精品解析：安徽省部分校2026-2027学年高三上学期10月学情检测数学试题B

安徽省部分校2026-2027学年高三上学期10月学情检测数学试题B 满分150分，时间120分钟.请在答题卡上作答. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 是奇函数 D. 是偶函数 5. 在无人机集群搜救中，目标区域的未覆盖面积（单位：）与搜索时间（单位：h）满足关系式，其中为目标区域总面积，为常数．某次演练中，搜索1h和3h后的未覆盖面积分别为和．下表给出了不同地形条件下，演练目标区域总面积指标的参考范围，则此次演练的地形属于（ ） 地形复杂程度 高山峡谷 复杂山地 浅丘林地 平原水面 评判指标 （2.5，2.6］ （2.6，2.7］ （2.7，2.8］ （2.8，2.9］ 参考数据：． A. 高山峡谷 B. 复杂山地 C. 浅丘林地 D. 平原水面 6. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且，则的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 8. 下列不等式错误的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的导函数为，若存在使得，则称是函数的一个“类点”，则下列函数中，存在“类点”的是（ ） A. B. C. D. 11. 函数的定义域为，且对任意的实数，都有，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 8为的一个周期 C. 为偶函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是___________． 13. 已知命题，命题．若命题为真命题，则实数的取值范围是___________；若命题和至少有一个是真命题，则实数的取值范围是___________． 14. 已知为幂函数，且，若，则方程的实数解为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，． （1）若，求实数的取值集合； （2）若“，都有”为真命题，求实数的值． 16. 已知 ． （1）若，求函数的单调区间； （2）若是函数的极小值点，求的取值范围． 17. 某校要建造一个高为6m，底面积为，且一面靠墙的长方体形状的体育馆，其中背面利用原有墙体．甲工程队报价为：体育馆前面新建墙体的报价为每平方米300元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米500元，屋顶和地面以及其他报价共计18000元．设体育馆左墙的长度为，且． （1）当左墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（报价低的工程队竞标成功），求的取值范围． 18. 已知函数． （1）若在上单调递减，求实数的取值范围； （2）设函数，若对恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数有两个零点 （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数有两个零点，求实数c的取值范围； （3）在（2）的条件下，设函数的两个零点为，证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省部分校2026-2027学年高三上学期10月学情检测数学试题B 满分150分，时间120分钟.请在答题卡上作答. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，，又，则． 2. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，， 则， 解得． 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】D 【解析】 【详解】由，得； 由，得，得， 分析充分性： 若成立，例如：，， 此时不成立，因此充分性不成立； 分析必要性： 若成立，例如：，， 此时不成立，因此必要性不成立. 所以“”是“”的既不充分又不必要条件． 4. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 是奇函数 D. 是偶函数 【答案】C 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再逐一判断各选项的函数是否满足定义域关于原点对称，并结合奇函数和偶函数的定义判断即可． 【详解】由题意得，函数的定义域需满足， 解得或．令， 其定义域满足或，解得，不关于原点对称， 所以既不是奇函数也不是偶函数，故AB错误； 令，其定义域满足或，解得，关于原点对称， 因为， 所以， 所以是奇函数，故C正确，D错误． 5. 在无人机集群搜救中，目标区域的未覆盖面积（单位：）与搜索时间（单位：h）满足关系式，其中为目标区域总面积，为常数．某次演练中，搜索1h和3h后的未覆盖面积分别为和．下表给出了不同地形条件下，演练目标区域总面积指标的参考范围，则此次演练的地形属于（ ） 地形复杂程度 高山峡谷 复杂山地 浅丘林地 平原水面 评判指标 （2.5，2.6］ （2.6，2.7］ （2.7，2.8］ （2.8，2.9］ 参考数据：． A. 高山峡谷 B. 复杂山地 C. 浅丘林地 D. 平原水面 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，列方程组，求得，再根据对数运算化简，即可判断. 【详解】由题意得，，两式相除得，即，所以， 所以，对应地形为复杂山地． 6. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出两个切点坐标，求得两个曲线的导数，根据导数的几何意义可得.将切点代入两条曲线，联立方程可分别求得，代入其中一条曲线即可求得的值. 【详解】因为直线是曲线的切线，也是曲线的切线， 所以这两个切点都在直线上． 设两个切点分别为，且，， 则，即． 由切点在各自曲线上，得， 将代入①得③， ③-②得，解得．由得， 代入①得， 解得． 7. 已知，且，则的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】将因式分解得到，且，利用基本不等式即可得出答案. 【详解】由题意得，，， 又， 故， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为9． 8. 下列不等式错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数利用导数求解函数的单调性，即可根据选项作答. 【详解】设，当时，在上单调递增， 所以，即，即，所以,故AB正确， 设， 当时，在上单调递增，当时，在上单调递减， 所以，所以，． 取，则，即；取，则，即，故D正确，C错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】因为，所以，故A正确； 当时，，故B错误； 当时，，则，故C错误； 因为，所以，所以，故D正确． 10. 已知函数的导函数为，若存在使得，则称是函数的一个“类点”，则下列函数中，存在“类点”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合题意，根据“类点”定义依次判断即可. 【详解】对于A，求导可得， 令，则， 即，存在实数解，故存在“类点”； 对于B，求导可得， 令，即， ，方程有实根，故存在“类点”； 对于C，求导可得，， 令，整理得， 因为， 所以，方程无实数解，故不存在“类点”； 对于D，，定义域为，求导可得， 令，在同一坐标系中作出函数和的图象，易得其有交点， 所以方程有解，故存在“类点”． 11. 函数的定义域为，且对任意的实数，都有，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 8为的一个周期 C. 为偶函数 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】代入即可求解A，分别代入以及，即可得判断C，在中用替换，得，进而可得，即可判断B，根据以及周期性即可判断D. 【详解】对于，令，得， 又，则，故A正确； 用代替，得，即， 用替换，得，所以， 所以函数为偶函数，故C正确； 在中用替换，得， 所以，所以， 所以，即， 所以为的一个周期，故B错误； ，，所以， 所以，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【详解】作出函数草图如图， 当时，；当时，． 由有两个不相等的实数根得函数的图象与直线有两个交点， 所以． 13. 已知命题，命题．若命题为真命题，则实数的取值范围是___________；若命题和至少有一个是真命题，则实数的取值范围是___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】若命题为真命题，则对恒成立，即； 若命题为真命题，则当时，，当时，， 解得且，所以． 当命题和均为假命题时，， 所以，则命题和至少有一个是真命题时，． 14. 已知为幂函数，且，若，则方程的实数解为___________． 【答案】（写成也正确） 【解析】 【分析】通过幂函数定义求出与，换元结合函数单调性，得到方程唯一实数解为. 【详解】设幂函数（为常数），由，得， 两边取自然对数得，则， 所以． 因为，所以， 等价于， 令，方程转化为，化简得，两边同时除以， 得，当时，左边，满足等式． 设，易得在上单调递减， 因此有唯一解，由，解得，即方程的实数解为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，． （1）若，求实数的取值集合； （2）若“，都有”为真命题，求实数的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先化简集合，由得，分和两类情况讨论求的取值； （2）由题意可得，求解中方程的根，结合包含关系求解即可. 【小问1详解】 解方程，得或，故． 因为，所以． 当时，，满足； 当时，方程的解为，则， 若，解得；若，解得． 综上所述，实数的取值集合为． 【小问2详解】 由得，解得或． 因为“，都有“为真命题，则，且． 当，即时，，显然，符合条件； 当时，，由得，解得，此时，符合条件． 综上所述，实数或． 16. 已知 ． （1）若，求函数的单调区间； （2）若是函数的极小值点，求的取值范围． 【答案】（1）增区间为，减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再根据导函数正负得出单调性即可； （2）根据，分类讨论结合导函数正负得出单调性及极值点计算求解． 【小问1详解】 的定义域为，     ， 因为，所以在区间上恒成立， 所以当时，，单调递增； 当 时，，单调递减； 所以的增区间为，减区间为． 【小问2详解】 由（1）可知，当，为函数的极大值点，不合题意；     下面分析的情形： 当时，在区间上恒成立，不合题意；     当时，，在区间上，，单调递增，在区间 上，，单调递减， 则为函数的极大值点，不合题意；     当时，，在区间 上，，单调递减，在区间上，，单调递增， 为函数的极小值点，符合题意；     综上，，即. 17. 某校要建造一个高为6m，底面积为，且一面靠墙的长方体形状的体育馆，其中背面利用原有墙体．甲工程队报价为：体育馆前面新建墙体的报价为每平方米300元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米500元，屋顶和地面以及其他报价共计18000元．设体育馆左墙的长度为，且． （1）当左墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（报价低的工程队竞标成功），求的取值范围． 【答案】（1）左墙的长度为米时，甲工程队的报价最低 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据题意建立总造价关于左墙长度的函数表达式，再利用基本不等式求该函数在区间上的最小值，验证等号可取得到报价最低时的值； （2）先对不等式分离参数，将恒成立问题转化为求对应函数的最小值，再换元并用基本不等式求出函数最小值，进而得到的取值范围. 【小问1详解】 设甲工程队的总造价为元， 由左墙的长度为，得前面新建墙体长为， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 故当左墙的长度为米时，甲工程队的报价最低． 【小问2详解】 由题意得，对任意恒成立， 即对任意恒成立，所以． 因为， 当且仅当，即时，取得最小值， 所以，所以的取值范围是． 18. 已知函数． （1）若在上单调递减，求实数的取值范围； （2）设函数，若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把复合函数的单调性转化为内层二次函数在区间上单调递减且恒正，由对称轴位置与端点函数值列不等式，由此求得的取值范围； （2）先由换元求出的最大值，再把“任意—任意”型恒成立转化为的最小值不小于该最大值，进而转化为关于的不等式恒成立问题，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 令，其图象开口向下，对称轴为， 又在定义域上单调递增， 故在[1，3]上单调递减等价于在上单调递减且恒成立． 则且，解得， 故的取值范围为； 【小问2详解】 令，由得，则， 当，即时，取最大值4． “对都有”等价于对恒成立， 即，则， 即对恒成立． 易得在上单调递减，在上单调递增，且， 所以，即的取值范围为． 19. 已知函数有两个零点 （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数有两个零点，求实数c的取值范围； （3）在（2）的条件下，设函数的两个零点为，证明． 【答案】（1） （2） （3）不妨设，则由（2）可知，则， 欲证，只需证， 因为在上单调递减，所以只需证， 令， 则， 因为，所以，则， 则在上单调递增，则，故， 故命题成立. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出； （2）利用导函数求出单调性以及极值即可求出； （3），求证即可. 【小问1详解】 ， 当时，，， 则函数在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 若，则，则在上单调递增， 则至多有一个零点，不符合题意； 若，则得；得； 则在上单调递减，在上单调递增， 若函数有两个零点，则，得， 当或时，均有， 故函数有两个零点时实数c的取值范围为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $