北京市丰台区第十八中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

北京市第十八中学高三年级10月检测 数学 一、单选题（10*4=40） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 的展开式中的系数是（ ） A. B. 35 C. 5 D. 4. 等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则的前6项和为（ ） A. 51 B. 66 C. D. 6 5. 若，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 历史上，在5月27日曾有多次地震记录．例如：2006年5月27日，印尼爪哇发生里氏6.3级地震，2024年5月27日，四川木里县发生里氏5.0级地震，经过科学家的研究发现，地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．印尼爪哇地震所释放出来的能量约是四川木里地震的（ ）倍．（精确到1．参考数据：） A. 87 B. 88 C. 89 D. 90 7. 在中，“”是“为锐角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 若函数的图像如图所示，则实数的值可能为 A. B. C. D. 9. 如图所示，弧是以O为圆心，为半径的圆的一部分，满足，，是的中点，在弧上运动，则的最小值为（ ） A. 2 B. -2 C. D. -1 10. 已知函数，在下列结论中： ①是的一个周期； ②的图象关于直线对称； ③在区间上无最大值 正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（5*5=25） 11. 在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕原点顺时针旋转得到线段，则点B的横坐标为____________. 12. 已知是公比为的等比数列，各项符号相同，且成等差数列，则___________. 13. 使成立的一组a，b的值为__________，__________. 14. 已知为奇函数，则实数的值是_________． 15. 已知函数，（），（），给出下列四个命题，其中真命题有________．（写出所有真命题的序号） ①存在实数k，使得方程恰有一个根； ②存在实数k，使得方程恰有三个根； ③任意实数a，存在不相等的实数，使得； ④任意实数a，存在不相等的实数，使得． 三、解答题 16. 已知为数列的前项和，，且成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 17. 已知函数． （1）若，求的值； （2）若在一个周期内的部分取值如下表，： x 0 m 求的解析式及单调增区间． 18. 在中，， （1）求的值. （2）从以下三个条件中选一个作为已知，使得满足条件的存在，求的面积. ①边上的高为7； ②； ③边上的中线长5. 19. 已知二次函数为常数，且 满足条件：， 且方程有等根. （1）求的解析式； （2）是否存在实数、，使定义域和值域分别为［m，n］和［4m，4n］，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由. 20. 已知函数（）. （1）若，求函数的单调区间； （2）若函数在区间和上各恰有一个零点，分别记为和， （ⅰ）证明：函数在两点，处的切线平行； （ⅱ）记曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为S，求的最大值. 21. 设是正整数，数列满足:， 且其任意两项互不相同. 对满足条件的数列，若，定义为，对正整数，定义为. （1）若，数列，直接写出； （2）证明:对任意满足条件的数列，都存在正整数，使得的首项为1； （3）若. 是否存在满足条件的数列，使得的首项不为1？请说明理由. 北京市第十八中学高三年级10月检测 数学 一、单选题（10*4=40） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】B 二、填空题（5*5=25） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】1 【13题答案】 【答案】 ①. 2（答案不唯一） ②. 2（答案不唯一） 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】①②④ 三、解答题 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）； （2），. 【18题答案】 【答案】（1） （2）选①无解；选②或；选③ 【19题答案】 【答案】（1）；（2） 【20题答案】 【答案】（1）单调递增区间为，无单调递减区间 （2）（ⅰ）证明：当时，， 根据题意，零点分别在区间和内，不等于1，因此是方程的两个根， 故，，则，， 且有，则， ， 则， 同理 ， 故函数在两点，处的切线平行； （ⅱ） 【21题答案】 【答案】（1） ；； ；. （2） 下面用数学归纳法证明. 证明：①当时，数列或满足条件； 显然，对数列：经过任意（为正整数）次变换均为数列本身，即首项恒为； 对数列，有，故经过次变换，的首项为， 故当时，存在正整数，使得的首项为； ②假设（）时， 对数列，其中， 都存在正整数，使得的首项为1， 为便于理解，下面叙述为：经过有限次变换，可使首项为； 自然经过有限次变换，也可使首项变为数列的任意项，. 当时，对，其中， （i）若，则是数列的前项中的项，，且， 由题意，的首项也不等于，且经过任意次变换后首项均不为， 即变换仅对前项产生顺序调整，相当于对数列的变换， 故由归纳假设可知，经过有限次变换，可使首项为； (ii)若，设，，， 由题意，经过任意变换，只要没有变换至首项位置，则相当于对数列的变换， 则由归纳假设，经过有限次（设为次）变换，可使首项为， 当时，即，则的首项为，即经过次变换，可使首项为； 当时，即，则的最后一项变换为，则转化为新数列满足，即（i）的情况，故经过有限次变换，也可使首项为； 故对数列，都存在正整数，使得的首项为1； 综合①②可知，对任意满足条件的数列，都存在正整数，使得的首项为1. （3） 不存在满足条件的数列，使得的首项不为1. 原因如下： 以上结论可转化为：任意数列，的首项均为. 由变换的可逆性，又可转化为：任意首项为的数列，均可经过不多于步的逆向变换，可转化为任意原数列. 不妨设原数列为. 首先，定义逆变换：设是正整数，对数列， 若存在，，定义逆变换为， 对正整数，定义为. 由（2）可知，任意数列，要使首项为，当数列中任意项，时，数列才可能取到最大变换次数. 故结论还可转化为，数列，可经过不多于步的逆变换，可使数列中任意项均不在原位置.下面用数学归纳法证明该结论. ①当时，数列，经过一次逆变换得. 由， ②假设（）时，数列可经过不多于步的逆变换，可使数列中任意项均不在原位置. 则当时，对数列， 先将前项即数列：，作逆变换， 由归纳假设，可经过不多于步的逆变换，使数列的前项均不在原位置，记为； 再作一次逆变换可得数列，其中第项， （假设，） 故后面的变换只与前项有关，可经过不多于步的逆变换，使数列的前项均不在原位置， 故共不超过步逆变换. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $