精品解析：黑龙江牡丹江市宁安第二中学，宁安第三中学，宁安第四中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027学年度第一学期九年级综合练习（一） 数学 考生注意： 1．考试时间90分钟； 2．全卷共分三道大题，总分120分； 3．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，满分27分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，即可求解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、 ，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； B、 ，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意； C、 ，不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； D、 ∵， ∴ 即 原方程不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 2. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选：． 3. 将二次函数的图像向右平移个单位，再向上平移个单位，所得图像的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与几何变换，熟知函数图像平移的规律是解题的关键． 根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可． 【详解】解：∵二次函数的图像向右平移个单位，再向上平移个单位， ∴根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线平移后是， 故选：． 4. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 当时，随的增大而增大 C. 函数的最小值是4 D. 抛物线与轴没有交点 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次项系数小于0可判断A；把解析式化为顶点式得到对称轴，根据增减性可判断B；抛物线开口向下，则函数没有最小值，据此可判断C；当时，，利用判别式判断方程是否有实数根即可判断D． 【详解】解：A、∵二次项系数为， ∴抛物线开口向下，原说法错误； B、∵， ∴对称轴为直线， 又∵抛物线开口向下， ∴当时，随的增大而增大，原说法正确； C、∵抛物线开口向下， ∴函数只有最大值，没有最小值，原说法错误； D、当时，，即， 此时， ∴原方程有两个不相等的实数根， ∴抛物线与轴有两个交点，原说法错误． 5. 若函数的图象与轴只有一个交点，则的值为（ ） A. 3或5 B. 3 C. 4或5 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象与坐标轴的交点问题， 根两种情况讨论：当时，直线与x轴有一个交点；当时，满足，抛物线与x轴有一个交点． 【详解】解：当时， 解得，直线与x轴有一个交点； 当时，满足，抛物线与x轴有一个交点， 即， 解得． 所以m的值为3或5． 故选：A． 6. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＞ B. k≥ C. k＞且k≠1 D. k≥且k≠1 【答案】C 【解析】 【详解】根据题意得：k-1≠0且△=22-4（k-1）×（-2）＞0， 解得：k＞且k≠1． 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac，关键是熟练掌握：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 7. 某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率为（ ） A. 10% B. 15% C. 20% D. 25% 【答案】C 【解析】 【分析】设平均每月的增长率为x，原数为200万元，后来数为288万元，增长了两个月，根据公式“原数×（1+增长百分率）2=后来数”得出方程，解出即可． 【详解】解：设平均每月的增长率为x， 根据题意得：200（1+x）2=288， （1+x）2=1.44， x1=0.2=20%，x2=-2.2（舍去）， 所以，平均每月的增长率为20%． 故选：C． 【点睛】本题是一元二次方程的应用，属于增长率问题；解题的关键是根据题意，找出等量关系. 8. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用方程根的定义降次替换二次项，化简代数式后结合韦达定理得到两根之和，整体代入算出结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 9. 如图，二次函数的函数图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，其中，下列结论：①；②；③；④当（）时，；其中正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，不等式的性质，根据二次函数的图象和性质，由函数图象可得，，，根据函数图象可知，对称轴，可得，进行判断①和②，当，，可判断③，当，则，推出，根据题意，二次函数的函数图象经过点，可得，，得到，进行判断，即可． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下，与y轴交于正半轴 ∴，， ∵对称轴在轴和直线之间， ∴， ∴， ∴，，故①②错误； 由函数图象可知，当时，，故③错误； 由函数图象可知，当，， ∴， ∵二次函数的函数图象经过点， ∴当时，，即， ∴， ∵，对称轴在轴和直线之间， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的有1个， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共21分） 10. 若是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程，根据一元二次方程的定义，可知且，由此即可求得m的值． 【详解】解：由题意可知，且， 解得或， 解得：， ∴， 故答案为：． 11. 抛物线的顶点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式，根据形如的抛物线的顶点坐标是解答即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 12. 关于的一元二次方程的一个根为零，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先把代入方程得，然后解关于的一元二次方程，再根据一元二次方程的定义取舍即可． 【详解】解：把代入方程得， 解得或， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义． 13. 若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，设，可得关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 设， 则方程可化为 ∵关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴， ∴， ∴一元二次方程必有一个实数根为． 14. 若点为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是__________．（用“<”连接） 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵，，对称轴为直线， ∴抛物线的开口向上，抛物线上的点到抛物线的对称轴的距离越大，函数值越大， ∵， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查比较二次函数的函数值大小．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 15. 如图，已知抛物线，根据图象写出不等式的解集________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】根据函数图象可得对称轴和与x轴的一个交点的坐标，由对称性求出与x轴的另一个交点的坐标，结合函数图象可得答案． 【详解】解：由函数图象可知，抛物线的对称轴为直线，且抛物线与x轴的一个交点的坐标为， ∴由对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标为， ∴由函数图象可知，不等式的解集为或． 16. 已知二次函数的图象关于直线对称，当时，有最小值，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对称轴求出的值，进而求出函数解析式，得到时，有最小值，进而得到，即可得出结果. 【详解】解：∵二次函数的图象关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最小值， ∵当时，有最小值， ∴， ∴. 三、解答题（共72分） 17. 运用适当的方法解方程 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得； 【小问2详解】 解：， ， 或， 解得； 【小问3详解】 解：， ， 或， 解得. 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程有一个根为3，求方程的另一个根． 【答案】（1） 解：∵， ∴方程总有两个实数根； （2）该方程的另一个根为2 【解析】 【分析】本题考查根的判别式和根与系数的关系．掌握的正负与一元二次方程之间的关系是解题关键；熟记根与系数的关系是解题关键． （1）判断即可证明； （2）设方程的另一个根为m，根据根与系数关系即可得出，解方程组求出另一根． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设方程的另一个根为m，则， 解得， 故该方程的另一个根为2． 19. 阅读下面材料，并完成相应的任务． 求解二元一次方程组，需要通过消元把它转化为一元一次方程来解；求解一元二次方程，需要把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，需要通过去分母把它转化为整式方程来解．各类方程的解法不尽相同，但是它们都用到一种共同的基本数学思想——“转化”，即把未知转化为已知来求解．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程． 例如，解根号下含有未知数的方程：， 通过两边同时平方转化为，解得：，， ∵且． ∴不是原方程的解． ∴原方程的解为． 请仔细阅读材料，解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】仿照例题求解即可． 【详解】解： 方程两边同时平方得， ∴，即， 解得或， ∵且， ∴不是原方程的解， ∴原方程的解为． 20. 已知抛物线与轴交点的坐标分别为，，且． （1）若抛物线与轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写“”“”或“”）： ①________； ②________； ③________． （2）若，，求的取值范围． 【答案】（1）①；②；③ （2） 【解析】 【分析】（1）①根据二次函数与一元二次方程之间的关系可得，，据此可得答案；②③抛物线是抛物线向上平移1个单位长度得到的，且两个抛物线的开口都向上，则，据此可得答案； （2）根据对称轴公式可得，即，据此可得答案． 【小问1详解】 解：①∵抛物线与轴交点的坐标分别为，， ∴， ∵抛物线与轴交点的坐标分别为，， ∴， ∴； ②∵抛物线是抛物线向上平移1个单位长度得到的，且两个抛物线的开口都向上， ∴， ∴； ∴； ③由（1）②得； 【小问2详解】 解：∵抛物线与轴交点的坐标分别为，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 21. 植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为6米的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案：方案甲中的长不超过墙长；方案乙中的长大于墙长． （1）按图甲的方案，设的长为xm，矩形的面积为ym2． ①求y与x之间的函数关系式． ②求矩形的面积y(m2)的最大值． （2）甲、乙哪种方案能使围成的矩形花圃的面积最大，最大是多少？请说明理由． 【答案】（1）①② （2）乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，最大是， 理由如下： 乙方案中，设的长为xm，矩形的面积为ym2． 则：， ∵方案乙中的长大于墙长， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴当时，矩形的面积最大，最大为； ∵， ∴乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，最大是． 【解析】 【分析】（1）①利用矩形的面积公式进行求解即可；②利用二次函数的性质进行求解即可； （2）求出乙方案的最大面积，与甲方案进行比较后，判断即可． 【小问1详解】 解：①设的长为xm，则：的长为， ∴； ②∵甲中的长不超过墙长， ∴， ∵，， ∴时，随的增大而增大， ∴当时，矩形的面积最大，最大为：． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查二次函数的实际应用．解题的关键是根据题意，正确的列出二次函数表达式． 22. 在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整数点”．抛物线（为常数且）与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点． （1）若，抛物线与轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”共有________个； （2）如图①，连接、、，若是直角三角形，求的值． 【答案】（1）15 （2）或 【解析】 【分析】（1）当时，，可得抛物线的顶点的坐标为，再求得点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，当时，，结合图形即可求得“整数点”的个数； （2）先求得抛物线的顶点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则，，，再分三种情况，当时，当时，当时，分别根据勾股定理列出方程即可求解； 【小问1详解】 解：当时，， ∴抛物线的顶点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， 当时，，解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 当时，， 结合图形可知，抛物线与x轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”共有个； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， 当时，，解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 则，，， 当时，，即， 解得：（正值舍去）； 当时，，即， 解得：（正值舍去）； 当时，，即， 此时方程无解； 综上，当或时，是直角三角形． 23. 一水果店销售的苹果，每箱进价40元．市场调查发现，销售价格：每箱售价为50元时，平均每天可售出90箱；售价高于50元时，每提高1元，平均每天销售量将减少3箱．已知当地工商部门规定：苹果的售价每箱不得高于60元． （1）若每箱售价55元，则该苹果平均每天的销售量为________箱； （2）该店平均每天的销售利润为（元），设该店每箱售价提高（元），当为何值时，取得最大？最大利润是多少？ （3）当销售利润为1152元时，求的值． 【答案】（1） （2）当时，w有最大值，最大利润为1200元 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，“售价高于50元时，每提高1元，平均每天销售量将减少3箱”，求解即可； （2）求得利润w与x的关系式，利用二次函数的性质求解即可； （3）根据题意，求得提价x（元）后的利润，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：（箱）， ∴若每箱售价55元，则平均每天该苹果的销售量为箱； 【小问2详解】 解：由题意得， ， ∵，且， ∴当时，w有最大值，最大值为1200， 答：当时，w有最大值，最大利润为1200元； 【小问3详解】 解：由题意得， 整理得， 解得或， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意， ∴． 24. 如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）． （1）求抛物线和直线的解析式； （2）当点在直线上方的抛物线上时，过点作直线垂直于轴，交直线于点，当线段最大时，求点的坐标及的最大值； （3）设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2），的最大值为9 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）分别将，代入抛物线解析式与直线的解析式，即可得解； （2）过点作轴，交直线于点，设点，则点，得到，根据二次函数的性质求解即可； （3）分两种情况：当是平行四边形的一条边时，当是平行四边形的对角线时，分别解答即可得解． 【小问1详解】 解：将，代入直线得： ， 解得：， 故直线的解析式为：； 将，代入抛物线解析式得： ， 解得：， 抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：∵抛物线的表达式为：；直线的解析式为：； 设点， ∵过点作轴，交直线于点， ∴点， ， ∴当时，的最大值为9， 此时； 【小问3详解】 在抛物线：中，令，则；在直线：中，令，则； ，， ， ①当是平行四边形的一条边时，设，则点， 由题意得：，即：， 解得：或或（舍去，此时和重合）， 则点坐标为或或； ②当是平行四边形的对角线时，则的中点坐标为， 设点，则点， 以、、、为顶点的四边形为平行四边形， 的中点即为中点， ，， 解得：或（舍去，此时和重合）， 故点， 综上，点的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期九年级综合练习（一） 数学 考生注意： 1．考试时间90分钟； 2．全卷共分三道大题，总分120分； 3．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，满分27分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 3. 将二次函数的图像向右平移个单位，再向上平移个单位，所得图像的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 4. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 当时，随的增大而增大 C. 函数的最小值是4 D. 抛物线与轴没有交点 5. 若函数的图象与轴只有一个交点，则的值为（ ） A. 3或5 B. 3 C. 4或5 D. 5 6. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＞ B. k≥ C. k＞且k≠1 D. k≥且k≠1 7. 某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率为（ ） A. 10% B. 15% C. 20% D. 25% 8. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，二次函数的函数图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，其中，下列结论：①；②；③；④当（）时，；其中正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共21分） 10. 若是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 11. 抛物线的顶点坐标为________． 12. 关于的一元二次方程的一个根为零，则__________． 13. 若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 14. 若点为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是__________．（用“<”连接） 15. 如图，已知抛物线，根据图象写出不等式的解集________． 16. 已知二次函数的图象关于直线对称，当时，有最小值，则的取值范围是________． 三、解答题（共72分） 17. 运用适当的方法解方程 （1）； （2）； （3）． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程有一个根为3，求方程的另一个根． 19. 阅读下面材料，并完成相应的任务． 求解二元一次方程组，需要通过消元把它转化为一元一次方程来解；求解一元二次方程，需要把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，需要通过去分母把它转化为整式方程来解．各类方程的解法不尽相同，但是它们都用到一种共同的基本数学思想——“转化”，即把未知转化为已知来求解．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程． 例如，解根号下含有未知数的方程：， 通过两边同时平方转化为，解得：，， ∵且． ∴不是原方程的解． ∴原方程的解为． 请仔细阅读材料，解方程：． 20. 已知抛物线与轴交点的坐标分别为，，且． （1）若抛物线与轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写“”“”或“”）： ①________； ②________； ③________． （2）若，，求的取值范围． 21. 植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为6米的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案：方案甲中的长不超过墙长；方案乙中的长大于墙长． （1）按图甲的方案，设的长为xm，矩形的面积为ym2． ①求y与x之间的函数关系式． ②求矩形的面积y(m2)的最大值． （2）甲、乙哪种方案能使围成的矩形花圃的面积最大，最大是多少？请说明理由． 22. 在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整数点”．抛物线（为常数且）与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点． （1）若，抛物线与轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”共有________个； （2）如图①，连接、、，若是直角三角形，求的值． 23. 一水果店销售的苹果，每箱进价40元．市场调查发现，销售价格：每箱售价为50元时，平均每天可售出90箱；售价高于50元时，每提高1元，平均每天销售量将减少3箱．已知当地工商部门规定：苹果的售价每箱不得高于60元． （1）若每箱售价55元，则该苹果平均每天的销售量为________箱； （2）该店平均每天的销售利润为（元），设该店每箱售价提高（元），当为何值时，取得最大？最大利润是多少？ （3）当销售利润为1152元时，求的值． 24. 如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）． （1）求抛物线和直线的解析式； （2）当点在直线上方的抛物线上时，过点作直线垂直于轴，交直线于点，当线段最大时，求点的坐标及的最大值； （3）设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $