第2章 3 一元二次方程的根与系数的关系&4 一元二次方程的应用（随堂反馈）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材）

3一元二次方程的根与系数的关系 知识梳理 ①如果方程a.x2十bx十c=0(a≠0)有两个实数根，x2,那么十x2=xx2= ②根与系数的关系是在方程有根的前提下才成立，即△0. 当堂练习 1.若x1,x2是一元二次方程x2一x一2=0的两个根，则x1x2的值是 A.-2 B.-1 C.3 D.-3 2.一元二次方程2x2一4x一1=0的两个实数根的和是 ) A.-2 B司 c司 D.2 3.已知实数x1,x2满足x1十x2=9,x1x2=20,则以x1,x2为根的一元二次方程是( A.x2-9x+20=0 B.x2+9x+20=0 C.x2+9x-20=0 D.x2-9x-20=0 4.已知x=1是关于x的一元二次方程2x2十x一4=0的一个根，则方程的另一个根是 ,n的值是 5.根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根x1,x2的和与积. (1)-2x2+6x十3=0； (2)3x2十5=4x2-x. 6.已知关于x的一元二次方程x2一2(m一1)x十m=0有两个实数根x1,x2. (1)求实数m的取值范围； (2)若x1x2十x1十x2一1=0，求m的值 ·14· 4一元二次方程的应用 第1课时 行程、几何图形及动点问题 当堂练习 1.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍.若设小圆形场地 的半径为xm,则可列方程为 A.2πx=π(x+5) B.x=2(x+5) C.2πx2=π(x十5)2 D.x2=2(x+5)2 2.汽车在公路上行驶，它行驶的路程s(m)和时间t(s)之间的关系式为s=3t2+18t.则行 驶120m需要的时间为 A.10s C.4s D.3s 3.王师傅计划用长32m的木质栅栏，靠一面墙围一个矩形菜园（墙的长度为18m),要求 围成的菜园面积为120m,求这个矩形菜园垂直于墙的边长. 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm,BC=4cm.动点P从点C出发，沿CB方 向以1cm/s的速度向点B运动，同时动点Q从点A出发，沿AC方向以2cm/s的速度 向点C运动，其中一点停止运动时，另一点也随之停止.当△PCQ的面积是△ABC面 积的时，求点P的运动时间. C-P B ·15· 第2课时平均变化率及营销问题 知识梳理 ①平均增长率（降低率）问题：a为增长（降低）前的量，x为平均增长（降低）率，n为增长 (降低)次数，b为增长（降低）后的量，则平均增长率的公式为 ,平均降低 率的公式为 ®营销问题常用的等量关系：利润=售价一进价，利润率=利润×100%，售价=进价X 进价 (1十利润率)，总利润=（售价一进价）×数量. 当堂练习 1.为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由 16元降为9元.设平均每次降价的百分率是x,根据题意，下列方程正确的是( A.16(1-2x)=9B.9(1+2x)=16 C.16(1-x)2=9 D.9(1+x)2=16 2.某商店以每件25元的价格购进一批商品，当每件商品的售价为α元时，可卖出(400 10a)件.若商店计划盈利500元，则可列方程为 ,a的值为 3.某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动，4月份投入资金20 万元，6月份投入资金24.2万元.现假定每月投人资金的增长率相同，求该商场投人资 金的月平均增长率. 4.商场销售某种商品，进价为200元/件，售价为250元/件，平均每天售出30件.经调查 发现，当商品售价每降低1元时，平均每天可多售出2件.为使销售这种商品每天盈利 达到2100元，而且尽可能让顾客得到实惠，每件商品应降价多少元？ ·16·-4×2×2=-15<0,∴方程没有实数根.(3)将原方程化为一般形式，得号x2-厄x十 1=0.这里a=7,b=-E,c=1.6-4ac=(-2)-4×号×1=0，x 1 -（-2)±0=2，即x1=x=E. 2×2 第4课时用因式分解法求解一元二次方程 知识梳理 ②00 当堂练习 1.C2.x十2-3=0x1=-5,x2=13.(1)直接开平方(2)配方(3)公式 (4)因式分解4.解：(1)原方程可变形为2x(x十5)=0.2x=0,或x十5=0..x1=0, (2)原方程可变形为(2x十3)1一)=0.2x十3=0，或1一x=0. x2=1.(3)原方程可变形为x(x-5)十(x十5)(x-5)=0,(x-5)(2x十5)=0.x-5= 0,或2x十5=0.∴=5，x=-号.(4④)原方程可变形为(x-1)2-2(x-1)=0,(x 1)(x-1-2)=0,即(x-1)(x-3)=0.x-1=0,或x-3=0.x1=1,x2=3. 3一元二次方程的根与系数的关系 知识梳理 0-6c ②≥ a 当堂练习 1.A2.D3.A4.-225.解：(1)这里a=-2,b=6,c=3.△=b2-4ac=62- 4X(一2)×3=60>0方程有两个实数根，∴1十=-92=3,1=-号.(2)将 原方程化为一般形式，得x2-x-5=0.这里a=1,b=-1,c=-5.△=b-4ac= (-1)2-4×1×(-5)=21>0,.方程有两个实数根..x1十x2=1,x1x2=-5. 6,解：1由题意，得△=[-2(m-1D了-4m≥0，解得m≤宁.(2)由根与系数的关系， 得x1十x2=2(m-1),x1x2=m2.x1x2十x1十x2-1=0,∴.m2十2(m-1)-1=0,解 得m=-3,m=1,m≤2m=-3. 4一元二次方程的应用 第1课时行程、几何图形及动点问题 当堂练习 1.C2.C3.解：设这个矩形菜园垂直于墙的边长为xm.根据题意，得x(32一2x)= 120,解得x1=6,x2=10.当x=6时，32-2x=20>18,不合题意，舍去：当x=10时，32 -2x=12<18,符合题意.∴x=10.答：这个矩形菜园垂直于墙的边长为10m.4.解： 设点P的运动时间为ts(0<t4),则CP=tcm,AQ=2tcm,.CQ=AC-AQ=(8一 20cm当Sam=sauc时，2Cp.CQ=子×号BC,AC,7(8-2)=×号 1 ×4×8,解得t1=t2=2.答：点P的运动时间为2s. 第2课时平均变化率及营销问题 知识梳理 ①a(1十x)"=ba(1-x)"=b 当堂练习 1.C2.(a-25)(400-10a)=50030或353.解：设该商场投入资金的月平均增长 率为x.根据题意，得20(1十x)2=24.2,解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题意，舍 去)，答：该商场投入资金的月平均增长率为10%，4.解：设每件商品应降价x元.根 据题意，得(250-x-200)(30+2x)=2100,解得x1=20,x2=15.:尽可能让顾客得 到实惠，.x=20.答：每件商品应降价20元. 第三章图形的相似 1相似多边形 第1课时成比例线段与相似多边形 知识梳理 0号-9 ·③相等成比例 当堂练习 1.C2.D3.B4.解：(1)，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',∴∠A'=∠A=102°， ∠B'=∠B=90°.∴∠D=360°-∠A'-∠B-∠C=48°.(2)：四边形ABCD∽四边 形ABCn常=品-品∴号-g-铝C=12,cD=15. 91 第2课时等比性质 知识梳理 当堂练习 1A2B3宁4105解0器-光=方万CC 吉，△A'B'C'的周长为90cm,AB'十B'C'+AC'=90cm.∴AB+BC+AC 号(AB'+BC'+AC)=30cm∴△ABC的周长为30cm6解：6若=方 2a 装0-88-=1 2a+2b+2c 2探索三角形相似的条件 第1课时利用两角判定三角形相似 知识梳理 ①分别相等成比例②相等成比例③分别相等 当堂练习 1.B2.B3.AB∥DE(答案不唯一）4.背5.(I)证明：AB平分∠CAD, ∴.∠CAB=∠BAD.:∠ABC=∠D=90°，∴.△ABC∽△ADB.(2)解：：△ABC∽ △ADB指-铝脚品=9AB=26m 第2课时利用两边及夹角判定三角形相似 知识梳理 成比例夹角 当堂练习 D3.24,100°5.解：AC=2AE,AB=2AD,A=D=2.2 ∠CAE,∴.∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD,即∠BAC=∠DAE.∴.△BAC∽ △DAE.能8-2.DE=1.5em 第3课时利用三边判定三角形相似 知识梳理 成比例 当堂练习 1A2.A3.24解：0-能△ABCn△ADE.∠BAC=∠DAE 60.:∠BAD=20°，∠DAC=∠BAC-∠BAD=40°.5.解：△ABCD△DEF.理 由如下：由图可知AB=2,EF=2.由勾股定理，得AC=√22+4=2√5，BC=√/22+2四 =区.=年=mE=小T=店祭-%-荒-后- S-2-E.架-提-s△ABC△DER, 第4课时黄金分割 当堂练习 1.B2.后3.(15+11V5)4解：根据题意，得≈0.618.BC=20mAC BC 2 ≈32.36cm..AB=AC十BC≈52.4cm.答：整体作品的高AB约为52.4cm. 3相似三角形判定定理的证明 第1课时平行线分线段成比例 知识梳理 ①成比例 ②成比例 当堂练习 1C2.B3是495解：：A/h/,00:AD=3,DE=6AB 45院音BC-92%/罷是0泥E=是E婴 3 “第2课时相似三角形判定定理的证明 当堂练习 1,D2.D3.证明：：四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C.∠EDB=∠A, ÷∠EDB=∠C∠DBF=∠CBD△BDFO△BCD.∴2-S甲BD=C BF.4.(1)证明：：CD,BE分别是AB,AC边上的高，∠ADC=∠AEB=90. —92 ∠A=∠A,∴，△ACD∽△ABE.(2)解：相似，理由如下：△ACD∽△ABE, AD AE 器是指：∠A=∠A,△AED△AnC 4相似三角形的性质 第1课时相似三角形中的对应线段之比 知识梳理 相似比 当堂练习 1.A2.C3.号 4.645.解：·∠AED=∠B,∠EAD=∠BAC,..△ADEc∽ △ACB.AF平分∠BAC架是即京C=号∴FG=2 第2课时相似三角形的周长与面积之比 知识梳理 相似比相似比的平方 当堂练习 1.A2.B3.124.85.406.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥ BC.∴∠ADF=∠EBF,∠DAF=∠BEF.∴.△AFD∽△EFB.(2)解：：四边形ABCD 是平行四边形，AD=BC.BE:CE=3:1,.BE:BC=3:4..BE:AD=3:4, AaEm-(崇设59a 5图形的位似 第1课时位似图形及其性质与画法 知识梳理 ①位似多边形 位似中心 当堂练习 1.D 2.B 3.9 4.解：如图，△ABC与△AB,C2即为所求. 第2课时 平面直角坐标系中的位似变化 知识梳理 ①k②(kx,ky)(-kx,-ky) 当堂练习 1.C2.A3.2 9 4.解：如图， 矩形A'B'C'D'和矩形A"B"C" CD" 45x D"即为所求.点A'的坐标为(-4，-2)或(4,2). 第四章投影与视图 1投影 第1课时投影与中心投影 当堂练习 1.D2.A3.解：如图所示. 第2课时平行投影与正投影 当堂练习 1.B2.D3.30 2视图 第1课时几何体的三视图 知识梳理 ①正②正左上 93