专题05 几何变换综合：平移、旋转与翻折（5大题型，压轴题专项训练）2026年中考数学(全国通用)

专题05 几何变换综合：平移、旋转与翻折 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 图形平移的全等关系与性质 题型02 图形旋转的全等关系与性质 题型03 图形翻折的全等关系与性质 题型04 求折叠后的线段长、角度、坐标 题型05 探究变换过程中的不变量与函数关系 模块三、综合实战演练 一、求折叠后的线段长、角度、坐标的方法总结： 一、求折叠后的线段长 1. 核心依据：折叠后对应线段相等，折痕上的点到对应点距离相等； 1. 解题步骤：① 标相等线段，设未知线段为，用含的式子表示相关线段；② 找折叠后形成的直角三角形（优先），用勾股定理列方程，或利用相似三角形得比例式求解；③ 无直角/相似时，结合全等三角形推导线段关系。 二、求折叠后的角度 1. 核心依据：折叠后对应角相等，折痕平分对应点形成的夹角； 1. 解题步骤：① 标相等角，结合三角形内角和、外角定理，或平行线、垂直的角度性质；② 利用折叠的角平分线性质，推导角度和差；③ 特殊折叠（如折成直角、特殊角）直接结合特殊角的度数计算。 三、求折叠后的坐标 1. 核心依据：折痕为对称轴，对应点关于折痕垂直平分，横坐标/纵坐标满足对称规律； 1. 解题方法： · 轴垂直/水平折痕：直接用坐标对称规律（如关于轴对称，横同纵反；关于直线对称，横和为、纵不变）； · 斜向折痕：① 作对应点向折痕作垂线，利用垂直斜率乘积为-1+中点在折痕上列方程组；② 或作水平/竖直垂线，结合勾股定理求对应点坐标。 二、探究变换过程中的不变量与函数关系的处理思路 核心逻辑：动中找静定不变量，设参表量建函数关系，以图形平移/旋转/翻折的全等本质为基础，锁定变换中的变量与不变量，通过单参数表示目标量，结合几何性质推导函数解析式并界定参数范围。 1. 第一步：分析变换，区分变量与不变量 紧扣变换性质（平移/旋转/翻折的全等性、对称/平行/旋转角等特征），锁定不变量：图形的形状、大小、边长、角度、面积，以及线段比值、平行/垂直关系、周长等均为不变量；确定核心变量：平移距离、旋转角、折叠边长/折痕位置等可变化的几何量，选1个核心量作为参数（单参数优先，减少运算）。 2. 第二步：特殊探路，验证不变量+预判函数形式 取变换的特殊位置（如旋转0°/90°、平移至顶点重合、折叠至边重合），计算目标量（线段长/面积/角度），验证不变量的存在性，同时预判目标量与参数的函数形式（一次/二次/反比例等），明确推导方向。 3. 第三步：设参表量，用参数表示所有相关量 设核心变量为参数（如平移距离、旋转角），结合全等性质、几何公式（勾股/相似/三角函数），用表示待求的目标量（如线段长、面积）及相关辅助线段/角度，实现“单参数表示所有量”。 4. 第四步：推导解析式，建立函数关系 根据几何图形的边角关系、面积公式等，将目标量转化为关于参数的代数式，化简后得到函数解析式，核心是利用不变量消去多余未知量，保证解析式仅含参数和目标量。 5. 第五步：界定范围，确定参数的取值区间 结合图形变换的几何实际意义（如线段长为正、角度在0°~180°、图形不重叠），分析参数的取值限制，确定自变量的取值范围，使函数关系符合实际图形特征。 6. 第六步：验证结论，结合一般情况确认有效性 将特殊位置的参数代入解析式，验证计算结果与实际一致；同时结合变换的一般情况，确认不变量始终成立、函数解析式无遗漏，保证结论的普遍性。 题型01 图形平移的全等关系与性质 1．如图，中，，将沿的方向平移得到，连接． (1)当点D移至什么位置时，四边形是菱形，并加以证明． (2)在（1）的条件下，如果，，求四边形的面积； (3)在（1）的条件下，四边形能否为正方形？若能，请说明理由；若不能，请给添加一个条件，使四边形为正方形，并写出推理过程． 【答案】(1)当D移至的中点时，四边形是菱形．证明见解析 (2)30 (3)不能为正方形，添加条件：时，四边形为正方形．推理见解析 【分析】（1）当D移至的中点时，四边形是菱形；由平移的性质可得且，，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推知，再证明四边形是平行四边形，结合即可证明； （2）由勾股定理可得，由平移的性质可得，再根据菱形的性质求面积即可； （3）不能为正方形，添加条件：时，四边形为正方形．根据有一内角为直角的菱形是正方形来添加条件即可解答． 【详解】（1）解：如图：当D移至的中点时，四边形是菱形．证明如下： ∵将沿的方向平移得到，连接． ∴且，， 在中，，D是中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形． （2）解：∵在中，，，， ∴， ∵将沿的方向平移得到，连接． ∴， ∵平行四边形是菱形， ∴四边形的面积为． （3）解：如图：四边形不能为正方形，添加条件：时，四边形为正方形．推理如下： ∵，D是中点， ，即， ∵四边形为菱形， ∴四边形是正方形． 2．综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为背景探索几何元素之间的关系．已知在矩形中，分别是的中点，点在边的延长线上，且，连接． (1)特例分析：如图1，小睿同学画出了时的图形，并提出如下问题，请你解答：猜想线段与的数量关系，并证明你的结论； 拓展探究：小玫同学继续进行探究．如图2，已知在矩形中，，她提出如下问题，请你解答： (2)①求此时的值； ②将图2中的从当前位置开始，沿射线的方向平移得到（其中点分别是点的对应点），点是平面内的一点，请直接写出以点为顶点的四边形是菱形时，平移的距离． 【答案】(1)，见解析； (2)①； ②平移的距离是或． 【分析】根据矩形、正方形、菱形的性质，勾股定理解三角形，平移的性质求解即可，关键是进行分情况分析． （1）根据题意可知，由勾股定理得，结合，即可证得结论； （2）①根据题意得到，由勾股定理求得，结合可求得，进而求得，即可解答； ②分三种情况讨论：；；；分别利用勾股定理结合图形求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵四边形是矩形， ， 分别是的中点， ， 在中，由勾股定理，得， ， ， ∵点G在边的延长线上， ， ，即． （2）解：①∵四边形是矩形， ， 分别是的中点， ， 在中，由勾股定理，得， ， ， ， ，点G在边的延长线上， ， ； ②平移的距离是或． 如图1，若， ∴点在线段的垂直平分线上， 由①得， ∴； 若，连接，过点作于点M，过点作的延长线于点N，如图所示： ∴，， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， 此时； 如图3，若，过点G作，过点作的延长线于点M， 根据题意得：， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴． 3．数学问题：如图①，正方形中，点是对角线上任意一点，过点作，垂足为，交所在直线于点．探索与之间的数量关系，并说明理由． (1)特殊思考：如图②，当是对角线的中点时，与之间的数量关系是 ． (2)探究证明： ① 小明用“平移法”将沿方向平移得到，将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图③，这样就可以将问题转化为探究与之间的数量关系．请你按照他的思路，完成解题过程． ② 请你用与（）不同的方法解决“数学问题”． 【答案】(1) (2)①，过程见解析 ②见解析 【分析】（1）根据正方形的性质可证是等腰直角三角形，根据勾股定理可证； （2）①作，交的延长线于点，连接，可证四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质可证，根据全等三角形的性质可证是等腰直角三角形，利用勾股定理可证成立； ②作，且，连接、，可证是等腰直角三角形，利用勾股定理可证成立． 【详解】（1）解：，理由如下： 四边形是正方形，是对角线的中点， ，， ， ， 点与点重合， ， ； （2）①解：如下图所示，作，交的延长线于点，连接， 四边形是正方形， ，，， ，， 四边形为平行四边形， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ； ②解：如下图所示，作，且，连接、， 四边形是正方形， ，， ， 同理，， ， ， 又， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ． 4．综合与探究 【问题情境】如图①，在中，，，，点E在内，且，，若将沿边向右平移得到，点A，D，E的对应点分别为点，，， (1)【猜想证明】判断四边形的形状，并说明理由； (2)【问题解决】在平移的过程中，连接，当点落在上时，求的长； (3)【深入探究】如图②，过点D作于点H，的延长线交于点G，在平移的过程中，当点H将分成的两部分时，请直接写出的长． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）由平移的性质可得，，结合平行四边形的判定定理即可得出结果； （2）当点落在上时，过点作，交的延长线于点，交于点，过点作于点，则有四边形为矩形，，证明，得出，设，则，，，结合，，计算得出，，，求出，由平移的性质可得，从而可得，求出，即可得出结果； （3）由平移的性质可得，，证明为等腰直角三角形，设，则，，分两种情况：当时， 此时；当时，此时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由平移的性质可得：，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，当点落在上时，过点作，交的延长线于点，交于点，过点作于点， ， 则有四边形为矩形，， ∵，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由平移的性质可得：， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵将沿边向右平移得到， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， 设，则，， ∵在平移的过程中，当点H将分成的两部分时， ∴如图②：当时， ， 此时， ∴， 解得：， ∴； 如图③：当时，此时， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，的长为或 5．综合与实践 【问题背景】 如图（1），在矩形中，，，点E为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点C落在边上的点处． （1）【问题解决】 填空：的长为______； （2）如图（2），展开后，将沿线段向右平移，使点的对应点与点B重合，得到，与交于点F，求线段的长． （3）【拓展探究】 如图（3），在沿射线向右平移的过程中，设点的对应点为，则当在线段上截得的线段的长度为5时，直接写出平移的距离． 【答案】（1）15；（2）5；（3）4或19 【分析】（1）根据矩形，折叠的性质得到，代入计算即可求解； （2）运用矩形与折叠，勾股定理得到，，证明四边形，四边形，四边形均是平行四边形，，由此列式求解即可； （3）根据题意，分类讨论，结合相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴， ∵沿直线将矩形折叠，使点C落在边上的点处， ∴， 在中，， 故答案为：15； （2）∵， ∴， ∵折叠， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴，， 如图所示，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∵平移， ∴，， ∴四边形，四边形，四边形均是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，即， 解得，； （3）由（2）得到，当点与点重合时，， ∴当在线段上时， ∵折叠， ∴， ∵平移， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 由（2）得到，， ∴， 解得，， ∴平移的距离为4； 当在射线上时，如图所示， ∵， ∴， ∵，， ∴，且， ∴， ∴， ∴①， ∵， ∴， ∴，且， ∴， 整理得，②， ∴把②代入①得，， 解得，， ∴， ∴， ∴平移的距离为19； 综上所述，平移的距离为4或19． 核心：平移后图形与原图全等，对应边平行且相等、对应角相等，平移方向/距离为核心特征。 1. 全等应用：直接由平移得对应边、角相等，推导线段和差、角度关系； 2. 性质延伸：对应点连线平行且相等，等于平移距离，据此求平移后点的坐标/线段长度； 3. 关键：找准对应顶点/边/角，标注平移方向（水平/竖直/斜向）和距离，利用平行线性质补全角度。 题型02 图形旋转的全等关系与性质 1．综合与实践 综合实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题展开数学实践活动． (1)如图1，已知等腰绕点逆时针旋转得，连接，．若，，则 是________三角形，请说明理由； 求线段的长度； (2)如图2，在中，，，，将绕点逆时针旋转α（）得，边所在直线分别交，于，．若是等腰三角形，则________； (3)如图3，在中，，，，点为的中点，将绕点逆时针旋转（）得，点为上的动点，连接．则的取值范围是________． 【答案】(1) 等边 线段的长度为； (2)或 (3) 【分析】（1）由旋转可得，，根据等边三角形的判定，即可求解；由勾股定理，可得，由旋转可得，，延长交于点，由等边三角形的性质，可得，证明，可得，由三线合一，可得，，根据直角三角形斜边上的中线的性质，可得，根据勾股定理，可得，即可得线段的长度； （2）根据勾股定理，可得，由旋转可得，，，，，可得，设，则，按照，​，进行分类讨论，即可求解； （3）根据题意可得，可得，根据三角形的面积，结合题意可得的最小值和最大值，当，且点在线段上时，、取得最小值，当点与点重合，且点在的延长线上时，、取得最大值，根据线段之间的和差进行计算，可得的最小值和最大值，即可得的取值范围． 【详解】（1）解：​是等边三角形，理由： 由旋转可得，， ∴​是等边三角形． 在等腰中，​，， ∴， 由旋转可得，， 延长交于点， ∵​是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴． （2）解：∵，，， ∴， 由旋转可得，，，，， ∴， 设，则， 为等腰三角形分三种情况： 若，则， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，， 解得， ∴， 若​，则， ∴， ∴， 连接，则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 若，则， 又∵，， ∴， ∴， ∴点和点重合，不符合题意， 综上，或． （3）解：∵，点为的中点， ∴， ∴， 设点到的距离为， 由旋转可得，，，， ∴，， ∴， ∵点为上的动点， ∴的最小值为，的最大值为， 如图，当，且点在线段上时，、取得最小值， 此时，，， ∴的最小值为， 如图，当点与点重合，且点在的延长线上时，、取得最大值， 此时，，， ∴的最大值为， ∴． 2．利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．在数学活动课上，李老师和同学们一起操作探究下面问题： (1)如图①，在正方形中，E为边上一动点，点F在边上，且．求证：． 为了解决这个问题，小明把绕点A逆时针旋转，得到图②．易证，则得以证明．请您按照小明的思路完成证明过程； (2)如图③，在等腰中，，点M在边上，，，求的长； (3)如图④，在四边形中，，，，点E，F分别在边，上，且，求此时的周长． 【答案】(1)见解析 (2)1 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，证明即可． （2）将绕点A逆时针旋转到，利用旋转的性质，勾股定理求解即可． （3）延长到点G，使，连接，仿照（2）的解答，利用三角形全等，直角三角形的性质，勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵绕点A逆时针旋转到， ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：将绕点A逆时针旋转到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵等腰中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：延长到点G，使，连接， ∵，， ∵, ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴的周长为：． 连接， ∵， 且， ∴， ∴，， ∵在四边形中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长为：． 3．如图，在正方形中，，M为上的一动点，连接，将绕点A按顺时针方向旋转，与的延长线交于点N． (1)如图1，求证：． 【深入探究】 (2)如图2，将沿翻折得到，连接，试探究在点M移动的过程中，的面积是否发生变化．若发生变化，请求出的面积的最小值；若不发生变化，请求出的面积． 【拓展延伸】 (3)如图3，在（2）的条件下，点E在线段上，点F在线段上，连接，．当时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)的面积不变，其值为18 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质和旋转的性质证明，即可解答； （2）过点N作，垂足为Q．由得出，进而得到，从而证明，得到，根据三角形的面积得到，即可解答； （3）由得到，根据翻折的性质得到，，，因此，根据得到．根据，得到，因此，再由求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， 由旋转可知，， ∴， ∴． （2）解：的面积不发生变化．理由如下： 过点N作，垂足为Q． 由（1）知， ∴． 由翻折可知， ∴， ∴， 即． ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 即的面积不变，其值为18． （3）解：∵， ∴． 由翻折可知，，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴ 由（2）知， ∴， ∴． 4．等腰，在边上取一动点D，以点A为旋转中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接． (1)观察猜想 如图1，，则________ ． (2)类比探究 如图2，，点F为中点，连接，请判断线段与线段的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用． 如图3，，过点D作交的延长线于G，连接．请直接用等式表示线段与的数量关系． 【答案】(1)； (2)，见解析； (3)，见解析． 【分析】（1）由旋转可得，，求出，利用三角形外角的定义求出，即可求解； （2）证明，得到，，再求出，即可得出结论； （3）先证明，得到，再证明，得到，根据是等腰直角三角形，得出答案． 【详解】（1）解： 由旋转可得：，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，连接CE， ，． ， 由旋转知， ， 即． ， ， ，， ， ∵点F为中点， ． （3）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ， 是等腰直角三角形， ， ． 5．综合与探究 问题情境：在中，，点是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)猜想求解：如图1，若，，求的度数； (2)拓展延伸：如图2，，，过点作，交的延长线于，连接，求证： (3)如图3，在（2）的条件下，点是的中点，点是的中点，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明； 【答案】(1) (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）先说明是等边三角形，可得，再根据旋转的性质求出，然后根据得出答案； （2）连接，由题意得，，再说明，根据“边角边”说明，可得，进而得出，然后证明，接下来根据“边角边”证明，即可得出答案； （3）连接，根据直角三角形的性质得，再说明，然后根据直角三角形的性质得，即可得出是等腰直角三角形，最后根据勾股定理得出答案． 【详解】（1）解：，， 是等边三角形， ， 由旋转得， ， ； （2）证明：如图，连接， ，， ， 由旋转知，， ， 即， ， ， ，， ， ， ． ， ， ， ， ，； （3）解：，理由如下： 连接， 点是的中点，， ， ， ， ，即． 点是的中点，， ， ， 是等腰直角三角形， ∴， 即， ． 核心：旋转后图形与原图全等，对应边/角相等，旋转中心、旋转角、旋转方向为三要素。 1. 全等应用：由旋转得相等边/角，结合旋转角（对应边的夹角）推导角度、构造等腰/直角三角形； 2. 性质延伸：对应点到旋转中心的距离相等（旋转半径），旋转角处处相等； 3. 关键：确定旋转中心（固定不动点），找准旋转角（常为特殊角：30°/45°/60°/90°），利用半径相等构造全等三角形。 题型03 图形翻折的全等关系与性质 1．综合与实践课上，王老师带领学生们分小组进行折叠矩形纸片的探究活动． 【折叠实践】 第一步：如图（1），将矩形纸片对折，使边，重合，再展开，折痕与交于点． 第二步：如图（2），在上取一点，沿折叠矩形，点的对应点为，延长交于点，将纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕与交于点． (1)【初步发现】探究图（2）中和的位置关系． (2)【深入探究】勤学小组的同学们选用了如图（3）所示的矩形纸片，选取的点E与点D重合，按步骤折叠后发现，点F，G，M共线．请你帮他们求出的值． (3)【拓展延伸】奋进小组的同学们选用了，的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，折痕与交于点M，把纸片展开后，连接（图（4）是奋进小组的一次折叠样例）．请你解决：当为直角三角形时，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质得出，再根据平行线的判定方法即可得到结论； （2）连接，设，，先证明，得到，再证明，得到，根据勾股定理得出，即可得到答案； （3）分两种情况：当时，得出四边形是正方形，得出；当时，过点作于点，则，再证明，得到，，证明，得到． 【详解】（1）解：，理由如下， 矩形， ， ， ，， ， ； （2）解：设，， 如图（3），连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （3）解：当时，如备用图（1）， ， ，， 四边形是正方形， 当时， 如图（4），过点作于点， 则， ，，， ， ， ； ， ∴ ， ， ， ， ， ． 2．综合与实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)如图（1），将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在边上的点处，折痕为，则四边形的形状为 ． (2)如图（2），矩形纸片的边长，用图（1）中的方法折叠纸片，折痕为，接着沿过点D 的直线折叠纸片，使点C落在上的点处，折痕为．则 ， ． (3)如图（3），矩形纸片的长为，宽为， 用图（1）的方法折叠纸片，折痕为，在线段上取一点F（不与点C，E 重合），沿折叠， 点C的对应点为，  延长交直线于点G． ①判断与的数量关系，并证明； ②当射线经过的直角边的中点时，请直接写出的长． 【答案】(1)正方形 (2)， (3)，证明见解析；的长为或 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，由折叠得，，即可证得四边形是正方形； （2）先推出，根据矩形的性质推出，即可求出,由矩形，即可求出； （3）①由矩形性质得，推出，由折叠可知，，由此推出，即可推出； ②分两种情况：若过中点，即G为中点；若过中点M，连接，根据矩形的性质及勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ，， 由折叠性质可得：，， 四边形是正方形， 故答案为正方形． （2）由（1）知四边形为正方形， ， ∵， ，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵折叠，点C落在点处， ∴，， ∴， ∵正方形， ∴， ∴在中，，即， ∴, ∴, ∵矩形， ∴， ∴, ∵，， ∴， 故答案为，； （3）① ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴； ②∵四边形是矩形， ∴， 由（1）知四边形，均为正方形， ∴， 由折叠得，，, 若过中点，即G为中点， ∴， ∴, 在中，, ∴； 若过中点M，连接， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，， 即， 解得， 即， 综上，的长为或． 3．现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折， 【发现与证明】 中，，将沿翻折至，连结． 结论1：与重叠部分的图形是等腰三角形； 结论2：． …… （1）请利用图1证明结论1或结论2（只需证明一个结论）．    【理解与应用】 在中，将沿翻折至，连结． （2）如图2，已知，若，，则______°； 【探究与拓展】 在中，将沿翻折至，连结． （3）已知，，翻折后四边形为时，如果平分，求的值； （4）已知，，当是直角三角形时，则______． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4），，， 【分析】（1）根据折叠的性质，平行四边形的性质推导出，即可知是等腰三角形；再由，得到； （2）利用结论1和结论2，求解即可； （3）过点作交于点，根据结论1和结论2，结合平行四边形的性质，推导出，由折叠即可知，，求出，再由，求出，即可求解； （4）分三种情况讨论：当时，当时，当时，当时，画出图形，结合结论1、结论2分别求解即可． 【详解】解：（1）由折叠可知， ∵在中， ， ， ， ∴是等腰三角形； ， ， ， ， ， ； （2）∵， 根据折叠可得， ， ， ， ， 故答案为：135； （3）如图，过点作交于点，   ， ， 平分， ， ， ， 由折叠可知，， ， ， ， ， ； （4）解：当是直角三角形时，分为： ①如图，当时，    由（1）知， ∴， 由折叠可得 ∵在在中， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴是直角三角形， 由折叠可得，， ∴， ∴； ②如图，当时， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴， 由（1）知， ， 由折叠可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； ③如图，当时，    由（1）知， ， 由折叠可知，， ∵，， ∴； ④如图，当时，    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴， ∴； 综上所述：的值为或或或． 4．翻折是一种常见的图形操作，观察翻折前后的图形能探究和发现数学结论，经过量化分析和演绎推理能证明数学结论． 点是矩形的边上一点，把沿直线翻折，使得点落在点处． (1)如图1，当点与点A重合时，交于点，判断与的数量关系，说明理由； (2)如图2，当点恰好是与的交点，且时，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了翻折变换、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握折叠的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由证得，再根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）设的长为x，由折叠得，再求出，然后证得到，最后代入数据计算即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：设的长为x，由折叠得， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：（不合题意，舍去）， ∴的长为． 5．折纸之术，源远流长，古称“折矩”、“叠方”，其中暗含丰富的几何之理．星湾数学兴趣小组在一次数学实验活动中，用纸片剪得熟悉的四边形，分别沿直线翻折，进行探究活动： (1)【探究一】如图1，在矩形中，点N是边的中点，连接，点P为边上的一点，将沿翻折得到，恰好使得点C的对称点E落在上．已知，． ①直接写出的长度； ②求的值． (2)【探究二】如图2，在正方形中，点N是边的中点，将沿着直线翻折得到，点A的对称点落在点F处，连接，与交于点P，已知正方形的边长是20，请在图2中利用尺规补全图形（保留作图痕迹），并求的长． 【答案】(1)①6；② (2) 【分析】（1）①在矩形中，为中点，，．在中，运用勾股定理求出．由折叠性质得，则；②连接，由折叠得，．设，则，由勾股定理，求出，进而得到即可得解； （2）以点D为圆心，为半径画弧，以点N为圆心，为半径画弧，两弧交于一点F，此时点F即为所求；延长交于点，连，先证明，再通过勾股定理求出，再由得，进而即可求解． 【详解】（1）解：①点是边的中点，， ， 在矩形中，， ，，， 在中， ， 将沿翻折得到，恰好使得点的对称点落在上， ， ； ②如图，连， 将沿翻折得到，恰好使得点的对称点落在上， ，， ，， ，， ， 解得：， ， ； （2）解：补全图形如下图，正方形的边长是20，点是边的中点，延长交于点，连， ∵四边形为正方形， ∴，， ， 将沿着直线翻折得到 ，点的对称点落在点处， ，，， ， ， ， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴ 解得， ． 核心：翻折（折叠）是轴对称变换，折痕为对称轴，翻折后图形与原图全等，且对应点关于折痕对称。 1. 全等应用：直接得对应边、角相等，折痕为公共边时，构造等腰三角形； 2. 对称性质：折痕是对应点连线的垂直平分线，折痕上任意点到对应点的距离相等； 3. 关键：标注折痕和对应点，利用垂直平分线性质（垂直、平分）推导垂直关系、线段相等。 题型04 求折叠后的线段长、角度、坐标 1．如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，A、D两点分别与对应，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则，根据翻折的性质以及平行线的性质表示出相关角的度数，然后根据平角列出方程求解． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∵， ∴， 由翻折变换的性质得出， ∵，即， 解得， ∴， ∵， ∴． 2．如图，在中，将沿对角线折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用折叠和平行四边形的性质可得，，，即可得，四边形是矩形，再根据矩形的性质解答即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ，， ∵点在的延长线上，即、、三点共线， ， ， ∵四边形是平行四边形， ，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴． 3．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴正半轴上，为边上一点，连接．将菱形沿折叠，点落在点处，于点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点的坐标得，求出点，运用待定系数法求出直线的解析式为，求得，设，则，由两点间距离公式得，解得，进而可得点D的坐标． 【详解】解：∵四边形为菱形，边在轴正半轴上， ∴轴， ∵于点，且点的坐标为， ∴轴， ∴，， ∴， 过点作轴于点，则， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， ∴， ∴直线的解析式为， 由折叠可得，， ∴， 设，则 ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 4．如图，在三角形纸片中，，点在边上（点，不重合，），将沿折叠后得到，交于点．若，则与的数量关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，利用折叠对应角相等、等腰三角形底角相等，结合三角形外角与内角和定理建立方程，化简推导两角数量关系即可． 【详解】解：设，， ∵将沿折叠得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠得， ∵， ∴， 在中，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 5．如图，在中，，，将线段沿方向向右平移，得到（点D的对应点为E，点C的对应点为F），连接，再将沿折叠，使点B落在平面内的点G处．当时，线段的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】D 【分析】先说明四边形为平行四边形，再由翻折可得，进而得到，再解直角三角形即可． 【详解】在中，，， ， 四边形为平行四边形， ， ， 又沿折叠，点B落在平面内的点G处， ， 四边形为矩形， ， 又， ， ， ． 核心：折叠找对称，等量建方程，结合勾股定理、相似三角形、坐标轴对称性质求解，核心是转化未知量为已知量。 1. 求线段长：设未知线段为，由折叠得相等线段，结合勾股定理（直角三角形）、相似三角形列方程求解； 2. 求角度：由折叠得相等角，结合三角形内角和、平行线性质、外角定理，逐步推导角度； 3. 求坐标：平面直角坐标系中，利用坐标轴对称性质（如关于直线对称，横坐标和为，纵坐标不变），或作垂线结合勾股定理求对应点坐标； 4. 关键：折叠后重叠部分为全等图形，优先找直角三角形建方程，坐标问题紧扣对称轴的垂直平分性质。 题型05 探究变换过程中的不变量与函数关系 1．已知，如图①，在平行四边形中，，，，沿的方向匀速平移得到，速度为；同时，点Q从点C出发，沿方向匀速移动，速度为，当停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为，连接，，，解答下列问题： (1)______，______． (2)当t为何值时，． (3)设的面积为，求y与t之间的函数关系式． 【答案】(1) (2)当t为秒时， (3)y与t之间的函数关系式为 【分析】本题考查相似三角形的综合运用，一元二次方程的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）由勾股定理计算，结合题意即可得解； （2）先证，得到，得到，求解即可； （3）作于点D，交的延长线于点E，易得，得，结合三角形面积公式即可得到关于t之间的函数关系式； 【详解】（1）解：∵，，， ， 由题意得：， ； （2）解：如下图所示， ， ， ， ， ， 解得：，经检验，是原方程的解， 故当t为秒时，； （3）解：作于点D，交的延长线于点E， ， ， ∴四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积为， y与t之间的函数关系式为． 2．如图（1），已知和中，，，，且A、B、D、E共线，点、点在线段上．在射线上平移，平移后得到，直线与交于点． (1)如图（2），当在线段上时，设，，求关于的函数解析式（无需写出定义域）． (2)当时，设以A、C、、G为顶点构成的四边形面积为S，求的值． 【答案】(1) (2)或． 【分析】本题考查了解直角三角形，平移的性质，平行线的性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，得，则，再结合平行线的性质，平移的性质，解直角三角形的性质，得，则，，结合，得，即可作答． （2）理解题意，再进行讨论，当点在点的右边，或当在线段上时，并且每个情况进行作图分析，结合平行线的性质，平移的性质，解直角三角形的性质进行作答即可． 【详解】（1）解：过点作，如图所示： ∵， ∴设， 则， ∵，， ∴， 则， ∴， ∵，， ∴， 则， ∵平移后得到， ∴， 即， ∵， ∴， 即， 设， 则， ∵， ∴， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． （2）解：当点在点的右边，过点作，如图所示： 设， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， 设， 则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， 则， 依题意，设以A、C、、G为顶点构成的四边形面积为S， 则 ． ∴； 当在线段上时，过点作，如图所示： 设， 则， ∵，， ∴， 则， ∴， ∵，， ∴， 则， ∵平移后得到，， ∴， 即， ∵， ∴， 即， 设， 则， ∵， ∴， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 依题意，设以A、C、、G为顶点构成的四边形面积为S， 则， ∴， 综上：或． 3．如图；抛物线经过两点．点在轴上，其横坐标为． (1)求此抛物线的解析式． (2)将坐标原点绕点顺时针旋转得到点，当点在抛物线上时，求的值． (3)将绕点顺时针旋转得到． ①当线段与抛物线有公共点时，直接写出的取值范围． ②当抛物线在内的部分（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为2时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)①或，②或或或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分点在轴负半轴上和点在轴正半轴两种情况，进行讨论求解即可； （3）①求出旋转后点的坐标，进而求出点在抛物线上时的值，结合点在抛物线上时，点的值，即可得出结果；②分或两种情况，画出图形，确定最高点和最低点的纵坐标，即可得出结果． 【详解】（1）解：把代入，得： ，解得， ∴； （2）解：由题意，， ①当点在轴负半轴上时，则， 由旋转可得，，点在第三象限， ∴， ∴，解得（舍去）或； ②当点在轴正半轴上时，则， 由旋转可得，，点在第一象限， ∴， ∴，解得或（舍去）； 综上：； （3）解：①∵， ∴， 由旋转可得，，轴，轴，点在点的左侧，点在点上方， 由（2）可知，点的坐标为，当点在抛物线上时，， ∴，， 当点在抛物线上时，则， 解得或， ∴当线段与抛物线有公共点时，或； ②由①可知：，， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 联立解得或， ∴抛物线与直线的交点为和； 当时，如图，抛物线在内的部分的最高点为点，最低点的部分在边上或边上， ∴最低点的纵坐标为， 当最低点在边上时，； 当最低点在边上，则，解得或（舍去）； ∴； 当时，当抛物线在内的部分的最高点在上，即点，最低点的部分在边上时，如图， ∴此时最高点的纵坐标为8， ∴最低点的纵坐标为，即； 当抛物线在内的部分的最高点在上，最低点的部分在边上时，如图， 则最高点的纵坐标为，最低点的纵坐标为， ∴， 解得或（舍去） 综上：或或或． 4．如图，在中，，动点P从点C出发，在三角形的边上沿C→A→B匀速运动，到达点B时停止运动，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，设运动时间为t（s），由B，P，Q三点围成的三角形面积为． (1)如图1，当点P由点C运动到点A时，连接，S与t之间的函数关系如图2所示． ①当时， ； ②求S与t之间的函数关系式（写出t的取值范围），并求线段的长度； (2)如图3，当点P由点A运动到点B时，连接，交于点O，（1）的条件仍然成立． ①求S与t之间的函数关系式（写出t的取值范围）． ②若恰好存在3个时刻，，（）对应的S值相等，则 ． ③是否存某一时刻t，使点B在的垂直平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①2；②，； (2)①；②；③当时，点B在的垂直平分线上． 【分析】（1）①由图2求解即可得；②利用待定系数法求解即可，利用勾股定理求解即可； （2）①作于点，证明是等腰直角三角形，求得，，利用勾股定理求得，再证明，求得，利用三角形面积公式列式计算即可；②画出函数图象，利用数形结合求解即可；③作于点，利用两种方式表示出的面积得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：①由图2可得，抛物线的对称轴为， ∴当时，； 故答案为：2； ②由图2可得，抛物线的顶点坐标为，， 设抛物线的解析式为， 将代入得，解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴； （2）解：①作于点， 由题意得， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 由旋转的性质知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴； ②画出函数图象如图， 当时，恰好存在3个时刻，，（）对应的S值相等， ∴， 故答案为：； ③存在．作于点， ∵， ∴，，， ∴，， ∵点B在的垂直平分线上， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴当时，点B在的垂直平分线上． 5．【问题情境】聪聪在做数学作业时，遇到了以下问题：如图，已知点E是正方形的边上任意一点，以为边作正方形，连接，点M为的中点，连接，若，，，请求出y关于x的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）． 聪聪向老师求助，老师认为这道题很值得研究，于是带领同学们在数学课上做了以下探究： 【数学思考】 （1）如图1，将绕点A逆时针旋转得到，连接．若，，请直接写出与的位置关系及的长度； 【深入研究】 （2）如图2，将绕点A逆时针旋转得到，点D恰好在的延长线上，连接，．若点M为的中点，连接，请探究线段与的位置关系及数量关系，并给予证明； 【解决问题】 （3）如图3，已知E是正方形的边上任意一点，以为边作正方形，连接，点M为的中点，连接，若，，，直接写出y关于x的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）． 【答案】（1）且，，（2），，证明见详解，（3） 【分析】（1）延长交至点H，与交点O，根据旋转的性质得到，，，再证明出，得到，进而推出，最后再利用勾股定理求得的长； （2）延长作，连接，设与交点F，与交点H，先证明，得出，，进而利用旋转的性质得出，证明出，利用角的和差关系及三角形内角和定理证得，紧接证明得到，同样利用三角形内角和与角的和差关系证得； （3）连接，，证明出，利用旋转的性质可知可绕点A逆时针旋转得到，由（2）结论得出，再将相关线段用不同的代数式表达，进而利用勾股定理得出，列出关系式并化简即可得到y与x的函数关系式． 【详解】解：（1）如图，延长交至点H，与交点O， ∵绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，． （2），， 证明：如图，延长作，连接，设与交点F，与交点H， ∵M是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 设与的交点为P， ∵，， ∴， ∴，即． （3）如图，连接，， ∵， ∴， ∴， 又∵四边形和四边形均为正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴绕点A逆时针旋转得， 由（2）结论可知，， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴在中，由勾股定理得，， ∴，整理得， ∴， ∴． 核心：定参数，找不变量，建函数，先确定变换中的变量（如旋转角、平移距离、折叠边长），再分析不变量（边、角、面积、比值），最终建立变量与目标量的函数关系。 1. 找不变量：平移/旋转/翻折中，图形的形状、大小、面积、对应边/角的数量关系均为不变量，比值、垂直/平行关系也常保持不变； 2. 建函数关系：① 设变换中的核心参数为（如平移距离、旋转角）；② 用表示目标量（线段长、面积、角度）；③ 结合几何性质（勾股、相似、全等）推导解析式，注明参数取值范围； 3. 关键：动中找静，通过特殊位置（如旋转90°、平移至顶点重合）验证不变量，建函数时优先用单参数表示所有相关量，简化推导。 1．如图，四边形是边长为的正方形，取边的中点，连接，将沿折得到，延长交边于点，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由正方形性质可得，，通过折叠性质可知，，，然后证明，所以，设，则，，由勾股定理得，即，然后求出的值即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是中点， ∴， 由折叠性质可知：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 由勾股定理得：， ∴，解得， ∴， ∴的长为． 2．如图，把长方形纸条沿折叠，点的对应点为点．若，，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据长方形的性质可得，利用平行线的性质得出 ，设，根据折叠的性质建立关于的方程求解即可． 【详解】解：四边形是长方形 设，则 由折叠的性质可知 ， 即 ． 3．已知M，N分别是长方形纸条边，上两点（），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P，如图2所示，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若，则的度数为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由翻折的性质和长方形的性质可得出：，，据此可得，，再根据得，根据得，据此可求出，进而可求出的度数． 【详解】解：由翻折的性质得：，， 四边形为长方形， ， ， ， 又， ， ，， ， ， 即：， ， ， ， ， ， ． 4．如图，在中，，，， （1）______； （2）将沿着折叠，使点B的对应点落在边上的D点处，若是以为腰的等腰三角形，则______． 【答案】 8 4或4 【分析】本题考查折叠的性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据含角的直角三角形的性质，求出的长即可； （2）根据折叠的性质可得，设，则、，分和两种情况讨论，根据勾股定理求出长，利用等腰三角形的性质和折叠的性质求解即可 ． 【详解】（1）解：在中，，，， ； （2）解：在中，， 由折叠的性质知，，， 设，则、， 是以为腰的等腰三角形， 分两种情况讨论： ①当时， ， 解得， ； ②当时，， 、， 、， ， ， ， 点与重合， 如图： ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 综上所述，的长为4或． 5．将三角形纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为，已知，，，那么的长度是________． 【答案】4 【分析】先根据等腰三角形的性质得到，再由折叠的性质得到，结合推出，从而得到．接着利用平行线判定，根据相似三角形的对应边成比例列方程，最后求解的长度． 【详解】解：设， ， ，， 由折叠的性质可知：， ， ， 又， ， , ， ， ， , 即， 解得， 即的长度是． 6．综合与实践 (1)【提出问题】如图1，在菱形中，，P是对角线上一动点，连接，将绕点P顺时针旋转得到，连接，，则的度数为 ； (2)【类比探究】如图2，在正方形中，P是对角线上一动点，且，，将绕点P顺时针旋转得到，连接， ①求的度数； ②当时，求的长； (3)【迁移运用】如图3，在矩形中，，P是对角线上一动点，连接，以为边在右边作，且，当点Q到的距离为时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)①；② (3)的长为 【分析】（1）根据菱形的性质，根据旋转的性质，证明是等边三角形，再证明，得到； （2）①过点A作于点E，由正方形的性质证明，从而求得结果； ②通过解求得的长，继而得到，由①的可求得结果； （3）先求得的度数，过点A作于点L，过Q作于点K，利用三角形相似的判定与性质，特殊角三角函数值，分类思想解答即可． 【详解】（1）解：在菱形中，， ，，， 由旋转可知，，， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：①过点A作于点E， 四边形是正方形，是对角线， ，即为等腰直角三角形， ，， 由旋转可知是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； ②在中，， ∴， 由①知，， ∴， ∴． （3）解：在中，， ∴， ， ， 如图，过点A作于点L，过Q作于点K， ∴， 在中，， 当点Q在上方时， 同理可得， ∴， ∴， ∴； 如图，当在下方时， 同理可得， ∴， 综上，的长为． 7．中，，将绕点A旋转得到，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，交于点N，点N为的中点，，，求线段的长； (3)如图3，点N为的中点，延长分别交于H、F． ①求证：，②当时，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)6 (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，再证明，即可证明； （2）可证明；由直角三角形的性质得到，则，则可证明；过点A作于点H，则四边形是矩形，则，由三线合一定理可得； （3）①可证明，进而证明，则可证明，即可推出；②过点A作于点T，同理可得四边形是矩形，，则；设；可证明，得到，则，，进而得到，，则；由相似三角形的性质可得；过点A作于点S，则，，过点H作于点R，设，解直角三角形得到，，，则，据此可得，则，，由此可得答案． 【详解】（1）证明：由旋转的性质可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴； ∵点N为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，过点A作于点H，则四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴； （3）解：①∵点N为的中点，， ∴， ∴； 由（2）得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，过点A作于点T， 同理可得四边形是矩形，， ∴， 同理可得； ∵， ∴可设； ∵， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴； ∵点N为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，即， ∴； 如图所示，过点A作于点S，则， ∴， ∴，， ∴； 如图所示，过点H作于点R，设， ∴， ∴； 在中，， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．综合与实践 在中，，将绕点C按顺时针方向旋转（）得到． (1)【问题解决】 如图1，若，当点D落在边上时，连接，则与的数量关系是______． (2)【探究迁移】 如图2，连接，若，在旋转过程中，当点A，D，E在同一直线上时，过点C作，延长交线段于点N，求的值． (3)【拓展应用】 若，，，P为平面内一点，当以A，C，D，P为顶点且为边的四边形为平行四边形时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先得到，再证明，得到即可； （2）过点B作，交的延长线于点H，证明，推出，解，得到，进而得到，证明，得到即可； （3）分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知， 如图1，过点B作，交的延长线于点H， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）解：当以A，C，D，P为顶点且为边的四边形为平行四边形时，分两种情况： ①如图2，当点P在线段的下方时， 由旋转的性质可知． ∵四边形为平行四边形， ∴，． ∵，即， ∴， ∴． 过点P作，交的延长线于点F，则， ∴， ∴，， ∴， 在中，； ②如图3，当点P在线段的上方时． ∵四边形为平行四边形， ∴． 由旋转的性质可知， ∴． ∵，即， ∴． ∵， ∴． 过点P作于点F，则． 在中，， ∴， ∴． 在中， 综上所述，的长为或． 9．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，沿折线向点运动，连接，将绕点顺时针旋转得到，旋转角等于，作于点，设点运动的路程为． (1)______； (2)若点在上． ①求证：； ②当点落在上时，求的值； (3)作的中线，若与线段有交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①见解析；② (3) 【分析】（1）先用勾股定理算出的长度，再用勾股定理的逆定理验证为直角三角形，从而直接得出的度数； （2）①利用旋转的性质得到以及旋转角相等，推导出一组对应角相等，再结合已知的直角条件，可证明和全等，再由全等三角形对应边相等得到；②先由①的结论得到，再结合、，证明，利用相似三角形的对应边成比例求出的长度，再由之前的全等关系，将的长度转化为的长度，即的值； （3）当落在上时：先利用直角三角形斜边中线的性质，求出相关线段的长度，再通过与相似，求出此时的，进而得到的最小值；当落在上时：先通过全等三角形和矩形的性质求出，再利用相似三角形求出，然后结合的长度得到的最大值，最后综合两个临界值，得到的取值范围． 【详解】（1）解：，，， ， ，， ， ． （2）①证明：将绕点顺时针旋转得到， ，旋转角为， ，，， ， 在和中， ， ， ． ②解：如图，点落在上， ，， ， ， ，，， ， ，即， 故． （3）解：如图，当在上，过点作， ，为中点， ， ， 为中点， ，， ， ， ，， ， ，即， 解得，则； 如图，当在上，过点作，过点作， ，为中点， ， ， 为中点， ， 根据题意可知， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ，解得， 则． 综上，的取值范围为． 10．已知长方形，，，边长为（）的正方形的顶点与点重合，边、分别与、重合（如图所示）．将正方形沿着射线方向平移，设平移距离为． (1)当点恰好落在线段上时，直线、分别与长方形的边交于点、、（如图所示）．下列编号①-④中，两个图形能关于某点成中心对称的是___________，面积相等的是__________；（在横线上填入相应的编号） ①三角形与三角形；②三角形与三角形； ③三角形与三角形；④长方形与长方形． (2)在（1）的条件下，当时，求的值； (3)在平移过程中，当正方形的顶点落在线段上时，求的值． 【答案】(1)①②③；①②③④ (2) (3)或 【分析】（1）根据“中心对称图形”的定义，对选项依次判断；再利用“中心对称图形面积相等”以及“大图形面积相等，减去同样面积的部分，剩下的面积也相等”的逻辑，判断各组图形的面积是否相等； （2）由平移距离，用表示出长方形和的边长，结合（1）的“面积相等”关系列方程，求解得； （3）分“在上”“在上”两种情况进行讨论，根据面积相等列方程，用表示，再计算． 【详解】（1）解：长方形是中心对称图形，且对称中心在长方形的对角线上， ①三角形与三角形；②三角形与三角形；③三角形与三角形，都可以组成长方形， ∴①②③两个图形能关于某点成中心对称， ∴①②③中的两个三角形的面积相等； ①三角形与三角形；②三角形与三角形的面积相等， ∴四边形和四边形的面积相等， 又③三角形与三角形的面积相等， 则四边形和四边形的面积分别减去三角形与三角形的面积之后的图形面积相等， 即④长方形与长方形的面积相等， 答：①②③；①②③④． （2）解：依题意，，，， 由（1）可得长方形与长方形的面积相等， ， 解得：． 答：． （3）解：如图，当在上时， 依题意，，，，， ，，， 同理可得长方形与长方形的面积相等， ， 解得：， ； 当在上时，如图， ，，， 由（1）可得长方形与长方形的面积相等， ， 解得：， ． 综上所述，的值为或． 答：或． 11．在综合实践课上，辅导老师要求同学操作探究学具中蕴含的数学知识（的三个角为；的三个角为）． (1)如图1所示，将一副三角尺按图摆放，等腰直角三角尺的直角边恰好垂直平分，且与相交于点P，若，求的长； (2)如图2所示，在（1）的基础上，将绕点C顺时针旋转，使直角边经过点D，另一直角边与相交于点Q．求的长； (3)在（2）的条件下，将在线段上平移，当 时，直角边与相交于点G，直接写出的长． 【答案】(1)2 (2)4 (3)3 【分析】（1）解直角三角形求出的长，由线段垂直平分线的性质得到，，再解直角三角形求出的长即可得到答案； （2）根据直角三角形中斜边上的中线是斜边一半求出长度，再证明，解直角三角形可求出长度． （3）过点作于点，设平移前点A、B、C的对应点分别为点，设交于点Q，根据平移的性质可得，求出．证明，得到，则，求出，解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，，， ∴； ∵等腰直角三角尺的直角边恰好垂直平分， ，， ∴ 在中，， ∴， ∴． 在中，． ． （2）解：由（1）得， 直角边经过点D，， ． ， ∵，即． 在中，； （3）解：如图所示，过点作于点，设平移前点A、B、C的对应点分别为点，设交于点Q， 在上平移，， ，． ． 由（2）得，，， ． ， ， ， ． 在中，． ． 12．综合与实践 数学课上，同学们以含角的平行四边形为载体，开展了平移、折叠、旋转的综合实践活动．如图1，在平行四边形中，． 【智慧小组——平移探究】 (1)如图2，将沿着射线方向平移，得到，点的对应点为．当四边形为矩形时，求平移的距离． 【善思小组——折叠探究】 (2)如图3，将沿着折叠得到，点的对应点为，连接．猜想四边形的形状，并证明你的猜想． 【探索小组——旋转探究】 (3)将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点．当为以为底的等腰三角形时，请你直接写出的值． 【答案】(1) (2)四边形是矩形，见解析 (3)或 【分析】（1）根据平行四边形的性质可求出，根据含的直角三角形的性质求出，根据平移的性质得出，根据矩形的性质并结合可求出，然后在中，根据正切的定义求出即可； （2）根据折叠的性质得出，，，则可证、D、B三点共线，则，然后根据矩形的判定即可得证； （3）分两种情况讨论：当点F在的上方时，过F作于M，交于N，过D作于H，在中，解直角三角形求出，，根据三线合一的性质求出，根据矩形的判定与性质求出，，根据旋转的性质得出，在中，根据勾股定理求出，最后在中，根据勾股定理求解即可；当点F在的上方时，类似求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵平移后四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 即平移距离为； （2）解：四边形是矩形 理由：∵折叠， ∴，，， ∴， ∴、D、B三点共线， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又 ∴平行四边形是矩形； （3）解：当点F在的上方时，如图，过F作于M，交于N，过D作于H， 在中，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵旋转 ∴， ∴在中，， ∴， ∴； 当点F在的下方时，如图，过F作于M，交于N，过D作于H， 在中，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵旋转 ∴， ∴在中，， ∴， ∴； 综上，的值为或． 13．综合与实践 【问题情境】在书法课上，为了实现图的书写效果，需要解决“将正方形书法纸折出均等的三列”的问题．在学习了特殊平行四边形知识后，小华和小海以“正方形的折叠”为主题展开了探索． 【操作探索】 操作一：把正方形纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：沿着再一次折叠纸片，使点落在点处，得到折痕交HE于点； 操作三：将沿过点的直线折叠，使与重合，得到折痕． 【猜想验证】 (1)根据以上操作，小华发现点三点共线，且①_________°；②线段之间的数量关系为：_________． (2)小海说：“我发现线段与线段的比值是，即点是线段的三等分点．”你认为小海的说法正确吗？请说明理由． 【问题探究】 (3)在（）和（）的条件下，延长交线段于点，连接交于点，你能发现线段与线段的比值吗？请直接写出答案． 【答案】(1)；； (2)小海说法正确；理由见解析 (3) 【分析】（）利用正方形的直角与两次折叠的角平分性质，推导出；结合折叠的线段相等关系和三点共线，得到； （）设正方形边长，用勾股定理列方程求解，得出是的三分之一，验证了是的三等分点； （）先设正方形边长为，利用折叠性质得出折痕为中位线、；再通过证明，设，在中用勾股定理列方程求出，进而得到；最后结合前序结论，计算出与的比值为． 【详解】（1）解：① 由折叠性质：折叠后，，正方形中， ∴，即， ∴， ② 由折叠得：，，且题目给出三点共线， ∴， 即：； （2）解：设正方形边长为，则， 设，则， 由（）得， 在中，， 由勾股定理： ， 代入得：， 展开化简：， 整理得， 解得，即， ∴是三等分点，小海说法正确； （3）解：设正方形边长为， ∵与重合，得到折痕， ∴为中位线，，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， 在中，，， 由勾股定理：， 解得：，即， ∴， ∵， ． 14．【图形感知】 如图1，在四边形中，已知，，． (1)的长为_________________________； 【探究发现】 老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究．在线段上取一点，连接．将四边形沿翻折得到四边形，其中，分别是，的对应点． (2)其中甲、乙两位同学的折叠情况如下： ①甲：点恰好落在边上，延长交于点，如图2．求四边形的面积； ②乙：点恰好落在边上，如图3．求的长； (3)如图4，连接交于点，连接．当点在线段上运动时，线段是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由． 【答案】(1)10 (2)①；② (3)线段存在最小值，线段的最小值为 【分析】（1）利用勾股定理求得，再证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）①由折叠的性质得，，，再证明，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可求解； ②延长和相交于点Q，连接，证明四边形是正方形，再证明，据此求解即可； （3）先利用折叠的性质推出，推出点P在以为直径的上，连接，，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：①由折叠的性质得，，， ， ， 四边形是矩形； 在Rt中，，， ， 四边形的面积； ②延长和相交于点，连接， ，，， 点恰好落在边上， ，， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 点在对角线上， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ； （3）解：由折叠的性质可知，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴点在以为直径的上，连接， ∴，即点在上时，线段存在最小值， ∵ 所以线段存在最小值，线段的最小值为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 几何变换综合：平移、旋转与翻折 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 图形平移的全等关系与性质 题型02 图形旋转的全等关系与性质 题型03 图形翻折的全等关系与性质 题型04 求折叠后的线段长、角度、坐标 题型05 探究变换过程中的不变量与函数关系 模块三、综合实战演练 一、求折叠后的线段长、角度、坐标的方法总结： 一、求折叠后的线段长 1. 核心依据：折叠后对应线段相等，折痕上的点到对应点距离相等； 1. 解题步骤：① 标相等线段，设未知线段为，用含的式子表示相关线段；② 找折叠后形成的直角三角形（优先），用勾股定理列方程，或利用相似三角形得比例式求解；③ 无直角/相似时，结合全等三角形推导线段关系。 二、求折叠后的角度 1. 核心依据：折叠后对应角相等，折痕平分对应点形成的夹角； 1. 解题步骤：① 标相等角，结合三角形内角和、外角定理，或平行线、垂直的角度性质；② 利用折叠的角平分线性质，推导角度和差；③ 特殊折叠（如折成直角、特殊角）直接结合特殊角的度数计算。 三、求折叠后的坐标 1. 核心依据：折痕为对称轴，对应点关于折痕垂直平分，横坐标/纵坐标满足对称规律； 1. 解题方法： · 轴垂直/水平折痕：直接用坐标对称规律（如关于轴对称，横同纵反；关于直线对称，横和为、纵不变）； · 斜向折痕：① 作对应点向折痕作垂线，利用垂直斜率乘积为-1+中点在折痕上列方程组；② 或作水平/竖直垂线，结合勾股定理求对应点坐标。 二、探究变换过程中的不变量与函数关系的处理思路 核心逻辑：动中找静定不变量，设参表量建函数关系，以图形平移/旋转/翻折的全等本质为基础，锁定变换中的变量与不变量，通过单参数表示目标量，结合几何性质推导函数解析式并界定参数范围。 1. 第一步：分析变换，区分变量与不变量 紧扣变换性质（平移/旋转/翻折的全等性、对称/平行/旋转角等特征），锁定不变量：图形的形状、大小、边长、角度、面积，以及线段比值、平行/垂直关系、周长等均为不变量；确定核心变量：平移距离、旋转角、折叠边长/折痕位置等可变化的几何量，选1个核心量作为参数（单参数优先，减少运算）。 2. 第二步：特殊探路，验证不变量+预判函数形式 取变换的特殊位置（如旋转0°/90°、平移至顶点重合、折叠至边重合），计算目标量（线段长/面积/角度），验证不变量的存在性，同时预判目标量与参数的函数形式（一次/二次/反比例等），明确推导方向。 3. 第三步：设参表量，用参数表示所有相关量 设核心变量为参数（如平移距离、旋转角），结合全等性质、几何公式（勾股/相似/三角函数），用表示待求的目标量（如线段长、面积）及相关辅助线段/角度，实现“单参数表示所有量”。 4. 第四步：推导解析式，建立函数关系 根据几何图形的边角关系、面积公式等，将目标量转化为关于参数的代数式，化简后得到函数解析式，核心是利用不变量消去多余未知量，保证解析式仅含参数和目标量。 5. 第五步：界定范围，确定参数的取值区间 结合图形变换的几何实际意义（如线段长为正、角度在0°~180°、图形不重叠），分析参数的取值限制，确定自变量的取值范围，使函数关系符合实际图形特征。 6. 第六步：验证结论，结合一般情况确认有效性 将特殊位置的参数代入解析式，验证计算结果与实际一致；同时结合变换的一般情况，确认不变量始终成立、函数解析式无遗漏，保证结论的普遍性。 题型01 图形平移的全等关系与性质 1．如图，中，，将沿的方向平移得到，连接． (1)当点D移至什么位置时，四边形是菱形，并加以证明． (2)在（1）的条件下，如果，，求四边形的面积； (3)在（1）的条件下，四边形能否为正方形？若能，请说明理由；若不能，请给添加一个条件，使四边形为正方形，并写出推理过程． 2．综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为背景探索几何元素之间的关系．已知在矩形中，分别是的中点，点在边的延长线上，且，连接． (1)特例分析：如图1，小睿同学画出了时的图形，并提出如下问题，请你解答：猜想线段与的数量关系，并证明你的结论； 拓展探究：小玫同学继续进行探究．如图2，已知在矩形中，，她提出如下问题，请你解答： (2)①求此时的值； ②将图2中的从当前位置开始，沿射线的方向平移得到（其中点分别是点的对应点），点是平面内的一点，请直接写出以点为顶点的四边形是菱形时，平移的距离． 3．数学问题：如图①，正方形中，点是对角线上任意一点，过点作，垂足为，交所在直线于点．探索与之间的数量关系，并说明理由． (1)特殊思考：如图②，当是对角线的中点时，与之间的数量关系是 ． (2)探究证明： ① 小明用“平移法”将沿方向平移得到，将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图③，这样就可以将问题转化为探究与之间的数量关系．请你按照他的思路，完成解题过程． ② 请你用与（）不同的方法解决“数学问题”． 4．综合与探究 【问题情境】如图①，在中，，，，点E在内，且，，若将沿边向右平移得到，点A，D，E的对应点分别为点，，， (1)【猜想证明】判断四边形的形状，并说明理由； (2)【问题解决】在平移的过程中，连接，当点落在上时，求的长； (3)【深入探究】如图②，过点D作于点H，的延长线交于点G，在平移的过程中，当点H将分成的两部分时，请直接写出的长． 5．综合与实践 【问题背景】 如图（1），在矩形中，，，点E为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点C落在边上的点处． （1）【问题解决】 填空：的长为______； （2）如图（2），展开后，将沿线段向右平移，使点的对应点与点B重合，得到，与交于点F，求线段的长． （3）【拓展探究】 如图（3），在沿射线向右平移的过程中，设点的对应点为，则当在线段上截得的线段的长度为5时，直接写出平移的距离． 核心：平移后图形与原图全等，对应边平行且相等、对应角相等，平移方向/距离为核心特征。 1. 全等应用：直接由平移得对应边、角相等，推导线段和差、角度关系； 2. 性质延伸：对应点连线平行且相等，等于平移距离，据此求平移后点的坐标/线段长度； 3. 关键：找准对应顶点/边/角，标注平移方向（水平/竖直/斜向）和距离，利用平行线性质补全角度。 题型02 图形旋转的全等关系与性质 1．综合与实践 综合实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题展开数学实践活动． (1)如图1，已知等腰绕点逆时针旋转得，连接，．若，，则 是________三角形，请说明理由； 求线段的长度； (2)如图2，在中，，，，将绕点逆时针旋转α（）得，边所在直线分别交，于，．若是等腰三角形，则________； (3)如图3，在中，，，，点为的中点，将绕点逆时针旋转（）得，点为上的动点，连接．则的取值范围是________． 2．利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．在数学活动课上，李老师和同学们一起操作探究下面问题： (1)如图①，在正方形中，E为边上一动点，点F在边上，且．求证：． 为了解决这个问题，小明把绕点A逆时针旋转，得到图②．易证，则得以证明．请您按照小明的思路完成证明过程； (2)如图③，在等腰中，，点M在边上，，，求的长； (3)如图④，在四边形中，，，，点E，F分别在边，上，且，求此时的周长． 3．如图，在正方形中，，M为上的一动点，连接，将绕点A按顺时针方向旋转，与的延长线交于点N． (1)如图1，求证：． 【深入探究】 (2)如图2，将沿翻折得到，连接，试探究在点M移动的过程中，的面积是否发生变化．若发生变化，请求出的面积的最小值；若不发生变化，请求出的面积． 【拓展延伸】 (3)如图3，在（2）的条件下，点E在线段上，点F在线段上，连接，．当时，求四边形的面积． 4．等腰，在边上取一动点D，以点A为旋转中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接． (1)观察猜想 如图1，，则________ ． (2)类比探究 如图2，，点F为中点，连接，请判断线段与线段的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用． 如图3，，过点D作交的延长线于G，连接．请直接用等式表示线段与的数量关系． 5．综合与探究 问题情境：在中，，点是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)猜想求解：如图1，若，，求的度数； (2)拓展延伸：如图2，，，过点作，交的延长线于，连接，求证： (3)如图3，在（2）的条件下，点是的中点，点是的中点，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明； 核心：旋转后图形与原图全等，对应边/角相等，旋转中心、旋转角、旋转方向为三要素。 1. 全等应用：由旋转得相等边/角，结合旋转角（对应边的夹角）推导角度、构造等腰/直角三角形； 2. 性质延伸：对应点到旋转中心的距离相等（旋转半径），旋转角处处相等； 3. 关键：确定旋转中心（固定不动点），找准旋转角（常为特殊角：30°/45°/60°/90°），利用半径相等构造全等三角形。 题型03 图形翻折的全等关系与性质 1．综合与实践课上，王老师带领学生们分小组进行折叠矩形纸片的探究活动． 【折叠实践】 第一步：如图（1），将矩形纸片对折，使边，重合，再展开，折痕与交于点． 第二步：如图（2），在上取一点，沿折叠矩形，点的对应点为，延长交于点，将纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕与交于点． (1)【初步发现】探究图（2）中和的位置关系． (2)【深入探究】勤学小组的同学们选用了如图（3）所示的矩形纸片，选取的点E与点D重合，按步骤折叠后发现，点F，G，M共线．请你帮他们求出的值． (3)【拓展延伸】奋进小组的同学们选用了，的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，折痕与交于点M，把纸片展开后，连接（图（4）是奋进小组的一次折叠样例）．请你解决：当为直角三角形时，求的长． 2．综合与实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)如图（1），将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在边上的点处，折痕为，则四边形的形状为 ． (2)如图（2），矩形纸片的边长，用图（1）中的方法折叠纸片，折痕为，接着沿过点D 的直线折叠纸片，使点C落在上的点处，折痕为．则 ， ． (3)如图（3），矩形纸片的长为，宽为， 用图（1）的方法折叠纸片，折痕为，在线段上取一点F（不与点C，E 重合），沿折叠， 点C的对应点为，  延长交直线于点G． ①判断与的数量关系，并证明； ②当射线经过的直角边的中点时，请直接写出的长． 3．现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折， 【发现与证明】 中，，将沿翻折至，连结． 结论1：与重叠部分的图形是等腰三角形； 结论2：． …… （1）请利用图1证明结论1或结论2（只需证明一个结论）．    【理解与应用】 在中，将沿翻折至，连结． （2）如图2，已知，若，，则______°； 【探究与拓展】 在中，将沿翻折至，连结． （3）已知，，翻折后四边形为时，如果平分，求的值； （4）已知，，当是直角三角形时，则______． 4．翻折是一种常见的图形操作，观察翻折前后的图形能探究和发现数学结论，经过量化分析和演绎推理能证明数学结论． 点是矩形的边上一点，把沿直线翻折，使得点落在点处． (1)如图1，当点与点A重合时，交于点，判断与的数量关系，说明理由； (2)如图2，当点恰好是与的交点，且时，求的长． 5．折纸之术，源远流长，古称“折矩”、“叠方”，其中暗含丰富的几何之理．星湾数学兴趣小组在一次数学实验活动中，用纸片剪得熟悉的四边形，分别沿直线翻折，进行探究活动： (1)【探究一】如图1，在矩形中，点N是边的中点，连接，点P为边上的一点，将沿翻折得到，恰好使得点C的对称点E落在上．已知，． ①直接写出的长度； ②求的值． (2)【探究二】如图2，在正方形中，点N是边的中点，将沿着直线翻折得到，点A的对称点落在点F处，连接，与交于点P，已知正方形的边长是20，请在图2中利用尺规补全图形（保留作图痕迹），并求的长． 核心：翻折（折叠）是轴对称变换，折痕为对称轴，翻折后图形与原图全等，且对应点关于折痕对称。 1. 全等应用：直接得对应边、角相等，折痕为公共边时，构造等腰三角形； 2. 对称性质：折痕是对应点连线的垂直平分线，折痕上任意点到对应点的距离相等； 3. 关键：标注折痕和对应点，利用垂直平分线性质（垂直、平分）推导垂直关系、线段相等。 题型04 求折叠后的线段长、角度、坐标 1．如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，A、D两点分别与对应，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，将沿对角线折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴正半轴上，为边上一点，连接．将菱形沿折叠，点落在点处，于点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在三角形纸片中，，点在边上（点，不重合，），将沿折叠后得到，交于点．若，则与的数量关系正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，将线段沿方向向右平移，得到（点D的对应点为E，点C的对应点为F），连接，再将沿折叠，使点B落在平面内的点G处．当时，线段的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D． 核心：折叠找对称，等量建方程，结合勾股定理、相似三角形、坐标轴对称性质求解，核心是转化未知量为已知量。 1. 求线段长：设未知线段为，由折叠得相等线段，结合勾股定理（直角三角形）、相似三角形列方程求解； 2. 求角度：由折叠得相等角，结合三角形内角和、平行线性质、外角定理，逐步推导角度； 3. 求坐标：平面直角坐标系中，利用坐标轴对称性质（如关于直线对称，横坐标和为，纵坐标不变），或作垂线结合勾股定理求对应点坐标； 4. 关键：折叠后重叠部分为全等图形，优先找直角三角形建方程，坐标问题紧扣对称轴的垂直平分性质。 题型05 探究变换过程中的不变量与函数关系 1．已知，如图①，在平行四边形中，，，，沿的方向匀速平移得到，速度为；同时，点Q从点C出发，沿方向匀速移动，速度为，当停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为，连接，，，解答下列问题： (1)______，______． (2)当t为何值时，． (3)设的面积为，求y与t之间的函数关系式． 2．如图（1），已知和中，，，，且A、B、D、E共线，点、点在线段上．在射线上平移，平移后得到，直线与交于点． (1)如图（2），当在线段上时，设，，求关于的函数解析式（无需写出定义域）． (2)当时，设以A、C、、G为顶点构成的四边形面积为S，求的值． 3．如图；抛物线经过两点．点在轴上，其横坐标为． (1)求此抛物线的解析式． (2)将坐标原点绕点顺时针旋转得到点，当点在抛物线上时，求的值． (3)将绕点顺时针旋转得到． ①当线段与抛物线有公共点时，直接写出的取值范围． ②当抛物线在内的部分（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为2时，直接写出的值． 4．如图，在中，，动点P从点C出发，在三角形的边上沿C→A→B匀速运动，到达点B时停止运动，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，设运动时间为t（s），由B，P，Q三点围成的三角形面积为． (1)如图1，当点P由点C运动到点A时，连接，S与t之间的函数关系如图2所示． ①当时， ； ②求S与t之间的函数关系式（写出t的取值范围），并求线段的长度； (2)如图3，当点P由点A运动到点B时，连接，交于点O，（1）的条件仍然成立． ①求S与t之间的函数关系式（写出t的取值范围）． ②若恰好存在3个时刻，，（）对应的S值相等，则 ． ③是否存某一时刻t，使点B在的垂直平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 5．【问题情境】聪聪在做数学作业时，遇到了以下问题：如图，已知点E是正方形的边上任意一点，以为边作正方形，连接，点M为的中点，连接，若，，，请求出y关于x的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）． 聪聪向老师求助，老师认为这道题很值得研究，于是带领同学们在数学课上做了以下探究： 【数学思考】 （1）如图1，将绕点A逆时针旋转得到，连接．若，，请直接写出与的位置关系及的长度； 【深入研究】 （2）如图2，将绕点A逆时针旋转得到，点D恰好在的延长线上，连接，．若点M为的中点，连接，请探究线段与的位置关系及数量关系，并给予证明； 【解决问题】 （3）如图3，已知E是正方形的边上任意一点，以为边作正方形，连接，点M为的中点，连接，若，，，直接写出y关于x的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）． 核心：定参数，找不变量，建函数，先确定变换中的变量（如旋转角、平移距离、折叠边长），再分析不变量（边、角、面积、比值），最终建立变量与目标量的函数关系。 1. 找不变量：平移/旋转/翻折中，图形的形状、大小、面积、对应边/角的数量关系均为不变量，比值、垂直/平行关系也常保持不变； 2. 建函数关系：① 设变换中的核心参数为（如平移距离、旋转角）；② 用表示目标量（线段长、面积、角度）；③ 结合几何性质（勾股、相似、全等）推导解析式，注明参数取值范围； 3. 关键：动中找静，通过特殊位置（如旋转90°、平移至顶点重合）验证不变量，建函数时优先用单参数表示所有相关量，简化推导。 1．如图，四边形是边长为的正方形，取边的中点，连接，将沿折得到，延长交边于点，则的长为（  ） A． B． C． D． 2．如图，把长方形纸条沿折叠，点的对应点为点．若，，则为（　　） A． B． C． D． 3．已知M，N分别是长方形纸条边，上两点（），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P，如图2所示，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若，则的度数为（       ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，， （1）______； （2）将沿着折叠，使点B的对应点落在边上的D点处，若是以为腰的等腰三角形，则______． 5．将三角形纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为，已知，，，那么的长度是________． 6．综合与实践 (1)【提出问题】如图1，在菱形中，，P是对角线上一动点，连接，将绕点P顺时针旋转得到，连接，，则的度数为 ； (2)【类比探究】如图2，在正方形中，P是对角线上一动点，且，，将绕点P顺时针旋转得到，连接， ①求的度数； ②当时，求的长； (3)【迁移运用】如图3，在矩形中，，P是对角线上一动点，连接，以为边在右边作，且，当点Q到的距离为时，请直接写出的长． 7．中，，将绕点A旋转得到，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，交于点N，点N为的中点，，，求线段的长； (3)如图3，点N为的中点，延长分别交于H、F． ①求证：，②当时，直接写出的值． 8．综合与实践 在中，，将绕点C按顺时针方向旋转（）得到． (1)【问题解决】 如图1，若，当点D落在边上时，连接，则与的数量关系是______． (2)【探究迁移】 如图2，连接，若，在旋转过程中，当点A，D，E在同一直线上时，过点C作，延长交线段于点N，求的值． (3)【拓展应用】 若，，，P为平面内一点，当以A，C，D，P为顶点且为边的四边形为平行四边形时，请直接写出的长． 9．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，沿折线向点运动，连接，将绕点顺时针旋转得到，旋转角等于，作于点，设点运动的路程为． (1)______； (2)若点在上． ①求证：； ②当点落在上时，求的值； (3)作的中线，若与线段有交点，直接写出的取值范围． 10．已知长方形，，，边长为（）的正方形的顶点与点重合，边、分别与、重合（如图所示）．将正方形沿着射线方向平移，设平移距离为． (1)当点恰好落在线段上时，直线、分别与长方形的边交于点、、（如图所示）．下列编号①-④中，两个图形能关于某点成中心对称的是___________，面积相等的是__________；（在横线上填入相应的编号） ①三角形与三角形；②三角形与三角形； ③三角形与三角形；④长方形与长方形． (2)在（1）的条件下，当时，求的值； (3)在平移过程中，当正方形的顶点落在线段上时，求的值． 11．在综合实践课上，辅导老师要求同学操作探究学具中蕴含的数学知识（的三个角为；的三个角为）． (1)如图1所示，将一副三角尺按图摆放，等腰直角三角尺的直角边恰好垂直平分，且与相交于点P，若，求的长； (2)如图2所示，在（1）的基础上，将绕点C顺时针旋转，使直角边经过点D，另一直角边与相交于点Q．求的长； (3)在（2）的条件下，将在线段上平移，当 时，直角边与相交于点G，直接写出的长． 12．综合与实践 数学课上，同学们以含角的平行四边形为载体，开展了平移、折叠、旋转的综合实践活动．如图1，在平行四边形中，． 【智慧小组——平移探究】 (1)如图2，将沿着射线方向平移，得到，点的对应点为．当四边形为矩形时，求平移的距离． 【善思小组——折叠探究】 (2)如图3，将沿着折叠得到，点的对应点为，连接．猜想四边形的形状，并证明你的猜想． 【探索小组——旋转探究】 (3)将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点．当为以为底的等腰三角形时，请你直接写出的值． 13．综合与实践 【问题情境】在书法课上，为了实现图的书写效果，需要解决“将正方形书法纸折出均等的三列”的问题．在学习了特殊平行四边形知识后，小华和小海以“正方形的折叠”为主题展开了探索． 【操作探索】 操作一：把正方形纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：沿着再一次折叠纸片，使点落在点处，得到折痕交HE于点； 操作三：将沿过点的直线折叠，使与重合，得到折痕． 【猜想验证】 (1)根据以上操作，小华发现点三点共线，且①_________°；②线段之间的数量关系为：_________． (2)小海说：“我发现线段与线段的比值是，即点是线段的三等分点．”你认为小海的说法正确吗？请说明理由． 【问题探究】 (3)在（）和（）的条件下，延长交线段于点，连接交于点，你能发现线段与线段的比值吗？请直接写出答案． 14．【图形感知】 如图1，在四边形中，已知，，． (1)的长为_________________________； 【探究发现】 老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究．在线段上取一点，连接．将四边形沿翻折得到四边形，其中，分别是，的对应点． (2)其中甲、乙两位同学的折叠情况如下： ①甲：点恰好落在边上，延长交于点，如图2．求四边形的面积； ②乙：点恰好落在边上，如图3．求的长； (3)如图4，连接交于点，连接．当点在线段上运动时，线段是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由． 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