精品解析：黑龙江牡丹江市第十六中学2025-2026学年上学期九年级第四次数学学情自测

2025—2026学年上学期九年级第四次质量检测数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 将一元二次方程化为一般形式后，常数项为10，则二次项系数和一次项系数分别为（ ） A. 1，3 B. 1， C. 1，10 D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的相关定义，形如的方程是一元二次方程，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项，据此即可解答． 【详解】解：将一元二次方程化为一般形式为， ∴二次项字数为1，一次项系数为， 故选：B． 2. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 掷一枚骰子，点数是6的一面朝上 B. 下雨天，每个人都打着雨伞 C. 若，则 D. 若实数，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是不等式的性质，化简绝对值，必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据必然事件的概念（必然事件指在一定条件下一定发生的事件）可判断正确答案． 【详解】解：A、掷一枚骰子，点数是6的一面朝上，原说法是随机事件，不符合题意； B、下雨天，不一定每个人都打着雨伞，原说法是随机事件，不符合题意； C、若，则，原说法是不可能事件，不符合题意； D、若实数，则，是必然事件，符合题意； 故选：D． 3. 下列图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B不符合题意； C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 4. 十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮秒，绿灯亮秒，黄灯亮秒．当你拾头看信号灯时，是绿灯的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．用绿灯亮的时间除以时间总数即为所求的概率． 【详解】解：一共是秒，其中绿的是秒， 所以绿灯的概率是， 故选：C． 5. 下列一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系，当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．分别计算出四个方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断各方程根的情况即可． 【详解】解：A．，，方程有2个不相等的实数根，所以A选项不符合题意； B．，方程没有实数根，所以B选项不符合题意； C．，方程有2个不相等的实数根，所以C选项不符合题意； D．，方程有2个相等的实数根，所以D选项符合题意． 故选：D． 6. 自行车停车架，主要用于自行车稳定停放及快速取放，如图1是自行车固定好后，后轮与车架的摆放方式，图2是它的简化示意图，已知后轮与底部停车架切于点A，与侧面停车架切于点B，车轮半径为，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，弧长计算，矩形的判定和性质，连接、，根据切线性质得出，，证明四边形为矩形，得出，根据弧长计算公式求出结果即可． 【详解】解：连接、，如图所示： ∵后轮与底部停车架切于点A，与侧面停车架切于点B， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴的长度为， 故选：B． 7. 某校自启动“书香校园•悦读成长”工程以来，成效显著，形成人人爱读书的良好氛围．该校图书馆三月份借出图书本，五月份借出图书本，设这两个月借出的图书平均每月增长率为，则下列列出的方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到相应的等量关系，注意四、五月份借出图书量是在三月份借出图书量的基础上得到的． 首先表示出四月份借出图书本，五月份借出图书本，然后根据四、五月份共借出图书本列出方程即可． 【详解】解：设四、五月份借出的图书每月平均增长率为，则四月份借出图书本，五月份借出图书本， 根据题意得：， 故选：． 8. 如图1，在菱形ABCD中，∠C＝120°，M是AB的中点，N是对角线BD上一动点，设DN长为x，线段MN与AN长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的坐标为，则图象最低点E的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点F的坐标，可得MB=1，AB=2，连接AC，CM，交BD于点N1，连接A N1，此时MN+AN的最小值=M N1+A N1=CM，根据菱形和直角三角形的性质可得CM=，DN1=，进而即可得到答案． 【详解】解：∵图象右端点F的坐标为，M是AB的中点， ∴BD=，MN+AN=AB+MB=3MB=3， ∴MB=1，AB=2， 连接AC，CM，交BD于点N1，连接A N1，此时MN+AN的最小值=M N1+A N1=CM， ∵在菱形ABCD中，∠C＝120°， ∴∠ABC=60°， ∴是等边三角形， ∴CM⊥AB，∠BCM=30°， ∴BC=2×1=2，CM=， ∵AB∥CD， ∴CM⊥CD， ∵∠ADC=∠ABC=60°， ∴∠BDC=30°， ∴DN1=CD÷cos30°=2÷=， ∴E的坐标为， 故选C． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，函数的图像，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 已知是方程的一个根，代数式的值是________． 【答案】 2025 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；由m是方程的一个根，根据一元二次方程根的定义，可得，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 即， 因此 ， 故答案为2025． 10. 已知圆锥的侧面积为，母线长为，则该圆锥的底面直径为________cm． 【答案】10 【解析】 【分析】根据圆锥侧面的计算公式，求得底面半径，即可求解． 【详解】解：； 解得，所以直径为 故答案为：10． 【点睛】此题考查了圆锥侧面积的计算，解题的关键是熟练掌握圆锥侧面积的计算公式． 11. 下表记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况：由此估计这种苹果树苗的移植成活的概率为__________． 移植的棵数 100 200 500 1000 2000 成活的棵数 81 156 395 800 1600 成活的频率 0.81 0.78 0.79 0.80 0.80 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率，解题的关键是熟知大量反复试验下频率的稳定值即为概率值． 【详解】解：由表格的数据可知，随着试验次数的增加，该苹果树苗的成活的频率稳定在左右， 估计这种苹果树苗的移植成活的概率为， 故答案为：． 12. 如图，正五边形内接于，点F是的中点，连接，则的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，连接，可求出的度数，再由垂径定理的推论可得的度数，再由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵正五边形内接于， ∴， ∵点F是劣弧的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，四边形内接于，，的半径为5，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、垂径定理，关键是通过圆内接四边形的性质求出圆周角的度数，进而得到圆心角的度数，再利用垂径定理求出弦的长度． 【详解】解：如图，连接、． ∵四边形内接于， ∴． ∵， ∴． ∴． 过点作于，由垂径定理得， ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 已知，如图点在直线上运动，点在抛物线上运动，以为底边构造底角为的等腰三角形（、、按顺时针顺序排列），则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，当A在直线上暂时固定时，而B在抛物线上运动，则对应的C，由瓜豆原理，也将在另一条抛物线上运动；A在直线上运动时，整个C对应的抛物线上的每一点也分别在直线上运动，整体形成了抛物线在某条直线方向上的的平移；当点运动到直线上时，，取得最小值，此时，进而求得点的坐标，进而勾股定理即可求解． 【详解】解：∵直线，当时，，当时，， 设直线交，轴于点，则，，则， ∴直线与轴的夹角为， ∵点在直线上运动，点的轨迹也是直线，当运动到上时，取得最小值， ∴轴时，，如图所示， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴的纵坐标为， ，解得：，则 ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，二次函数的性质，勾股定理，得出点的运动轨迹是解题的关键． 15. 如图，已知半圆O的直径为，点A在半径上，B为弧的中点，点C在弧上，以为邻边作矩形，边交于点E．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图：连接、，过点B作于点F，过点F作于点S，作于点T，易得四边形为矩形，有，结合弧、弦、圆心角之间的关系，以及等腰三角形性质得到，利用勾股定理得到，进而求出，最后结合垂径定理求解即可． 【详解】解：如图：连接、，过点B作于点F，过点F作于点S，作于点T， ∵四边形为矩形， ， ∴四边形为矩形， ∴， ∵B为弧的中点， . ， ∵，半圆O的直径为，， ，即F与圆心O重合，， ， ∵， ， ， ， ， ， ∵， . 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形性质和判定、勾股定理、垂径定理、等腰三角形性质以及弧、弦、圆心角之间的关系，灵活运用相关知识是解题的关键． 16. 如图，在中，，，D为的中点，E，F，G分别为线段，线段和线段上的动点均不与线段端点重合，，点P为线段的中点，将线段绕点A顺时针旋转至线段，使得旋转角，则线段的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，圆的性质，根据题意得到点P，H的轨迹是解题的关键． 根据直角三角形的性质可得到点P在以点D为圆心，1为半径的圆上，作射线，连接交于点Q，当点P在线段上时，此时最小，最小值为，当最小时，最小，证明，，从而得到点H在射线上运动，进而得到当时，最小，过点D作于点M，则，可得到，从而得到，再结合锐角三角函数，即可求解． 【详解】解：，，D为的中点， ，，， ． 在直角三角形ABD中，由勾股定理得：． 连接， 点P为线段的中点， ， 点P在以点D为圆心，1为半径的圆上． 如图，作射线，连接交于点Q，当点P在线段上时，此时最小，最小值为． 当最小时，最小． ， ， ． 将线段绕点A顺时针旋转至线段， ， 在和中， ， ， ， ， 点H在射线上运动， 当时，最小，此时最小． 过点D作于点M，则， ， ． ，， ， ， ， ． ，， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分72分，每小题9分） 17. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活运用是解答的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：移项，得 配方，得 即 开方，得 解得，； 【小问2详解】 解：移项，得 则，即， ∴，， 解得，． 18. 如图，已知． （1）的长等于 ； （2）先将向右平移2个单位得到，则点的对应点的坐标是 ． （3）再将绕点按逆时针方向旋转后得到，则点对应点的坐标是 ． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换、勾股定理、作图平移变换，熟练掌握平移的性质、旋转的性质、勾股定理是解答本题的关键． （1）利用勾股定理计算即可． （2）根据平移的性质可得答案． （3）根据旋转的性质可得答案． 【小问1详解】 解：由勾股定理得，， 故答案为：． 【小问2详解】 解：将向右平移2个单位得到，， 点的坐标是， 故答案为：． 【小问3详解】 解：将绕点按逆时针方向旋转后得到，， 点的坐标是． 故答案为：． 19. 如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米．现以点O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系． （1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标； （2）求出这条抛物线的函数表达式． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数图象信息，待定系数法求二次函数解析式，是解题的关键． （1）根据题中已知条件，P点纵坐标为6，横坐标为6，M点横坐标为12. （2）已知M，P的坐标，设抛物线的顶点式，将代入，求抛物线的解析式． 【小问1详解】 解：由题可知米，且点P到x轴和y轴的距离均为6， ∴两点的坐标分别为． 【小问2详解】 解：设抛物线解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴． 故该抛物线的函数表达式为． 20. 在中，，O为边上一点．经过点A，与两边分别交于点E，F，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若与相切于点D，且，求的半径长． 【答案】（1） 证明：∵，经过点A，与两边分别交于点E，F， ∴为半径，为直径， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理可得，根据，再根据同位角相等、两直线平行即可证明结论； （2）如图2，连接，根据切线性质可得，易得，即，由等边对等角可得，则 ，根据可得，即，根据，得，得，得，根据列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，连接， ∵与相切于点D，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴． ∴的半径长为． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形、勾股定理、圆周角定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 21. 为提高学生的科技创新意识，某校准备开设机器人、天文、数学建模、生命科学4门课外活动课程，每名学生在这4门课外活动课程中选择且只能选择1门．学校随机抽取部分学生，对其进行了“我意愿参加的活动课程”问卷调查，将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制成如下不完整的统计表和扇形统计图． 意愿参加活动课程人数统计表 活动课程 机器人 天文 数学建模 生命科学 人数 10 8 15 （1）抽取的学生共有_________人，其中意愿参加天文活动课程的有_________人； （2）若该校有学生1200人，估计全校意愿参加数学建模活动课程的学生有多少人； （3）某班有2名男生和1名女生参加机器人活动课程，现从这3名学生中随机抽取2名学生给老师当助手，请用列举法计算恰好抽到2名男生的概率． 【答案】（1）50，17 （2）192人 （3） 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，用样本频数估计总体频数，用树状图求概率； （1）用生命科学的人数除以生命科学所占的百分比，即可求得总人数，进而求得参加天文活动课程的人数； （2）总人数乘以样本中参加数学建模活动课程的学生人数所占比例即可； （3）用树状图求出从2男1女中随机抽取2名学生给老师当助手所有可能出现的结果情况，进而求出答案即可． 【小问1详解】 解：（人）， （人）， ∴抽取的学生共有50人，其中意愿参加天文活动课程的有17人； 【小问2详解】 解：（人）， ∴全校意愿参加数学建模活动课程的学生有192人； 【小问3详解】 解：根据题意，可以画出如下的树状图： 由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有6种，这些结果出现的可能性相等， ∴P（恰好抽到2名男生）， 答：恰好抽到2名男生的概率是． 22. 某校数学兴趣小组到水果店了解一种苹果的销售情况，并利用所学的数学知识对水果店销售提出合理化建议．经市场调研发现： 材料一：当每千克苹果的售价为元时，每天能销售千克． 材料二：当每千克苹果的售价每降低元，每天的销售量就会增加千克． 任务一：建立函数模型 （1）设每千克苹果降价元，每天销售这种苹果的收入为元，求与的函数关系式； 任务二：设计销售方案 （2）当每千克苹果降价多少元时，该水果店每天销售这种苹果的收入最多？最多为多少元？ （3）若该水果店老板月日销售这种苹果的收入为元，请求出的值． 【答案】（1）；（2）当每千克苹果降价元时，每天的收入最多，最多为元；（3）当的值为或时，老板的收入为元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用及一元二次方程的应用，根据题意列出函数解析式，同时考查利用二次函数的性质求最大利润，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意，销售数量可表示为，利用收入等于每千克的售价乘以销售数量，列出函数关系式即可； （2）根据二次函数的性质即可求解最大值； （3）令，根据二次函数解析式建立方程求解即可． 【详解】解：（1）设每千克苹果降价元，每天销售这种苹果的收入为元， 由题意得． （2）， ∵， ∴当时，有最大值为， ∴当每千克苹果降价元时，该水果店每天的收入最多，最多为元． （3）由题意可得：y， 整理得， 解得，， 答：当的值为或时，老板的收入为元． 23. 在平面直角坐标系中，对于点P和线段，若线段或的垂直平分线与线段恰好交于点或点，则称点为线段的垂直对称点． （1）已知点，． ①在点，，点中，线段的垂直对称点是_______． ②若P是线段的垂直对称点，直接写出点P的纵坐标的取值范围_____； （2）已知，，P是线段的垂直对称点，． ①当，时，直接写出点P的横坐标的取值范围_______； ②若A，B为坐标轴上两个动点，a的取值范围是，b的取值范围是，动点P形成的轨迹组成的图形面积为10，直接写出m与n的数量关系表达式______． 【答案】（1）①，，②； （2）①或，② 【解析】 【分析】（1）①画出图形，再根据垂直对称点的定义判断即可；②先判断是等腰三角形，分别以点和点为圆心，以为半径画圆，所得图形即为点P的轨迹，再根据垂直对称点的定义判断即可； （2）①根据垂直对称点的定义，结合可得线段垂直平分线过点B，即有，分两种情况求解即可；②当在右侧时，当或者时，的取值由1变化至时，点P的轨迹为两条线段；同理当，或者时，的取值由1变化至时，点P的轨迹为两条线段，即可判断出动点形成的轨迹组成的图形为一个平行四边形，同理当在左侧时，动点形成的轨迹组成的图形为一个平行四边形，由此即可得解． 【小问1详解】 ①如图， ∵，，，，， ∴，，，，， ∴点B在的垂直平分线上，点A在的垂直平分线上， ∴线段的垂直对称点是，； ②∵对于点和线段，若线段或的垂直平分线与线段恰好交于点或点， ∴或者， ∴是等腰三角形， 分别以点和点为圆心，以为半径画圆，如图， 当时，点P位于点处， ∴根据等腰三角形的性质可得顶点A在的垂直平分线上， 当时，点P位于点处， ∴根据等腰三角形的性质可得顶点B在的垂直平分线上， 当点P位于点或者点时，点不是线段的垂直对称点， ∵，，， ∴，， ∴点的纵坐标的取值范围：； 【小问2详解】 ①当在右侧时，过P点作轴于点T，如图， ∵是线段的垂直对称点，， ∴点B在的垂直平分线上，， ∴，即是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的横坐标的取值范围：； 当在左侧时，如图：过P点作轴于点T，如图 同理可得：∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述：点P的横坐标的取值范围为或． ②当或者时，的取值由1变化至时，点P的轨迹为两条线段，且两条线段相等； 当或者时，的取值由1变化至时，点P的轨迹为两条线段，且两条线段相等； ∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形， ∴动点形成的轨迹组成的图形为平行四边形， 当在右侧时，如图， ∵的取值范围是，的取值范围是， ∴点A垂直移动的距离为，点B水平移动的距离为， ∴动点形成的轨迹组成的图形为平行四边形的底为，高为，面积为； 当在左侧时，动点形成的轨迹组成的图形也为平行四边形的底为，高为，面积为； ∵动点形成的轨迹组成的图形面积为10， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质等知识，正确理解线段垂直对称点的含义是解答本题的关键． 24. 已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线的解析式是． （1）如图1，求抛物线的解析式： （2）如图2，点P是第四象限抛物线上一点，连接交y轴于点E，若P横坐标是t，的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出t的取值范围）． （3）如图3，在（2）的条件下，在第一象限的抛物线上有一点D，D的横坐标是10，连接交x轴于点T，P恰好在的垂直平分线上，轴交于点F，交x轴于点G，点H在上， ，R在第四象限的抛物线上，P到直线距离为，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意知，当时，代入二次函数关系式得出C坐标，然后求得一次函数值，接着利用一次函数解析式求得A坐标，即可求出结果； （2）点P是第四象限抛物线上一点，得出，然后根据、、三种情况列出面积关系式，即可得出结果； （3）作交于W，交于点V，与交于J，过E作垂直交于I，作垂直交于Q，先求点D、P坐标，然后求、，最后根据即可求解． 【小问1详解】 由题意知：抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，当时，代入，得， 点C坐标为， 直线的解析式是， 将点C 代入解析式得：， 则直线直线的解析式是， 当，直线有，解得， 点A坐标为， 将A 抛物线，有， ， 则抛物线的解析式． 【小问2详解】 令，即， 求得， 点B坐标为， 点P是第四象限抛物线上一点，若P横坐标是t， 当P点与C点平行时，即， ， 解得或； 如图：当时， ， 如图：当时， ； 如图：当时， ； 当时，， 综上所述S与t的函数关系式为：． 【小问3详解】 如图： 作交于W，交于点V，与交于J，过E作垂直交于I，作垂直交于Q， P恰好在的垂直平分线上， 为的垂直平分线， ， ， 将点D的横坐标10代入函数解析式，得， 点D坐标为， 设P点坐标为， ， ，(舍去）， 将代入函数解析式得，即， 点P坐标为， ， ，则点T坐标为， ，则， ， ，则， ，， ， ， ， ， 又在和中， ，， ， ， 由题意知，P到直线的距离为， ， ，即， 又， 在中， ，即， 解得或（舍去）， ． 故答案为：． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查待定系数法、二次函数的性质、函数图像的交点、三角形相似、勾股定理等知识，解题关键是注意方程思想与应用，难点是构造合适的辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年上学期九年级第四次质量检测数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 将一元二次方程化为一般形式后，常数项为10，则二次项系数和一次项系数分别为（ ） A. 1，3 B. 1， C. 1，10 D. ， 2. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 掷一枚骰子，点数是6的一面朝上 B. 下雨天，每个人都打着雨伞 C. 若，则 D. 若实数，则 3. 下列图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮秒，绿灯亮秒，黄灯亮秒．当你拾头看信号灯时，是绿灯的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 下列一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 6. 自行车停车架，主要用于自行车稳定停放及快速取放，如图1是自行车固定好后，后轮与车架的摆放方式，图2是它的简化示意图，已知后轮与底部停车架切于点A，与侧面停车架切于点B，车轮半径为，则的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 某校自启动“书香校园•悦读成长”工程以来，成效显著，形成人人爱读书的良好氛围．该校图书馆三月份借出图书本，五月份借出图书本，设这两个月借出的图书平均每月增长率为，则下列列出的方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 8. 如图1，在菱形ABCD中，∠C＝120°，M是AB的中点，N是对角线BD上一动点，设DN长为x，线段MN与AN长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的坐标为，则图象最低点E的坐标为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 已知是方程的一个根，代数式的值是________． 10. 已知圆锥的侧面积为，母线长为，则该圆锥的底面直径为________cm． 11. 下表记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况：由此估计这种苹果树苗的移植成活的概率为__________． 移植的棵数 100 200 500 1000 2000 成活的棵数 81 156 395 800 1600 成活的频率 0.81 0.78 0.79 0.80 0.80 12. 如图，正五边形内接于，点F是的中点，连接，则的度数是________． 13. 如图，四边形内接于，，的半径为5，则的长为_____． 14. 已知，如图点在直线上运动，点在抛物线上运动，以为底边构造底角为的等腰三角形（、、按顺时针顺序排列），则的最小值为_____． 15. 如图，已知半圆O的直径为，点A在半径上，B为弧的中点，点C在弧上，以为邻边作矩形，边交于点E．若，则的长为______． 16. 如图，在中，，，D为的中点，E，F，G分别为线段，线段和线段上的动点均不与线段端点重合，，点P为线段的中点，将线段绕点A顺时针旋转至线段，使得旋转角，则线段的最小值为________． 三．解答题（共8小题，满分72分，每小题9分） 17. 解下列方程： （1） （2） 18. 如图，已知． （1）的长等于 ； （2）先将向右平移2个单位得到，则点的对应点的坐标是 ． （3）再将绕点按逆时针方向旋转后得到，则点对应点的坐标是 ． 19. 如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米．现以点O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系． （1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标； （2）求出这条抛物线的函数表达式． 20. 在中，，O为边上一点．经过点A，与两边分别交于点E，F，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若与相切于点D，且，求的半径长． 21. 为提高学生的科技创新意识，某校准备开设机器人、天文、数学建模、生命科学4门课外活动课程，每名学生在这4门课外活动课程中选择且只能选择1门．学校随机抽取部分学生，对其进行了“我意愿参加的活动课程”问卷调查，将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制成如下不完整的统计表和扇形统计图． 意愿参加活动课程人数统计表 活动课程 机器人 天文 数学建模 生命科学 人数 10 8 15 （1）抽取的学生共有_________人，其中意愿参加天文活动课程的有_________人； （2）若该校有学生1200人，估计全校意愿参加数学建模活动课程的学生有多少人； （3）某班有2名男生和1名女生参加机器人活动课程，现从这3名学生中随机抽取2名学生给老师当助手，请用列举法计算恰好抽到2名男生的概率． 22. 某校数学兴趣小组到水果店了解一种苹果的销售情况，并利用所学的数学知识对水果店销售提出合理化建议．经市场调研发现： 材料一：当每千克苹果的售价为元时，每天能销售千克． 材料二：当每千克苹果的售价每降低元，每天的销售量就会增加千克． 任务一：建立函数模型 （1）设每千克苹果降价元，每天销售这种苹果的收入为元，求与的函数关系式； 任务二：设计销售方案 （2）当每千克苹果降价多少元时，该水果店每天销售这种苹果的收入最多？最多为多少元？ （3）若该水果店老板月日销售这种苹果的收入为元，请求出的值． 23. 在平面直角坐标系中，对于点P和线段，若线段或的垂直平分线与线段恰好交于点或点，则称点为线段的垂直对称点． （1）已知点，． ①在点，，点中，线段的垂直对称点是_______． ②若P是线段的垂直对称点，直接写出点P的纵坐标的取值范围_____； （2）已知，，P是线段的垂直对称点，． ①当，时，直接写出点P的横坐标的取值范围_______； ②若A，B为坐标轴上两个动点，a的取值范围是，b的取值范围是，动点P形成的轨迹组成的图形面积为10，直接写出m与n的数量关系表达式______． 24. 已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线的解析式是． （1）如图1，求抛物线的解析式： （2）如图2，点P是第四象限抛物线上一点，连接交y轴于点E，若P横坐标是t，的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出t的取值范围）． （3）如图3，在（2）的条件下，在第一象限的抛物线上有一点D，D的横坐标是10，连接交x轴于点T，P恰好在的垂直平分线上，轴交于点F，交x轴于点G，点H在上， ，R在第四象限的抛物线上，P到直线距离为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $