精品解析：江苏省扬州市广陵区红桥高级中学2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试题

红桥高级中学2026-2027学年高三年级上学期第一次月考数学试卷 （考试时间120分钟，满分150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 随机从某花圃内选取一盆花卉，它处于水肥适宜土壤的概率为0.8，处于干旱缺水土壤的概率为0.2，两种土壤状态不可能同时出现，且不存在其他土壤环境．已知花卉处在水肥适宜土壤中，正常开花的概率为0.9；处在干旱缺水土壤中，正常开花的概率为0.5．现从该花圃内随机选取一盆花卉，则该盆花卉能够正常开花的概率为（ ） A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.82 5. 已知是奇函数，则的单调递增区间为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知直线是函数图象的一条切线，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 某校对“学生性别与喜欢某款社交软件是否有关”作了一次调查，结果显示喜欢该软件的学生人数是不喜欢该软件的，喜欢该软件的学生中男生占比为，不喜欢该软件的学生中男生占比为.若有99%的把握认为是否喜欢该软件与性别有关，则参与调查的男生至少有（ ） 参考公式：. 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A. 12人 B. 18人 C. 24人 D. 30人 8. 设，若存在实数，，，满足，且，则的范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某果园收获苹果的果实横径 (单位：)服从正态分布，且，.从收获的苹果中随机抽取100个，记其中果实横径在区间的个数为，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，满足，则a，b，c的大小关系可能是（ ） A. B. C. D. 11. 已知正方体的棱长为是正实数，点分别满足，，，则（ ） A. 当时， B. 当时，与平面所成角为定值 C. 当时，平面将正方体分成体积比为的两部分 D. 当时，点到平面距离的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集是_____． 13. 已知，则_____． 14. 若实数a，b，c，d满足，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，求的最小值； （2）已知x，y是正实数，且，求的最小值. 16. 已知命题是假命题. （1）求实数的取值集合； （2）设不等式的解集为A，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 17. 如图，在三棱台中，平面，，，． （1）证明：平面． （2）若H为的中点，求与平面所成角的正切值． 18. 某物流园区使用无人配送车完成园区内的末端配送，为比较算法与算法的运行效果，技术人员分别随机抽取采用这两种算法完成的个订单，记录从无人车出发到订单送达所用的时间（单位：分钟）．将配送时长分为，，，，，，共六组，得到如下频率分布直方图．园区规定：配送时长少于分钟的订单为准时订单．以配送时长位于各区间的频率代替配送时长位于该区间的概率，假设每个订单是否准时送达相互独立． （1）求采用算法时，个订单准时送达的概率． （2）从总体中随机选取个订单，其中个采用算法，个采用算法．设这个订单中准时订单的个数为，求的分布列． （3）为兼顾算法测试与配送效率，调度中心提出两个方案：方案一为“动态调度方案”，即第个订单采用算法，若该订单准时送达，则第个订单仍采用算法，否则第个订单改用算法；方案二为这个订单均采用算法．设方案一中这个订单中准时送达的个数为，方案二中这个订单中准时送达的个数为．有人认为，，判断这一观点是否正确，并说明理由． 19. 已知，函数． （1）求函数的所有零点之和； （2）证明：，； （3），，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 红桥高级中学2026-2027学年高三年级上学期第一次月考数学试卷 （考试时间120分钟，满分150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定集合A中元素，根据集合的交集运算即可求得答案. 【详解】由题意得集合，， 故， 故选:C. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可确定答案. 【详解】命题“，”为特称命题， 其否定为全称命题：，， 故选：B. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角的三角函数关系式和二倍角公式计算即得. 【详解】由两边取平方，得， 即，解得. 4. 随机从某花圃内选取一盆花卉，它处于水肥适宜土壤的概率为0.8，处于干旱缺水土壤的概率为0.2，两种土壤状态不可能同时出现，且不存在其他土壤环境．已知花卉处在水肥适宜土壤中，正常开花的概率为0.9；处在干旱缺水土壤中，正常开花的概率为0.5．现从该花圃内随机选取一盆花卉，则该盆花卉能够正常开花的概率为（ ） A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.82 【答案】D 【解析】 【分析】由全概率公式及互斥事件的概率公式求解即可. 【详解】记事件表示：“选取的花卉处于水肥适宜土壤”， 事件表示：“选取的花卉处于干旱缺水土壤”， 事件表示：“选取的花卉正常开花”， 则有, , , 所以 . 5. 已知是奇函数，则的单调递增区间为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用奇函数性质求出的解析式，再利用二次函数单调性求出即可. 【详解】当时，，则， 又∵是奇函数，∴，即， 即， 当时，二次函数，开口向上，对称轴为， 故单调递增区间为， 当时，二次函数，开口向下，对称轴为， 故单调递增区间为， 综上所述，的单调递增区间为. 6. 已知直线是函数图象的一条切线，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，切线的斜率为2， 设切点为， 由，得，则，即， 则切点为，代入，得，即. 7. 某校对“学生性别与喜欢某款社交软件是否有关”作了一次调查，结果显示喜欢该软件的学生人数是不喜欢该软件的，喜欢该软件的学生中男生占比为，不喜欢该软件的学生中男生占比为.若有99%的把握认为是否喜欢该软件与性别有关，则参与调查的男生至少有（ ） 参考公式：. 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A. 12人 B. 18人 C. 24人 D. 30人 【答案】B 【解析】 【分析】由有99%的把握认为是否喜欢该软件与性别有关可得，列方程求男生人数的范围，结合条件确定男生人数的最小值. 【详解】设喜欢该软件的有人，则不喜欢的有人，总人数，列联表为： 喜欢 不喜欢 合计 男 女 合计 于是，所以， 若有99%的把握认为是否喜欢该软件与性别有关，则，即， 又表中数据须为整数，故的最小值为9， 此时男生的人数为18，即参与调查的男生至少有18人. 8. 设，若存在实数，，，满足，且，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出函数的图象，分析，，，间的关系，然后结合二次函数求解即可. 【详解】函数的图象如图所示： 因为，，所以，所以 所以，所以， 因为，，所以， 所以 ， 又因为，所以， 所以的范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某果园收获苹果的果实横径 (单位：)服从正态分布，且，.从收获的苹果中随机抽取100个，记其中果实横径在区间的个数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由正态分布的对称性求得对称轴，再求得，然后由二项分布的期望和方差分别求得. 【详解】因为， 所以， 由正态分布的对称性可知，即， 所以，A错误，B正确， 所以，所以，C错误， ，D正确. 10. 已知，满足，则a，b，c的大小关系可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】引入中间变量将原等式转化为、和，随后通过对赋不同的正数值来验证选项即可. 【详解】令，因为恒成立，所以， 则有， 设，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，即恒成立， 即，即， 令，则有，进而有， 令，因为.所以，即，即，进而， 因此，即恒成立，排除D选项， 取，， 此时，即，B选项正确， 取，， ，，，所以，进而有，A选项正确， 取，， 由上知，所以，即，进而，故C正确. 11. 已知正方体的棱长为是正实数，点分别满足，，，则（ ） A. 当时， B. 当时，与平面所成角为定值 C. 当时，平面将正方体分成体积比为的两部分 D. 当时，点到平面距离的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用空间向量法求解，选项A，利用向量的数量积求解；选项B，求出平面的法向量，利用向量的数量积求出与平面所成角的正弦值，通过反例得到结论；选项C，求出点的轨迹方程，从而得到平面截正方体的截面，得到截面将正方体截得的一部分为三棱台，利用棱台的体积公式求出三棱台的体积，从而得到结论；选项D，求出平面的法向量，利用距离公式求出点到平面的距离，利用二次函数的图像和性质求出点到平面的距离的最大值. 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为， 所以，，，， ，，，， 则，， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 则，， 选项A：当时，因为， 所以，则A正确. 选项B：因为平面的法向量为， 设直线与平面所成的角为，则， 且， 因为，所以， 因为不是定值，所以不是定值，则B错误. 选项C：因为，所以， 将代入点，得到转化为， 设，则，则， 取的中点，的中点， 则点的轨迹为的中位线， 则平面截正方体得到梯形， 且为的中点，为的中点， 所以为三棱台， 因为，所以， 因为，所以， 则， 因为正方体的体积为， 所以另一部分的体积为， 则，则C正确. 选项D： ， 向量， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，则， ， 则点到平面的距离为 ， 令，则， 因为，所以，当且仅当时取等号， 则 设，对称轴为，， 则，则D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】将不等式的常数2移项并通分，再转化为一元二次不等式求解. 【详解】即，即，即， 等价于解得，即 所以不等式的解集是： 13. 已知，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式拆角，借助于二倍角的余弦公式计算即得. 【详解】因，， 则. 14. 若实数a，b，c，d满足，则的最小值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】将变形为，再把看作两点间的距离，问题转化为曲线上动点与直线上动点的距离的最小值，转化为求与直线平行且与曲线相切的直线的切点问题，即可得解. 【详解】由题意得， 欲求的最小值，则先求的最小值， 实数，，，满足， ，． 分别设，． 则对于的最小值， 可看作曲线和直线上的动点与的最小距离， 设直线与曲线相切于点， 则，，解得，， ．点到直线的距离， 即的最小值为， 得到的最小值为8. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，求的最小值； （2）已知x，y是正实数，且，求的最小值. 【答案】（1）6；（2） 【解析】 【分析】（1）结合基本不等式即可求解； （2）利用乘1法，结合基本不等式即可求解． 【详解】当时，，当且仅当，即时取等号， 故的最小值6； ，y是正实数，且， 则， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为 16. 已知命题是假命题. （1）求实数的取值集合； （2）设不等式的解集为A，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得到是真命题，从而将问题转化为二次函数在区间内恒成立问题，由此得解； （2）先由必要不充分条件的性质得到集合是集合的真子集，再分类讨论得到解集，从而列不等式求得的取值范围. 【小问1详解】 因为命题是假命题， 所以命题是真命题， 所以在上恒成立， 令，则开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以， 所以，即，故. 【小问2详解】 因为是的必要不充分条件， 所以集合是集合的真子集，又， 因为对应的方程的根为或， 当，即时，由得，则， 所以，则，故； 当，即时，由得，显然，即，满足题意； 当，即时，由得，则， 所以，则，故； 综上：，即. 17. 如图，在三棱台中，平面，，，． （1）证明：平面． （2）若H为的中点，求与平面所成角的正切值． 【答案】（1）证明：因为平面，平面， 所以． 因为，，， 所以由可得， 则，所以． 因为，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得出线线垂直，进而利用三角形相似求出，由勾股定理得出垂直关系，进而利用线面垂直判定定理得出结论； （2）利用面面平行找出线面角，构造辅助线，利用几何法找出线面角，计算相关线段长度，求出线面角的正切值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面平面， 所以与平面所成的角即为与平面所成的角． 如图，取上靠近点A的三等分点M，连接，， 则，， 所以四边形是平行四边形，所以． 因为平面，所以平面， 所以即为与平面所成的角． 因为，，， 所以， 即与平面所成角的正切值为． 18. 某物流园区使用无人配送车完成园区内的末端配送，为比较算法与算法的运行效果，技术人员分别随机抽取采用这两种算法完成的个订单，记录从无人车出发到订单送达所用的时间（单位：分钟）．将配送时长分为，，，，，，共六组，得到如下频率分布直方图．园区规定：配送时长少于分钟的订单为准时订单．以配送时长位于各区间的频率代替配送时长位于该区间的概率，假设每个订单是否准时送达相互独立． （1）求采用算法时，个订单准时送达的概率． （2）从总体中随机选取个订单，其中个采用算法，个采用算法．设这个订单中准时订单的个数为，求的分布列． （3）为兼顾算法测试与配送效率，调度中心提出两个方案：方案一为“动态调度方案”，即第个订单采用算法，若该订单准时送达，则第个订单仍采用算法，否则第个订单改用算法；方案二为这个订单均采用算法．设方案一中这个订单中准时送达的个数为，方案二中这个订单中准时送达的个数为．有人认为，，判断这一观点是否正确，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）方案一中，的所有可能取值为、、．， ， ， 所以． 方案二中，由题意可知，所以． 因为，所以题中观点不正确. 【解析】 【分析】（1）把前3组准时送达的频率相加，即为所求概率； （2）先求得1个订单采用算法准时送达的概率为，记采用算法的个订单中准时送达的个数为，采用算法的个订单中准时送达的个数为，则，然后根据，求概率及分布列； （3）求出，，再由判断题中观点不正确. 【小问1详解】 根据题意可得个订单采用算法准时送达的频率为， 所以个订单采用算法准时送达的概率为． 【小问2详解】 同（1）可得个订单采用算法准时送达的概率． 记采用算法的个订单中准时送达的个数为，采用算法的个订单中准时送达的个数为，则，，． 的所有可能取值为、、、， ， ， ， ， 所以的分布列为 【小问3详解】略 19. 已知，函数． （1）求函数的所有零点之和； （2）证明：，； （3），，求的取值范围． 【答案】（1）0 （2）令． 则，令， ，令，则， 则在在上单调递增，则， 所以在上单调递增，则， 故在上单调递增，有， 所以，． （3） 【解析】 【分析】（1）先由 判定 为 上的奇函数，从而零点关于原点成对对称出现（含原点本身），由对称性直接得出所有零点之和. （2）构造函数 ，用"连续多次求导、逐层判断导函数单调性并结合端点值非负"的方法，从而得证. （3）先由 分离参数得 ，令 求出 的必要下界；再对导函数 作换元放缩（利用 的范围）证明当 不小于该下界时 在 上单调递减，由单调性验证充分性，最终确定 的取值范围. 【小问1详解】 依题意，函数的定义域为， 定义域关于原点对称， 因为， 所以为上的奇函数． 若，则必有． 又，故函数的所有零点之和为0. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 依题意，．因为，又由（2）可得，． 所以，，有． 当时，， 令，则， 故在恒成立， 所以在上递减，故． 所以的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $