精品解析：重庆实验外国语学校2026-2027学年度高三上学期9月月考数学试题

重庆实验外国语学校高2027届高三9月月考 数学试题 注意事项： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．问答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第I卷（选择题60分） 一、单选题（本题共8个小题，共40分，在每个小题给出的选项中，只有一个符合题目要求） 1. 在等差数列中，，，则公差（ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 【答案】A 【解析】 【详解】在等差数列中， 公差. 2. 某学校邀请五个班的班干部座谈，其中班有甲、乙两位班干部到会，其余班级各有一位班干部到会，会上共选3位班干部进行发言，则班至少选到一位班干部的不同的选法种数为（ ） A. 10 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】由分类加法和分步乘法计数原理计算即可． 【详解】由题分两类讨论，当班选到1位班干部发言有种选法，其余班级有种选法； 当班选到2位班干部发言有种选法，其余班级有种选法； 故共有种选法， 故选：C． 3. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】函数都是上的减函数， 因此函数在上单调递减， 而，所以函数的零点所在的区间为. 4. 我国古代数学家僧一行应用 “九服晷影算法” 在《大衍历》中建立了影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表. 根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即. 对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，若第一次的 “晷影长” 是 “表高” 的2倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（ ） A. 倍 B. 1倍 C. 倍 D. 倍 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得：，， 则， 所以第二次的“晷影长”是“表高”的1倍. 5. 已知函数在区间恰有一个极值点，则函数的最小正周期可能为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 令，得：，解得：，其中， 当时，； 当时，，令，解得：； 当时，，此时是第一个极值点， 所以需保证，解得：，综上所述，. A选项，，则，，所以A选项错误； B选项，，则，，所以B选项正确； C选项，，则，，所以C选项错误； D选项，，则，，所以D选项错误； 6. 已知等差数列、的前n项和分别为、，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，不妨设，，其中， 所以 7. 某视频网站中“”合成视频占有率为．某鉴伪技术在视频是伪造的情况下，有的可能鉴定为“”；在视频真实的情况下，有的可能误判为“”．已知某个视频被鉴定为“”，则该视频确为“”合成的可能性约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设A表示“视频为合成”，B表示“被鉴定为”， 则，，． 由贝叶斯公式，， 代入得， 故该视频确为“”合成的可能性约为． 8. 设定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，求导可知单调递增. 将不等式转化为，利用单调性得 ，解得. 【详解】设函数，由于， 得，则在上单调递增，， 则，即， 于是，解得． 二、多选题（本题共3个小题，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错得得0分，部分选对得部分分） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，，则事件相互独立与事件互斥不能同时成立 B. 数据2，3，4，5，6的第60百分位数是4 C. 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，若某运动员罚球命中的概率是0.7，则他罚球1次的得分均值为0.7 D. 若随机变量X的数学期望，则. 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，若相互独立，则不互斥，若互斥，则不相互独立，故A正确； 对于B，数据2，3，4，5，6共5个数，第60百分位数是第3个数和第4个数的平均数，是，故B错误； 对于C，在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，依据两点分布可得，故C正确； 对于D，由得，D错误. 10. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，，成等比数列，，，成等差数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等比中项，等差中项得出，，结合两角和与差的正弦公式，正弦定理，余弦定理即可求解． 【详解】由，，成等比数列得，， 由，，成等差数列得，， 因为， 所以 ， 所以， 由正弦定理得，，故A正确； 则， 代入得，，所以，故C正确； 将代入， 设，则（负值舍去）， 则，显然，所以，故B错误； 所以， 又，所以，故D正确． 11. 已知实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：构建，，利用导数判断单调性即可分析判断；对于B：构建，，利用导数判断单调性即可分析判断；对于C：举反例说明即可；对于D：构建，，利用导数判断单调性即可分析判断. 【详解】对于选项A：构建，，则， 可知函数在内单调递减， 且，则，即，整理可得，故A正确； 对于选项B：构建，，则， 可知函数在内单调递减， 且，则，即，整理可得，故B正确； 对于选项C：例如，，满足，但，故C错误； 对于选项D：构建，，则， 令，，则 可知函数在内单调递减，则， 即，可知函数在内单调递减， 且，则，即， 又因为，整理可得，故D正确. 第II卷（非选择题共90分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，把答案填写在答题卡相对应位置上） 12. 垂直于直线且与曲线相切的直线方程为______. 【答案】 【解析】 【详解】切线与垂直，则切线斜率为，且， 设切点的坐标为，则， 代入曲线方程中，得，所以切点的坐标为， 故该切线方程为，即. 13. 已知数列的前项和满足，且，则的通项公式为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为， 所以． 当时，， 由此得． 因为，所以． 所以是首项为1，公差为2的等差数列， 所以． 14. “布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】定义从出发最终从1号口出的概率为，结合独立乘法、互斥加法列出方程组即可求解. 【详解】设从出发最终从1号口出的概率为，所以，解得. 故答案为：. 四、解答题（本大题共77分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤） 15. 已知函数 （1）求函数的单调区间和极值； （2）求函数在上的最值. 【答案】（1）函数的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值． （2）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）求导，结合导函数判断即可； （2）结合函数的单调性判断最值即可. 【小问1详解】 对函数求导，可得， 令，即，解得， 当时，，所以函数在上单调递减； 当时，，所以函数在上单调递增； 由单调性可知，当时，函数取得极小值，将代入函数可得： ，函数无极大值. 【小问2详解】 由可知函数在上单调递减，在上单调递增. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，， 所以函数在上的最小值为，最大值为 16. 数列为等差数列，是其前项和，且，；数列满足：，． （1）求数列和的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：． 【答案】（1）， （2）因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，由于数列的前项和为，所以，因为 对于恒成立，所以． 【解析】 【分析】（1）利用等差数列前项和公式及通项公式，联立方程求首项和公差得的通项公式；由知是等比数列，得的通项公式； （2）代入，整理得等比数列，求前项和证得. 【小问1详解】 因为数列为等差数列，是其前项和，且，． 设数列的首项为，公差为，则， 解得，，所以数列的通项公式为． 因为数列满足：，， 所以数列是首项为1公比为的等比数列，所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 略. 17. 在中，内角所对的边分别为，其中，，且. （1）求角； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示及余弦定理求解. （2）由（1）的信息，利用三角形面积公式求解. 【小问1详解】 由，，得， 在中，由余弦定理得，整理得， 因此，而，所以. 【小问2详解】 由（1）知，由的面积为，得，则， 得到，由（1）得，解得， 所以的周长为. 18. 小溪同学参加一个投篮测试，其规则是：有次投篮机会，若连续投中两次则通过测试并结束测试；若未通过测试，将继续投篮直至次投篮机会用完；第次投篮后，不论通过与否均结束测试．现假定小溪同学每次投篮结果相互独立，命中率均为． （1）求小溪同学在前次投篮中就通过测试的概率； （2）记为小溪同学测试结束时投篮的次数，求的分布列及数学期望； （3）求在通过测试的条件下，小溪同学恰好投篮了三次的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设事件为第次投中，则前次投篮中就通过测试可表示，再由概率的加法公式及相互独立事件概率可得； （2）先确定的可能的值，再分别计算相应的概率及期望可得； （3）先计算通过测试概率，再计算前三次通过测试的概率，进而由条件概率公式可得. 【小问1详解】 设事件为第次投中， 则小溪同学在前次投篮中就通过测试的概率为：． 【小问2详解】 的所有可能取值为：． ，， ，． 则的分布列为： ． 【小问3详解】 设事件：小溪同学通过测试，事件：小溪同学恰好投篮了三次， 因为投篮五次通过概率为， 则，， 则在通过测试的情况下，小溪同学投篮了三次的概率为：． 19. 已知函数，． （1）求的极值； （2）若在上单调递增，求实数 的取值范围； （3）当时，若对任意的，总存在，使得，求实数 的取值范围． 【答案】（1）极小值0，无极大值 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导分析单调性，根据极值的定义求解即可； （2）根据题意可得，求导，由在上单调递增，可得在上恒成立，只需，，即可求解. （3）若对任意的，总存在，使得，则当时，，即可求解. 【小问1详解】 ，求导得，， 因为时，，所以在上单调递增． 因为时，，所以在上单调递减． 又，故在处取极小值0，无极大值． 【小问2详解】 函数， 求导得， 由在单调递增，得在上恒成立， 即在上恒成立， 因此，． 设，，， 则在上单调递增，于是， 即， 所以的取值范围为． 【小问3详解】 若对任意的，总存在，使得， 则当时，． 当时，， 即在上单调递增，， 函数，，， 求导得． 由，得，函数在上单调递减， 则． 因此，解得， 所以 的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆实验外国语学校高2027届高三9月月考 数学试题 注意事项： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．问答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第I卷（选择题60分） 一、单选题（本题共8个小题，共40分，在每个小题给出的选项中，只有一个符合题目要求） 1. 在等差数列中，，，则公差（ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 2. 某学校邀请五个班的班干部座谈，其中班有甲、乙两位班干部到会，其余班级各有一位班干部到会，会上共选3位班干部进行发言，则班至少选到一位班干部的不同的选法种数为（ ） A. 10 B. 12 C. 16 D. 20 3. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 4. 我国古代数学家僧一行应用 “九服晷影算法” 在《大衍历》中建立了影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表. 根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即. 对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，若第一次的 “晷影长” 是 “表高” 的2倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（ ） A. 倍 B. 1倍 C. 倍 D. 倍 5. 已知函数在区间恰有一个极值点，则函数的最小正周期可能为（　　） A. B. C. D. 6. 已知等差数列、的前n项和分别为、，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 某视频网站中“”合成视频占有率为．某鉴伪技术在视频是伪造的情况下，有的可能鉴定为“”；在视频真实的情况下，有的可能误判为“”．已知某个视频被鉴定为“”，则该视频确为“”合成的可能性约为（ ） A. B. C. D. 8. 设定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3个小题，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错得得0分，部分选对得部分分） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，，则事件相互独立与事件互斥不能同时成立 B. 数据2，3，4，5，6的第60百分位数是4 C. 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，若某运动员罚球命中的概率是0.7，则他罚球1次的得分均值为0.7 D. 若随机变量X的数学期望，则. 10. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，，成等比数列，，，成等差数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题共90分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，把答案填写在答题卡相对应位置上） 12. 垂直于直线且与曲线相切的直线方程为______. 13. 已知数列的前项和满足，且，则的通项公式为________． 14. “布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为__________． 四、解答题（本大题共77分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤） 15. 已知函数 （1）求函数的单调区间和极值； （2）求函数在上的最值. 16. 数列为等差数列，是其前项和，且，；数列满足：，． （1）求数列和的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：． 17. 在中，内角所对的边分别为，其中，，且. （1）求角； （2）若，的面积为，求的周长． 18. 小溪同学参加一个投篮测试，其规则是：有次投篮机会，若连续投中两次则通过测试并结束测试；若未通过测试，将继续投篮直至次投篮机会用完；第次投篮后，不论通过与否均结束测试．现假定小溪同学每次投篮结果相互独立，命中率均为． （1）求小溪同学在前次投篮中就通过测试的概率； （2）记为小溪同学测试结束时投篮的次数，求的分布列及数学期望； （3）求在通过测试的条件下，小溪同学恰好投篮了三次的概率． 19. 已知函数，． （1）求的极值； （2）若在上单调递增，求实数 的取值范围； （3）当时，若对任意的，总存在，使得，求实数 的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $