精品解析：山东新泰市第一中学东校2026-2027学年高二上学期第一次质量检测数学试题

2025级高二上学期第一次质量检测 数学试题 2026.10 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点关于平面对称的性质判断即可. 【详解】点关于平面对称时，坐标不变，坐标不变，坐标变为相反数， 所以点关于平面对称的点的坐标为点. 2. 过两点的直线的倾斜角为135°，则的值为（ ）. A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜率和倾斜角的关系，列出等式求解即可． 【详解】由题知，直线的斜率存在，所以A点和B点的横坐标不一样，即， 则，所以，解得或， 又，所以． 故选：B． 3. 已知正四面体OABC的棱长为1，点M在OA上，且，点N为BC中点，则用基底表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理进行求解即可. 【详解】因为N为BC的中点，则，所以，， 则，因此，． 故选：D 4. 已知圆柱的底面半径为，高为，如图，矩形是圆柱的轴截面，点是圆柱下底面圆上一点，且满足，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】证明点为中点，建立空间直角坐标系，写出点坐标和线的方向向量坐标，由空间向量求出线线角的余弦值. 【详解】连接，∵为底面圆的直径，∴，∵，∴， ∴点为中点，即 如图： 在圆柱中可得，， ∴以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ∴，，，， ∴，， 设直线与的夹角为，则. 故选：A. 5. 已知直线的图像如图所示，则角是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】D 【解析】 【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出、，即可得出结果. 【详解】结合图像易知，，， 则角是第四象限角， 故选：D. 6. 在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离． 【详解】以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，0，，，0，，，2，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则 令，则，，所以平面的一个法向量． 点到平面的距离为． 故选：D． 7. 已知，，，与的夹角为，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出向量，的坐标，及向量与的模，再利用空间向量的夹角余弦公式列方程求解即可． 【详解】因为，，， 所以，， 故， 所以，， ， 所以， 因为与的夹角为， 所以， 解得， 经检验，不合题意，舍去，所以． 故选：B． 8. 若向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量线性运算和基本定理即可求解. 【详解】由题意， 令， 所以，解得， 所以在基底下的坐标为， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，则下列选项中正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，根据垂直得到方程，求出；B选项，根据平行得到方程组，求出；C选项，利用模长公式得到方程，求出；D选项，先求出两向量夹角余弦，再由同角三角函数关系得到正弦值. 【详解】A选项，，即，解得，A错误； B选项，，设，，解得，B正确； C选项，， 故，解得，C正确； D选项，时，， 则， 则，D正确. 故选：BCD 10. 下列说法正确的是（　　） A. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 当点到直线的距离最大时，的值为 D. 已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用直线平行求出参数再应用平行线间距离计算判断A，根据垂直得出参数再结合充分不必要条件定义判断B，应用直线的定点结合垂直计算求参判断C，数形结合得出有交点时的斜率范围判断D. 【详解】对于A，直线与直线平行，则，解得， 直线，即， 则与的距离为，选项A正确； 对于B，由两直线互相垂直得，，解得或， 可知“”两直线垂直的充分不必要条件，选项B错误； 对于C，将直线方程变形为，由得， 则直线过定点，斜率为， 当直线与垂直时，点到直线的距离最大， 因为，所以，选项C正确； 对于D，如图，， 由图可知，当或时，直线与线段有交点，故选项D正确. 故选：ACD． 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，若一点P在底面内（包括边界）移动，且满足，则（ ） A. 与平面的夹角的正弦值为 B. 点到的距离为 C. 线段的长度的最大值为 D. 与的数量积的范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】建系，标点，设，根据向量垂直可得.对于A：利用空间向量求线面夹角；对于B：利用空间向量求点到线的距离；对于C：根据空间向量的模长公式分析求解；对于D：根据空间向量的数量积分析求解. 【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设， 可得，， 若，则，可得， 则，解得，即. 对于选项A：可知平面的法向量， 则， 所以与平面的夹角的正弦值为，故A正确； 对于选项B：因为， 所以点到的距离为，故B正确； 对于选项C：因为， 则， 且，可得当且仅当时，取到最大值， 所以线段的长度的最大值为3，故C错误； 对于选项D：因为，， 则， 且，可知当时，取到最小值； 当时，取到最大值； 所以与的数量积的范围是，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线在x轴上的截距为3，则实数m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由横截距为3知直线过点，将其代入直线方程，即可求解． 【详解】因为直线在x轴上的截距为3， 所以直线过，将代入直线方程得，解得． 故实数m的值为． 故答案为： 13. 直线上的一点，到与的距离之差的绝对值的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设点关于的对称点的坐标为，根据两点关于直线对称求出点的坐标，数形结合可知当、、三点共线时，取最大值，即可得解. 【详解】设点关于的对称点的坐标为，连接， 则，即，所以①． 因为的中点在直线上， 所以，即②． 由①②得，所以点的坐标为． 又， 当且仅当、、三点共线时，取最大值. 故的最大值为. 故答案为：. 14. 已知正方体的棱长为，，分别为棱，的中点，，若平面，则实数的值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】由题可建立空间直角坐标系，然后设，结合，求出，再求出平面的一个法向量，由平面，可得，即可求解. 【详解】以D为坐标原点，以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，， 则，，， 设，因，可得，则， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得，即， 又因为平面，则，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 平面直角坐标系中，过点的直线与两坐标轴分别交于两点，面积记为. （1）若直线在轴上的截距为5，求的值； （2）若时，求直线的斜截式方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意可知直线过点，由此可得斜率，再由点斜式得解； （2）设直线在轴上的截距为，由此建立关于的方程，解出即可得直线的斜截式方程. 【小问1详解】 依题意，直线过点， 则其斜率为，方程为， 令，可得， 则； 【小问2详解】 设直线在轴上的截距为， 则直线过点， 故其斜率为，方程为， 令，可得， 则，解得或， 则直线的斜截式方程为或． 16. 已知直线． （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用垂直的性质可设斜截式直线方程，利用待定系数法求解直线即可； （2）利用截距为0和不为0分类讨论，再结合过原点直线方程和截距式直线方程求解即可. 【小问1详解】 由直线可得斜率为， 所以根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线方程为，整理得； 【小问2详解】 联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为， 代入得，此时； 当直线的截距都不为0时，假设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为，即 综上所述：所求直线方程为或． 17. 如图，在平行六面体中，，，，点为的中点，. （1）求的值； （2）求与所成的角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以为基底表示出可求出的值，即可求得结果； （2）根据向量数量积的运算律求得的长，再由向量夹角的计算公式可得结果. 【小问1详解】 因为点为的中点 所以 所以 所以，所以 【小问2详解】 因为 ； 所以； 因为； 又。 所以； 所以直线与所成的角的余弦值为. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面底面，且，设分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） 取中点，因为，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面 所以平面，平面，所以 为中点，，， 已知，以为原点，分别以所在直线分别为轴建系如图，则 ， 因为，平面，，所以平面， 平面的法向量可取， ，又平面平面，得证； （2） 【解析】 【分析】（1）证明与平面的法向量垂直； （2）利用线面角的空间向量求法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，所以平面法向量可取，记与平面成角， 则，因为，所以， 即直线与平面所成角的余弦值为. 19. 如图，在四棱锥中，是斜边为的等腰直角三角形，． （1）求证：平面； （2）求异面直线所成的角； （3）在棱上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：取中点，已知， 又， ， 以为原点，所在直线分别为轴建系如图， ，， 又，，面，面， 面，得证； （2） （3）假设在棱上存在点，使得平面与平面成角余弦值， 由（1）坐标系，， 设， ， 设为平面的一个法向量， 即，取， 平面一个法向量， 设平面与平面夹角，， ． 【解析】 【分析】（1）以为原点，所在直线分别为轴建系，通过向量证明，进而根据线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）根据第一问建立的空间直角坐标系，结合空间线线角的夹角公式进行求解即可； （3）根据第一问建立的空间直角坐标系，假设，并求解平面与平面的法向量，通过空间二面角公式构造等式关系，进而求解参数的值即可得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）坐标系，， 记异面直线，成角． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高二上学期第一次质量检测 数学试题 2026.10 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 过两点的直线的倾斜角为135°，则的值为（ ）. A. 或 B. C. D. 3. 已知正四面体OABC的棱长为1，点M在OA上，且，点N为BC中点，则用基底表示为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆柱的底面半径为，高为，如图，矩形是圆柱的轴截面，点是圆柱下底面圆上一点，且满足，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线的图像如图所示，则角是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 6. 在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（　　） A. B. C. D. 7. 已知，，，与的夹角为，则（　　） A. B. C. D. 8. 若向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，则下列选项中正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 10. 下列说法正确的是（　　） A. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 当点到直线的距离最大时，的值为 D. 已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，若一点P在底面内（包括边界）移动，且满足，则（ ） A. 与平面的夹角的正弦值为 B. 点到的距离为 C. 线段的长度的最大值为 D. 与的数量积的范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线在x轴上的截距为3，则实数m的值为______． 13. 直线上的一点，到与的距离之差的绝对值的最大值为______. 14. 已知正方体的棱长为，，分别为棱，的中点，，若平面，则实数的值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 平面直角坐标系中，过点的直线与两坐标轴分别交于两点，面积记为. （1）若直线在轴上的截距为5，求的值； （2）若时，求直线的斜截式方程. 16. 已知直线． （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 17. 如图，在平行六面体中，，，，点为的中点，. （1）求的值； （2）求与所成的角的余弦值. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面底面，且，设分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 19. 如图，在四棱锥中，是斜边为的等腰直角三角形，． （1）求证：平面； （2）求异面直线所成的角； （3）在棱上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $