m 件，按总价列一元一次不等式。 【详解】 (1) 设乙种商品每件进价的年平均下降率为 x。 由题意：125＝80， ∴＝0.64。 ∵1−x＞0， ∴1−x＝0.8，解得 x＝0.2＝20%。 (2) 甲种商品 2024 年每件进价为 125−25×2＝75（元）， 乙种商品 2024 年每件进价为 80 元。 设购进甲种商品 m 件，则购进乙种商品 (100−m) 件。 由题意：75m＋80(100−m)≤7800， 整理得 8000−5m≤7800， 解得 m≥40。 答：最少购进 40 件甲种商品。 拔高 7　解答题（嵌空） （2025-2026·湖北咸宁·期末）某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有x人。 (1)填空：根据题意，可列方程：____x(x−1)＝45____； (2)我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，多边形的对角线可以有27条吗？ 【答案】(1) x(x−1)＝45；(2) 可以，九边形的对角线恰好有 27 条。 【解析】第 (1) 问握手每两人重复计了一次，除以 2；第 (2) 问从 n 边形一个顶点可引 (n−3) 条对角线，每条计两次，列 n(n−3)＝27。 【详解】 (1) 每人握 (x−1) 次，共 x(x−1) 次，每两人重复计了一次， ∴握手总次数为 x(x−1)。 由题意可列方程 x(x−1)＝45。 解：两边乘 2，得 x(x−1)＝90， 整理得 −x−90＝0， 分解得 (x−10)(x＋9)＝0， 解得 x＝10 或 x＝−9。 ∵人数为正整数， ∴x＝10，参加聚会的同学共有 10 人。 (2) 从 n 边形的一个顶点出发，可以引 (n−3) 条对角线， n 个顶点共引 n(n−3) 条，其中每条对角线都计了两次， ∴n 边形的对角线总数为 n(n−3)。 由 n(n−3)＝27：两边乘 2，得 n(n−3)＝54， 整理得 −3n−54＝0， 分解得 (n−9)(n＋6)＝0， 解得 n＝9 或 n＝−6。 ∵边数为不小于 3 的整数， ∴n＝9。 答：多边形的对角线可以有 27 条，这个多边形是九边形。 拔高 8　解答题 （2025·陕西西安·期末）某大剧院举办文艺演出，收费标准：购票人数不超过30人，350元/人；超过30人，每增加1人，每张票的单价减少5元，但单价不低于280元。某公司组织一批员工去大剧院观看此场演出，共支付12000元的购票费用，求观看演出的员工人数。 【答案】40 人。 【解析】30 人以内总价最多 10500 元，12000 元说明人数超过 30；设 x 人，单价为 350−5(x−30)＝(500−5x) 元，列 x(500−5x)＝12000；两根中 x＝60 时单价低于下限，舍去。 【详解】 ∵30×350＝10500＜12000， ∴观看人数超过 30 人。 设观看演出的员工有 x 人（x＞30）， 则每张票的单价为 350−5(x−30)＝(500−5x) 元。 由题意：x(500−5x)＝12000， 整理得 −100x＋2400＝0， 分解得 (x−40)(x−60)＝0， 解得 x＝40 或 x＝60。 当 x＝60 时，单价为 500−5×60＝200（元），低于下限 280 元，舍去； 当 x＝40 时，单价为 500−5×40＝300（元），高于下限 280 元，符合题意。 ∴x＝40。 答：观看演出的员工人数为 40 人。 附录 过关自查表（学生逐题归因，教师复核用） 题号 考点细目 若错，写出错因 订正完成 例 1 增长率列方程 例 2 平均增长率 例 3 增长率列方程 例 4 连续降价求率 例 5 增产两问 例 6 传播两问 变式 1 平均增长率 变式 2 分支总数 变式 3 增长率列方程 变式 4 传播求率 变式 5 平均增长率 变式 6 双循环列方程 变式 7 握手问题 变式 8 握手问题 变式 9 增长与不等式 变式 10 降价与利润方案 拔高 1 一季度总量方程 拔高 2 杨辉直田列方程 拔高 3 方队排数 拔高 4 先提价再降价 拔高 5 红包计数 拔高 6 降率与购货方案 拔高 7 握手与对角线 拔高 8 阶梯定价检验 使用建议：订正后让学生在订正完成栏打勾，并保留本表至考前——期中前只重做打不了勾的题。本考点口诀：先识模型、再找等量关系，列出方程解后必检验；“两期”用二次方、“握手”除以 2、“双循环”不除；两根中不合实际意义的必须舍去。填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，自测时先遮住再核对。 1 学科网（北京）股份有限公司 $