精品解析：北京市第三十五中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试题

2026—2027学年高三（上）数学10月月考 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题可得，所以 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 3. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理. 【详解】方法一：利用等差数列的基本量 由，根据等差数列的求和公式，， 又. 故选：D 方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式， ，故. 故选：D 方法三：特殊值法 不妨取等差数列公差，则，则. 故选：D 4. 已知是定义在上的偶函数，且满足；当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由是定义在上的偶函数，且满足，得， 当时，，所以. 5. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由可求出，再由充分性和必要性的定义即可得出答案. 【详解】若，则，解得：. 所以，而推不出. 故“”是“”的充分而不必要条件 故选：A. 6. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数且在上是增函数 B. 是偶函数且在上是增函数 C. 是奇函数且在上是减函数 D. 是偶函数且在上是减函数 【答案】C 【解析】 【详解】由，解得，定义域关于原点对称， ，， 所以是奇函数. 设，在上单调递增，，在上单调递减， 由复合函数单调性同增异减可知，函数在上是减函数. 7. 曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用导数求得切线方程，再求得切线与两坐标轴的交点，进而可求得三角形面积. 【详解】由，则， ，所以在处切线的方程为，即， 令，得；令，得， 所以切线与坐标轴围成的三角形面积为. 故选：A. 8. 设函数，若函数有四个零点，其中，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出函数图像，根据图像知：，，，计算得到答案. 【详解】，画出函数图像， 如图所示： 根据图像知：，，故，且. 故. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：依据图象得到，是解题的关键. 9. 已知函数的最大值为1，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】法1：（1）当时，由，解得， 故函数定义域为. ①当时，， 当，则，故不存在最大值，不合题意； ②当时，此时，， 故最大值不为，不合题意； ③当时，， 当，则，故不存在最大值，不合题意； （2）当时，则，则函数定义域为. 且由最大值为可知，， 即对任意恒成立，且等号能取到. 设，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故，当且仅当时，， 由对任意恒成立，可知， 又当时，恒有，取不到等号，所以有， 故选：B. 法2：， 由选项知，则定义域为， 故最大值必在极值点处取到，不妨设此极值点为， 由， 则由，可得①， 且，即②， 联立①②解得. 验证：当时，， 则， 设，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； ，且， 且当，；当，； 作出函数的大致图象， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 则，满足题意，故. 法3：由选项知，则定义域为， 由，解得. 同法2验证可得，故满足题意，由选项唯一可得.. 法4：由选项知，则定义域为， 由，解得. 验证：当时，由不等式可得， 故，当且仅当时等号成立， 故满足题意，由选项唯一可得. 10. 已知．用表示中的最大值，设．若函数在区间上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按，和三种情况分类讨论，将零点个数问题转化为一元二次方程在特定区间内解的个数问题即可求解. 【详解】当时，，所以在区间上无零点； 当时，，所以若在区间内存在零点，则， 当时，， 若即，则， 所以在区间内有两个零点，此时，矛盾； 若，即或时，， 所以在区间内有一个零点， 又因为，有两个零点， 当时，或，或， 此时的另一个零点为或，均不在区间内， 当时必须且只需即可（如图所示）， 即，即，解得， 综上实数的取值范围为， 故选：C 二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 函数的定义域是_________． 【答案】 【解析】 【详解】由题，即， ，解得， 则函数的定义域是． 12. 函数在上单调递减，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用复合函数“同增异减”的单调性判定规则，将外层指数函数的递增属性作为切入点，把原函数在指定区间的递减要求转化为内层二次函数的对称轴需满足区间边界条件，快速推导出的取值范围. 【详解】外层函数为指数函数，内层二次函数为. 由于外层函数在全体实数域上是单调递增函数， 因此复合函数的单调性完全由内层函数的单调性决定. 在上单调递减，等价于要求内层二次函数在上单调递减. 二次函数的开口向下，它的单调递减区间是对称轴的右侧，即. 要让是单调递减区间的子集，即： ，解得， 即的取值范围为. 13. 某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，该方案满足下列两个条件：①奖励金额（单位：万元）随着销售额（单位：万元）的增加而增加，且增长速度越来越慢；②销售额为8万元时，奖励金额为1万元，销售额为64万元时，奖励金额为4万元．从以下函数模型，，中选择最恰当的一个来描述奖励金额与销售额之间的关系，若某业务员要得到6万元的奖励，则他的销售额应为_________万元． 【答案】256 【解析】 【详解】由指对幂函数增长速度可知，应该选取，代入点， ，解得，所以，解得. 14. 已知函数，若．则的最小值是______；若的最小值是，则______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】对第一个空，求解分段函数的最小值，需分别分析每一段的单调性与最值： 时利用指数函数的单调性求最小值，时通过二次函数的顶点公式求最小值，再比较两段最小值得到整体最小值；对第二个空已知最小值求参数时，先根据二次函数对称轴与区间的位置关系分类讨论，确定两段函数的最小值，再令整体最小值等于列方程求解，最后验证解是否符合对应分类的前提条件. 【详解】当时，， 当时，单调递增，因此单调递增，最小值为， 当时，是开口向上的二次函数， 对称轴为（在区间内），最小值为， 比较两段最小值和，得的最小值为； 当时，单调递增，最小值为， 当时，是开口向上的二次函数，对称轴为， 分情况讨论： 若，则对称轴，时单调递减， ，，，所以时无最小值； 令，方程无解，该情况不成立； 若，则对称轴，时二次函数的最小值为 此时段的最小值为， 由题意最小值为，结合，应有， 解方程，得（舍去）或， 当时，，的最小值为，，的最小值为， 所以的最小值为，符合题意， 综上， 15. 如果的定义域为，存在实数，使得对于定义域内的任意，成立，则称此函数具有“性质”．给出下列命题： ①函数具有“性质”； ②若奇函数具有“性质”，且，则； ③若函数具有“性质”，图象关于点成中心对称，且在上单调递减，则在上单调递减，在上单调递增； ④若不恒为零的函数同时具有“性质”和“性质”，且函数对，，都有成立，则函数是周期函数． 其中正确的是_________（写出所有正确命题的编号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和对称性及单调性，周期性求解. 【详解】①∵， ∴函数具有“性质”；故①正确； ②∵奇函数具有“性质”，且， ，， 是周期为的函数，， 故②不正确； ③∵若函数具有“性质”， 图象关于点成中心对称，且在上单调递减， ，，关于直线对称， ∵图象关于点成中心对称，，即， 又，， 为偶函数， ∵图象关于点成中心对称，且在上单调递减， ∴图象也关于点成中心对称，且在上单调递减， 根据偶函数的对称得出：在上单调递增；故③正确； ④∵若不恒为零的函数同时具有“性质”和“性质” ， ，，∴为偶函数，且周期为， 对任意，，即， 故是周期函数，故④正确． 三、解答题（本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 在等比数列中，，公比，设． （1）求的值； （2）若m是和的等差中项，求m的值； （3）求数列的前n项和． 【答案】（1）4 （2）11 （3） 【解析】 【分析】（1）先求通项公式，再求的值； （2）先求的通项公式，可得和的值，从而可求m的值； （3）利用分租求和的方法，结合等差数列等比数列的求和公式求解即可. 【小问1详解】 因为等比数列中，，公比， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以， 又因为，所以和的等差中项； 【小问3详解】 因为， 所以 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【小问1详解】 当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 18. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调减区间； （3）当时，求的最值． 【答案】（1） （2） （3）的最小值为，最大值为 【解析】 【小问1详解】 解： 的最小正周期 【小问2详解】 由正弦函数单调性可知，当时，函数单调递减. 解得 所以函数的单调递减区间为 【小问3详解】 当时，即时，取得最小值， 当时，即时，取得最大值， 的最小值为，最大值为. 19. 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的青睐．据统计，2025年12月至2026年5月全国新能源市场三种车型月度零售销量数据如下（单位：万辆）： 12月 1月 2月 3月 4月 5月 轿车 28.4 21.3 15.4 26.0 16.7 21.0 MPV 0.8 0.2 0.2 0.3 0.4 0.4 SUV 18.1 13.7 11.7 18.1 11.3 14.5 （1）从2025年12月至2026年5月中任选1个月份，求该月MPV零售销量超过这6个月该车型月度零售销量平均值的概率； （2）从2026年1月至2026年5月中任选3个月份，将其中SUV的月度零售销量相比上个月份增加的月份个数记为X，求X的分布列和数学期望； （3）记2025年12月至2026年5月轿车月度零售销量数据的方差为，同期各月轿车与对应的MPV月度零售销量分别相加得到6个数据的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 （3） 【解析】 【分析】（1）先求平均值，再找出超过平均值的个数，用古典概型求概率； （2）先确定比上个月份增加的个数，再确定随机变量的取值，超几何分布求分布列及数学期望； （3）先计算轿车、轿车和MPV销量之和的平均值，再用方差公式求、 【小问1详解】 由上表可知，这6个月MPV的零售销量分别为： 所以这6个月MPV销量的平均值 这6个月中，销量超过0.38的有3个月份，故所求概率为 【小问2详解】 由上表可知，2026年1月至2026年5月中SUV的销量与上个月份相比增加的月份有3月、5月，共2个月， 未增加的有3个月.从这5个月中任选3个月，X的可能取值分别为. 所以 的分布列为： 0 1 2 数学期望 【小问3详解】 设轿车月度零售销量数据为，MPV月度零售销量数据为，轿车和MPV月度零售销量数据之和为， 则，， 可得 则 20. 已知函数．设l是曲线在点处的切线，且点A是曲线的最低点． （1）求点A的坐标； （2）若点T与点A不重合，求证：存在这样的切线l，使得l经过点A； （3）是否存在过原点的直线l，请直接写出结果（存在或不存在）． 【答案】（1） （2）曲线在处的切线斜率为，切线方程为：， 将代入切线方程：，整理得：， 设，则， 当时，，对应点处的切线， 又，， 则存在，且，使得， 即存在与不重合时，切线经过点，得证． （3）不存在，理由如下： 由（2）知曲线在处的切线方程为：， 若过原点，则， 整理得， 令，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，取得最小值； ，则恒成立， 即方程无解， 故不存在过原点的直线l． 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数的最小值即可得到点A的坐标； （2）根据导数的几何意义得到切线的方程，再把点的坐标代入，得到关于的方程，再利用导数结合零点存在定理判断即可； （3）根据（2）中的切线方程，再代入原点得到关于的方程，令，然后利用导数可得恒成立，方程无解，故不存在过原点的直线l． 【小问1详解】 函数的定义域为， ， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，取得最小值； ， 故点的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 设，已知由正整数组成的集合，集合，，…，是的互不相同的非空子集，定义数表： ，其中，设，令是，，…，中的最大值． （1）若，，且，求，，及； （2）若，集合，，…，中的元素个数均相同，若，求的最小值； （3）若，，集合，，…，中的元素个数均为3，且，求证：的最小值为3． 【答案】（1）， （2）4 （3） 由题可知，，记为集合中的元素个数， 则为数表第列之和． 因为是数表第行之和， 所以． 因为，所以． 所以． 当， 时， ， ． 所以的最小值为. 【解析】 【分析】（1）根据和即可求解， （2）将问题转化为至少有3个元素个数相同的非空子集．分别对中的元素个数进行列举讨论，即可求解， （3）由的定义以及，即可结合，，…，中的元素个数均为3，进行求解. 【小问1详解】 根据和可得，故， 【小问2详解】 设使得， 则，所以． 所以至少有3个元素个数相同的非空子集． 当时，，其非空子集只有自身，不符题意． 当时，，其非空子集只有，不符题意． 当时，，元素个数为1的非空子集有， 元素个数为2的非空子集有． 当时，，不符题意． 当时，，不符题意． 当时，，令， 则，． 所以的最小值为 【小问3详解】 略 【点睛】求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解. 对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年高三（上）数学10月月考 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 4. 已知是定义在上的偶函数，且满足；当时，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数且在上是增函数 B. 是偶函数且在上是增函数 C. 是奇函数且在上是减函数 D. 是偶函数且在上是减函数 7. 曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若函数有四个零点，其中，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数的最大值为1，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 10. 已知．用表示中的最大值，设．若函数在区间上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 函数的定义域是_________． 12. 函数在上单调递减，则的取值范围是_________． 13. 某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，该方案满足下列两个条件：①奖励金额（单位：万元）随着销售额（单位：万元）的增加而增加，且增长速度越来越慢；②销售额为8万元时，奖励金额为1万元，销售额为64万元时，奖励金额为4万元．从以下函数模型，，中选择最恰当的一个来描述奖励金额与销售额之间的关系，若某业务员要得到6万元的奖励，则他的销售额应为_________万元． 14. 已知函数，若．则的最小值是______；若的最小值是，则______． 15. 如果的定义域为，存在实数，使得对于定义域内的任意，成立，则称此函数具有“性质”．给出下列命题： ①函数具有“性质”； ②若奇函数具有“性质”，且，则； ③若函数具有“性质”，图象关于点成中心对称，且在上单调递减，则在上单调递减，在上单调递增； ④若不恒为零的函数同时具有“性质”和“性质”，且函数对，，都有成立，则函数是周期函数． 其中正确的是_________（写出所有正确命题的编号）． 三、解答题（本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 在等比数列中，，公比，设． （1）求的值； （2）若m是和的等差中项，求m的值； （3）求数列的前n项和． 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 18. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调减区间； （3）当时，求的最值． 19. 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的青睐．据统计，2025年12月至2026年5月全国新能源市场三种车型月度零售销量数据如下（单位：万辆）： 12月 1月 2月 3月 4月 5月 轿车 28.4 21.3 15.4 26.0 16.7 21.0 MPV 0.8 0.2 0.2 0.3 0.4 0.4 SUV 18.1 13.7 11.7 18.1 11.3 14.5 （1）从2025年12月至2026年5月中任选1个月份，求该月MPV零售销量超过这6个月该车型月度零售销量平均值的概率； （2）从2026年1月至2026年5月中任选3个月份，将其中SUV的月度零售销量相比上个月份增加的月份个数记为X，求X的分布列和数学期望； （3）记2025年12月至2026年5月轿车月度零售销量数据的方差为，同期各月轿车与对应的MPV月度零售销量分别相加得到6个数据的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明） 20. 已知函数．设l是曲线在点处的切线，且点A是曲线的最低点． （1）求点A的坐标； （2）若点T与点A不重合，求证：存在这样的切线l，使得l经过点A； （3）是否存在过原点的直线l，请直接写出结果（存在或不存在）． 21. 设，已知由正整数组成的集合，集合，，…，是的互不相同的非空子集，定义数表： ，其中，设，令是，，…，中的最大值． （1）若，，且，求，，及； （2）若，集合，，…，中的元素个数均相同，若，求的最小值； （3）若，，集合，，…，中的元素个数均为3，且，求证：的最小值为3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $