几何综合 模型一、旋转模型-【中考复习】2026-2027学年九年级数学 中考数学压轴题解题模型全解全练

多学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第一部分 几何综合 模型一、旋转模型 1.(1)证明：如图1，在BC上截取BG=PD, AB-AD 在△ABG和△ADP中， ∠B=∠D, .△ABG≌△ADP(SAS),∴AG=AP,BG=DP, BG=PD ∴.GC=PE,,∠GAP=∠BAD=60°，∴△AGP是等边三角形，∴.AP=GP, ∴.PA+PC=GP+PC=GC=PE,∴.PA+PC=PE: (2)解：如图2：以MG为边作等边三角形△MGD,以OM为边作等边△OMB.连接ND,作DF⊥M, 交M的延长线于F. :△MGD和△OME是等边三角形，∴.OE=OM=ME,∠DMG=∠OME=60°，MG=MD, OM=ME ∴.∠GMO=∠DME,在△GMO和△DME中， ∠GMO=∠DME ∴.△GMO≌△DME（SAS), MG=MD .∴.OG=DE,.∴.NO+GO+MO=DE+OE+NO ∴.当D、E、O、M四点共线时，NO+GO+MO值最小，，∠☑MG=75°，∠GMD=60°，∴.∠☑MD=135°， ∴∠DMF=45°，MG=42.∴MF=DF=4,∴NF=MN4MF=6+4=10, D-VNF+DF=102+4-229 M0+N0+G0最小值为2/29故答案为2/29 图1 图2 2.等边△ABC的边长为a,∴.AB=AC=a,∠BAC=60°. ·将△ABC的边AB绕着点A顺时针旋转a(0°<Q<90°)得到AB′，∴AB′=AB=a,∠B'AB=: ,边AC绕着点A逆时针旋转B(0°<B<90)得到AC',∴AC=AC=a,∠CAC′=B, .∠B'AC=∠B'AB+∠BAC+∠CAC'=a+60°+B=60°+90°=150°. 图，tC作C DLAR于D.则∠D=0,∠n4C=30,cD=4c=之a ∴.S△AB'C= 3.如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM,连接PM,过点B作BH⊥PM于H. ,BP=BMF2,∠PBM=90°，∴.PMFV2PB=2,PC=4,PA=CM=23,.PC2=CM+PMf, 1 独家授权侵权必究 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 ■b.ZXXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 ∴.∠PMC=90°，.·∠BPM=∠BMP=45°，.∴.∠CMB=∠APB=135°，∴.∠APB+∠BPM=180°， A,P,M共线，，BHLPM,PH=HM,,BH=PH=HM=1,∴AH=23+1, ∴，∴.正方形ABCD的面积为14+43.故答案为14+43. 4.作DH⊥AE于H,如图， ,AF=4,当△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上， 当BP为此圆的切线时，∠ABP最大，即BFLA,在Rt△MBF中，BP-VS-4④=3， ,∠EAF=90°，.∠BAF+∠BAH=90°，，'∠DAH+∠BAH=90°，∴∠DAH=∠BAF, ∠AHD=∠AFB 在△ADH和△ABF中， ∠ DAH=∠BAF ,.∴.△ADH≌△ABF(AAS,..DH=BF=3, AD=AB ∴SAAD8=2AE~DF2 ×3×4=6.故答案为6. H 5.(1)如图1中，在四边形ABCD中，，'∠A什∠B+∠C+∠D=360°，∠B=60°，∠D=30°， ∴.∠A+∠C=360°-60°-30°=270°. 图1 (2)如图2中，结论：DB2=DA+DC2, 理由：连接BD.以BD为边向下作等边三角形△BDO. ∠ABC=∠DBQ=60°，∴.∠ABD=∠CBO,,AB=BC,DB=BQ,∴△ABD≌△CBQ(SAS), ∴AD=CQ,∠A=∠BCO,,'∠A+∠BCD=∠BCQ+∠BCD=270°，∴.∠DCQ=90°， ∴.DQ=DC2+CQ,,CQ=DA,D0=DB,∴DB2=DA2+DC2. 2 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 (3)如图3中，连接AC,将△ACE绕点A顺时针旋转60°得到△ABR,连接RE. 则△AER是等边三角形，，EA2=EB+EC2,EA=RE,EC=RB,RE2=RB+EB2,∴.∠EBR=90°， .∠RAE+∠RBE=150°，.∠ARB+∠AEB=∠AEC+∠AEB=210°，∴.∠BEC=150°， ∴，点E的运动轨迹在O为圆心的圆上，在⊙O上取一点K,连接B,KC,OB,OC, ·∠K+∠BEC=180°，∴∠K=30°，∠BOC=60°，，OB=OC,∴.△OBC是等边三角形， OB=OC=BC=1,∴点B的运动路径=-60：T1=卫 1803 6.(1)证明：如图2中，根据题意：AB=AC,AD=AE,∠CAB=∠EAD=90, AC=AB N'∠CAE+∠BAE=∠BAD叶∠BAE=90°，∴.∠CAE=∠BAD,在△ACE和△ABD中，∠CAE=∠BAD AE-AD ,△ACE≌△ABD(SAS),∴.CE=BD: (2)证明：如图3中，根据题意：AB=AC,AD=AE,∠CAB=∠EAD=90°， AC=AB 在△ACE和△ABD中， ∠CAE=∠BAD,△ACE≌△ABD(SAS),.∠ACE=∠ABD, AE=AD ,∠ACE+∠AEC=90°，且∠AEC=∠FEB,∴.∠ABD叶∠FEB=90°，.∠EFB=90°，.CF⊥BD, :AB=AC=V2+1,AD=AE=1,∠CAB=∠EAD=90°，∴BC=V2AB=V2+2,CD=AC+AD=PV2+2, ,BC=CD,,CF⊥BD,∴CF是线段BD的垂直平分线： (3)解：△BCD中，边BC的长是定值，则BC边上的高取最大值时△BCD的面积有最大值， ∴.当点D在线段BC的垂直平分线上时，△BCD的面积取得最大值，如图4中： 图4 :AB=AC=P2+1,AD=AE=1,∠CAB=∠EAD=90,DGLBC于G, S1Rc2+2,∠GAB=45°，·DG=1GHAD=2+1=2+4 AG- 2 2 ,∠DAB=180°-45=135°， △8CD的面积的最大值为：号BC·DG=2+2)1(2+4)=32+5 2 2 ，旋转角α=135° 7.【操作发现】 ①如图，△AB'C即为所求. 3 独家授权侵权必究 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 图1 ②由作图可知，△ABB′是等腰直角三角形，∴.∠AB′B=45°，故答案为45. 【问题解决】 如图2中，过点E作EH⊥CD交CD的延长线于H. H 图2 ∠C=∠BAE=∠H=90°，∠B+∠CAB=90°，∠CAB+∠EAH=90°，∴.∠B=∠EAH, AB=AE,.△ABC≌△EAH(AAS),.BC=AH,EH=AC,BC=CD,.CD=AH, .DH=AC=EH,.∠EDH=45°，.∠ADE=135. 【拓展延伸】 如图③中，连接AC,,AE⊥BC,BE=EC,AB=AC, 将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG,连接DG.则BD=CG, 图③ ∠BAD=∠CAG,.∠BAC=∠DAG,·'AB=AC,AD=AG,∴∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD, .△ABC∽△ADG,,AD=kAB,.DG=kBC=2k,,∠BAE+∠ABC=90°，∠BAE=∠ADC, ∠4DG+∠ADC=90,∠GDC=90,CG=R/DG2+CD-RV4k2+9BD=CG=V4kK+9 8.如图，过点C作CH⊥PP于H, y B C B ,将△ABC绕点C顺时针旋转120°，∴.∠PCP=120°，CP=CP,∴.∠CPP=30°，CH⊥PP, 独家授权侵权必究 多学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.zXXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 ∴cFAC,p阴=P5C要e,PP=3c,当CAB时，C有爱水位，p有小 值， 此时，PC=3Pg=3aG 2BC-/3,∴线段PP长度的最小值=3×3=3，故选：C. 9,连接OB,BC′，如图，：点0是AC中点，0C4AC=3,在Rt△B0C中，OB=3+4-5, ,△ABC绕点O旋转得△A'B'C,∴.OC=OC=3, ,BC≤OB+OC(当且仅当点B、O、C共线时，取等号)，BC'的最大值为3+5=8， 即在旋转过程中点B、C'两点间的最大距离是8.故答案为：8. 'C 5 独家授权侵权必究·多学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第一部分 几何综合 模型一、旋转模型 问题背景： 旋转模型： 如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE,DE与BC交于 遇见中点要旋转， 点P,可推出结论：PA+PC=PE. 遇见等腰要旋转（等腰三角形， 问题解决： 等腰直角三角形)， 如图2，在△MNG中，MN=6,∠M=75°，MG=4V2.点0是 遇见等边要旋转（等边三角 △MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是 形)， 遇见正方形要旋转。 等线段，共端点，必旋转，必全 等，有相似，要牢记： 解题模型：旋转模型 图1 图2 解题名称：旋转与截长补短法的 灵活运用 解题步骤： 第一步：截长补短法，作辅助线 构造全等三角形△ABG≌△ADP (SAS) 第二步：等边三角形的性质与等 量代换得结果：△AGP 是等边三角形，∴AP GP,.PA+PC= GP+PC=GC=PE, .PA+PC=PE; 解题口诀：截长补短法，构造全 等三角形，等边三角形，等量 代换得结果。 解题模型：旋转模型与费马点 解题名称：三角形内一动点到三 角形三个顶点的距离和最小值问 题（费马点四点共线） 解题步骤： 第一步：作辅助线，①构造两个 等边三角形（△MGD、 △OME): 独家授校侵权必究 多学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ②构造直角三角形（△FDN、△FMD); ③构造全等三角形（△GMO≌△DME(AS)) 第二步：当D、E、O、M四点共线时，NO+GO+MO值最小； 第三步：勾股定理计算得结果。 2. 如图，将△ABC的边AB绕着点A顺时针旋转a(0°<a<90°)得到 AB′，边AC绕着点A逆时针旋转B(0°<B<90°)得到AC, 解题模型：旋转模型 联结B'C'·当+B=90°时，我们称△AB'C'是△ABC的“双 解题名称：“双旋三角形”面积 旋三角形”.如果等边△ABC的边长为a,那么它的“双旋三角 问题 形”的面积是 (用含a的代数式表示)· 解题步骤： 第一步：作辅助线，构造直角三 角形。关键结论是∠B'AC= 150°： 第二步：根据30°角所对的直角 边等于斜边的一半得出C'D -C 20,然后根据 S△Bc=2AB'·CD即可求 解 解题口诀： 构造直角三角形是解题的关键 3. 如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分 解题模型：旋转模型 别为23、2、4，则正方形ABCD的面积为 解题名称：正方形与旋转求面积 D 解题方案 解题步骤： 第一步：①旋转90°构造全等三 角形（△ABP≌△CBM),构造 等腰直角三角形（△PBM) ③勾股定理逆定理可知 Rt△PMC; 第二步：三点共线，可知∠CMB =∠APB=135°， ∠APB+∠BPM=180°，A,P, M共线： 第三步：勾股定理得面积；AB 独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 =AH+BH2=(23+1)2+12=14+4V3 解题口诀： 旋转90°构造全等三角形，构造等腰直角三角形； 作垂线，构造等腰直角三角形： 勾股定理逆定理，证明三角形是直角三角形，三点一线就出现。 4. 如图，正方形ABCD和Rt△AEF,AB=5,AE=AF=4,连接BF, DE.若△AEF绕点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADz= 解题模型：旋转模型与隐形圆 模型 解题名称：旋转与三角形面积最 大值问题（隐形圆） 解题步骤： 第一步： ①作垂线，作DH LAE于H: ②构造圆，由于AF=4,则 △AEF绕点A旋转时，点F在以 A为圆心，4为半径的圆上，当 BF为此圆的切线时，∠ABF最 大 ③全等三角形，证明 △ADH≌△ABF得到DH=BF= 3,然后根据三角形面积公式求 解. 解题口诀： 三角形求面积，先作高； 有定点，有定长，构造圆，相切 角最大：证全等，可知结果。 独家授校侵权必究 单3贝 多学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 过 如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC. 解题模型： (1)求∠A+∠C的度数： 旋转模型与手拉手模型 (2)连接BD,探究AD,BD,CD三者之间的数量关系，并说明 解题名称： 理由： 利用旋转构造手拉手模型“AE (3)若AB=1,点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE= =BE+CE2”解决数量关系 BE+CE,求点E运动路径的长度. 解题步骤：第一步： 一连线二旋转，连接BD, △ABD以B点为旋转中心，顺 时针旋转69度，得到等边三角 形△BDQ和Rt△DCQ: 第二步：用等量代换、勾股定理 得结论。 解题口诀：当已知条件出现①两 条边相等，②角的度数等于 60°，要用旋转构造等边三角 形、直角三角形 解题模型： 旋转模型与隐形圆模型 解题名称：点的弧形运行轨迹构 造手拉手模型“AE= BE+CE2”(隐形圆)解题方案 解题步骤： 第一步：①连接AC,构造等边 三角形；②旋转60°、已知条件 RE=RB2+EB2,建立直角三角 形 独家授权侵极必究 弟4贝 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 第二步：①推理出∠BEC=150°，且是定值；②以BC边为边长构造 等边三角形： 第三步：①以O为圆心，BC-1为半径画圆；②确定点E的运行轨迹 是弧长BC。 解题口诀： 构造等边三角形→旋转→建立直角三角形→发现定值角→构造等边三 角形→画圆→确定点E的运行轨迹 定边对定角，必有隐形圆： 定弦定角，必有隐形圆： 单动折叠，必有隐形圆： 同侧共边等角，异侧共边互补，必有隐形圆： 矩形、正方形，四个顶点是共圆，对角线的交点是圆心，对角线是直 径： 6. 如图1，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=V2+1,点D,E分别在 边AB,AC上，且AD=AE=1,连接DE.现将△ADE绕点A顺时 解题模型： 针方向旋转，旋转角为(0°<<360°)，如图2，连接CE, 旋转模型与手拉手模型 BD,CD. 解题名称：旋转与三角形面积最 (1)当0°<a<180时，求证：CE=BD: 大值的解题方案（手拉手） (2)如图3，当=90°时，延长CE交BD于点F,求证：CF垂 解题步骤： 直平分BD; (3)观察图形，当点D在线段 (3)在旋转过程中，求△BCD的面积的最大值，并写出此时旋转 BC的垂直平分线上时，△BCD 角a的度数. 的面积取得最大值，利用等腰直 角三角形的性质结合三角形面积 公式即可求解 解题口诀：底边是定值，垂直平 分高最大 图 手拉手模型 遇见平方等式， 要用手拉手模型： 构造等腰直角三角形， 构造全等三角形， 等量代换是解题三要素。 等腰图形有旋转， 辨清共点旋转边， 关注三边旋转角， 全等思考边角边； 独家授权侵权必究 多学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 【操作发现】 如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC 解题模型：旋转模型 的三个顶点均在格点上. 解题名称： ①请按要求画图：将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对 共端点模型与旋转构造全等、相 应点为点B',点C的对应点为点C,连接BB': 似三角形解决线段长度问题 ②在①中所画图形中，∠AB'B=°. 解题步骤： 【问题解决】 （2)如图2，过点E作 如图2，在Rt△ABC中，BC=1,∠C=90°，延长CA到D,使 EH⊥CD交CD的延长线于H. CD=1,将斜边AB绕点A顺时针旋转90°到AE,连接DE,求 证明△ABC≌△EAH(AAS)即 ∠ADE的度数. 可解决问题. 【拓展延伸】 （3)如图3中，由AE⊥BC, 如图3，在四边形ABCD中，AE⊥BC,垂足为E,∠BAE= BE=EC,推出AB=AC,将 ∠ADC,BE=CE=1,CD=3,AD=kAB(k为常数)，求BD的 △ABD绕点A逆时针旋转得到 长（用含k的式子表示）. △ACG, 连接DG.则BD=CG,只要证 明∠GDC=90°，可得CG -DG2+CD2 由此即可解决 问题 解题口诀： 等线段，共端点，必旋转， 必全等，有相似，要牢记： 6 独家授权侵权必究 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 ■5.zxXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 9.（2019·高淳区二模) 如图，△ABC中，∠C=90°， AC=6,BC=4,点O是AC 的中点，以O为旋转中心， 将△ABC绕点O旋转一周， A、B、C的对应点分别为 A、B、C",则BC"的最大值 为一 8. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2,∠A=30°，将△ABC绕点 C顺时针旋转120°，若P为AB上一动点，旋转后点P的对应点为 点P,则线段PP长度的最小值是() B 解题模型：旋转模型 解题名称：旋转与对应点连线最 小值的解题方案 A.3 B.2 C.3 D.23 解题步骤： 过点C作CH⊥PP于H,由等腰 三角形和直角三角形可得PP =/3PC,则当PCLABF时，PC 有最小值，即PP有最小值，即 可求解. 独家授权侵权必究 多学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 ■b.ZxXk.c0m 您身边的互联网+教辅专家 解题模型：旋转模型与三点共线 解题名称：旋转与线段最大值的解题方案（三点共线） 解题步骤： 连接OB,BC,如图，易得OC=3,再利用勾股定理计算出OB= 5,接着利用旋转的性质得OC'=OC=3,根据三角形三边的关系得 到BC'≤OB+OC'(当且仅当点B、O、C'共线时，取等号)，从 而得到BC'的最大值. 解题口诀： 旋转线段最大值， 三点共线最合适： 独家授校侵权必究 弟8贝