精品解析：天津市天津益中学校2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

天津市天津益中学校2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第I卷第1页，第II卷第2页． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将答题卡交回． 祝各位考生考试顺利！ 第I卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知全集，集合，则， 又，因此. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】在区间内，正弦值为的角有两个：， 余弦值为的角只有一个：， 若，则可能为或，当时，，因此充分性不成立. 若，则，此时，因此必要性成立. 3. 对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，则各图对应的相关系数最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断相关性的正负符号，，，，，再根据线性相关的强弱即可判断的大小关系，综合比较即可. 【详解】根据正负相关可得出，，，，因图2比图4散点分布更集中，所以，综上所述，最小. 4. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于选项A，，定义域为，为偶函数，不符合题意； 对于选项B，，定义域为，为偶函数，不符合题意； 对于选项C，，定义域为，函数是奇函数， 当时，，则，不符合题意； 对于选项D，，定义域为，函数是奇函数，符合条件. 5. 已知实数满足，则（ ） A. B. 8 C. D. 9 【答案】A 【解析】 【详解】由，得 因为，所以 所以 所以 6. 设的内角，，所对边的长分别为，，．若，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用正弦定理可得，再由余弦定理解方程可得，，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值． 【详解】解：因为，由正弦定理可得， 由余弦定理得，即，解得或（舍去），所以， ∴． 故选：D 7. 已知平面向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过，求得，再由投影向量计算公式即可求解. 【详解】因为． 所以，解得， 所以在上的投影向量为． 8. 设的近似值为2.7183，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，利用导数分析函数单调性，即可得出判断. 【详解】构造函数，求导得，令，得. 当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减. 因为，所以，即 ，故. 9. 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可． 【详解】解：依题意可得，因为，所以， 要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示： 则，解得，即． 故选：C． 第II卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 10. i是虚数单位，若复数是纯虚数，，则______． 【答案】2 【解析】 【详解】将复数化简： 整理得 因为该复数为纯虚数，所以实部为零：即 此时虚部为，满足纯虚数条件. 所以. 11. 在的二项展开式中，的系数是__________结果用数字作答）. 【答案】 【解析】 【分析】先求出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于，求出的值，即可求得展开式中的项的系数. 【详解】展开式的通项公式为 ， 令， 所以的系数的是， 故答案为-14. 【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 12. 若随机变量服从正态分布，且的概率，则的概率______． 【答案】0.3或 【解析】 【详解】随机变量服从正态分布，由对称性得，故. 13. 已知离散型随机变量的分布列如表所示，当取最小值时，________． 1 2 3 【答案】 【解析】 【分析】根据分布列中概率和为，可得，利用均值不等式可求得的最小值及取最小值时的值. 【详解】由，得， 所以， 当且仅当，即，即时取等号， 此时取得最小值18． 故答案为：. 14. 已知函数的部分图象如图所示，其中，下列五个命题：①的最小正周期为；②的值为或；③将图象上的所有点向右平移个单位长度后，得到的函数图象关于原点对称；④函数在单调递减；⑤．其中真命题有______． 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】根据三角函数解析式的求法求出，再根据正弦函数的性质及图象平移逐一分析即可. 【详解】因为，由图可知， ，可得，因为，所以或， ，当时，，解得； 当时，，解得，此时周期为， ，，与图象不符， 所以，，； 对于①：，故①为真命题； 对于②：，故②不是真命题； 对于③：，该函数为奇函数， 所以将图象上的所有点向右平移个单位长度后，得到的函数图象关于原点对称，故③为真命题； 对于④：，，， 令， 函数在上单调递减，在上单调递增，故④不是真命题； 对于⑤：，故⑤为真命题. 15. 在中，，则______；若，与的夹角为，则的最大值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】把与看作平面的基底，用与表示和进行计算. 【详解】(1)如图，在中，因为，所以、为的三等分点， 则， 若，根据平面向量基本定理得， 所以. (2)设，，则，， ，， 当且仅当，即时取到最大值. 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知函数． （1）写出的最小正周期和图象的对称中心坐标； （2）求在的最小值； （3）若，求的值． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的周期公式及对称中心求解即可； （2）求出的范围，根据正弦函数的性质即可求解； （3）由题可得，再利用诱导公式求解即可. 【小问1详解】 ，解得， 所以的最小正周期为，图象的对称中心坐标为 【小问2详解】 ，，， 当时，取得最小值， 所以. 【小问3详解】 ， 所以， . 17. 在中，角、、的对边分别为、、，已知. （1）求的值； （2）若，求 （i）的值； （ii）的值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可求出的值； （2）（i）利用同角三角函数的基本关系结合正弦定理可求出的值； （ii）分析可知为锐角，求出的值，进而可求出、的值，再利用两角和的余弦公式可求得的值. 【小问1详解】 因为，可得，即， 由余弦定理可得. 【小问2详解】 （i）因为，故为锐角，所以， 因为，由正弦定理可得，故； （ii）因为，则，即，故为锐角， 所以， 所以， ， 因此，. 18. 某位老师要从第1课至第10课的10篇不同课文中随机抽取3篇让学生背诵，若学生至少能背诵出2篇，则视为背诵合格．已知小明同学只会背诵第1课至第3课的3篇课文． （1）设在小明同学抽到的3篇课文中，他能背诵出篇，求的分布列； （2）小明同学背诵合格的概率； （3）在“小明同学至少抽到1篇会背诵的课文”的条件下，求小明同学背诵合格的概率． 【答案】（1）分布列为： 0 1 2 3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据超几何概率公式，求概率，再写出分布列； （2）根据分布列计算，即可求解. （3）根据条件概率计算即可. 【小问1详解】 抽到小明能背诵的课文数量为随机变量，则服从超几何分布，可能取值为. 从10篇中抽3篇，小明能背诵出篇，则概率为. 所以，， ，， 因此分布列为： 0 1 2 3 【小问2详解】小明能及格的概率. 【小问3详解】 设事件：小明至少1篇会背诵，事件：小明能及格， 由条件概率公式. 事件至少会1篇且可以及格，故，， 因此. 19. 已知函数． （1）若，求； （2）若，求函数的极值； （3）若函数的最小值为0，求的值． 【答案】（1） （2）有极小值，无极大值； （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数导数可得，即可求解； （2）利用导数讨论函数单调性，根据单调性可得极值； （3）分，两种情况分类求出最小值即可列式求参. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 故. 【小问2详解】 当时，，则， 当时，，当时，， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，有极小值，无极大值. 【小问3详解】 令， 当时，，函数在上单调递增，故无最小值 所以，由得， 所以时单调递减，时单调递增， 所以， 所以. 20. 已知函数（）． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，讨论的单调性； （3）若时，恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，函数的单调减区间为，单调增区间为， 当时，函数的单调减区间为，单调增区间为， 当时，函数的单调减区间为，无单调增区间， 当时，函数的单调减区间为，单调增区间为. （3） 【解析】 【分析】(1)利用函数求导求解处的切线斜率并计算切线方程. (2)求导后通过对范围的分类讨论来求得各个情况下的单调区间. (3)通过恒成立条件化简为关于的不等式并构造新函数，通过单调性求解其极值. 【小问1详解】 当时，，求导得，则，而， 所以函数的图象在处的切线方程为. 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得 ， 当时，由，得或， ①当时，由，得或，由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增. ②当时，由，得或，由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增. ③当时，由，得，由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增. ④当时，可得恒成立，则函数在上单调递减， 所以当时，函数的单调减区间为，单调增区间为. 当时，函数的单调减区间为，单调增区间为， 当时，函数的单调减区间为，无单调增区间， 当时，函数的单调减区间为，单调增区间为. 【小问3详解】 当时，不等式转化为， 令函数，求导得， 令，求导得， 故函数在上单调递减， 且，，则函数在内存在唯一的零点， 当时，，，在上单调递减， 当时，，，在上单调递增， 则，又，即， 则，即， 所以，即实数a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市天津益中学校2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第I卷第1页，第II卷第2页． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将答题卡交回． 祝各位考生考试顺利！ 第I卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，则各图对应的相关系数最小的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5. 已知实数满足，则（ ） A. B. 8 C. D. 9 6. 设的内角，，所对边的长分别为，，．若，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知平面向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 设的近似值为2.7183，则（ ） A. B. C. D. 9. 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第II卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 10. i是虚数单位，若复数是纯虚数，，则______． 11. 在的二项展开式中，的系数是__________结果用数字作答）. 12. 若随机变量服从正态分布，且的概率，则的概率______． 13. 已知离散型随机变量的分布列如表所示，当取最小值时，________． 1 2 3 14. 已知函数的部分图象如图所示，其中，下列五个命题：①的最小正周期为；②的值为或；③将图象上的所有点向右平移个单位长度后，得到的函数图象关于原点对称；④函数在单调递减；⑤．其中真命题有______． 15. 在中，，则______；若，与的夹角为，则的最大值为______． 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知函数． （1）写出的最小正周期和图象的对称中心坐标； （2）求在的最小值； （3）若，求的值． 17. 在中，角、、的对边分别为、、，已知. （1）求的值； （2）若，求 （i）的值； （ii）的值. 18. 某位老师要从第1课至第10课的10篇不同课文中随机抽取3篇让学生背诵，若学生至少能背诵出2篇，则视为背诵合格．已知小明同学只会背诵第1课至第3课的3篇课文． （1）设在小明同学抽到的3篇课文中，他能背诵出篇，求的分布列； （2）小明同学背诵合格的概率； （3）在“小明同学至少抽到1篇会背诵的课文”的条件下，求小明同学背诵合格的概率． 19. 已知函数． （1）若，求； （2）若，求函数的极值； （3）若函数的最小值为0，求的值． 20. 已知函数（）． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，讨论的单调性； （3）若时，恒成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $