25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 知识清单2026-2027 学年人教版九年级数学上册

25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 知识清单 人教版（2024）九年级数学上册　第二十五章　一元二次方程　25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 知识地图 ① 本节性质　本节是教材的选学（弹性）内容（P15—P16），不作必考要求，但中考常以「阅读理解」或压轴题中的一步出现。 ② 探究发现　由 (x − )(x − ) = 0 展开并比较系数：二次项系数为 1 时，，。 ③ 一般结论　由求根公式相加、相乘得到： ④ 两个前提　★ a ≠ 0，且 Δ = − 4ac ≥ 0（方程要有实数根）。 ⑤ 三类应用　不解方程求两根之和与积；已知一根求另一根与参数；求关于两根的对称式的值。 ⑥ ★★必检一步　用关系式求出的参数，必须回代检验 Δ ≥ 0，不成立就舍去。 一、学习目标与重难点 ★ 先说清楚：本节课的内容在人教版（2024）九年级上册中是选学（弹性）内容（教材 P15—P16）。它不属于必考要求，也正因为如此，考试的考查方式通常是「阅读理解题」或压轴题中的一个环节 —— 学有余力的同学应当掌握。 学习目标：① 经历「从特殊到一般」发现两根之和、两根之积与系数关系的过程，体会由计算到猜想、再到证明的数学方法；② 会用根与系数的关系不解方程求两根之和与两根之积、已知一根求另一根与方程中的参数、求关于两根的对称式的值；③ 牢记两个前提 a ≠ 0、Δ ≥ 0，会用「求参数三步」进行检验。 重　　点：根与系数的关系（）及其三类应用。 难　　点：★★ 用关系式求出参数后，必须回代检验 Δ ≥ 0（这是最高频的失分点）；把关于两根的对称式整体变形为只含「和」与「积」的式子。 二、从因式分解法到根与系数的关系 1. 先看一个熟悉的事实：已知两根，就能写出方程 上一节学过因式分解法：方程 (x − )(x − ) = 0 的两个根，就是 与 。反过来，如果已知一个方程的两根是 、，那么这个方程就可以写成 (x − )(x − ) = 0 的形式。 把左边展开，看看会出现什么： 展开左边： ★ 注意：一次项系数里出现了「−( + )」，常数项正好是「·」—— 两根的和与积，就这样和系数联系在了一起。 2. 教材 P15 思考 1：把方程写成 + px + q = 0 的形式 把展开后的式子与一般形式 + px + q = 0 逐项对照： 项 展开后的式子 在 + px + q = 0 中 二次项 一次项 −( + )x px 常数项 · q 依次比较一次项系数与常数项，就得到： ★ 当二次项系数为 1 时： + = −p，　· = q。 用文字说：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。 3. 图 1 把这个过程画出来 图 1　从因式分解到比较系数：二次项系数为 1 时，两根之和等于 −p，两根之积等于 q 上面的结论只对「二次项系数是 1」的方程成立。一般的一元二次方程 a + bx + c = 0 中，二次项系数 a 未必是 1 —— 它的两根之和、两根之积与 a、b、c 又有什么关系？教材接着用求根公式给出了答案。 三、由求根公式推导出一般结论 1. 教材 P15 思考 2：把求根公式代进去算一算 设 、 是方程 a + bx + c = 0（a ≠ 0）的两个根，并记 Δ = − 4ac。由求根公式，两个根可以写成： = 　　 = ★ 观察：这两个根是「同一个数加上根号项」与「同一个数减去同一个根号项」—— 相加时根号项一正一负恰好抵消，相乘时可以套用平方差公式去掉根号。这正是推导的关键。 2. 推导过程 图 2　由求根公式推导两根之和与两根之积：相加消去根号，相乘用平方差公式去掉根号 3. 一元二次方程的根与系数的关系（教材 P15 归纳） ★ 根与系数的关系：如果一元二次方程 a + bx + c = 0（a ≠ 0）的两个根为 、，那么 　　 ★ 两个前提（缺一不可）：① a ≠ 0；② Δ = − 4ac ≥ 0（方程要有实数根）。没有实数根，就谈不上「两个根」。 ◆ 小知识：法国数学家韦达（F. Viète，1540—1603）最早发现了代数方程的根与系数之间的这种关系，所以这个关系也叫做韦达定理。 4. 当二次项系数是 1 时（教材特别说明） 如果 a = 1，方程就是 + px + q = 0，这时根与系数的关系变成： + = −p，　· = q。 这是最简洁、最好记的形式，也正是教材 P15 思考 1 得到的结论 —— 两条路径得到了同一个结果。 5. 辨一辨：下面的说法对吗 说　法 判断 理　由 方程 3 + 7x − 9 = 0 的两根之和是 − 对 读出 a = 3、b = 7、c = −9，代入 + = − 方程 5x − 1 = 4 的两根之和是 − 不对 必须先化成 4 − 5x + 1 = 0，两根之和是 ，符号正好相反 只要 Δ > 0，就能用根与系数的关系 不完整 Δ = 0（两个相等的实数根）时同样成立，准确说法是 Δ ≥ 0 方程 + x + 1 = 0 的两根之和是 −1 不对 Δ = 1 − 4 = −3 < 0，方程没有实数根，谈不上两根之和 四、根与系数的关系的三类应用 1. 三类应用总览 图 3　根与系数的关系的三类应用，以及求参数时必须完成的三步检验 2. 应用一：不解方程，直接求两根之和与两根之积 例 1（教材 P16 例 1）　根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 、 的和与积： 　(1) − 6x − 15 = 0；　　(2) 3 + 7x − 9 = 0；　　(3) 5x − 1 = 4。 解：(1) a = 1，b = −6，c = −15。所以 + = −(−6) = 6，· = −15。 　　(2) a = 3，b = 7，c = −9。所以 + = −，· = = −3。 　　(3) 先化成一般形式 4 − 5x + 1 = 0，得 a = 4，b = −5，c = 1。所以 + = ，· = 。 ★ 提醒：一定要先把方程化为一般形式，再读出 a、b、c —— 而且系数要连同它前面的符号一起读。第 (3) 小题如果直接从 5x − 1 = 4 里读系数，就会读错。 3. 应用二：已知一根，求另一根与方程中的参数 例 2（教材 P16 例 2）　已知方程 5 + kx − 6 = 0 的一个根是 2，求方程的另一个根及 k 的值。 解：设另一个根为 t。由 · = 得 2t = ，所以 t = −； 　　再由 + = − 得 t + 2 = −，把 t = − 代入：− + 2 = −，即 = −，所以 k = −7。 检验：k = −7 时，Δ = − 4 × 5 × (−6) = 49 + 120 = 169 > 0，方程确实有两个实数根，符合题意。 ★ 另一种思路：先把 x = 2 代入原方程求出 k，再解方程求另一根。两种方法结果相同，但用根与系数的关系不必解出整个方程，更快。 4. 应用三：求关于两根的对称式的值 有些式子含有 、，但总可以用 + 与 · 表示出来 —— 这类式子叫做「关于两根的对称式」。常用的变形如下表： 要求的式子 用两根之和、之积表示 依　据 完全平方公式 完全平方公式 分式通分 分式通分 + 完全平方 多项式乘法 提公因式 例 3（自编）　已知 、 是方程 − 5x − 7 = 0 的两个根，不解方程，求下列各式的值： 　(1) ；　(2) ；　(3) 。 解：由根与系数的关系， + = 5，· = −7。 　(1) = 25 − 2 × (−7) = 25 + 14 = 39。 　(2) = = −。 　(3) = 25 − 4 × (−7) = 25 + 28 = 53。 ★ 记忆口诀：「和」的平方减去两倍积，得到平方和；「差」的平方要减去四倍积。 例 4（自编）　已知 、 是方程 2 − 3x − 1 = 0 的两个根，不解方程，求下列各式的值： 　(1) ；　(2) 。 解：由根与系数的关系， + = ，· = −。 　(1) = = ( + 1) × (−2) = × (−2) = −。 　(2) = − − 3 + 4 = 。 ★ 小结：求对称式的值，都是「先写出两根之和与两根之积，再把要求的式子变形为只含这两个量的式子，最后整体代入」。 五、★★求参数时必须回代检验 Δ ≥ 0 1. 一个非常容易踩的坑 ★ 为什么必须检验？用根与系数的关系求出的参数，只保证「如果方程有两个实数根，那么这两根满足题设条件」；它并不保证方程真的有实数根。所以求出参数后，一定要回代检验 Δ ≥ 0，不成立就舍去。 ★ 例证：由 · = 算出参数，可能恰好使 Δ < 0 —— 这时方程根本没有实数根，「两个根」这个前提就不成立，题目实际上是「无解」。 2. 求参数的完整三步 ① 列式：用 + = −、· = 把题设条件写成关于参数的方程； ② 求解：解这个方程，求出参数的值； ③ ★★检验：回代检验 Δ ≥ 0（若二次项系数含字母，还要检查它不为 0），不满足的值一律舍去。 3. 例 5：两根互为相反数 例 5（自编）　已知关于 x 的方程 + (m − 2)x + (m − 3) = 0 的两个根互为相反数，求 m 的值。 解：两根互为相反数，说明 + = 0。由根与系数的关系， + = −(m − 2) = 0，所以 m = 2。 检验：m = 2 时，Δ = − 4(m − 3) = 0 + 4 = 4 > 0，方程有两个不相等的实数根，符合题意。 验证：m = 2 时原方程为 − 1 = 0，两根是 1 与 −1，确实互为相反数。所以 m = 2。 4. 例 6：★★这一步不检验就会出错 例 6（自编）　已知关于 x 的方程 + 4x + k = 0 的两个根的积是 5，求 k 的值。 解：由 · = 得 k = 5。 检验：把 k = 5 代入算 Δ：Δ = − 4 × 1 × 5 = 16 − 20 = −4 < 0，方程没有实数根！ 结论：「两个根的积是 5」这个前提根本不成立，所以这样的 k 不存在。 ★ 错误答案：k = 5。　　★ 正确答案：不存在这样的实数 k。 5. 例 7：一次完整的「列式 + 检验」示范 例 7（自编）　已知关于 x 的方程 − (2k + 1)x + ( + 1) = 0 有两个实数根 、，且 = 5，求 k 的值。 解：由根与系数的关系， + = 2k + 1，· = + 1。 　　 　　　　 　　由 2 + 4k − 1 = 5 得 + 2k − 3 = 0，解得 k = 1 或 k = −3。 检验：方程有两个实数根，要求 = 4k − 3 ≥ 0，即 k ≥ 。 　　k = 1 满足 k ≥ ，保留；k = −3 不满足，舍去。所以 k = 1。 ★ 注意：如果不检验，就会多出一个错误的 k = −3。 六、基础练习 1. 例 8（教材 P16 练习）：先把方程化成一般形式 例 8（教材 P16 练习）　不解方程，求下列方程两个根的和与积： 　(1) − 3x = 15；　　(2) 3 + 2 = 1 − 4x； 　(3) 5 − 1 = 4 + x；　　(4) 2 − x + 2 = 3x + 1。 解：(1) 化为 − 3x − 15 = 0，a = 1，b = −3，c = −15。两根之和为 3，两根之积为 −15。 　　(2) 化为 3 + 4x + 1 = 0，a = 3，b = 4，c = 1。两根之和为 −，两根之积为 。 　　(3) 化为 − x − 1 = 0。两根之和为 1，两根之积为 −1。 　　(4) 化为 2 − 4x + 1 = 0。两根之和为 2，两根之积为 。 2. 例 9（自编）：已知一根，求另一根与参数 例 9（自编）　已知 x = −1 是方程 2 + mx − 3 = 0 的一个根，求 m 的值及方程的另一个根。 解：设另一个根为 t。由 · = 得 (−1)·t = −，所以 t = 。 　　再由 + = − 得 −1 + = −，即 = −，所以 m = −1。 检验：m = −1 时，方程是 2 − x − 3 = 0，Δ = − 4 × 2 × (−3) = 1 + 24 = 25 > 0，符合题意。 验证：把 x = −1 代入原方程：2 × + m × (−1) − 3 = 0，即 2 − m − 3 = 0，得 m = −1，与上面一致。 七、提升练习 1. 例 10（自编）：已知两根之差求参数 例 10（自编）　已知关于 x 的方程 − 6x + m = 0 的两个根之差为 2，求 m 的值。 解：设两根为 、，则 + = 6，· = m。 　　由「两根之差为 2」，先把两根之差平方：，即 。而 = 36 − 4m，所以 36 − 4m = 4，解得 m = 8。 检验：m = 8 时，Δ = 36 − 4 × 8 = 4 > 0，方程确实有两个实数根，而且它们相差 2，符合题意。所以 m = 8。 ★ 提醒：「两根之差」要先平方再变形 —— 只有写成两根之差的平方，才能用两根之和与两根之积表示。 2. 例 11（自编）：对称式的两种变形 例 11（自编）　已知 、 是方程 3 − 5x − 2 = 0 的两个根，不解方程，求下列各式的值： 　(1) ；　(2) 。 解：由根与系数的关系， + = ，· = −。 　(1) = (−) × = −。 　(2) = − − + 4 = −4 + 4 = 0。 ★ 归纳：含两根的式子，先看它能不能化成「和」「积」的组合：形如「积乘和」的式子就提公因式，含常数项括号的就先展开、再合并同类项。 3. 例 12（自编·教材同类题）：已知两数的和与积求这两个数 例 12（自编）　已知两个数的和是 8，积是 9.75，求这两个数。 解：设其中一个数是 x，则另一个数是 8 − x。由题意得 x(8 − x) = 9.75，整理得 − 8x + 9.75 = 0。 　　解这个方程：Δ = − 4 × 1 × 9.75 = 64 − 39 = 25 > 0，所以 x = ，即 x = 6.5 或 x = 1.5。 　　当 x = 6.5 时，8 − x = 1.5；当 x = 1.5 时，8 − x = 6.5。所以这两个数是 6.5 和 1.5。 ★ 方法提炼：由两个数的和与积，可以直接写出以它们为根的方程： − (两数之和)x + (两数之积) = 0，再解这个方程即可。 八、易错清单与错解辨析 1. 易错清单 序号 易错点 正　确　做　法 对应例题 1 不化一般形式就直接读系数 先移项、合并同类项，化为 a + bx + c = 0 再读 a、b、c 例 1(3)、例 8 2 两根之和的符号搞错 两根之和是「一次项系数的相反数」除以二次项系数，即 − 例 1、例 3 3 用求根公式把两根都算出来再相加 直接代入两根之和与两根之积的公式，不必真的解方程 例 3、例 11 4 ★★求出参数后不检验 Δ ≥ 0 求出参数后必须回代算 Δ，Δ < 0 的一律舍去 例 6、例 7、例 10 5 忽略「方程有实数根」这个前提 没有实数根时谈不上两根的关系；这类题目的答案可能是「不存在」 例 6 6 对称式变形时漏项、符号出错 先写出两根之和与积，再按变形表逐项对应，注意减的是 2 倍积还是 4 倍积 例 4、例 11 7 忘记二次项系数不能为 0 二次项系数含字母时，要同时保证它不为 0、且 Δ ≥ 0 例 7 2. 错解辨析（一）：把「差的平方」当成「平方和」 题目：已知 是方程 − 5x − 7 = 0 的两个根，不解方程，求 的值。 错解： = 25 − 2 × (−7) = 25 + 14 = 39。 错因：错在把「差的平方」当成了「平方和」。平方和 只需把 减去 2；而差的平方 要把 减去 4。 正解： = 25 − 4 × (−7) = 25 + 28 = 53。 ★ 口诀：「和」的平方减两倍积 → 平方和；「和」的平方减四倍积 → 差的平方。 3. 错解辨析（二）：没检验 Δ，把不存在的参数当成答案 题目：已知关于 x 的方程 2 + 3x + k = 0 的两个根的积是 −2，求 k 的值。 错解：由 · = 得 = −2，所以 k = −4。 错因：只算了参数，没有回代检验 Δ。把 k = −4 代入：Δ = − 4 × 2 × (−4) = 9 + 32 = 41 > 0，方程确实有两个实数根，所以本题 k = −4 是对的 —— 但这一步检验绝不能省。 再看一个反例：若题目改成「方程 + 4x + k = 0 的两根之积是 5」，由 k = 5 得 Δ = 16 − 20 = −4 < 0，方程没有实数根 —— 这时正确答案是「不存在这样的 k」。 ★ 结论：凡是「由两根的关系求参数」的题目，算出参数后都要回代检验 Δ ≥ 0；检验这一步写出来，既是对的保障，也是得分点。 九、方法总结与知识结构 1. 本节知识结构 环　节 内　容 两个前提 a ≠ 0，且 Δ = − 4ac ≥ 0（方程要有实数根） 核心关系 + = −，· = 特例（a = 1） + px + q = 0 时， + = −p，· = q 三类应用 ① 不解方程直接求两根之和与积；② 已知一根求另一根与参数；③ 求关于两根的对称式的值 常用变形 平方和、差的平方、倒数和、比的和、含常数项的乘积、积乘和（见四、4 的变形表） ★★求参数三步 ① 列式求出参数 → ② 回代检验 Δ ≥ 0 → ③ 不成立则舍去 2. 它在「解一元二次方程」这一节里的位置　　配方法与公式法回答的是「方程的根是多少」，给的是求根的办法；根与系数的关系回答的是「不解方程，两根有什么共同特征」，是一种「不看根、只看系数」的思想。题目里出现「两根之和」「两根之积」「两根之差」等字眼，而方程中又带有待定字母时，优先想到它。 十、课后巩固 1. 必做（对接教材 P16 练习、习题 25.2 第 7 题） 第 1 题（教材 P16 练习）　不解方程，求下列方程两个根的和与积： 　(1) − 3x = 15；　　(2) 3 + 2 = 1 − 4x； 　(3) 5 − 1 = 4 + x；　　(4) 2 − x + 2 = 3x + 1。 答案：(1) 和 3，积 −15；(2) 和 −，积 ；(3) 和 1，积 −1；(4) 和 2，积 。 第 2 题（教材 习题 25.2 第 7 题）　求下列方程两个根的和与积： 　(1) − 3x + 2 = 10；　　(2) 5 + x − 5 = 0； 　(3) + x = 5x + 6；　　(4) 7 − 5 = x + 8。 答案：(1) 化为 − 3x − 8 = 0，和 3，积 −8；(2) 和 −，积 −1；(3) 化为 − 4x − 6 = 0，和 4，积 −6；(4) 化为 7 − x − 13 = 0，和 ，积 −。 2. 选做（自编） 第 3 题　已知方程 2 − 7x + 6 = 0 的一个根是 2，求它的另一个根。 答案：设另一个根为 t，由两根之积得 2t = = 3，所以 t = 。检验：Δ = − 4 × 2 × 6 = 49 − 48 = 1 > 0，符合题意。 第 4 题　已知 、 是方程 + 3x − 1 = 0 的两个根，求下列各式的值： 　(1) ；　(2) 。 答案： + = −3，· = −1。 　(1) = = 3。 　(2) = 9 + 2 = 11。 十一、本课技能自查 技　　能　点 自　我　评　价 对应例题 能判断方程是否满足使用前提（a ≠ 0 且 Δ ≥ 0） □ 熟练　□ 基本会　□ 需巩固 三、5；例 1 会先把方程化为一般形式，再读出 a、b、c（带符号） □ 熟练　□ 基本会　□ 需巩固 例 1(3)、例 8 会不解方程求两根之和与两根之积 □ 熟练　□ 基本会　□ 需巩固 例 1、例 8、十、1、2 会由方程的一个根求另一根与方程中的参数 □ 熟练　□ 基本会　□ 需巩固 例 2、例 9、十、3 会把关于两根的对称式变形为「和」「积」的组合并求值 □ 熟练　□ 基本会　□ 需巩固 例 3、例 4、例 11 ★★会用「求参数三步」，并回代检验 Δ ≥ 0 □ 熟练　□ 基本会　□ 需巩固 例 5、例 6、例 7、例 10 十二、知识追问 追　　问 提　　示 为什么必须先化成一般形式，才能读出 a、b、c？ 关系式中的 a、b、c 是「一般形式」a + bx + c = 0 里的系数。方程没化成一般形式时，各项没有归位，读出来的数就不是 a、b、c。 为什么两根相加能把根号消掉、相乘能把根号去掉？ 两个根分别是「同一个数加根号项」与「同一个数减同一个根号项」。相加时一正一负互相抵消；相乘时正好是平方差 (m + n)(m − n) = − ，根号被平方消去。 为什么求出的参数一定要回代检验 Δ ≥ 0？ 关系式成立的前提就是「方程有两个实数根」。如果算出的参数使 Δ < 0，方程根本没有实数根，题目条件本身就落空了 —— 这时答案应当是「不存在这样的参数」。 已知两个数的和与积，为什么能写出以它们为根的方程？ 因为反过来看：若两数 、 满足 + = −p、· = q，那么它们就是 + px + q = 0 的两个根。所以以和为 S、积为 P 的两数为根的方程就是 − Sx + P = 0。 这一节为什么是「选学」内容？ 因为它需要用求根公式推导，还要处理含字母的对称式变形，对运算能力要求较高。教材把它放在 25.2 的最后，作为学有余力的同学的拓展。 十三、本节在第二十五章中的位置 图 4　本节在第二十五章中的位置：从「把根求出来」到「不求出根、直接用根与系数的关系」 本节不是孤立的技巧。25.2.1～25.2.3 的三种解法都在把「根」算出来，本节却不算根，直接看两根的和、积与系数之间固定的关系。教材把它排在 25.2 的最后并标为选学（弹性）内容，正是因为它要从「求出一个具体的根」，走向「整体把握两根与系数的联系」。 ★ 本节与中考的对接 本节是选学内容，中考不会直接考「背关系式」，但常以两种方式出现：一是阅读理解题中给一段材料，要求模仿材料的方法求两根之和、积；二是压轴题中的一步 —— 需要把关于两根的式子化成「和」「积」的组合，或在求出参数后回代检验 Δ ≥ 0。所以复习的重点是「会变形」「会检验」。 ★ 三个必背：① 前提 a ≠ 0 且 Δ = − 4ac ≥ 0；② 关系 + = −、· = ；③ 铁律：由关系式求出的参数，必须回代检验 Δ ≥ 0。 ★ 一句话总结：只要方程有实数根，两根之和、两根之积就能由系数「一眼看出」；而用它们求出的参数，一定要回到 Δ ≥ 0 这道关口检验一遍。 学科网（北京）股份有限公司 $