精品解析：江西省南昌市新建区第二中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

新建二中2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题 命题人:李勇审题:周灿 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若直线与平行，则m的值为（ ） A. －2 B. －1或－2 C. 1或－2 D. 1 3. 已知点A(2，1)，点B为两条直线与x+y－1=0的交点，则|AB|的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 4. 过点和，圆心在轴上的圆的方程为 A. B. C. D. 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C在第一象限内的一点，，则的面积为（ ） A. B. C. 2 D. 6. 已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于1的点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知椭圆，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，，平分角，是角的外角平分线，则与的面积之和为( ) A. 1 B. C. 2 D. 3 8. 已知点为直线上一动点，点，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若两圆与相外切，则实数m的值为（ ） A. B. C. D. 10. 若两条平行直线：与：之间的距离是，则的值可能为（ ） A. 3 B. 9 C. 12 D. 15 11. 蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆，其蒙日圆为圆，过直线上一点作的两条切线，切点分别为，则（ ） A. 的方程为 B. 四边形面积的最小值为 C. 的最小值为 D. 当点坐标为时，直线方程为 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线过点和点，直线：，若，则____. 13. 已知点，点为直线上的动点，则的最小值为_____. 14. 已知直线l：与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆的两条切线，记M是CD的中点，则的最小值为_____. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程． 16. 已知圆的圆心在直线上，且圆与轴相切于点． （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆相交于两点，求． 17. 已知的顶点，直线的方程为，边上的高所在直线的方程. （1）求顶点和的坐标； （2）求的外接圆的方程. 18. 过点的直线与圆交于两点，为圆与轴正半轴的交点． （1）若，求直线的方程； （2）证明：直线的斜率之和为定值． 19. 已知点为圆的一个动点. （1）动点的坐标满足. （i）求点的轨迹的方程； （ii）过作圆的一条切线交曲线于两点，求的取值范围. （2）若这条切线与圆交于两点，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新建二中2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题 命题人:李勇审题:周灿 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线的斜率，利用直线斜率与倾斜角的关系可得出结果. 【详解】因为直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，， 所以， 故该直线的倾斜角为. 故选：C. 2. 若直线与平行，则m的值为（ ） A. －2 B. －1或－2 C. 1或－2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用两直线平行的判定有，即可求参数值. 【详解】由题设，，可得或.经验证不重合，满足题意， 故选：C. 3. 已知点A(2，1)，点B为两条直线与x+y－1=0的交点，则|AB|的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先求出直线的定点，根据题意可以判断当直线AB与直线x+y－1=0垂直时，|AB|最小，进而求得答案. 【详解】直线，则直线过定点，根据题意，当直线AB与直线x+y－1=0垂直时，|AB|最小，点到直线x+y－1=0的距离，即|AB|的最小值为. 故选：B. 4. 过点和，圆心在轴上的圆的方程为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 假设圆心坐标，利用圆心到两点距离相等可求得圆心，再利用两点间距离公式求得半径，从而得到圆的方程. 【详解】设圆心坐标为： 则：，解得： 圆心为，半径 所求圆的方程为： 本题正确选项： 【点睛】本题考查已知圆心所在直线和圆上两点求解圆的方程的问题，属于基础题. 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C在第一象限内的一点，，则的面积为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，根据椭圆的方程可求得利用余弦定理可求出值，再利用三角形面积公式即可求解. 【详解】因为，所以，， 设，，在中，由余弦定理得， 即，所以， 根据椭圆的定义可知，代入可求得， 故的面积为． 故选： 6. 已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于1的点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的标准方程得到圆的圆心和半径，计算圆心到直线的距离并判断直线和圆的位置关系，再结合半径，判断到直线的距离为1的两条直线与圆的位置关系即可. 【详解】易知圆的圆心为，半径为2， 圆心到的距离， 所以直线与圆相交，结合圆半径为2，到直线的距离为1的直线有两条， 可得一条与圆相切，一条与圆相交， 因此圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1. 故选：C. 7. 已知椭圆，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，，平分角，是角的外角平分线，则与的面积之和为( ) A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用题设条件给出的几何图形特征知，点M到直线PF1、PF2的距离都等于点M到x轴的距离，由此计算三角形面积得解. 【详解】解：因为平分角，是角的外角平分线， 所以到的距离等于到轴的距离1，到的距离等于到轴的距离1， 如图，椭圆，，分别为椭圆的左、右焦点， 为椭圆上一点，作一圆与线段F1P，F1F2的延长线都相切， 并且与线段PF2也相切，切点分别为D，A，B， ， ， 所以(c为椭圆半焦距)，从而点A为椭圆长轴端点， 即圆心M的轨迹是直线x=a(除点A外)， 因点M(2,1)在的平分线上，且椭圆右端点A(2,0)， 所以点M是上述圆心轨迹上的点， 即点M到直线F1P，PF2，F1F2的距离都相等，且均为1， 与的面积之和为. 故选：C 8. 已知点为直线上一动点，点，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过构造关系找到定点，将最值转化为求的最值，进而转化为最值，则点线距求解可得. 【详解】∵，∴. ∴P点轨迹是以点为圆心，为半径的圆，记为圆C， 设在x轴上存在定点，使得圆上任意一点，满足， 则， 化简得， 又∵，代入得， 要使等式恒成立，则，即. ∴存在定点，使圆上任意一点P满足， 则， 当三点共线（位于两侧）时，等号成立. 又点为直线上一动点，则的最小值即为点到直线的距离， 由到直线距离，则. 故. 如图，过作直线的垂线段，垂线段与圆的交点即为取最值时的点，此时取到最小值. 故选：D. 【点睛】方法点睛：借助可以转化,最后把动点到定点的距离转化为到点到直线的距离，进而由几何性质求解最值. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若两圆与相外切，则实数m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】 根据圆心距等于两圆半径之和列式可解得结果. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 依题意可得，即，化简得，解得或. 故选：AB 【点睛】关键点点睛：根据圆心距等于两圆半径之和求解是解题关键. 10. 若两条平行直线：与：之间的距离是，则的值可能为（ ） A. 3 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】BC 【解析】 【分析】根据平行关系求出，两平行线间的距离求出可得答案. 【详解】由题意知，解得，所以：， 又：，即， 所以，解得或， 所以或． 故选：BC． 11. 蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆，其蒙日圆为圆，过直线上一点作的两条切线，切点分别为，则（ ） A. 的方程为 B. 四边形面积的最小值为 C. 的最小值为 D. 当点坐标为时，直线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】当切线切点分别为椭圆上顶点和右顶点时，可得两切线交点坐标，求出半径，可判断A选项； 结合切线性质和勾股定理，可知最小时，四边形面积最小，再由点到直线距离公式求出，由面积公式即可判断B选项； 设，由切线性质得，，结合和基本不等式即可判断C选项； 当点坐标为时，在以线段为直径的圆上，根据两圆公共弦求法，即可判断D选项. 【详解】A选项：当切线切点分别为椭圆上顶点和右顶点时，可得两切线交点坐标为，所以蒙日圆半径为2，所以蒙日圆的方程为，所以A正确； B选项：，所以只需要求最小值， 因为，所以只需要求的最小值， 最小值为到直线的距离， 所以最小值为，所以四边形面积最小值为，所以B错误； C选项：设，所以，所以， 所以 ，当且仅当时，等号成立， 由选项B知，等号可以取到，所以C正确； D选项：当点坐标为时，在以线段为直径的圆上，所以圆心为，半径为，所以圆的方程为，与圆联立可得直线方程为，所以D正确. 故选：ACD 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线过点和点，直线：，若，则____. 【答案】 【解析】 【分析】由斜率公式得到，再利用点斜式得到直线的方程，最后利用两直线平行的充要条件解出即可. 【详解】直线的斜率，所以直线方程为，即， 因为，所以， 故答案为：. 13. 已知点，点为直线上的动点，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】求点关于直线的对称点的坐标，将问题转化为的最小值即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则与已知直线垂直，且的中点在已知直线上， 即，解得，即， 由得， 而，当且仅当三点共线时，取得最小值， 即取得最小值. 如图， 所以. 故答案为：. 14. 已知直线l：与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆的两条切线，记M是CD的中点，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先确定直线与x轴的交点，利用切线的垂直性质得到所在的圆，进而求出的直线方程并确定其恒过的定点；结合是弦中点的性质，得到的轨迹圆，最后通过点到圆的距离公式求出的最小值. 【详解】由题意设点，，， 因为，是圆的切线，所以，， 所以在以为直径的圆上，其圆的方程为: ，又在圆上， 将两个圆的方程作差得直线的方程为：， 即，所以直线恒过定点， 又因为，，，，四点共线，所以， 即在以为直径的圆上， 其圆心为，半径为，如图所示: 所以， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程． 【答案】或 【解析】 【分析】若直线过原点，设直线方程为，根据直线l经过点求解；若直线不过原点，设直线方程为，根据直线l经过点求解. 【详解】若直线过原点，设直线方程为， 因为直线l经过点， 所以， 所以直线方程为， 若直线不过原点，设直线方程为， 因为直线l经过点， 所以， 所以直线方程为， ∴直线l：或. 16. 已知圆的圆心在直线上，且圆与轴相切于点． （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆相交于两点，求． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）设出圆的方程，利用相切和圆心满足的条件可求答案； （2）求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可得答案. 【小问1详解】 设圆的方程为，则． 因为圆与轴相切于点，所以， 所以，故圆的标准方程为． 【小问2详解】 由（1）知，圆心为,半径为4， 因为圆心到直线的距离为，所以． 17. 已知的顶点，直线的方程为，边上的高所在直线的方程. （1）求顶点和的坐标； （2）求的外接圆的方程. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）联立直线，的方程求出点的坐标，由求出直线的斜率及方程，的方程与直线方程联立求出的坐标； （2）设圆的一般方程为，将三点坐标代入求出圆的一般方程求出的值即可求解. 【小问1详解】 由，解得，所以， ∵，且， ∴，∴，又， ∴直线的方程是，， 由，解得， 所以， 所以，； 【小问2详解】 设的外接圆的方程是， 将，，三点坐标分别代入，得 ，， 的外接圆的方程是. 18. 过点的直线与圆交于两点，为圆与轴正半轴的交点． （1）若，求直线的方程； （2）证明：直线的斜率之和为定值． 【答案】（1）或 （2） 由题设容易得到点坐标， 设直线方程为，联立圆的方程，可得关于的一元二次方程：， 设点，，由根与系数的关系（韦达定理）可得，， 的斜率， 的斜率， 则 ， 所以与的斜率之和为定值，从而结论得证． 【解析】 【分析】(1)首先考虑斜率不存在是否满足题意，再考虑斜率存在时，假设直线方程，结合垂径定理列方程求解斜率即可； (2)由题设得到点坐标,假设直线方程并联立圆的方程，结合韦达定理写出的表达式，化简即可. 【小问1详解】 ①直线垂直于轴时，可得出直线为， 此时直线与圆的两交点距离为，满足题意； ②当直线不垂直轴时，设直线方程为， 因为，所以半弦长为，由勾股定理得弦心距， 又有点到直线的距离公式可得弦心距，解得， 此时直线方程为， 所以满足题设条件的直线的方程为或 【小问2详解】 略 19. 已知点为圆的一个动点. （1）动点的坐标满足. （i）求点的轨迹的方程； （ii）过作圆的一条切线交曲线于两点，求的取值范围. （2）若这条切线与圆交于两点，求的最大值. 【答案】（1）（i）；（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）将点坐标代入圆方程中即可； （ii）求出切线的方程，再与椭圆方程联立，利用两点间距离公式求出，再结合韦达定理化简，最后利用求函数值域； （2）联立直线与圆的方程，分直线的斜率存在、不存在两种情况讨论，若斜率存在，设，根据韦达定理化简，再令，结合基本不等式求最值，最后解一元二次不等式即可. 【小问1详解】 （i）由，得， 因为点为圆的点，有，代入得， 故点的轨迹的方程为； （ii）设切线上任意一点， 则 ， 所以的方程为， 设，则有， 又， 则 ， 同理， 所以， 由，得， 因为，所以， 则，， 则， 则， 因为，所以，所以， 由，则，， 所以的取值范围为. 【小问2详解】 由，得， 设，则，， 当直线的斜率不存在时，或， 若，则或， 则或； 若， 则或， 则或； 当直线的斜率存在时，设， 则 化简得 令，则， 所以，等号成立时， 则，得， 又，所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $