精品解析：山东省实验中学2025-2026学年高二科创班上学期1月阶段性测试数学试题

山东省实验中学2024级高二科创班阶段性检测 数学 2026.1 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的. 1. 下列函数为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 复数的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 4. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 5. 已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. D. 6. 我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则冬至所对的晷长为（    ） A. 11.5尺 B. 13.5尺 C. 12.5尺 D. 14.5尺 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且倾斜角为的直线交于第一象限内一点.若轴，的面积为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 当时，关于的不等式仅有两个正整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个是最符合题目要求的，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲、乙两人玩石头、剪刀、布游戏.在一次游戏中，记事件：甲、乙两人出的都是剪刀；事件：甲、乙两人出的相同；事件：甲、乙两人至少有1人出的是布.则（ ） A. 与互斥 B. 与互为对立事件 C. D. 10. 设内角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. 的外接圆面积为 D. 若为中点，则 11. 在三棱锥中，平面，，．若三棱锥的体积为，则（ ）． A. B. 二面角的平面角小于 C. 点A到平面的距离为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，则_________． 13. 已知函数的最小正周期为，时函数图像位于最低点，则________． 14. 掷一枚质地不均匀的骰子，记向上面的点数为X，若，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，是边长为2的正三角形，且. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 16. 已知数列的前项和为，，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，的前项和为，若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 17. 2025年11月9日至11月21日，第15届全运会在广东，香港，澳门成功举办，某运动场馆内共有志愿者36名，其中男生12名，女生24名，这些志愿者中会说日语和会说韩语的人数统计如下： 男生志愿者 女生志愿者 会说日语 8 12 会说韩语 其中均为正整数，． （1）从这36名志愿者中随机抽取两名作为某活动主持人，求：抽取的两名志愿者中至少有一名会说日语的概率； （2）从这些志愿者中随机抽取一名去接待外宾，用表示事件“抽到的志愿者是男生”，用表示事件“抽到的志愿者会说韩语”；试给出所有符合条件的的值，使得事件与相互独立，并说明理由． 18. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F，，为抛物线C上两个不同的动点.当时，. （1）求抛物线C的方程. （2）若直线AB的斜率存在，且过点，直线AO与直线相交于点D，过点D作交x轴于点E. （i）证明：直线BE与抛物线C相切. （ii）是否存在直线AB，使得四边形ABDE的面积为3？若存在，说明直线AB有几条；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数； （1）设函数，求函数的极值； （2）若不等式当且仅当在区间上成立；求的最大值 （3）实数满足，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省实验中学2024级高二科创班阶段性检测 数学 2026.1 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的. 1. 下列函数为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性对选项进行分析，由此确定正确答案. 【详解】A：，定义域关于原点对称，且有，故为奇函数； B：，定义域关于原点对称，且有，故为偶函数； C：，定义域关于原点对称，但是，，故非奇非偶函数； D选项，，定义域，不关于原点对称故为非奇非偶函数． 故选：A 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，再利用交集的定义可得. 【详解】由题得， 因为,所以， 所以. 故选：C. 3. 复数的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数除法，结合复数的意义求解即得. 【详解】， 所以复数的虚部是1. 故选：B 4. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】算出的最小正周期，再根据加绝对值后，函数之间的最小正周期关系得到的最小正周期． 【详解】对于，，因此它的最小正周期为， 加上绝对值后，图象会将x轴下方的部分翻折到x轴上方，如图所示， 由图可知，加上绝对值后，周期不变，所以的最小正周期与一致，均为． 故选：D． 5. 已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算，再结合三点共线的性质，即可得，然后利用代换，结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】 由是边上靠近的三等分点， 可得：， 又因为，所以， 又因为三点共线，所以 又因为， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最小值为， 故选：C 6. 我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则冬至所对的晷长为（    ） A. 11.5尺 B. 13.5尺 C. 12.5尺 D. 14.5尺 【答案】B 【解析】 【分析】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为，冬至的晷长为尺，根据题意，结合等差数列的性质，列出方程组求解即得. 【详解】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为， 则立冬到冬至晷长增加，冬至到雨水晷长减少4，设冬至的晷长为尺， 则，解得，则冬至所对的晷长为13.5尺. 故选：B. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且倾斜角为的直线交于第一象限内一点.若轴，的面积为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用椭圆的图形特征结合椭圆定义及，计算求出参数得出椭圆方程. 【详解】如图，因轴，为线段的中点，，B为线段的中点， 在中，，设，则，. 因为的面积为，所以，解得（负值已舍去）， 所以，，，， 所以，则C的方程为， 故选:C. 8. 当时，关于的不等式仅有两个正整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将不等式转化为不等式，构造函数，求导确定函数的单调性，从而根据不等式整数解的个数列不等式即可得实数的取值范围. 【详解】当时不等式等价于： 设， 则， 所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 所以有两个正整数解2和3，则，解得， 故实数的取值范围是． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个是最符合题目要求的，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲、乙两人玩石头、剪刀、布游戏.在一次游戏中，记事件：甲、乙两人出的都是剪刀；事件：甲、乙两人出的相同；事件：甲、乙两人至少有1人出的是布.则（ ） A. 与互斥 B. 与互为对立事件 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】记“石头”，“剪刀”，“布”，列举样本空间以及确定事件分别对应的样本点，利用事件的关系，结合古典概型计算概率，逐项判断得结论. 【详解】记“石头”，“剪刀”，“布”， 则样本空间，总数为， 事件包含的样本点为，事件包含的样本点为，事件包含的样本点为， 所以与互斥，与不互为对立事件， 又事件包含的样本点为， 所以，，， 所以，故ACD正确，B错误. 故选：ACD. 10. 设内角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. 的外接圆面积为 D. 若为中点，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用余弦定理可求出a，继而可求出，即可判断AB；由正弦定理求出三角形外接圆半径，即可求出的外接圆面积，判断C；根据向量运算可得，平方后可求出，判断D. 【详解】对于A，由余弦定理可得， 所以，故A正确； 对于B，由余弦定理可得， 而， 所以，故B错误； 对于C，设的外接圆半径为R，由正弦定理可得， 所以，所以的外接圆面积为，故C正确； 对于D，因为为中点，所以， 所以， 所以，故D错误. 故选：AC. 11. 在三棱锥中，平面，，．若三棱锥的体积为，则（ ）． A. B. 二面角的平面角小于 C. 点A到平面的距离为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，根据题意，设，，，求出三棱锥的体积得解；对B，由题可得是二面角的平面角，结合判断；对C，由三棱锥等体积法求解判断；对D，设三棱锥外接球的球心为，的外接圆的圆心为，可得，由求出外接球半径得解. 【详解】对于A，设，，， 由平面，知，，可得，， 又，所以，得， 在中，，则， 的面积为， 三棱锥的体积为，，所以，故A正确； 对于B，由平面知是二面角的平面角， 由A，，所以，故B错误； 对于C，的面积为，由三棱锥等体积法可得点A到平面的距离，故C错误； 对于D，如图，设三棱锥外接球的球心为，的外接圆的圆心为，半径为r， 所以平面，且， 则，， 设三棱锥的外接球半径为R，则， 所以三棱锥的外接球的表面积为，故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算得出的坐标，再根据求模公式计算. 【详解】法1：由题意可得，， ， 故，， 故. 法2：由题意可得，. 故答案为： 13. 已知函数的最小正周期为，时函数图像位于最低点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦函数的周期得出，再分类讨论代入计算应用诱导公式计算求解. 【详解】由题意，，则． 当时，根据时，函数图象位于最低点，可得， 所以． 当时，根据时函数图像位于最低点， 可得， 故． 综上，． 故答案为：. 14. 掷一枚质地不均匀的骰子，记向上面的点数为X，若，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据概率的性质和期望的定义分析求解. 【详解】设，则，且， 由，得， 因为， 当且仅当时，等号成立， ，即， 此时，， ，合题意， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，是边长为2的正三角形，且. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 连接，因为四边形是菱形，， 所以为等边三角形， 所以，均是边长为2的正三角形， 取的中点，连接，则， 因为，所以， 所以平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，取的中点，连接，由平面，即可求证； （2）建系求得平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知两两垂直， 所以以点为坐标原点，为轴建系， 则 ， 所以， 设为平面的法向量， 则，令得， 即， 设为平面的法向量， 则，令，得， 所以， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值 16. 已知数列的前项和为，，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，的前项和为，若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义以及的关系求解； （2）利用错位相减法可求得，在根据题意得即可求解. 【小问1详解】 由，得，又， 所以数列是以为首项，公差为1的等差数列， ∴，即， ∴当时， ， 又不满足上式，所以. 【小问2详解】 由（1）知，∴， ∴，① ，② ①−②得：， 整理得， 又因为对任意的正整数，恒成立，所以， ∵， ∴在上单调递增，， 由，可得， 所以实数的取值范围是. 17. 2025年11月9日至11月21日，第15届全运会在广东，香港，澳门成功举办，某运动场馆内共有志愿者36名，其中男生12名，女生24名，这些志愿者中会说日语和会说韩语的人数统计如下： 男生志愿者 女生志愿者 会说日语 8 12 会说韩语 其中均为正整数，． （1）从这36名志愿者中随机抽取两名作为某活动主持人，求：抽取的两名志愿者中至少有一名会说日语的概率； （2）从这些志愿者中随机抽取一名去接待外宾，用表示事件“抽到的志愿者是男生”，用表示事件“抽到的志愿者会说韩语”；试给出所有符合条件的的值，使得事件与相互独立，并说明理由． 【答案】（1） （2） 由题意， 事件  与  相互独立的充要条件是 即， 化简得 又  均为正整数，且 ，同时需满足 ， 当  时，； 当  时，； 当  时，. 因此，符合条件的   的值为： 【解析】 【分析】（1）利用古典概型以及对立事件的概率公式可得答案； （2）利用独立事件的判定公式可得答案. 【小问1详解】 设事件“抽取的两名志愿者中至少有一名会说日语”为 ，则其对立事件为“两名志愿者都不会说日语”， 由题意，志愿者总人数为 36，其中会说日语的人数为 ，故不会说日语的人数为 ， 于是 所以，抽取的两名志愿者中至少有一名会说日语的概率为 . 【小问2详解】 略 18. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F，，为抛物线C上两个不同的动点.当时，. （1）求抛物线C的方程. （2）若直线AB的斜率存在，且过点，直线AO与直线相交于点D，过点D作交x轴于点E. （i）证明：直线BE与抛物线C相切. （ii）是否存在直线AB，使得四边形ABDE的面积为3？若存在，说明直线AB有几条；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） (i)由题知，直线的斜率存在且不为设直线的方程为，由得，所以，直线的方程为 所以点的坐标为. 因为，所以直线的方程为，令，得 所以点的坐标为，所以直线的方程为，整理得，由，得，，所以直线与抛物线相切. (ii)存在，直线AB有2条. 【解析】 【分析】(1)利用抛物线定义，将焦半径转化为横坐标与的表达式，代入已知条件直接求出，得到抛物线方程； (2)(i)设直线的斜截式方程，联立抛物线得到韦达定理关系，求出、坐标后，联立直线与抛物线，通过判别式为证明相切； (ii)把四边形面积拆分为平行四边形与三角形面积之和，代入韦达定理化简得到函数，通过导数分析函数零点个数，确定满足条件的直线数量. 【小问1详解】 由抛物线的定义知，，因为，所以，所以，所以抛物线的方程为 【小问2详解】 (i)略 (ii) 如图，连接，由(i)得，则，又轴，所以四边形为平行四边形，先讨论点在第四象限时， 有： 若四边形的面积为，则：， 整理得，令且，则. 令，则，故在上单调递增. 又， 所以存在，使得 . 在上小于，则在上单调递减，在上大于，则在上单调递增，而，则存在，使得，所以在上有两个零点，分别为和，即在上有个根，此时四边形的面积为的直线有条. 当在第一象限时，由对称性可知点或，特别的：当时，直线垂直于轴， 所以四边形的面积为的直线有条. 19. 已知函数； （1）设函数，求函数的极值； （2）若不等式当且仅当在区间上成立；求的最大值 （3）实数满足，求证：． 【答案】（1）极小值，无极大值 （2） （3）证明： 先证明左边：作差 ； 因为，令，则； 令 当时，，函数在上是增函数，所以， 因此，所以， 即，故； 对于右边 令， 令，则恒成立； 所以在上单调递减， 可得，即， 所以，即， 即，故． 综上得． 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数并判断出其单调性，即可得出极值； （2）结合函数图象将不等式恒成立转化为图象之间位置关系，得出等量关系并求得的表达式利用二次函数性质可求出结论； （3）分别对不等式左右两边利用作差法并构造函数，由导函数求得其单调性即可证明得出结论. 【小问1详解】 ， 令， 令，得， 当时，，当时，， 可得在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，无极大值． 【小问2详解】 ，得， 易知在上单调递减，在上单调递增，即可得在上单调递增； 易知在处的切线方程为，即； 若不等式当且仅当在区间上成立； 结合及的图象可知，需满足， 可得，． 于是， 易知当时，取得最大值， 故． 【小问3详解】 略. 【点睛】关键点点睛：在证明不等式时关键是先利用作差法再根据表达式特征，构造函数并利用导数求出函数单调性及其最值，即可得出结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $