精品解析：安徽铜陵市部分学校2026-2027学年上学期10月学情自测九年级数学试卷

九年级教学质量检测（一） 数学（人教版） 注意事项：满分为150分，时间为120分钟。 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。 1. 下列二次函数的图象开口向下的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：对于二次函数， 当时，抛物线的方向朝上，当时，抛物线的方向朝下， 二次函数的图象开口向下的是. 2. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】从是否为整式方程、未知数个数、未知数最高次数三个角度判断各选项． 【详解】解：A、是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为2， 是一元二次方程，符合题意； B、是分式方程， 不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数， 不是一元二次方程，不符合题意； D、中的最高次数为1， 不是一元二次方程，不符合题意． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质解答即可． 【详解】解：， 其顶点坐标为． 4. 下列方程中有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A：，因此该方程没有实数根． 选项B：，因此该方程没有实数根． 选项C：，因此该方程没有实数根． 选项D：，因此该方程有两个不相等的实数根． 5. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”可得新抛物线对应的函数表达式． 【详解】解:新抛物线对应的函数表达式为，即． 6. 一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这项实验，若设每人每次能教会名同学，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以每节课后会做总人数为下一节课的传播基数，累加各阶段人数列方程． 【详解】解：∵初始会做人数为1，每人每节课教会名同学． ∴第一节课后总会做人数为． ∴第二节课新增会做人数为． ∵总会做人数为49． ∴可列方程． 7. 已知m，n是一元二次方程的两个根，且，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据一元二次方程的根与系数的关系，可得，，然后将方程化简、代入求值即可． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， 解得， 经检验：是原方程的解， 故选：B． 8. 已知点，在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；直接计算点A和点B的纵坐标和的表达式，利用b的范围比较它们与6的大小关系以及和的大小关系即可． 【详解】解：把点，分别代入抛物线得， ，， ∴， 又∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴； 故选A． 9. 已知抛物线的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由开口方向，对称轴和与y轴的交点位置得到，，，即可判断①；根据抛物线与x轴的交点坐标得到，即可判断②；将代入得到，表示出，然后代入即可判断③；由图象得，当时，，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上 ∴ ∵对称轴为 ∴ ∵抛物线与y轴交于负半轴 ∴ ∴，故①正确； ∵抛物线与x轴的一个交点在和0之间，另一个交点坐标为 ∴抛物线的对称轴 ∴，故②错误； ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为 ∴ ∴ 由图象得，当时， ∴ 整理得，，故③正确； 由图象得，当时，，故④正确； 综上所述，正确结论的个数为3． 10. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 以上都不正确 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称轴公式和待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出点M的坐标，再分两种情况：点P在y轴上和点P在x轴上，分别求出两种情况下点P的坐标和的值即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，点是抛物线上的一点，∴， 解得， ∴该抛物线的函数解析式为， ； 的周长，且是定值， ∴只需最小即可． 如图1，当点P在y轴上时，过点M作关于y轴对称的点，则，连接，与y轴的交点即为所求的点P． 设直线的解析式为，则， 解得， ∴该直线的解析式为． 在中，当时，，即， 由轴对称的性质可得， ∴； 同理，如图2，当点P在x轴上时，过点M作关于x轴对称的点，则，连接，与x轴的交点即为所求的点 同理可得直线的解析式为， 在中，时，， ∴； 由轴对称的性质可得， ∴； ∵， ∴当点P的坐标为时，的周长最小． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若是一元二次方程的解，则k的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入原方程即可求解的值． 【详解】解：是一元二次方程的解 整理得 解得 ． 12. 把二次函数变形为的形式，则的值为______ ． 【答案】4 【解析】 【分析】先把二次函数化为顶点式，再求出，的值，进而可得出结论． 【详解】， ，， ． 13. 二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】二次函数开口方向不确定，分和两种情况讨论，根据对称轴位置确定区间内最小值的位置，列方程求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为直线，且在区间内， 分两种情况讨论：当时，抛物线开口向上， ∴在对称轴处取得最小值， ∵最小值为， ∴将，代入函数得，解得； 当时，抛物线开口向下， ∴顶点处取得最大值，最小值出现在区间端点，需计算两个端点的函数值， 当时，，当时，， ∵， ∴，即最小值为， 由题意得， 解得； 综上，的值为或． 14. 如图，抛物线与轴交于两点；抛物线与轴交于两点， （1）若，则抛物线的对称轴是直线___________； （2）若，且是线段的中点，则的值为___________． 【答案】 ①. 6 ②. 3 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）把函数解析式化为顶点式，即可求解； （2）求出点的坐标，可得到n的值，即可求解． 【详解】解：（1）当时，抛物线的表达式 它的对称轴是直线． 故答案为：6 （2）当时，抛物线的表达式， 它的对称轴是直线， 是的中点， 点的坐标为， 把它代入，得：， 解得． 当时，抛物线的表达式为， 令，， 解得：， 此时与轴的两个交点横坐标分别是和1，与图象不符，应舍去； 当时，抛物线的表达式为， 令，， 解得：， 此时与轴的两个交点横坐标分别是1和5，符合题意， 的值为3． 故答案为：3． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】首先根据判别式判断方程实数根的个数，然后用求根公式求解即可． 【详解】由题意得：a=1，b=6，c=4 ∴方程有两个不相等的实数根 ∴原方程的解为，． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练记忆求根公式是本题的关键． 16. 已知二次函数的图象经过三点，求该二次函数的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】将三个点的坐标代入二次函数一般式，得到关于，，的三元一次方程组，解方程组求出，，的值，即可写出二次函数表达式． 【详解】解：将代入，得 ， 解得， ∴该二次函数的表达式为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某区大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全区学校的设施和设备进行全面改造．2025年区政府已投资5亿元人民币，若每年投资的年平均增长率相同，预计2027年投资7.2亿元人民币，求每年投资的年平均增长率． 【答案】每年投资的平均增长率为． 【解析】 【分析】设每年投资的年平均增长率为x，根据题意可得，2025年投资额年的投资额，据此列方程求解． 【详解】解：设每年投资的年平均增长率为x， 根据题意，得：， 解得：，（舍去）， 答：每年投资的平均增长率为． 18. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）若该抛物线的顶点为，求，的值； （2）若该抛物线经过点，，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可设该抛物线的函数解析式为，整理并化简，结合常数项相同可得，求解即可确定的值，然后计算的值即可； （2）根据二次函数图像的对称性可得，整理即可获得答案． 【小问1详解】 解：根据题意，抛物线的顶点为， 可设该抛物线的函数解析式为， 化简得，则， ， ， ，即，； 【小问2详解】 ∵点，在该抛物线上， ， ， ． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值． 【答案】(1) k≤;(2)-2. 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=﹣4k+5≥0，解之即可得出实数k的取值范围； （2）由根与系数的关系可得x1+x2=1﹣2k、x1x2=k2﹣1，将其代入x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2中，解之即可得出k的值． 【详解】（1）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2， ∴△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）=﹣4k+5≥0，解得：k≤， ∴实数k的取值范围为k≤． （2）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2， ∴x1+x2=1﹣2k，x1x2=k2﹣1． ∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2， ∴（1﹣2k）2﹣2×（k2﹣1）=16+（k2﹣1）， 即k2﹣4k﹣12=0， 解得：k=﹣2或k=6（不符合题意，舍去）． ∴实数k的值为﹣2． 20. 综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【建立模型】 （1）当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ （2）若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10125元？ 【答案】（1）车道宽度符合标准 （2）每个车位月租金上涨25元 【解析】 【分析】（1）通过平移计算车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积，再列方程求解即可； （2）设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个，再根据“该区域停车场的月租金收入为10125元”列方程求解即可． 【小问1详解】 解：先将图形平移，如解图， 由题意，得， 或（不符合实际，舍去）， ， ∴车道宽度符合标准． 【小问2详解】 解：设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个， 由题意得． 解得， ∴每个车位月租金上涨25元． 六、（本题满分12分） 21. 如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的右侧），与轴相交于点．且，点是抛物线的顶点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）点为线段上一个动点，过点作轴于点，连接，，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2）最大值为 【解析】 【分析】（1）求出点的坐标是，根据求出点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的函数解析式； （2）根据抛物线的函数解析式求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，设，根据三角形的面积公式可得，根据二次函数的性质求出的最大值． 【小问1详解】 解：当时，可得：， 点的坐标是， ， ， ， 点的坐标是， 将代入中， 可得：， 解得：， 抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）知函数的解析式为， 点是抛物线的顶点， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则， 轴于点， ， 的面积为， ，， 当时，的面积有最大值，最大值为． 七、（本题满分12分） 22. 请阅读下列材料：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ； （2）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求一元二次方程的两根． 【答案】（1） （2） （3）两个实数根分别是，4； 【解析】 【分析】（1）利用题中解法，设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （2）设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （3）一元二次方程整理可得：，再与一元二次方程比较即可． 【小问1详解】 解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 化简，得， 则所求方程为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 化简，得， 则所求方程为； 【小问3详解】 解：一元二次方程整理可得：， 令，则， 则方程的两根比的两个实数根大1， ∴的两个实数根分别是，4； 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法． 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线 （a，b是常数， ）与x轴交于点A，B，点A在点B 的左侧． （1）当抛物线L经过点时， （i）若 ，求抛物线L的顶点坐标； （ii）若 求a的值． （2）当 时，抛物线L经过 两点 若 求证： 【答案】（1）（i）抛物线L的顶点坐标为，（ii）a的值为或 （2） 证明：当时，则 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）（i）先理解题意，当时，把代入解得，即，故抛物线L的顶点坐标为； （ii）依题意，把代入得则抛物线L的对称轴为直线，再进行分类讨论，根据，列式计算，即可作答． （2）当时，则，结合，故，得，再整理得，因为，，即． 【小问1详解】 解：（i）当时，把代入 得， 解得， ∴抛物线L的顶点坐标为． （ii）将代入得， ∴， ∴ ∴抛物线L的对称轴为直线． 当点A在y轴左侧时，设，其中， ∵， 则， ∴ 将代入得， 解得 当点A在y轴右侧时， 设，其中， ∵ 则， ∴ 将代入得 解得 综上，a的值为或； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级教学质量检测（一） 数学（人教版） 注意事项：满分为150分，时间为120分钟。 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。 1. 下列二次函数的图象开口向下的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 下列方程中有实数根的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这项实验，若设每人每次能教会名同学，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知m，n是一元二次方程的两个根，且，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 8 8. 已知点，在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 以上都不正确 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若是一元二次方程的解，则k的值为____________． 12. 把二次函数变形为的形式，则的值为______ ． 13. 二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为______． 14. 如图，抛物线与轴交于两点；抛物线与轴交于两点， （1）若，则抛物线的对称轴是直线___________； （2）若，且是线段的中点，则的值为___________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 16. 已知二次函数的图象经过三点，求该二次函数的表达式． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某区大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全区学校的设施和设备进行全面改造．2025年区政府已投资5亿元人民币，若每年投资的年平均增长率相同，预计2027年投资7.2亿元人民币，求每年投资的年平均增长率． 18. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）若该抛物线的顶点为，求，的值； （2）若该抛物线经过点，，求的值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值． 20. 综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【建立模型】 （1）当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ （2）若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10125元？ 六、（本题满分12分） 21. 如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的右侧），与轴相交于点．且，点是抛物线的顶点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）点为线段上一个动点，过点作轴于点，连接，，求的面积的最大值． 七、（本题满分12分） 22. 请阅读下列材料：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ； （2）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求一元二次方程的两根． 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线 （a，b是常数， ）与x轴交于点A，B，点A在点B 的左侧． （1）当抛物线L经过点时， （i）若 ，求抛物线L的顶点坐标； （ii）若 求a的值． （2）当 时，抛物线L经过 两点 若 求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $