重庆市四川外国语大学附属外国语学校2026-2027学年高三上学期10月检测数学试题

重庆外国语学校 2026-2027学年度（上)高2027届10月检测 数学试题 (满分150分，120分钟完成) 一、进择题（共8小题） 1.已知复数2= ,则=（) A号 C.1 D.3 2.已知集合A={≤2}，B={xEZ2<10,则AnB的元素个数为() A.3 B.4 C.5 D.6 3.己知1a=1,1b!=2,12d-1=2,则a,)=() A君 B登 c月 D晋 4.一化学器皿为圆台形状，其上、下底面半径分别为1cm和5cm,高为10cm(器皿厚度忽略不计).现 将该器皿水平放置后（上底位于上方）注入盐酸溶液，若溶液高度怡为5cm,则溶液体积为() A.245πcm3 B. C.490mcm3 D .10s on 5,现有6名志愿者，需要将他们分配到5个项目组进行培训，每名志愿者只分配到一个项目组每个项目 组至少需要分配一名志愿者，则不同的分配方案有() A.900种 B.1200种 C.1440种 D.1800种 6.已知sina+2cosa=0,则cos2a=（) A.- c.- 7.已知函数f树=本7克若正实数a,6满足了(a)(2b-1）=0,则吧+的最小值为() A号 B.7 C 5t3v2 D.4+2W2 8.已知F)=log4(4+1)-kx为偶函数，g(x)=x+a),若x[-2,0]时，函数f(x)的图象恒在 g(x)图象的上方，则实数a的取值范围为() A.(0,+∞) B.（-∞，1) C.【-子，+∞)D.(-0,0) 二.多选题（共3小题） 第1页（共4页） (多选)9.己知函数f()=si(ωx+写)+b(ω>0)的最小值为0，且最小正周期为m,则（) A.b=1 B.o=2 C.f(x)在区间(-号，君)上单调递增 D.f(x)在区间(O, 罗)上的最大值为1 (多选)10.如图，点P在正方体ABCD-A1B1CD1的面对角线BC1上运动(P点异于B,C点)，则下 列结论正确的是（) D A D A、异面直线BD与AB1所成角为60° B.B1D⊥平面ACDI C.三棱锥P-ACD1的体积不变 D.直线A1P与平面AD1CB所成角正弦值的取值范围为（吃，1 (多选)1l.如图，在四边形ABCD中，Fn(n∈N)为边BC上的一列点，连接AFn交BD于点Gn(n∈N), 且Ga满足anan+1GnB=anGnFn-2an+GnC,其中数列{an}是首项为1的正项数列，则（） F A.数列品+1)为等比数列 B.数列的前n项和为21-m-2 C.数列{an}为递增数列 D.4=Z是 三.填空题（共3小题） 12.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=2,S3=15,则S8= 第2页（共4页) 13.已知函数∫(x)=m(x2+a)+x2有且仅有1个零点，则a=一· 14.在四棱锥P~ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD.若四棱锥P-ABCD的体积为9，且 其顶点均在球O上，则当球O的体积取得最小值时，AP=一· 四.解答题（共5小题） 15.为保障公众健康、提升监管效能，某市监管部门开展了食品安全专项治理行动.行动中，监管部门对 某品牌饼干随机抽取了100件产品，检测其防腐剂含量（单位：mgkg),并统计绘制了频串分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值： (2)若从样本中防腐剂含量不低于100mgg的产品中按照等比例随机抽样的方法抽取7件产品，再从 这7件产品中随机抽取4件产品进行检测，求这4件产品中防腐剂含量在区间[104,108]内的件数Y的 期望和方差。 频率/组距 0.085-… 0.065 =。。。w 0.03 6V889296100104108 x(mg/kg) 16.如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，且AB∥CD,∠C=牙，AB=2,DC=4.E为DC中点，将△ BEC沿BE进行翻折，使点C与点P重合，取BE中点O,连接PO、AO. P(C) B (1)证明：AD⊥平面POA: (2)当PA=√6时，求PB与平面PAD所成角的正弦值. 17.已知a、b、c分别为斜△ABC中角A、B、C的对边，2a(sinA-sinB)cosC=asinA+-bsinB-csinC. (1)求n8 sinA (2)已知△ABC的面积为V5b2c0sC,求c+的最小值. 第3页（共4页） 18.已知函数f(x)=xex-ax. (1)若a=2,求曲线y=∫(x)在点(0，∫(0)处的切线方程： (2)当x∈(0,1]时，(x)≥·e,求实数a的取值范围： (3)若a=0,且存在x1,x2（x1≠x2),使得∫(x1)=∫(x2),证明：xI+x双>2. 19.甲、乙、丙三人玩传花游戏，开始时由甲手持鲜花，随机地将花传给乙或丙，接花者再随机地将花传 给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去从一个人手中将花传给另一个人称为一次传花，设经过 次传花后，花回到甲手里的概率记为P,假设每一次传花互不影响. (1)求P2和P4的值： (2)求P: (3)设6=-8n2r-.装器P:数列6的前n项和为S若。=21V5n-,证明：1，子 9n 第4页（共4页）重庆外国语学校 2026-2027学年度（上)高2027届10月检测 多考答案与试题解析 一，选择题（共8小题）CCCB,DADB 1【解答】解：z=得=立+号则a= 3+i(3+02 2+受=1.故选：c 2.【解答】解：A={x≤2}={x-2≤x≤2}，B={xEZ2 <10}={-3,-2,-1,0,1,2,3} AnB={-2≤x≤2}n{-3,-2,-1,0,1,2,3} ={-2,-1,0,1,2},即AnB的元素个数为5.故选： 3.【解答】解：已知2a-bl=2,两边平方整理可得4a2-4a 6+62=4, 又因为a=1,b1=2,代入解得a·b=1,根据两向量 的夹角公式可得cos<d,6>=a6=马 6是 又<a,b>E0,,所以<a,b>=牙故选：C. 4.【解答】解：因为圆台形状的上、下底面半径分别为1cm 和5cm,高为10cm, 又将该器皿水平放置后（上底位于上方)注入盐酸溶液， 溶液高度怡为5cm, 所以溶液的上底面半径为生5=3cm,下底面半径为50m, 2 高为5cm, 所以溶液的体积V=号(32+52+3×5)×π×5= 24(cm).故选：B. 5.【解答】解：先将6名志愿者分为5组，可分为2,1,1， 1,1.共有CA=1800种.故选：D. 6.【解答】解：因为sina+2cosa=0,所以tana=-2, cos2a=cos2a-sin2a=1-tan2a_1-4 3 cos2a+sin2a-1+tan2a=+4=-亏故选：A. 1 7.【解答】解：根据题意，f)=。中一五其定义域为R, 又f(-刘=+-+2-=24= f(x),所以∫(x)为奇函数， 函数y=e在R上为增函数，分析可得∫(x)在R上单调 递减， 又f(a)+f(2b-1)=0,变形可得f(a)=-∫(2b-1) =∫(1-2b),则有a=1-2b,即a+2b=1, 台+号-8+2a-4+片+号24+25.当且仅 号-a=24,6平时等号成立. 7 故选：D. 8.【解答】解：函数f闭)=log4(4+1)-kx为偶函数，得 ∫(·x)=∫(x)恒成立， 即log4(4+1)+kx=log4(4+1)-kx台2kx= 4r+1 og44-+台2kx=x恒成立， 而x不恒为0，所以k=2 当.r[-2,0时，函数∫(x)的图象恒在g(x)图象的上 方，则x∈[-2,0]，∫(x)>g(x)恒成立， 即log44+1)-2x>2x+a),则log4(4+1)-x> a对x[-2,0恒成立， 函数h)=log,4+)-x=log4#=log41+ )x-2,01 又函数u=1+在R上单调递减，y=1og4在(0，+∞） 上单调递增，则函数h(x)在-2,0]上单调递减，所以 hWnm=h0=受于是a<号解得a<I, 所以实数a的取值范围是（-∞，1).故选：B. 二.多选题（共3小题） 9.【解答】解：依题意，b-1=0,所以b=1,A选项正确： T=无=，得w=2,B选项正确： 由AB可知，f)=sin(2x+写)+1，当xE(-写，若) 时，2x+号e(-号，受)，C选项错误： xE(0,写)，2x+号∈（受，），所以x)的最大值为2， D选项错误. 故选：AB. 10.【解答】解：因为点P在正方体ABCD-AB1CD1的面 对角线BC1上运动(P点异于B,C点)， 所以作出示意图，针对各个选项分析如下： 0 D A 对于A,因为BD∥B1D1,且△AB1D1为等边三角形， 故异面直线BD与AB1夹角为∠AB1D1=60°，故A正确： 对于B,因为AC⊥BD,AC⊥BB1,BDOBB1=B,所以 AC⊥平面DBB1,所以AC⊥B1D, 的等比数列，A正确： 同理可得D1C⊥平面DCB1,又B1Dc平面DCB1,所以 DC⊥B1D,又ACnD1C=C,所以B1D⊥平面ACD1,故 B选项，因为1=1，所以+1=2，故(+1)是首项 B正确： 为2，公比为2的等比数列， 对于C,因为BC1∥AD1,BC1t平面ACD1,AD1C平面 ACD1, 所以2+1=2”，三=2”-1，（合）的前n项和为2 an an 所以BC1∥平面ACD1,所以VP-ACD1=VB-AcD1=V1-ABC 2-2n+1 为定值，故C正确： -1+22-1+…+20-1=24+…+20-n=-2-n= 对于D,建立如图所示直角坐标系，设正方体的棱长为1， 2n+1-n-2,B正确： BP=BC1(0<λ<1)， CD选项，a=2故a1=1,2=子，a43=号显然 1 则A(1,0,0),B(1,1,1),C(0,1,0),B1(1, a1>a2>a3, 1,0),C(0,1,1), 则数列(an}不是递增数列，C错误，D正确， 从而BP=ABC1=(-1,0,-),A1P=A1B+BP= 故选：ABD. 三.填空题（共3小题） (-1,1,1-0, 12.【解答】解：Sn为等差数列{an}的前n项和，a1=2,S3 由正方体的性质知：BA⊥CB1,BC1⊥CB1,BC1∩BA=B, =15,3a+324=6t3d=15, BC1,BAC平面AD1C1B, 即CB1⊥平面AD1CB,故平面AD1C1B的法向量可取为 解得d=3.则50=801+87d=16+28X3=10.故答 B1C=（-1,0,1, 案为：100. 直线A1P与平面AD1CB所成角正弦值为：sin0= 13.【解答】解：因为f(-x)=m(-x)2+a)+（-x)2 2+1- =ln(x2+a）+x2=∫(x), 1cosA1P,B1C1=2N2-2+-22-+T 所以∫(x)为偶函数，要使得∫(x)有且仅有1个零点， 则f(0)=bma=0,解得a=1. 因为0<<1,2-1+1=(a-2)2+∈[2,1)，所 经验证，当a=1时，∫(x)=m(x2+1)+x2在（-，0) 以sn0=Ze(宁，得、故D错误。 上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，且∫(0)=0， 符合题意.故答案为：1. 故选：ABC 14.【解答】解：作出示意图如下： 11.【解答】解：在四边形ABCD中，Fnn∈N)为边BC上 的一列点，连接AFn交BD于点Gn(n∈N), 且Gm满足anan+1GnB=anGnFn-2a+1GnC,其中数列{an} 是首项为1的正项数列， 设四棱锥P~ABCD底面边长为a,则该四棱锥的体积 A选项，因为Fn(n∈N)为边BC上的一列点，设FnB= 1 27 Vp-ABcD=亏Q2.PA=9,所以PA= a29 tFnC, 设四棱锥P-ABCD的外接球半径为R, 则四棱锥P-ABCD的外接球的直径即为长宽高分别为 即GnB-GnFn=tGnc-tGnFn,所以GnB=tGnC+(1- AB,AD,AP的长方体的体对角线， t)GaFn 所以4R2=AB24AD2+pR=2a2+(32=a2+a2+ G2GCG0 232≥3a2a2232=2, C. 当且仅当a2=(品尸，即a=3时，等号成立，所以当a 2 t=一 an 1 由B,C,Fn三点共线，可得 1，所以 =3,即PA=是=3时，外接球的半径最小，体积最小，故 1一t=an n+l 答案为：3. 2 四.解答题（共5小题） =1, an 15.【解答】解：（1)由题知，0.03×4×2+4a+0.065×4+0.085 即，1+1=2（是+），所以数列品+)为公比为2 ×4=1, antl an 解得a=0.04: (2)由知，样本中防腐剂含量在区间[100,104]与[104， 108]内的比例为4：3， 所以按照等比例抽样的方法抽取的7件产品中， 在区向[100,104]内的应抽取4件，在区间[104,108]内 的应抽取3件， 所以随机变量Y的所有可能取值为0,1,2,3， Pw=)=等=京Pw=)-婴-贵， C C=5 PY=习=9-碧pr=3)-=务 C 所以E0m=0×亮+1×号+2×号+3×第=号， Dm=0-号2×元+(1-号×号+2-号P× 器+3-号2×第-器 16.【解答】解：(1)证明：连接AE,因为四边形ABCD为 等腰梯形，所以AD=CB,AB∥ED, 又E为DC中点，AB=2,DC=4,所以四边形ABED为 平行四边形， 则AD∥BE,AD=BE,即CB=BE, 因为LC=号所以△BEC为等边三角形，即△BEP为等 边三角形， 又O为BE的中点，所以PO⊥BE,则PO⊥AD, 又AB=CB=AE=AD=BE=2,所以AO⊥BE,即AO⊥ AD, 因为POnAO=O,且PO,AOc平面POA,所以AD⊥平 面POA. (2)由(1)知，△BEP为等边三角形，PB=BE=2,所 以B0=1, 则P0=VPB2-B07=V22-1z=V3, 在△ABE中，AB=2,则A0=VAB2-B02=√22-1Z= v3, 又PA=V6,所以AO2+PO2=PA2,则PO⊥OA, 因为AD⊥平面POA,AD∥BE,所以BE⊥平面POA, 以O为原点，OB,OA,OP所在直线分别为x,y,z轴， 建立空间直角坐标系， (C)P&2 则B(1,0,0),P(0,0,V③)，A(0,V3,0),D(-2,3 ，0), 所以PB=(1,0,-V③)，AP=(0,-V3,V),AD= (-2,0,0). 设平面PAD的一个法向量为n=(x,y,z), 则P=-y+3z=0,解将x=0,取y=1,得2 气元.AD=-2x=0 =1,所以n=(0,1,1), 设PB与平面PAD所成角为9， 则sin0=lcos,P1=pl= 问P网2x4华 4 即PB与平面PD所成角的正弦值为汽 17.【解答】解：(1)因为2a(sinA-sinB)cosC=asinA+-bsinB -csinC, 所以由正弦定理得：2a（a-b)cosC=a2+b2-2, 再由余弦定理可得：2aa-b)×4c=?+b2-2, 2ab 因为△ABC为斜三角形，所以a2+62-c2≠0，所以 Ca-=1,即a=2ab,所以a=2b, ab 由正弦定理可得：n-·=上 simA-a=2 (2)由(1)知，a=2b,所以SAABG=2 absinC=bisinc= √15b2cosC, 所以sinC=√15cosC, 所以sin2C+cos2C=(W15cosC)2+cos2C=16cos2C= 因为0<C<π，所以sinC>0,所以sinc=V15cosc>0, 所以cosC= 所以c2=a2+b2-2 abcosC=(2b)2+b2-2×2b× b×4=4b2,则c=2b, 所以c+叠=2b+元=2b+号≥22b×号=4，当且仅当 2b-务即6=1时等号成立， 所以c+的最小值为4. 18.【解答】解：(1)若a=2,则f(x)=xex-2x,∫(x) =e+xex。（-1)-2=（1-x)ex-2, ∫(0)=(1-0)e0-2=1-2=-1,又f(0)=0e 0-2×0=0, 故曲线=∫(x)在点(0，∫(0)处的切线方程为y=- (2)由xe(0,l]时，∫(x)≥-e,即xer-ar≥-e, 整理得a≤忌+是 令g网=良+是e(0,小则g=-是-是<0， 故g(x)在(0,1]止单调递减，则g()≥9(1)=是+呈= et是即ase+。 所以a的取值范围是(-o,e+急： (3)证明：若a=0,则∫(x)=xex,了(x)=ex- xe'=(1-x)e'x, 故当xE（-∞，1)时，了(x)>0,当xE(1,+∞） 时，了(x)<0, 故∫(x)在（-∞，1)上单调递增，在(1，+∞)上单 调递减， 又x>0时，∫(x)=xex>0,x≤0时，∫(x)=xe≤0， 则∫(x1)=∫(x2)>0,不妨设x1<x2,则0<x1<1<x2, 由∫(x1)=∫(x2),则x1e1=x2ex2, 两边同取对数，可得1mx1~x1=mn-x2, 敬n号=红-1，令t=要>1，则1=双x=x刘， 即=驾为=x=故x+=答+= Int 告nt 要证灯8>2，只霜告ac>2,即只需证mt-2 t+1 >0, 令h0=tmt-22(c>1), t+1 题间-日2-.=哉>0， (+1)2 t(t+1)2 故h()在(1，+∞)上单调递增，则h(t)>h(1)=ln1- 21-1】=0, 1+1 即有t-21>0恒成立，即得证. t+1 19.【解答】解：(1)第1次传花后到乙或丙手里，P1=0, 第2次传花后乙或丙有的概率将花传到甲手里， 故P2=2 经过4次传花共有16种情形， 甲乙 的 乙 甲 甲 丙 甲 丙 乙乙乙 甲 乙 月 甲 甲 乙 甲 丙 甲 丙 甲 甲 丙 甲 甲 甲 丙 甲乙 乙乙丙丙甲甲 丙甲乙丙 分 甲丙 乙丙甲 甲丙乙 丙 其中花回到甲手里共有6种情形，根据古典概型得P4= 品-景 (2)结合题意得概率P1为经过n~1次传花后花回到 甲手里， 要使传花刀次后，花回到甲手里，则第n1次传花，花 不在甲手里，在乙或丙手里，且下一次传花都有的概率 将花传到甲手里， 故Pn=2(1-Pn-1.得Pn-号=-Pn-1-3), 所以数列(P。-)提首项为-子公比为-的等比数列， 所以P=专-(-2)-1， (3)证明：由(2)知P。=号×(-》=费 所以bn=-8m2+18n-1 9n 设 bn=-8n2t18n-1=xm+12ty+1)+z- 9n 9n+1 xn2+yn+z_-8xn2+(2x-8y)n+x+y-8z 9n 9n+1 x+y-8z=-9 所以2x-8y=162,解得x=9,y=-19,z=0, (-8x=-72 故bn=90m+12-18n+1_9n2-18n 9n+1 9n n=91+1-181+1_9-18+92+12-182+1_ 91+I 9 92+1T 9x2-=18x2+…+9n+12-18(n+1_9m218r 92 9n+1 -=2+1, 因此5=原<层-员 设数列景)的前n项和为R,则R=号+录+多+十 品+ 所以风=京+员+++ 1 2 3n+3m+7 111 1 1. n 3n=21-3)-3n+ R=1-动)-23孤=子-4 3n32n+3 所以R。<子即T,<子得证。 重庆外国语学校 2026-2027 学年度(上)高 2027 届 10 月检测 数学试题 (满分 150 分, 120 分钟完成) 一. 选择题 (共 8 小题) 1. 已知复数 ,则 ( ) A. B. C. 1 D. 2. 已知集合 ，则 的元素个数为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 已知 ,则 ( ) A. B. C. D. 4. 一化学器皿为圆台形状,其上、下底面半径分别为 和 ,高为 (器皿厚度忽略不计). 现将该器皿水平放置后 (上底位于上方) 注入盐酸溶液,若溶液高度恰为 ,则溶液体积为( ) A. B. C. D. 5. 现有 6 名志愿者, 需要将他们分配到 5 个项目组进行培训, 每名志愿者只分配到一个项目组每个项目组至少需要分配一名志愿者，则不同的分配方案有( ) A. 900 种 B. 1200 种 C. 1440 种 D. 1800 种 6. 已知 ，则 ( ) A. B. C. D. 7. 已知函数 ，若正实数 满足 ，则 的最小值为( ) A. B. 7 C. D. 8. 已知 为偶函数, ,若 时,函数 的图象恒在 图象的上方，则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. 二. 多选题 (共 3 小题) (多选)9. 已知函数 的最小值为 0，且最小正周期为 ，则( ) A. B. C. 在区间 上单调递增 D. 在区间 上的最大值为 1 (多选) 10. 如图,点 在正方体 的面对角线 上运动 ( 点异于 点),则下列结论正确的是 ( ) A. 异面直线 与 所成角为 B. 平面 C. 三棱锥 的体积不变 D. 直线 与平面 所成角正弦值的取值范围为 (多选) 11. 如图,在四边形 中, 为边 上的一列点,连接 交 于点 , 且 满足 ,其中数列 是首项为 1 的正项数列,则 ( ) A. 数列 为等比数列 B. 数列 的前 项和为 C. 数列 为递增数列 D. 三. 填空题(共 3 小题) 12. 记 为等差数列 的前 项和. 若 ,则 _____ 13. 已知函数 有且仅有 1 个零点，则 _____. 14. 在四棱锥 中，底面 是正方形， 底面 . 若四棱锥 的体积为 9 ，且其顶点均在球 上，则当球 的体积取得最小值时， _____. 四. 解答题 (共 5 小题) 15. 为保障公众健康、提升监管效能，某市监管部门开展了食品安全专项治理行动. 行动中，监管部门对某品牌饼干随机抽取了 100 件产品,检测其防腐剂含量 (单位: ),并统计绘制了频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中 的值； (2)若从样本中防腐剂含量不低于 的产品中按照等比例随机抽样的方法抽取 7 件产品，再从这 7 件产品中随机抽取 4 件产品进行检测，求这 4 件产品中防腐剂含量在区间[104,108]内的件数 的期望和方差. 16. 如图，已知四边形 为等腰梯形，且 为 中点，将 沿 进行翻折，使点 与点 重合. 取 中点 ，连接 、 . (1)证明: 平面 ； (2)当 时，求 与平面 所成角的正弦值. 17. 已知 、 、 分别为斜 中角 、 、 的对边， . (1)求 ； (2)已知 的面积为 ，求 的最小值. 18. 已知函数 . (1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程: (2)当 时， ，求实数 的取值范围； (3)若 ，且存在 ，使得 ，证明: . 19. 甲、乙、丙三人玩传花游戏，开始时由甲手持鲜花，随机地将花传给乙或丙，接花者再随机地将花传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去从一个人手中将花传给另一个人称为一次传花，设经过 次传花后，花回到甲手里的概率记为 ，假设每一次传花互不影响. (1)求 和 的值: (2)求 ； (3)设 ，数列 的前 项和为 ，若 ，证明: . 学科网（北京）股份有限公司 $