精品解析：福建厦门市同安实验中学2024-2025学年第一学期高一第一次月考数学试题

厦门市同安实验中学2024—2025学年度第一学期高一年级第一次月考 数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的交并补运算即可得解. 【详解】因为全集，集合，所以， 又，所以， 故选：A. 2. 若集合，且，则m的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 0或﹣1 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的元素不重复可解得. 【详解】因为，所以或，解得，或或， 当时，，又集合中不能有相同的元素，所以 故选：B 3. 下列命题是全称量词命题且是真命题的是（ ） A. 存在实数 ，使 B. 所有的素数都是奇数 C. 平面内存在一条直线与两条相交直线都平行 D. 每个四边形的内角和都是360° 【答案】D 【解析】 【分析】先判断各命题的量词类型筛选出全称量词命题，再验证命题真假即可得解 【详解】选项A：含存在量词“存在”，为存在量词命题，不符合要求；且对任意实数 ，均有 ，故 ，该命题为假命题，排除； 选项B：含全称量词“所有的”，为全称量词命题；但素数2是偶数，不是奇数，存在反例，故该命题为假命题，排除； 选项C：含存在量词“存在”，为存在量词命题，不符合要求；且平面内平行于同一直线的两条直线互相平行，不可能与两条相交直线同时平行，该命题为假命题，排除； 选项D：含全称量词“每个”，为全称量词命题；任意四边形均可分割为个不重叠的三角形，结合三角形内角和为，可得四边形内角和为，该命题为真命题，符合要求 4. 设，则“ ”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件重题 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求解，结合充分、必要性的定义判断条件间的关系. 【详解】由， 则“ ”不能推出“”，反之成立， 故“ ”是“”的必要不充分条件. 故选：C 5. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由不等式的性质求出，3a的范围，两式相加即可得出答案． 【详解】因为，，所以，，所以． 故选：D. 6. 设 ，且，则的最大值是（ ） A. 200 B. 50 C. 20 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式来求得的最大值. 【详解】依题意， 当且仅当时等号成立. 故选：A 7. 要制作一个容积为，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（ ） A. 80元 B. 160元 C. 200元 D. 240元 【答案】B 【解析】 【分析】先根据容器容积求得底面积，建立总造价关于底面边长的函数，再利用基本不等式求解总造价的最小值. 【详解】设长方体底面的长为 ，宽为 ，其中 . 由容器容积为、高为 ，可得底面积 . 总造价由底面造价和侧面造价两部分组成：底面造价为 元；侧面为4个矩形，总面积为， 故侧面造价为 元，因此总造价为：   代入 得 . 根据基本不等式，对任意正实数，有，当且仅当 时等号成立. 因此 ，代入总造价公式得：  ， 当且仅当 时等号成立，即该容器的最低总造价为160元. 8. 设， 与 是的子集，若，则称 为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定 与 是两个不同的“理想配集”）的个数是（ ） A. 5 B. 8 C. 9 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】对集合中的每个元素，根据它是否属于 、 进行分类讨论. 元素1和3必须在中，元素2和4不能同时在中. 【详解】依题意，元素2和4不能在中，可分4类情况： ① 只在集合 中，则集合 为 或 或 , ,共有3种情况； ② 只在集合 中，与①类似，共有3种情况； ③2和4分别在集合 、 中，则有 或 共2种情况； ④2和4均不在集合 、 中，则有 共1种情况. 由分类加法计数原理，总数为 种. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知 ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据不等式的性质进行判断可得结论. 【详解】因为 ，，根据不等式的性质，则 ，故A正确； 同理： ，故BC正确. 如，，但不成立，故D错误. 故选：ABC 10. 已知集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的是（ ）  A. B. “ ”是真命题 C. “ ，使得 ”是真命题 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据韦恩图（Venn diagram）可知，集合   与集合  有公共部分，但互不包含.结合集合的交集、补集、并集的定义及运算性质，逐一分析各选项即可. 【详解】选项A：由图可知，集合   与集合  有重叠部分，即公共元素，所以  ，故选项A正确； 选项B：  表示集合  在全集   中的补集，即图中  圆圈外部的区域. 由图可知，集合   中有一部分元素在  的外部（即   独有的部分）， 这部分元素属于   但也属于  ，因此“ ”意味着   中没有元素在  外，即  ， 这与图形不符，故选项B错误； 选项C：命题“ ，使得 ”等价于  . 由图可知两集合有交集，故存在这样的元素，选项C正确； 选项D：根据集合运算的德·摩根定律，  恒成立， 表示既不在   中也不在  中的元素集合等于不在   与  并集中的元素集合，故选项D正确. 11. 已知，， ，则（ ） A. B. C. D. ． 【答案】AC 【解析】 【分析】本题考查基本不等式的应用，结合已知等式变形后代入基本不等式，或通过特值法逐一判断选项即可. 【详解】选项A：由基本不等式得 ，代入已知 ， 可得 ，移项得 ，当且仅当时等号成立，故A正确； 选项B：由 ，结合 得 ； 当趋近于0时，趋近于，趋近于2，小于4，故 不成立，B错误； 选项C： ，结合 得 ， 又 ，故，当且仅当时等号成立，C正确； 选项D：，取代入已知等式得 ， 解得，此时，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知命题 ，则为_________________ 【答案】 【解析】 【详解】根据全称量词命题的否定， 由命题 ， 则 为 . 13. 不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】把分式不等式转化为一元二次不等式计算求解. 【详解】与同解，所以， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 14. 若不等式 对一切实数恒成立，则的取值范围__________． 【答案】 【解析】 【分析】分二次项系数和 两种情况讨论，当 时结合一元二次不等式恒成立的条件求解参数范围. 【详解】若不等式 对一切实数恒成立的问题，需分和 两种情况讨论： 当时： 此时不等式变为：， 该式对所有实数 恒成立，故符合条件； 当 时： 此时不等式为二次不等式，需满足：， ， 令，即： ， 结合，解得： ， 综上，的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集 ，，求： （1） ； （2）. 【答案】（1） ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）直接由交集及并集的定义并结合数轴可得； （2）由补集及交集的定义并结合数轴可得. 【小问1详解】 因为， 由交集的定义得 ，如图： ， 又由并集的定义得 ，如图： ， 因此， ， . 【小问2详解】 由全集 ，，得 或 . 又，由交集的定义得 ，如图： . 16. 解答下列各题： （1）比较 与 的大小； （2）已知，求的最小值，并求取到最小值时 的值； 【答案】（1） ； （2） 的最小值为9，此时. 【解析】 【分析】（1）利用作差法比较即可； （2）利用基本不等式求解即可. 【小问1详解】 因为 ， 所以 ； 【小问2详解】 因为，所以 ， 所以 ， 当且仅当，即 时等号成立. 所以 的最小值为9，此时. 17. 已知关于 的不等式的解集为或． （1）求的值； （2）求关于 的不等式的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集确定对应方程的根，再利用方程的系数与根的关系求参数即可； （2）代入参数，解一元二次不等式即可. 【小问1详解】 关于 的不等式的解集为或， ∴，且和4是方程的两实数根， 由根与系数的关系知，，解得； 【小问2详解】 由（1）知，时， 不等式为 ， ∴不等式的解集是. 18. 已知命题 为真命题.设实数的取值集合为 ， （1）求实数的取值集合 ； （2）设集合 ，若“ ”是“ ”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 已知命题 为真命题， 则关于 的方程 至少有一个实数根. 当时：方程变为 ，存在实数满足方程，所以符合题意； 当 时： 至少有一个实数根的话，其判别式， 则 ，即 且 . 综上所述，实数的取值集合 【小问2详解】 已知集合，，将集合 写成， 因 是 的充分条件，则集合 是集合 的子集， ①当集合 为空集时， 可得，符合题意； ②当集合 不为空集时，则有,解得 . 综上，可得， 即实数的取值范围是. 19. 某企业为了增加工作岗位和增加员工收入，投入90万元安装了一套新的生产设备，预计使用该设备后前年的支出成本为万元，每年的销售收入95万元．设使用该设备前年的总盈利额为万元． （1）写出关于的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利； （2）使用若干年后对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理； 问哪种方案较为合理？并说明理由． 【答案】（1），该设备从第2年开始实现总盈利； （2）方案二更合适，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意，直接求得，令，结合的取值范围，即可求得结果； （2）分别求得两种方案下的总利润，结合使用年限，即可判断. 【小问1详解】 由题意可得， 由得，又，所以该设备从第2年开始实现总盈利． 【小问2详解】 方案二更合理，理由如下： 方案一：由（1）知，总盈利额， 当时，取得最大值160， 此时处理掉设备，则总利润为万元； 方案二：由（1）可得， 平均盈利额为 ， 当且仅当，即时等号成立； 即时，平均盈利额最大，此时， 此时处理掉设备，总利润为万元． 综上，两种方案获利都是180万元，但方案二仅需要三年即可，故方案二更合适． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市同安实验中学2024—2025学年度第一学期高一年级第一次月考 数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若集合，且，则m的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 0或﹣1 3. 下列命题是全称量词命题且是真命题的是（ ） A. 存在实数 ，使 B. 所有的素数都是奇数 C. 平面内存在一条直线与两条相交直线都平行 D. 每个四边形的内角和都是360° 4. 设，则“ ”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件重题 5. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设 ，且，则的最大值是（ ） A. 200 B. 50 C. 20 D. 10 7. 要制作一个容积为，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（ ） A. 80元 B. 160元 C. 200元 D. 240元 8. 设，与 是的子集，若，则称 为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定 与 是两个不同的“理想配集”）的个数是（ ） A. 5 B. 8 C. 9 D. 16 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知 ，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的是（ ）  A. B. “ ”是真命题 C. “ ，使得 ”是真命题 D. 11. 已知，， ，则（ ） A. B. C. D. ． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知命题 ，则为_________________ 13. 不等式的解集为___________． 14. 若不等式 对一切实数恒成立，则的取值范围__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集 ，，求： （1） ； （2）. 16. 解答下列各题： （1）比较 与 的大小； （2）已知，求的最小值，并求取到最小值时 的值； 17. 已知关于 的不等式的解集为或． （1）求的值； （2）求关于 的不等式的解集． 18. 已知命题 为真命题.设实数的取值集合为， （1）求实数的取值集合； （2）设集合 ，若“ ”是“ ”的充分条件，求实数的取值范围. 19. 某企业为了增加工作岗位和增加员工收入，投入90万元安装了一套新的生产设备，预计使用该设备后前年的支出成本为万元，每年的销售收入95万元．设使用该设备前年的总盈利额为万元． （1）写出关于的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利； （2）使用若干年后对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理； 问哪种方案较为合理？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $