辽宁沈阳市东北育才学校2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试卷

东北育才高中2026—2027学年度上学期 高二年级数学科第一次月考试卷 答题时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知向量，，若，则（ ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 2．已知为直线l的方向向量，，分别为两个不同平面，的法向量，则下列说法正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 4．在四面体中，M，N分别是，的中点，点G在线段上，满足，用向量，，表示向量为（ ） A． B． C． D． 5．已知，是半径为2的的两条直径，且与成角，现将沿直径折成直二面角，此时线段的长为（ ） A． B． C． D． 6．已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 7．正四面体棱长为1，P为空间中任意一点，的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．在三棱锥中，，，，，若该三棱锥外接球的表面积为，则点A到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列结论正确的有（ ） A．已知，，则 B．若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底 C．已知向量，，若，则为钝角 D．点M为平面外一点，N为平面内一点，若，则 10．如图，在直三棱柱中，E、F分别是边，的中点，则下列说法正确的是（ ） A．和平面平行 B．若，则异面直线和垂直 C． D．若，，与平面所成角为，则 11．正六棱锥的底面对角线交点如图，设棱锥的内切球半径为r，棱锥的内切球半径为R，那么的值可能为（ ） A． B． C． D． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知空间两点，，且，则点P的坐标为__________． 13．如图，正四面体的棱长为4，平面，O为垂足，，延长交于点E，则__________． 14．2026年7月23日，中国籍数学家王虹因在三维挂谷（Kakeya）猜想上的杰出贡献获得菲尔兹奖．三维挂谷猜想研究：给定长度为1的线段，在空间中经过平移与旋转，扫过区域的体积与维度问题．现有一条长度为1的线段，该线段可以取遍空间中的所有方向；若要求无论线段朝向空间哪个方向，整条线段都能完整放置在棱长为a的正四面体内部（包含边界），则正四面体棱长a的最小值是__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分13分）如图，在直三棱柱中，，，，M，N分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 16．（本题满分15分）把一副三角板按如图所示的方式拼接，，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 17．（本题满分15分）如图，在多面体中，平面平面，底面为直角梯形，，，，，且，，． （1）证明：； （2）M是线段上的点，且M到平面的距离为，求的值． 18．（本题满分17分）已知：斜三棱柱中，，与面所成角正切值为2，，，，点E为棱的中点，且点E向平面所作投影在内． （1）求证：； （2）棱（含端点）上是否存在一点F，使二面角的平面角的余弦值为，若存在，指出F点位置，若不存在，说明理由． 19．（本题满分17分）如图，若三角形在平面内的射影为三角形，三角形和平面的成角设为（只考虑锐角的情况），那么，我们可根据此信息完成下列问题： 正三角形的顶点O固定在平面上，三角形可以绕O在平面的一侧转动，在面上的射影为，若是直角，记和平面的成角为． （1）若为等腰直角三角形，求； （2）设，，，证明：； （3）求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $东北育才高中2026一2027学年度上学期 高二年级数学第一次月考试卷·参考答案 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分) 题号 2 3 4 5 6 7 8 答案 心 0 ① A ◇ 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得 部分分，有选错的得0分) 9.AD 10.ABD 11.BCD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.（-2,3,0) 13.-12 14.V2 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) (1)证明：取AB的中点B,连接AE,ME, 因为M是BC的中点，所以MEMC,ME-4C 又N是AG的中点，所以4NMAC,AN=)AC 所以MEAN,ME=AN,所以四边形MNAE是平行四边形，所以MWAE, 又MN丈平面ABB,A,AEC平面ABBA, 所以MNI∥平面ABB,A …5分 (2)解：以A为原点，AB，AC,A4所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， B E 则4(0,0,1)，C(0,2,0),A(0,0,0),M(11,0).N(01,1) 所以4C=(0,2-,A=(11,0).AN=(01,1) AM·m=x+y=0 设平面AMN法向量为m=(x,少，2)，ANm=y+z=0 取m=(么，-1) 9分 m:AC_-2-1_15 设直线4C与平面AMN所成角为日，则 -ka4c- 4C √ 故直线AC与平面AMN所成角的正弦值为5 …13分 16.(15分) (1)证明：面PBC⊥面BCD, 又CD⊥BC,CDC面BCD,面PBC∩面BCD=BC, 则CD⊥面PBC, …3分 又PBc面PBC,则PB⊥CD …5分 PB⊥PC,CD∩PC=C,CD,PCC面PCD, 则PB上面PCD.… …7分 (2)取BC中点O,BD中点M,连接OP,OM,如图所示： 则OM⊥BC,OMIICD,CD⊥面PBC,OPC面PBC, 则CD⊥OP,故OM⊥OP,PB=PC,O为BC中点，则OP⊥BC, 0).)) 易知平面BCD的一个法向量为%=(0,0,1)， …9分 BD=(-32,6,0） n2·BP=0 设平面PBD的法向量为%=(G,水2)， n2·BD=0 取x=1,则%=(5，) 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 …13分 cos(元，n) n'n 。1V5 V55 √5 所以平面PBD与平面BCD所成角的余弦值为5.…I5分 17.(15分) 证明：(1)：AB=2,BF=2,AF=2V2,AB2+BF2=AF2,得BF1AB, :平面ABEF⊥平面ABCD,且平面ABEF∩平面ABCD=AB,BFC平面ABEF, ∴.BF⊥平面ABCD,而CDC平面ABCD, CD⊥BF.… …5分 解：(2)由(1)知，BF⊥平面ABCD,且AB⊥BC 以B为坐标原点，分别以BA,BC,BF所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系， M B 则B(0,0,0),A(2,0,0),C(04,0).D(22,0).F(0,0,2).E(-2,02) BD=(2,2,0).BF=(0,0,2) 设CW=2cE=2(-2,-4,2)=(-2元，-4,22)0≤元≤)】 则BM=Bc+CW=(0,4,0)+(-2元，-4,22)=(-2元，4-4,2n) …10分 iBD=2x+2y=0 设平面BDF的一个法向量为i=(x,y2),i·BF=2z=0 取x=1,得元=(1，-1,0) ds BM.列22-4_4 =210 设点M到平面BDF的距离为d, 2 3,解得3或3（舍）· CM 2 CE 3 …15分 18.(17分) (I)证明：取线段AC的中点M,连接EM、BM, 在斜三棱柱ABC-ABC中，A4ICC且AA=CC, 则四边形MACC为平行四边形，所以，ACAC且4C=AC, 因为B、M分别为AC,AC的中点，所以四边形AAEM为平行四边形，所以， EMIAA 又因为M4MBB,则EMBB,因为AC⊥BB,则AC⊥EM. 因为AB=BC,M为AC的中点，则BM⊥AC, 因为EM∩BM=M,EM,BMc平面BEM,所以AC⊥平面BEM, 因为EBC平面BEM,所以EB⊥AC. …6分 (2)解：由(1)可知，AC1平面EMBB, 过点B在平面BB,EM内作EO⊥BM,垂足为点O, 因为AC⊥平面BBEM,EOC平面BBEM,则EO⊥AC, 又因为EO⊥BM,BM∩AC=M,BM,ACC平面ABC,则EO⊥平面ABC, 所以直线AA与平面ABC所成的角为∠EMO, tan∠EMo=E =2 所 OM,则E0=2OM. 因为EM=VE02+0M2=V50M=V5,可得0M=1,E0=2.9分 B=BC=号AC=2V 因为 ,则AB=BC=2V2,AC=4. 所以AB2+BC2=AC2,则AB⊥BC, BM=。AC=2 因为M为AC的中点，所以 2 以点0为坐标原点，Ox,OB,OE的方向分别为x、八、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则1(2，-1,0)、B(0,10)、M(0,-l,0、C(-2,-1,0)、E(00,2 ME=(01,2）,则0A=01+A4=01+ME=(2,-1,0)+(0,12)=(20,2） 即点4(2,02)，同理可得点B(0,22)、C(-20,2), 设F=元A4=(0,12)=(0,元，2元0≤≤) 则CF=C1+AF=(40,0)+(0,元，22)=(4，A,22).且CB=(2,20) mCB=2x+2y=0 设平面BCF的法向量为m=(x,y2）,则mCF=4x+y+22=0, 取x=2元，则y=-2元，z=1-4. 所以平面的一个法向量为m=(2元，-2九，1-4) ，…14分 7 易知平面ABC的一个法向量为元=(0,0,1)，因为二面角A-BC-F的平面角的余弦值为V57, os(a.或= m列 12-4 7 则 -同V42+42+(a-4y57 = 622+2-2=0,因为0≤元≤1，解得2 。。。。。。 …17分 19.(17分) (1)设正三角形边长为a, AO-B'O →AA'=BB'→ABI∥AB→AB'=a AO=BO 0=B'0=a 则 cos0= 3. …5分 2)AH=x,BB=y,则在RAOB中，由勾股定理(a-)+(a-y）=d2-(-x」 即Q2=2y 。。。。。。。。。。。《 …10分 COS0=SAKOR (3) S△OB,设△AOB边长为a,我们只要求△AOB'面积的最大值. 设AA'=x,BB=y,则Q2=2y,而 故C0SB的最大值3。… …17分