精品解析：福建省厦门市同安区同安第一中学2026-2027学年高一上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027学年第一学期学情监测数学学科试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】． 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】利用存在量词的命题的否定要求，改变量词，否定结论即得. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 3. 已知函数，则（        ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为函数 ，则， 所以. 4. 已知集合，，若，则实数a的值为（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】若，则， 所以或. 当时，. 此时不符合集合中元素的互异性，所以； 当时，， 即. 因为，所以，所以， 即. 当时，. 综上所述，. 5. 已知，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】因为，故，则， 若，解得或， 故是的充分不必要条件. 6. 某校利用课外活动时间开展了羽毛球、乒乓球、篮球培训课．甲班共52名学生，每人至少报了上述培训课中的一门．已知报羽毛球、乒乓球、篮球培训课的人数分别为30，25，20，其中既报了羽毛球培训课又报了乒乓球培训课的有13人，既报了羽毛球培训课又报了篮球培训课的有8人，既报了乒乓球培训课又报了篮球培训课的有5人，则同时报了羽毛球、乒乓球、篮球培训课的学生人数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用韦恩图来求解即可. 【详解】设同时报了羽毛球、乒乓球、篮球培训课的学生人数是．由图可知，解得． 故选：C. 7. 若命题“，”为假命题，则实数a可取的最小整数值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】写出原命题的否定，根据原命题的否定为真命题求实数的取值范围，再进行判断. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以原命题的否定“，”为真命题. 所以，使得，所以，. 因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以. 由，所以实数a可取的最小整数值为0. 故选：B 8. 已知函数，若对于任意的实数与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依次分、和三种情况进行分析，当时通过函数的函数值情况得在上需恒成立，进而依据一元二次函数性质即可进一步求解，当时由函数和的函数值情况即可得解，当时由函数的函数值情况得在上需恒成立，再由一元二次函数性质即可求解. 【详解】当时，在上恒成立，在上恒成立，， 而，所以在上需恒成立， 又因为开口向上，所以或， 解得或，所以； 当时，，不恒成立，故不符合； 当时，在上恒成立，在上恒成立，， 而，所以在上需恒成立， 又因为开口向下，所以在上不恒成立，故不符合； 综上可得. 故选：B. 【点睛】思路点睛：依次分、和三种情况先分析函数的函数值情况，进而得出函数的情况是否满足要求或需满足情况的要求，再依据一元二次函数性质即可求解. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意结合函数相等的定义，分析函数的对应关系和定义域，进而逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：因为，与的对应关系不相同， 所以不是同一个函数，故A错误； 对于选项B：因为的定义域为，的定义域为， 两者的定义域不相同，所以不是同一个函数，故B错误； 对于选项C：因为与，即对应关系相同， 且定义域均为，所以是同一个函数，故C正确； 对于选项D：因为与，即对应关系相同， 且定义域均为，所以是同一个函数，故D正确； 故选：CD. 10. 已知均为实数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若， 【答案】AB 【解析】 【分析】结合不等式的性质逐项分析即可. 【详解】选项A，若，则，，即，选项A正确； 选项B，若，，则，，，即，选项B正确； 选项C，若，，取，，，，则，，，选项C错误； 选项D，若，，则，选项D错误. 故选：AB. 11. 若关于x的不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ） A. 不等式的解集是 B. C. 不等式的解集为 D. 设x的不等式的解集为N，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】先利用题给条件求得三者正负号和三者间的关系，进而判断选项A和选项B；化简不等式的解集，判断选项C；设，，根据图象判断选项D. 【详解】关于的不等式的解集为 则,且关于的方程的根为，， 则，解之得， 则不等式为，所以解集为， ，所以A、B都正确； 不等式可化为，即， 所以解集为，或，故C错误； 设，， 则函数的图象向上平移一个单位得的图象，如图， 所以不等式的解集为N，则，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知方程的两个根为，，则________ 【答案】 【解析】 【详解】由题设，则. 13. 已知函数满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法，令，再用表示,代入即可得出答案. 【详解】采用换元法，令，则,所以，故. 故答案为： 14. 设．若正数m，n满足，那么的最小值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】分情况进行讨论，对等式进行变形结合不等式相关计算即可. 【详解】由题意知，，. 当，即时，. 因为，所以，即. 又，所以，所以，当时取等号. 所以，，当，时取等号. 当，即时，. 因为，所以，所以，即. 综上，的最小值为8. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，全集. （1）求，； （2）求. 【答案】（1），. （2）或 【解析】 【分析】（1）利用集合的交并运算即可求解； （2）利用集合的交并补运算即可求解； 【小问1详解】 易知，又， 所以，. 【小问2详解】 已知全集，易知或，， 因此或. 16. 已知． （1）若p为真命题，求a的取值范围； （2）若p，q一个是真命题，一个是假命题，求a的取值范围． 【答案】（1）或； （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用方程有解求出的范围. （2）求出真时的范围，再按一真一假求得答案. 【小问1详解】 由命题p为真命题，得方程有实根，则，解得或， 所以a的取值范围是或. 【小问2详解】 由（1）知，命题为真命题等价于或， ，而当时，，则， 所以命题为真命题等价于， 由一真一假，得真假或假真， 当真假时，；当假真时，， 所以a的取值范围是或. 17. 北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件． （1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ （2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价． 【答案】（1）元 （2）当该商品改革后的销售量至少达到万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为元． 【解析】 【分析】（1）设每件定价为元，根据题意求出此定价下的销售量，即可求得现在的销售的总收入，再根据与原收入的关系，解关于的一元二次不等式； （2）根据改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，列出关于，的不等式，问题转化为关于，的不等式有解，再结合基本不等式即可求解． 【小问1详解】 设每件定价为元，依题意得， 整理得，解得． 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元． 【小问2详解】 依题意知，当时，不等式有解， 等价于当时，有解， 由于，当且仅当，即时等号成立， 所以． 所以当该商品改革后的销售量至少达到万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为元． 18. 已知. （1）若不等式的解集为，求的解析式； （2）若，，求关于的不等式的解集；（结果用表示） （3）若，，，求的最小值. 【答案】（1） （2）时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）由的解集为，得 1和3是方程的两个根，结合韦达定理列方程求解参数，即可得到的解析式； （2）将代入并因式分解，根据确定对应方程的两个根，比较两个根的大小关系，根据一元二次不等式大于0的解集规律得到结果； （3）由得，根据，，结合基本不等式求最小值. 【小问1详解】 的解集为，1和3是方程的两个根，且. ，解得； . 【小问2详解】 ，，. 令，得，则，. ，. 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为. 综合所述，时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为. 【小问3详解】 ，，，得. . ，，. . 当且仅当，即时等号成立. 的最小值为. 19. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. （1）判断：集合，，是否是“完美集”并说明理由； （2）、是两个不同的正数，且是“完美集”，求的取值范围. （3）若为正整数，求：“完美集”. 【答案】（1）不是“完美集”， 是“完美集”； （2）； （3）“完美集”． 【解析】 【分析】（1）根据“完美集”的定义验证； （2）由新定义结合一元二次方程的判别式得出，然后变形为的函数形式，得其范围； （3）在中设，然后由和分类讨论可得． 【小问1详解】 （1）因为，不是“完美集”， 又，所以是“完美集”； 【小问2详解】 是“完美集”，则，，又，所以，同理， 设，则是方程的两不等实根， 所以，解得或，又，所以， ， 因为，所以； 即的取值范围是； 【小问3详解】 若，则，由（2）的解析知，且， 当时，与互质，，而，所以，此时，不合题意； 若，，，不妨设，都是正整数， 则，，， 由得，则， 所以，，所以，，则， 所以； 若，，不妨设，且都是正整数， 则， 由知，(i)， 时，， 即，所以，(ii)，而， (i)式与(ii)式矛盾，所以时不存在“完美集”， 综上，“完美集”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期学情监测数学学科试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合，，则（   ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知函数，则（        ） A. B. C. D. 4. 已知集合，，若，则实数a的值为（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 2 5. 已知，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 某校利用课外活动时间开展了羽毛球、乒乓球、篮球培训课．甲班共52名学生，每人至少报了上述培训课中的一门．已知报羽毛球、乒乓球、篮球培训课的人数分别为30，25，20，其中既报了羽毛球培训课又报了乒乓球培训课的有13人，既报了羽毛球培训课又报了篮球培训课的有8人，既报了乒乓球培训课又报了篮球培训课的有5人，则同时报了羽毛球、乒乓球、篮球培训课的学生人数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 若命题“，”为假命题，则实数a可取的最小整数值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 8. 已知函数，若对于任意的实数与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 已知均为实数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若， 11. 若关于x的不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ） A. 不等式的解集是 B. C. 不等式的解集为 D. 设x的不等式的解集为N，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知方程的两个根为，，则________ 13. 已知函数满足，则__________. 14. 设．若正数m，n满足，那么的最小值为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，全集. （1）求，； （2）求. 16. 已知． （1）若p为真命题，求a的取值范围； （2）若p，q一个是真命题，一个是假命题，求a的取值范围． 17. 北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件． （1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ （2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价． 18. 已知. （1）若不等式的解集为，求的解析式； （2）若，，求关于的不等式的解集；（结果用表示） （3）若，，，求的最小值. 19. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. （1）判断：集合，，是否是“完美集”并说明理由； （2）、是两个不同的正数，且是“完美集”，求的取值范围. （3）若为正整数，求：“完美集”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $