精品解析：湖北潜江市初中13校联考2026-2027学年九年级上学期9月阶段检测数学试题

2026年秋季学期九年级第一次集体作业 数学试卷 （本卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷第1页装订线内和答题卡上，并在答题卡的规定位置贴好条形码，核准姓名和准考证号． 2．选择题的答案选出后，必须使用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡对应的区域内，写在试卷上无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号在答题卡上涂黑，涂错或不涂均为零分．） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程 时，配方结果正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 已知实数，满足，，则以，为根的一元二次方程可以（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线过，，三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 将抛物线向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，能得到抛物线的是（ ） A. B. C. D. 8. 秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染个人，那么满足的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，与轴的交点在和之间．有以下结论：①；②抛物线与轴的另一个交点是；③；④．其中正确的结论是（ ） A. ②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ②④ 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，满分15分．将结果直接填写在答题卡对应的横线上．） 11. 设是方程的一个实数根，则________． 12. 写出一个二次函数，其图象过点且开口向下：______________． 13. 如图，要设计一幅宽，长的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为，如果要使彩条所占面积是整个图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度？若设竖彩条的宽度为，则依题意可列方程为_______． 14. 一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，这个两位数是_____． 15. 如图1，在中，．动点P从的顶点A出发，以的速度沿匀速运动回到点A，图2是点P运动过程中，线段的长度随时间变化的图象．其中点Q为曲线部分的最低点，则（1）______，（2）______． 三、解答题（本大题共10个小题，满分75分．） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知关于x的方程． 若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； 若方程有一个实数根是5，求此方程的另一个根． 18. 已知方程的两个根分别为，，求下列代数式的值： （1） （2） 19. 如图，二次函数的图象经过A，B，C三点． （1）观察图象，直接写出：当x满足______时，y随x的增大而减小． （2）求抛物线的解析式； （3）观察图象，直接写出：当时，y的取值范围____________________． 20. 一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动． （1）小球的滚动速度平均每秒减少多少？ （2）小球滚动用了多少秒（结果保留根号）？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 21. 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是10月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框去掉中间位置的数之后，用横向两个数的乘积减去纵向两个数的乘积，不难发现，差都是48． 例如：，． 设某个菱形框中间位置的数为． （1）请证明发现的规律； （2）若某菱形框框出的5个数中，最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数． 22. 已知直线过x轴上的点，且与抛物线相交于B，C两点，已知点B的坐标为． （1）求直线和抛物线各自的函数解析式； （2）如果抛物线上有一点D（点D在y轴的右侧），使得，求此时点D的坐标． 23. 小华在学完了八下教材《一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）》一节内容后，对一元三次方程根与系数的关系产生了浓厚兴趣，决定一探究竟．下面是他收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务： 探究一元三次方程根与系数的关系 素材 一元三次方程的定义 我们把两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是3次的方程叫做一元三次方程，它的一般形式为（为常数，且）． 素材 一元三次方程的解法 若一元三次方程的左边在实数范围内可因式分解为（为实数），即原方程化为：，则得方程的根为． 素材 一元二次方程根与系数的关系的探究过程 设一元二次方程有两个根，则方程可化为，即，与原方程系数进行比较，可得根与系数的等量关系为：． 问题解决 任务 感受新知 若关于x的三次方程（为常数）的左边可分解为，则方程的三个根分别为__________，__________，__________． 任务 探索新知 若关于x的三次方程的三个根为，请探究与系数之间的等量关系． 任务 应用新知 利用上一任务的结论解决：若方程的三个根为，求的值． 24. 抛物线与轴交于原点和点，点为抛物线的顶点，点，为抛物线上不重合的两个点． （1）求的值； （2）试判断是否存在实数使得？若存在，求出值；若不存在，请说明理由； （3）记点，两点之间的部分（包括，两点）为图象，点在图象上，设图象的最高点与最低点的纵坐标之差为． ①求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； ②图象上的最低点关于抛物线对称轴的对称点记为点，再以最低点与点的连线为边向其上方作正方形，点到正方形边的最小距离记为．当点在该正方形内部，点在该正方形外部，且时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季学期九年级第一次集体作业 数学试卷 （本卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷第1页装订线内和答题卡上，并在答题卡的规定位置贴好条形码，核准姓名和准考证号． 2．选择题的答案选出后，必须使用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡对应的区域内，写在试卷上无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号在答题卡上涂黑，涂错或不涂均为零分．） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程需要同时满足三个条件：1、 是整式方程 ，2 、只含有一个未知数； 3、 未知数的最高次数为2，根据三个条件逐一判断选项即可． 【详解】解：A、方程含有2个未知数，属于二元一次方程，不是一元二次方程； B、分母含有未知数，属于分式方程，不是一元二次方程； C、方程是整式方程，只含1个未知数，且未知数最高次数为2，是一元二次方程； D、方程含有2个未知数，属于二元二次方程，不是一元二次方程． 2. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如的方程是一元二次方程，据此解答即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：． 3. 用配方法解方程 时，配方结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程．需利用完全平方公式将方程左边配成完全平方式，关键是掌握配方法的基本步骤，把方程化为，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D 4. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可得出方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 5. 已知实数，满足，，则以，为根的一元二次方程可以（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式“对于一元二次方程，它的根的判别式为，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根”、一元二次方程的根与系数的关系“对于一元二次方程，若它的两个实数根为，，则，”，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．根据一元二次方程根的判别式和一元二次方程的根与系数的关系逐项判断即可得． 【详解】解：A、由方程得：，，则此项符合题意； B、方程的根的判别式为，没有实数根，则此项不符合题意； C、由方程得：，，则此项不符合题意； D、方程的根的判别式为，没有实数根，则此项不符合题意； 故选：A． 6. 抛物线过，，三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线， 所以该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵，，，且点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴； 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 7. 将抛物线向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，能得到抛物线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象平移的性质，解题的关键是掌握平移的性质． 采用倒推的思想，利用平移的性质进行求函数解析式即可． 【详解】解：由先向右平移1个单位长度后解析式为， 再向上平移2个单位长度后解析式为， 故选：B． 8. 秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染个人，那么满足的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，审清题意、找准等量关系是解题的关键． 根据流感传染模型，经过两轮传染后总人数为初始人数加上第一轮新增人数和第二轮新增人数，据此列出方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人． ∵ 开始有1人患流感， 第一轮后患病人数为：， 第二轮新增患病人数为：， ∴ 两轮后总患病人数为：． 故选C． 9. 一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象：二次函数的图象为抛物线，可能利用列表、描点、连线画二次函数的图象．也考查了二次函数图象与系数的关系．对于每个选项，先根据二次函数的图象确定和的符号，然后根据一次函数的性质看一次函数图象的位置是否正确，若正确，说明它们可在同一坐标系内存在． 【详解】解：联立方程组得， 解得或， 一次函数与二次函数的交点为， A、由二次函数的图象得，，则一次函数经过第一、二、三象限，且它们的一个交点在轴上，另一个交点横坐标为1，所以A选项正确，不符合题意； B、由二次函数的图象得，，则一次函数经过第一、三、四象限，且它们的一个交点在轴上，另一个交点横坐标为1，所以B选项正确，不符合题意； C、由二次函数的图象得，，则一次函数经过第一、二、四象限，且它们的一个交点在轴上，另一个交点横坐标为1，所以C选项正确，不符合题意； D、由二次函数的图象得，，则一次函数经过第二、三、四象限，且它们的一个交点横坐标为1，但另一个交点不在轴上，所以D选项错误，符合题意． 故选：D． 10. 如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，与轴的交点在和之间．有以下结论：①；②抛物线与轴的另一个交点是；③；④．其中正确的结论是（ ） A. ②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象性质，通过二次函数图象对称性和待定系数法求解析式是解题的关键． 根据，可得到与的关系，根据二次函数的对称性可得到函数图象与轴的另一个交点坐标，根据二次函数图象与轴的交点在和之间，以及与轴的两个交点坐标，利用待定系数法求解析式即可判断的值． 【详解】二次函数的对称轴为， ， ，故①不正确； 二次函数图像与轴的一个交点为，对称轴， 设与轴的另一个交点的横坐标为， ， ， 与轴的另一个交点坐标为，故②正确； 由图可知，当时，， 当时，， ， ，故③正确； 由题可得，当二次函数图像经过点，，时， ， 解得：，，； 当二次函数图像经过点，，时， ， 解得：，，， 与轴的交点在和之间， ，故④正确； 综上所述，正确的是②③④． 故选． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，满分15分．将结果直接填写在答题卡对应的横线上．） 11. 设是方程的一个实数根，则________． 【答案】2024 【解析】 【分析】首先由已知可得，即．然后化简代数式，整体代入，从而求得代数式的值． 【详解】解：把代入得到， 则， 又， 把代入， 故答案为：2024． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，整体代入思想的应用是解题的关键． 12. 写出一个二次函数，其图象过点且开口向下：______________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，根据二次函数定义，由二次函数开口向下，得到，再由图象过，得到，任取一个值即可得到答案．熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数开口向下，且图象过， 写出一个二次函数可为， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图，要设计一幅宽，长的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为，如果要使彩条所占面积是整个图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度？若设竖彩条的宽度为，则依题意可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设竖彩条的宽度为，则除彩条部分外的九块区域可合成长为、宽为的长方形，根据彩条所占面积是整个图案面积的四分之一，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：若设竖彩条的宽度为，则横彩条的宽度为，除彩条部分外的九块区域可合成长为、宽为的长方形， 根据题意得：， 整理得：． 14. 一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，这个两位数是_____． 【答案】81 【解析】 【分析】设个位上的数为x，则十位上的数为，这个两位数表示为，十位上的数字与个位上的数字和的平方表示为，依题意列方程求解． 【详解】解：设个位上的数为x，则十位上的数为， 依题意，得， 整理得：， 解得：（舍去）， 所以，． 故这个两位数是81． 故答案为：81． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，掌握题中的等量关系列出方程是本题的解题关键． 15. 如图1，在中，．动点P从的顶点A出发，以的速度沿匀速运动回到点A，图2是点P运动过程中，线段的长度随时间变化的图象．其中点Q为曲线部分的最低点，则（1）______，（2）______． 【答案】 ①. 16 ②. 48 【解析】 【分析】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．过点作于点，从图看，，的最小值为8，即；在中，，则，进而求解即可． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ∵， ∴， 从图看，当时，点在点处，即， 从图看，点为曲线部分的最低点，即的最小值为，即， 在中根据勾股定理得： ， ∴， ∴， 的面积为：， 故答案为：16；． 三、解答题（本大题共10个小题，满分75分．） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， 整理得，， ∴， ∴， ∴． 17. 已知关于x的方程． 若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； 若方程有一个实数根是5，求此方程的另一个根． 【答案】（1）；（2）-3. 【解析】 【分析】计算根的判别式，得到关于m的不等式，求解即可； 根据根与系数的关系，利用两根之和求出另一根． 【详解】方程有两个不相等的实数根， ， 即， 解得； 设方程的另一个实数根为， ， ． 当方程有一个实数根是5，则另一个根为． 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系判断一元二次方程解的情况利用根的判别式，已知一元二次过程的一个根求方程的另一个根可通过根与系数的关系． 18. 已知方程的两个根分别为，，求下列代数式的值： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，能熟记根与系数的关系的是解此题的关键． （1）由根与系数的关系可知，，．把变形成，代入，即可求解； （2）把变形成代入，即可求解． 【小问1详解】 解：由根与系数的关系可知， ，． ； 【小问2详解】 解： ． 19. 如图，二次函数的图象经过A，B，C三点． （1）观察图象，直接写出：当x满足______时，y随x的增大而减小． （2）求抛物线的解析式； （3）观察图象，直接写出：当时，y的取值范围____________________． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据图像可知过，可得抛物线的对称轴为，即可求解； （2）利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）观察图象，看函数的图象当时，在y轴右边，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线过 ∴抛物线的对称轴为： ∴当时，y随x的增大而减小 故答案为：； 【小问2详解】 二次函数的图象经过A，B，C三点， 由图像可知 ∴ ， 解得； ∴ 【小问3详解】 ∵抛物线的对称轴为： ∴抛物线的顶点坐标为： 当时，在y轴右边，y的取值范围 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式和二次函数图象的知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型；数形结合是解题的关键． 20. 一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动． （1）小球的滚动速度平均每秒减少多少？ （2）小球滚动用了多少秒（结果保留根号）？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 【答案】（1）小球的滚动速度平均每秒减少； （2）小球滚动到用了秒． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间； （2）利用等量关系：速度×时间＝路程，时间为，根据题意列出方程：求解即可． 【小问1详解】 解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间， 即， 故小球的滚动速度平均每秒减少； 【小问2详解】 解：设小球滚动到用了， 即， 解得（舍），． 答：小球滚动到用了秒． 21. 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是10月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框去掉中间位置的数之后，用横向两个数的乘积减去纵向两个数的乘积，不难发现，差都是48． 例如：，． 设某个菱形框中间位置的数为． （1）请证明发现的规律； （2）若某菱形框框出的5个数中，最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数． 【答案】（1） 证明：设中间的数为n，则另外4个数分别为，，，， ∴； （2）29 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）根据题目数据，设中间的数为n，则另外4个数可以用n的式子表示出来，即可列出算式进行证明； （2）设最大数为x，则最小数为，列出一元二次方程解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设这5个数中最大数为x，则最小数为， 依题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：这5个数中最大数为29． 22. 已知直线过x轴上的点，且与抛物线相交于B，C两点，已知点B的坐标为． （1）求直线和抛物线各自的函数解析式； （2）如果抛物线上有一点D（点D在y轴的右侧），使得，求此时点D的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二次函数解析式的求法，两个函数图象交点坐标的求法，以及坐标系中面积的表示方法． （1）将两点坐标代入中，可求直线解析式，将点坐标代入中，可求抛物线解析式； （2）联立直线与抛物线解析式，可求点坐标，用，可求的面积，又已知，可求点的坐标． 【小问1详解】 解：设直线所表示的函数解析式为， ∵它过点和点， ， 解得， ∴直线所表示的函数解析式为， ∵抛物线过点， ， 解得， ∴抛物线所表示的函数解析式为； 【小问2详解】 解：解方程组， 解得：， ∴点坐标为； 又点坐标为点坐标为， ∴， ，， ， 设点的纵坐标为， 则， 把代入， 得， 又 ∵点在第一象限， ， ∴点坐标为． 23. 小华在学完了八下教材《一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）》一节内容后，对一元三次方程根与系数的关系产生了浓厚兴趣，决定一探究竟．下面是他收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务： 探究一元三次方程根与系数的关系 素材 一元三次方程的定义 我们把两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是3次的方程叫做一元三次方程，它的一般形式为（为常数，且）． 素材 一元三次方程的解法 若一元三次方程的左边在实数范围内可因式分解为（为实数），即原方程化为：，则得方程的根为． 素材 一元二次方程根与系数的关系的探究过程 设一元二次方程有两个根，则方程可化为，即，与原方程系数进行比较，可得根与系数的等量关系为：． 问题解决 任务 感受新知 若关于x的三次方程（为常数）的左边可分解为，则方程的三个根分别为__________，__________，__________． 任务 探索新知 若关于x的三次方程的三个根为，请探究与系数之间的等量关系． 任务 应用新知 利用上一任务的结论解决：若方程的三个根为，求的值． 【答案】任务：，，；任务：，；任务： 【解析】 【分析】任务：根据时，或或，即可解决问题； 任务：将方程改写成几个一次因式积的形式，展开后进行对比即可解决问题； 任务：利用上述过程发现的结论即可解决问题； 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握整体思想的运用是解题的关键． 【详解】解：任务：由题意可知，原方程可化为：， ∴或或， ， 故答案为：，，； 任务：由题意可知，原方程可化为：， 展开整理得：， 与原方程比较可得，，； 任务：利用上题结论可知：，， ． 24. 抛物线与轴交于原点和点，点为抛物线的顶点，点，为抛物线上不重合的两个点． （1）求的值； （2）试判断是否存在实数使得？若存在，求出值；若不存在，请说明理由； （3）记点，两点之间的部分（包括，两点）为图象，点在图象上，设图象的最高点与最低点的纵坐标之差为． ①求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； ②图象上的最低点关于抛物线对称轴的对称点记为点，再以最低点与点的连线为边向其上方作正方形，点到正方形边的最小距离记为．当点在该正方形内部，点在该正方形外部，且时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）解：不存在，理由如下： 由(1)得抛物线解析式为， ∴ ，， ∴ ， 令， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 方程无实数根， ∴ 不存在实数使得． （3）①；②或 【解析】 【分析】(1) 将点代入抛物线解析式求． (2) 用表示，代入得到关于的一元二次方程，由判别式判断是否存在实数解． (3) ① 先确定抛物线顶点和对称轴，根据点在图象上确定的取值范围，再分最低点在处和处两种情况求． ② 分两种情况讨论最低点的位置，作出正方形后根据点在内部、点在外部以及建立方程求解． 【小问1详解】 解：∵ 抛物线过点， ∴ ， ∴ ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ① 解：∵ ， ∴ 顶点，对称轴为直线， ∵ 点在图象上， ∴ ， ∴ ， ∵ 抛物线开口向下， ∴ 图象的最高点为，， 当时，，最低点在点处， ， ∴ ， 当时，，最低点在点处， ， ∴ ， ∴ ． ② 解：当时，最低点为，对称点， 以为边向上作正方形，此时在正方形上方， 点到正方形各边距离中，到上边的距离最小， ， 令， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 当时，最低点为，对称点， 以为边向上作正方形，此时在正方形上方， 点到正方形各边距离中，到上边的距离最小， ， 令， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $