安徽省阜南第二中学2026-2027学年高三上学期9月阶段检测数学试卷

@ 高三数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A={x|x2-2x<0),B={x|1og2x≥0)，则A∩B= A.{xl0<x≤1)》 B.{xl0<x<1)} C.(x|0<x<2} D.{x|1≤x<2}》 19π 2.sin 3 的值为 A B、⑧ 2 c吃 D- 3.已知复数z满足之 十1=1-i(其中i为虚数单位)，则1z-2i1= A.√2 B.2 C.√10 D.10 4.函数f(x)=2si oz+2 (w>0)在一个周期内的图象如图所示，则w= 12 12 -2 A号 8 2 C.2 D.4 5.已知函数f(x)=ln x十2 1 十1十2，则 A.f(1一x)十2是奇函数 B.f(-x一1)十2是奇函数 C.f(x一1)一2是奇函数 D.f(x十1)一2是奇函数 ②高三数学第1页（共4页） 6.已知tana=-号，且a∈(x,2x),则sim分 4.203 B.、23 c D.-33 13 13 13 7.已知函数f(x)的导函数为f'(x),若存在xo使得f(xo)=f'(x0),则称xo是函数y= f(x)的一个“T类点”，则下列函数中，不存在“T类点”的是 A.f(x)=cos x+1 B.f(x)=x2十x C.f(x)=2x+1 D.f(x)=In x 8.若直线l与曲线f(x)=aex(a>1),g(x)=e十a都相切，则直线l斜率的最小值为 A.1 B.e C.e2 D.2e 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知复数之1，之2均不为0，则 A.z1一之2=z1一22 B.|z1-z2|=|z1-z2 C,z1·z2=21·之2 D.|z1·22=|z1·z2 10.若正实数a,b满足a十b=1,则 +6的最小值是8 B.√a+√b的最大值是√2 C.(1+a)(1+b)的最大值是9 Da2+262的最小值是 ln(x+1)+ax,x>0, 11.已知函数f(x)= 其中a∈R,则下列说法正确的有 sinx+ax,x≤0， A.存在实数a使得f(x)为R上的奇函数 B.若f(x)为增函数，则实数a的取值范围为[1，十∞) C.对于任意实数a,f(x)的图象上都存在关于原点对称的点 D,若a<一1，则方程f(x)=t有三个不同的实数根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.E知0<a<号<p<,若6sa-0=5cs2a=,则e+g 13.不等式2x+21-x>a的解集为R,则实数a的取值范围是 7 14.已知函数f(x)= a+4(a>0,a≠1)x>2, 有最大值，则实数a的最大值是 x,x≤2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知函数f(x)=2sin(or+g)o>0,0<p<的图象过点(02)，且f(x) 在(0，π)内存在最大值，但不存在最小值. (1)求p的值； (2)求ω的取值范围； (3)若a∈Z,求函数g(x)=f(x)fx一军图象的对称中心. 16.(15分)已知函数f(x)=lnx十ax-1(a∈R). (1)若a<0,判断函数f(x)的单调性； (2)若a=-1,对任意x∈[1,2]，都有f(x)十二≥b成立，求实数b的最大值. 17.(15分)已知函数f(x)=ax2+(a-1)x十a(a∈R) (1)若关于x的不等式f(x)>0的解集是空集，求实数a的取值范围； (2)当a<0时，解关于x的不等式f(x)≤x十2十a. ②高三数学第3页（共4页） 18.(17分)已知函数f(x)=a一ax"(a>0且a≠1，x>0,n∈N). (1)若f(x)≥0恒成立，求实数a的值； (2)讨论函数f(x)的零点个数， 19.(17分)已知函数f(x)=tanz-az,a∈R,x∈0， (1)当a=4时，求函数f(x)的单调区间； (2)若f(x)十2sinx>0,求实数a的取值范围； (3)证明：sin2z·tanx>x,x∈（0,2 ②高三数学第4页（共4页） @ 高三数学参考答案及评分意见 1.D【解析】由题意，得集合A={x0<x<2),B={x|x≥1}，所以A∩B={x1≤x<2}.故选D. 2B【解折1sn(-1g）-如(）-sn6x+-血晋-放选B 3.C【解析】由，年1=1-i,得x=(1-Dz+1-i,所以x=1-4.DD--1i=-1-i所以g-21= i·(-i) 1 -1-i-2i=-1-3i,所以|z-2i=√(-1)2+（-3)2=√10.故选C. 4.C【解折]由函数f)的图象知，函数：)的最小正周期T-2[段-(】元因为w>0,所以T-石- π，解得w=2.故选C. 瓦.C【解析因为了x)=n241 +++2,所以f(x)的定义域为{xlx>0或x<-21. 令g(x)=f(1一x)十2，则其定义域为(-∞，1)U(3,十∞)，不关于原点对称，故g(x)=f(1-x)+2不是奇函 数，故A错误 令g(x)=f(-x-1)+2,则其定义域为(-∞，-1)U(1,+∞)，关于原点对称.g(x)=f(-x-1)+2 -+4图为g-)+ge-h+4+h号+4-++n士士 x+l x 8=8≠0，所以不满足g(-x)=一g(x),所以g(x)=f(-x-1)十2不是奇函数，故B错误. 令gx)=fx-1)-2,其定义域为(-∞，-1)U1,+∞)，关于原点对称g(x)=f(x-1)-2=1n+ 8(一)=n二++=h}=-h}=-g),满足奇函数性质，所以g)=f "x+1 x x-1 x 1)一2是奇函数，故C正确. 令g(x)=f(x+1)一2，其定义域为(-∞，一3)U(-1,十∞)，不关于原点对称，故g(x)=f(x+1)-2不是奇 函数，故D错误故选C. 6.A【解折】因为tama=-号<0，且a∈(，2a),所以a∈（经，2小所以号∈（经小所以sn>0, 设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，则点P(5,一12)是其终边上一点. 因为0P-18所以co。-言所以m号1一e-言所以血号-后-2沿放选A 2 2 7.C【解析】对于A,因为f(x)=cosx+1,x∈R,所以f'(x)=一sinx.由f(xo)=f'(xo),得cosx0十1= -sin xo,所以sin xo十cos zo=-l.当xo=2kx+x,k∈Z时，sin xo=0,cos zo=-l,所以sin xo十cos zo= -1,当z,=2kx+3,k∈Z时，sin,=-1,c0s=0,所以sino十60sx6=-1.所以方程血x十c0s, 一1有解，即函数f(x)=cosx十1存在“T类点”. 对于B,因为f(x)=x2+x,x∈R,所以f'(x)=2x十1.由f(xo)=f'(xo),得x6+xo=2xo十1，所以x6-x。 1=0.因为△=（一1）2-4×1×(-1)>0，所以方程x-x。-1=0有两个不相等的实根，即函数f(x)=x2十x 有两个“工类点”. ②高三数学答案第1页（共8页） 对于C,因为f(x)=2+1,x∈R,所以f'(x)=2ln2.由f(xo)=f'(xo),得20+1=2oln2,所以20= 1 1 1 1-1n2n2-因为2>0，n2<0,所以方程201n2无解，即函数fx)=2:+1无T类点”. 对于D因为e)=lnx>0,所以fx)-是由f,)=f'(,),得n,=去设g(x)=1n- x t't> 0,则g)在(0，十四)上连续且单周递指因为g1=-1,g(0=1-。>0,所以g()只在1,0)内有-个零 点，即函数f(x)=lnx只有一个“T类点”，且位于区间(1，e)内.故选C 8.B【解析】设直线l与曲线f(x)=ae(a>l)切于点(x1,ae1),与曲线g(x)=e十a切于点(x2,e2十a).求 导得f'(x)=ae,g'(x)=e,所以公切线的斜率k=ae1=e,整理得e-1=a,所以x2-x1=lna①. 曲线y=f(x)的切线方程为y一ae1=k(x一x1),即y=kx十k(1-x1),曲线y=g(x)的切线方程为y一 (e2十a)=k(x-x2),即y=kx十k(1-x2)十a,所以k(1-x1)=k(1-x2)十a,得k(x2-x1)=a②. 由①@，得ha=a,所以=。（a>.记a)-品。a>》,求导得'a)-品令友'a)=0,解得 a=e.所以当l<a<e时，k'(a)<0,k(a)单调递减；当a>e时，k'(a)>0,k(a)单调递增.所以当a=e时，k(a) 取最小值，即直线L斜率的最小值为ne=e.故选B. 9.ABD【解析】设z1=a十bi,z2=c十di,a,b,c,d∈R,则a2+b2≠0，c2+d≠0. 因为z1-x2=(a-c)+(b-d)i=(a-c)-(b-d)i, x1-z2=a-bi-(c-di)=(a-c)-(b-d)i,所以z1-x2=z1-z2,故A正确. 因为|z1-z2|=|(a-c)+(b-d)i|=√(a-c)+(b-d)产，|z1-z2|=|(a-c)+(d-b)i|= √(a-c)十(d-b)产，所以x1-之2|=|z1-之2|，故B正确. 因为x1·x2=(a+bi)·(c-diD=(ac+bd)+(bc-ad)i,z1·z2=(a-bi)·(c+di)=(ac+bd)+(ad-bc)i, 所以之1·之2=1·之2不一定成立，故C错误. 因为z1·x2|=√(ac+bd)2+(bc-ad)2,|z1·x2|=√(ac+bd)2+(ad-bc)z, 所以|z1·2=1·x2|,故D正确.故选ABD. 10c【标对于A+-（+a+6)-10++≥10+2·要=16，当且仅当-用6 3如=时取等号，所以日+号的最小值是16，放A结误； a 对于B由士<原-侣得，后+6<原，当且仅当。-6-名时取等号，所以后+5的最大值是 2 √2，故B正确； 对于C,(1+a)(1+b) [4+1+门-[但门-，当且当1+a=1+6,即a=6-时取等 号，所以1+a)1+6)的最大值是号，故C正确， ②高三数学答案第2页（共8页） 对于Da2+26=(1-6+25=36-26+1=36-号)°+号， 当6=号时a2+26取得最小值号，放D错误故选BC ln(x+1)+ax,x>0, 11.BC【解析】因为f(x)= 所以f(x)+f(-π)=ln(π+l)+aπ+[sin(-π)+ sinx十ax,x0, a(-π)]=ln(π十1)≠0，所以f(π)≠一f(-π)，故函数f(x)不为奇函数，故A错误. 当x≤0时，f(x)=sinx十ax,所以f'(x)=cosx十a. 若f(x)为增函数，则f'(x)=cosx十a≥0恒成立，所以一1十a≥0，解得a≥1； 当x>0时，f)=lhx+1D+a,所以f'e)本+a 者f(x)为增函数，则f')三，十1+a20恒成立，所以0+a≥0，解得a≥0 综上，a≥1.当a≥1时，f(0)=0,当x>0时，f(x)=ln(x十1)十ax>0,满足f(x)为增函数，所以实数a的取 值范围为[1，十∞)，故B正确. 当x>0时，令g(x)=f(x)+f(-x)=ln(x+l)+ax+sin(-x)+a(-x)=ln(x+l)-sinx. 因为g爱)=lh2+1-1<0,g(x)=lh(x+1)>0,所以函数gx)在(0，+∞)内存在零点，即方程fx)- 一f(一x)在(0，十∞)内有根，所以对任意实数a,f(x)的图象上都存在关于原点对称的点，故C正确. 当x≤0时，f(x)=sinx十a.x,所以f'(x)=cosx十a.若a<-1,则f'(x)=cosx十a<1-1=0恒成立，所以 函数f(x)在(-∞，0]上单调递减，则f(x)≥f(0)=0.因为当x→一∞时，f(x)→+∞，所以函数f(x)在 (一∞，0]上的值域为[0，+∞) 当>0时，fc)=lnc+1+a,所以f)=+a若a<-1,则f')=十a<1-1=0恒成 立，所以函数f(x)在(0，十∞)上单调递减.因为当x→0时，f(x)→0，当x→十∞时，f(x)→一∞，所以函数 f(x)在(0，十∞)上的值域为(-∞，0). 综上，函数f(x)在定义域R上单调递减，且值域为R,所以方程f(x)=t有且仅有1个实数根，故D错误故 选BC. 12要【锦标抽0a<受BKoa-停a2a=得-吾<。长0,0<2a<登a+9受 2 所以na-》=-oa可=--得) =-25 -5sin2a=√1-cos2a=1- W10 3√/10 10 10 所以ina+)=sin[2a-a-pD]=sin2acos(a-p)-eos2 asin(a-9）=3x5-X 10 510× 又因为<a+B<3,所以a十B=经 3π )〔解析】由题意，得对任意x∈R,不等式2+2>a恒成立.2>0,2十2 ②高三数学答案第3页（共8页） 2亿，当且仅当2-会，即z-号时取等号，所以a<2反，即实数a的取值范周是(-，2@)。 7 1 14.2 【解析】因为f(x)= a+4a>0,a≠1)，x>2, x,x≤2， 所以当x≤2时，f(x)=x在（一∞，2）上单调递增，函数f(x)的最大值为2； 7 当x>2时，f(x)=a+4 若a>1,则f(x)在(2，十∞)上单调递增，且fx)>1+子>2，所以函数fx)不存在最大值。 若0<a<1,则fx)在(2，十o)止单调递减，且}<fx)<a2+ 7 因为雨数了c)有最大值，所以。2+号≤2，解得0<a≤号所以实数a的最大值是号 15.解：(1)因为f(x)=2sin(wx十p),f(0)=√2， 所以sinp= 2 …2分 因为0<9<受，所以g=至 …3分 (2)由1)得，fx)=2 2sim+ 由0Kx<,w>0,得<ar+ …5分 4 因为f(x)在(0，π)内存在最大值，但不存在最小值， 所以由正弦函数的图象，得受 <ωπ十 π3π 4 ≤2" …7分 解得<w<， -5 所以正数ω的取值范围为 15 4'4 ……8分 (3)由u∈么，及(2)得w=1,则fx)=2sinx+开) …9分 所以gx)-f)·fe--4simc+)·sinx-4sin (2 sin 2 =2(z+)=2-g2+n2】 -/(sin 2x-c0s 2x)+/-2sin2x-+/Z. …11分 …12分 所以函数g)图象的对称中心为[+后k∈乙 …13分 ②高三数学答案第4页（共8页） 16.解：(1)因为f(x)=lnx+ax-1,x>0, …1分 所以f'(x)=1+a=ax+1 …2分 x x 令f'(x)=0,解得x=-1 …3分 a 因为a<0,所以当0<x<-上时，f'(x)>0,f(x)单调递增； ……4分 当x>- 时，f'(x)0,f(红)单调递减.… …5分 所以fc)在区间0，一)上单调递增，在区间（日+上单调递减… …6分 (2)若a=-1,则f(x)=lnx-x-1. …7分 令g(x)=f(x)+1=nx-x+1-1, x 2 …9分 x 所以g(x)在区间[1,2]上单调递减.… …11分 因为对任意x∈[1,2]，都有fx)+士≥6成立， 所以b≤g(x)m,x∈[1,2].… …13分 所以6Sge)m=ge)=ln2-2+号-1=lh2- 所以实数6的最大值为1n2,………… …15分 17.解：(1)当a=0时，f(x)=一x,解∫(x)>0,得x<0,解集不是空集，故舍去.…2分 当a≠0时，要使f(x)=a.x2+(a-l)x十a>0的解集为空集，必须满足函数f(x)的图象开口向下且与x轴 最多有一个交点，…。 …4分 即a<0,△=(a-1)2-4a2≤0，即△=-3a2-2a十1≤0，解得a≤-1.…6分 综上，实数a的取值范围是（一0∞，一1门.…7分 (2)由题意，得f(x)≤a十2+x,即f(x)-a-2-x≤0，整理得ax2+(a-2)x-2≤0，即(ax-2)(x+1)≤0. …9分 因为a<0,所以(e-}x+1≥0， 当-1<名即a<-2时，不等式的解集为(-6，-1U[名十…12分 当一1=2，即a=一2时，不等式的解集为R;… …13分 当-1>名即-2a<0时，不等式的解集为-，]U[-1,+) …14分 ②高三数学答案第5页（共8页） 综上，当a<-2时，不等式的解集为(-0，-1U[名，十∞当a=-2时，不等式的解集为R: 当-2a<0时，不等式的解集为，U[-1,十. …15分 18.解：(1)因为f(x)=a一ax",所以f(x)≥0恒成立，即a≥ax恒成立. 两边取自然对数，得xlna≥lna十nlnx, 所以xlna一nlnx一lna≥0恒成立.…2分 令g(x)=xlna-nlnx-lna,则g(x)≥0恒成立. 求导，得g《x)=na-2 因为n∈N”,所以g'(x)在(0，十o∞)上单调递增.…3分 当0<a<1时，lna-”<0在(0，十∞)上恒成立，即g'(x)<0在(0，十oo)上恒成立， x 所以g(x)在(0，十o∞)上单调递减.… …4分 因为g(1)=lna-nln1-lna=0, 所以当x∈(1，十∞)时，g(x)<0,不符合题意.…5分 当a>1时，令g'(x)=0,解得x=na 则当x∈0，a时g'u)<0,当x(a+时g'x)>0, 故8)在0，品上单调递，在（品。+上单调递增 所以gx)≥8(”a …7分 因为g1)=0,所以要使得g《x)≥0恒成立，必有。=1， 解得a=e”.即实数a的值为e.… …8分 (2)由(I)知，函数f(x)的零点个数等价于函数g(x)=xlna-nlnx一lna的零点个数. 由(1)知，当0<a<1时，g(x)在(0，十∞)上单调递减， 且g(1)=0,所以f(x)的零点个数为1.…11分 当a>1时gc)在0，a)上单调递减，在(。十上单调递端。 若a=e”,有且仅有g(1)=0,故f(x)的零点个数为1. 12分 若1<a<e,则a>1,由g=0,得(a)0 又当+时g）十∞，故存在x,∈(。+，使得gx)=0 此时g(x)有两个零点1和x1,故f(x)的零点个数为2…14分 ②高三数学答案第6页（共8页） 若a>e,则0<a<1,由g1)=0,得ga0, 又当x0时，8e)+,故存在0，d,使得g,-0 此时g(x)有两个零点x2和1，即f(x)的零点个数为2.… …16分 综上，当0<a<1或a=e时，函数f(x)的零点个数为l； 当a>1且a≠e"时，函数f(x)的零点个数为2. 17分 19.1)解：当a=4时fe)=anE-4红-0-4红，x∈0引 cos x 则f'(x)=1 …1分 cos'x 1 令f'(x)=0,得cosx=4 因为x∈0，引所以cosx=分解得x=子 0…00…………2 当0C<时cs>2则o<4,即f)<0, 1 所以fx)在(0，)上单调递减…… …3分 当<<时，oms<则z>4,即'>0， 所以f:)在（行·）上单调递增。 …4分 所以函数x)的单调递减区间为0，)，单调递增区间为（行，）】 …5分 (2解：因为fx)=anx-axx∈0，引， 所以f(x)+2sinx>0,即tanx-a.x十2sinx>0.… …6分 设g(x)=anx-ax+2sinx,xe[0,受） 1 ,则g'(x)= …7分 cos2x -a+2cosx.… 若a>3,则g'(0)=3-a<0, 故存在，∈o,引使得VzE(0,g'飞x)<0, 所以g(x)在(0，xo)上单调递减， 所以Vx∈(0，x),总有g(x)<g(0)=0,矛盾. 所以a≤3.…9分 当a≤3时，tanx-a.x+2sinx≥tanx-3x+2sinx. ()-tn r-3+2sinse0) 1 则h'(x)=c0s -3+2cos z. ②高三数学答案第7页（共8页） 令mc)=A').则m)--2sinx=2anx(oz一小>0在6，到}小上框成立； cosx 所以m(c)即A'(x)在o,)上单调递增， 所以h'(x)≥h'(0)=0,… …11分 所以()在[0，》上单调道增， 所以当x∈(0，时，A(x)>h(0)=0,即anx-3x+2sinx>0, 所以tanx一ax十2sinx>0,即原不等式成立. 综上，实数a的取值范围是（一∞，3]. …12分 （③)证明：令a)=snx·anx-xe0,引， 则n'(x）=2 sin xcos xtan x十tan2x-3x2=2sin2x十tan2x-3x2.…l3分 由(2)知，当a=3时，tanx+2sinx>3x,所以tan2x>(3x-2sinx). n'(x)=2sin2x+tan2x-3x2>2sin2x+(3x-2sin x)2-3x2 =6sin2x-12x sin x+6x2=6(sin x-x)2>0. 所以n(x)在(0，)上单阔递增。… …15分 因为当x=0时，sin'tan-x=0,所以当x∈0，时，nx)>0, 即sinx·anx>x,xe(o,经》 …17分 ②高三数学答案第8页（共8页）