25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 导学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案围绕一元二次方程的根与系数的关系展开，通过自主预习引导学生补全知识点并完成基础检测，结合合作探究中的题型精讲与变式训练，构建从具体到抽象、从理论到应用的学习支架，衔接已学的方程解法。 资料特色在于渐进式学习设计，自主预习夯实基础，合作探究深化应用，课堂检测评估效果。通过方法归纳培养运算能力和推理意识，结合平行四边形等实际问题的变式训练发展应用意识，助力学生形成严谨的数学思维与解决问题的能力。

25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 素养目标 1.会求一元二次方程的两根之和与两根之积. 2.能利用根与系数的关系求代数式的值,增强综合应用知识解决问题的能力. 3.探索根与系数的关系,发展数学运算素养,培养严谨求实的科学态度. 重点 一元二次方程的根与系数的关系的推导、运用. 【自主预习】 预学思考 知识点 一元二次方程的根与系数的关系 　　阅读课本本课时的内容,补全下列新知要点: 　　若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2,则x1+x2=　　　　,x1x2=　　　　,即一元二次方程两个根的和等于　　　　　　　  　  　,  两个根的积等于 .  自学检测 1.若a,b是一元二次方程x2+x-2=0的两个根,则ab的值为 ( ) A.1　　　　B.-1　　　　C.2　　　　D.-2 2.若关于x的一元二次方程x2+mx-3=0的一个根等于3,则另一个根为 ( ) A.1　　　　B.-1　　　　C.2　　　　D.-2 【合作探究】 题型精讲 题型1 根与系数的关系 例1　不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积. (1)2x2+5x=0;(2)4x2+1=7x;(3)3x2-x=2. 【方法归纳交流】寻找两根之和、两根之积方法小贴士: 1.先化一般式:把方程整理成ax2+bx+c=0 (a≠0)的形式,准确确定a,b,c. 2.牢记关系式:两根和x1+x2=-,两根积x1x2=. 3.注意前提条件:必须在判别式Δ≥0(方程有实数根)的前提下使用.(易错点) 4.掌握整体代换:利用和与积整体代入求值,不必先求根. 5.重视符号判断:重点区分和的负号、系数符号,避免计算错误.(易错点) 变式训练　 1.已知实数a,b分别满足a2-6a+4=0,b2-6b+4=0,且a≠b,则+的值是 .  2.已知α,β是方程x2-3x+2=0的两根,求下列各式的值: (1)+;(2)α2+αβ+β2;(3)α2+αβ-3α. 3.已知关于x的方程x2-3ax-3a-6=0. (1)求证:方程恒有两个不相等的实根. (2)若x1,x2是该方程的两个实数根,且(x1-1)(x2-1)=1,求a的值. 题型2 根与系数关系的应用 例2　已知关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2+1=0,如果方程的两根之和等于两根之积,求k的值. 变式训练　 1.已知方程5x2+kx-6=0的一个根为2,求它的另一个根及k的值. 2.(应用意识)已知平行四边形ABCD的两邻边AB,AD的长是关于x的一元二次方程x2-mx+-=0的两个实数根. (1)当m为何值时,四边形ABCD是菱形? (2)若AB的长为2,则平行四边形ABCD的周长是多少? 课堂检测 1.方程x2-5x+3=0根的情况为 ( ) A.没有实数根 B.两根之和是-5 C.两根之积是3 D.有两个相等的实数根 2.已知实数x1,x2满足x1+x2=3,x1x2=-4,则以x1,x2为根的一元二次方程是 ( ) A.x2-3x-4=0 B.x2-3x+4=0 C.x2+3x-4=0 D.x2+3x+4=0 3.若关于x的一元二次方程x2-3x+k=0的两根为x1,x2(x1≠x2). (1)求k的取值范围. (2)若x1,x2是一个矩形的两条边长且矩形对角线的长为,求k的值. 参考答案 【自主预习】 预学思考 知识点 -　　一次项系数与二次项系数的比的相反数　常数项与二次项系数的比 自学检测 1.D　2.B 【合作探究】 题型精讲 题型1 例1 解:(1)x1+x2=-,x1x2=0. (2)x1+x2=,x1x2=. (3)x1+x2=,x1x2=-. 变式训练 1.7 2.解:根据题意得α+β=3,αβ=2. (1)+==. (2)α2+αβ+β2=(α+β)2-αβ=32-2=7. (3)α2+αβ-3α=α(α+β)-3α=3α-3α=0. 3.解:(1)证明:∵Δ=b2-4ac=(-3a)2-4×(-3a-6)=9a2+12a+24=(3a+2)2+20>0, ∴方程恒有两个不相等的实根. (2)由根与系数的关系得x1+x2=3a,x1x2=-3a-6. ∵(x1-1)(x2-1)=1, ∴x1x2-(x1+x2)+1=1, ∴-3a-6-3a+1=1, 解得a=-1. 故a的值是-1. 题型2 例2 解:设方程的两根为x1,x2,根据题意得Δ=(2k-1)2-4(k2+1)≥0,解得k≤-, x1+x2=-(2k-1)=1-2k,x1x2=k2+1. ∵方程的两根之和等于两根之积,∴1-2k=k2+1,解得k1=0,k2=-2,而k≤-,∴k=-2. 变式训练　 1.解:设方程的另一个根是x1,则2x1=-, ∴x1=-. 又∵x1+2=-,∴-+2=-,∴k=-7. 2.解:(1)∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=AD. ∵AB,AD的长是关于x的一元二次方程x2-mx+-=0的两个实数根, ∴Δ=(-m)2-4(-)=m2-2m+1=0, 解得m1=m2=1, ∴当m为1时,四边形ABCD是菱形. (2)将x=2代入x2-mx+-=0中,得4-2m+-=0, 解得m=. ∵AB,AD的长是关于x的一元二次方程x2-mx+-=0的两个实数根, ∴AB+AD=m=, ∴平行四边形ABCD的周长=2(AB+AD)=2×=5. 课堂检测 1.C　2.A 3.解:(1)根据题意得Δ=(-3)2-4k>0, 解得k<, 即k的取值范围为k<. (2)根据根与系数的关系得x1+x2=3,x1x2=k. ∵+=()2, ∴(x1+x2)2-2x1x2=7, 即32-2k=7, 解得k=1, 而k<, ∴k的值为1. 学科网（北京）股份有限公司 $