精品解析：四川渠县宝城镇初级中学2026-2027学年八年级上学期9月阶段学情检测数学试题

渠县宝城镇初级中学2026-2027学年八年级上学期9月月考数学试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 在实数，3.1415926，，，，，1.311311131…（相邻两个3之间1的个数逐次加1）中，无理数的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 满足下列条件的，不是直角三角形的为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知一个三角形的三边长分别为、4、5，则此三角形的面积为（ ） A. 20 B. 10 C. D. 5. 若将实数，，，这四个数分别表示在数轴上，则其中可能被如图所示的墨迹覆盖的数是（ ）． A. B. C. D. 6. 已知长方形纸片的边长，，将长方形纸片沿折叠，使点和点重合，则重合部分的面积是（ ） A. B. 2 C. D. 4 7. 定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．若满足关系式：，求的“共同体区间”是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 如图，正方形的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形的边长分别为4和8，则正方形的面积为______． 10. 在与之间的整数是__________． 11. 如图所示，一棵大树在离地面米处断裂，断裂后树的顶部落在离底部米处．这棵大树在折断之前是__________米． 12. 已知的算术平方根是4，的立方根是3，则的平方根是____． 13. 如图，在三角形纸片中，，，，折叠三角形纸片，使点在边上的点处，则的长是______． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14. 计算： （1）； （2）． 15. 若的三边长分别是、、，且，，（、是正整数，），判断是否是直角三角形？并说明理由． 16. 已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分， （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 17. 如图所示，某小区在施工过程中留下了一块四边形空地，小区管理人员为美化环境，计划在空地上种上绿植，经测量，，，，，． （1）请计算这个四边形对角线的长度； （2）请用学过的知识求出这块空地的面积； （3）已知绿植每平方米造价70元，则在这块空地上绿植美化需花费多少元？ 18. 先阅读下面材料，再解答问题： 材料：实数运算中，任意一个有理数与无理数的和为无理数；任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数；零与无理数的积为零．由此可得：若，其中为有理数，是无理数，则，． 证明：∵，为有理数， ∴是有理数， ∵为有理数，是无理数， ∴， ∴， ∴， （1）已知是有理数，且满足，则_________，_________； （2）已知是的整数部分，为有理数且满足，求的值； （3）在（2）的条件下计算的值． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. a，b是两个连续整数，若，则的值是_______． 20. 《周髀算经》中记录了一组“勾为三，股为四，弦为五”的勾股数．观察下列勾股数：、、；、、；、、；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是________． 21. 当，化简的结果是_______． 22. 如图，，过点P作且，得；再过点作且，得；又过点作且，得；…依此法继续作下去，得 __________________ ． 23. 如图：一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别是50cm，30cm，10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路线的长是______________cm. 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24. 如图，正方形中，，数轴上点A表示的数为3，以点A为圆心，为半径作圆，与数轴相交于点E和F，点E表示的数记为x，点F表示的数记为y； （1）______，______； （2）化简求值：； （3）若，求的值． 25. 探究不同情境，解答下列的问题： （1）【探索】观察图1，图2，请根据，，之间的等量关系解决问题：若，，则的值是__________． （2）【应用】如图3，某学校有一块梯形空地，于点，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为120平方米，米，求种草区域的面积和． （3）【拓展】利用7张完全相同的小长方形纸片（长为，宽为）拼成如图4所示的大长方形，记长方形的面积为，长方形的面积为，若不论的长为何值时，为定值． ①求与之间的数量关系． ②若，求的定值． 26. 【问题背景】 （1）如图1，点P是线段，的中点，求证：； 【变式迁移】 （2）如图2，在等腰中，是底边上的高线，点E为内一点，连接，延长到点F，使，连接，若，请判断、、的数量关系并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在等腰中，，，点D为中点，E点在线段上（点E不与点B，点D重合），连接，过点A作，连接，若，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渠县宝城镇初级中学2026-2027学年八年级上学期9月月考数学试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 在实数，3.1415926，，，，，1.311311131…（相邻两个3之间1的个数逐次加1）中，无理数的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的概念，掌握无理数的概念及常见形式是关键．无理数是无限不循环小数，常见无理数有：含有π的最简式子；开不尽方的数；特殊结构的数，如1.311311131…（相邻两个3之间1的个数逐次加1），由此即可求解． 【详解】解：，3.1415926，是有理数； ， ，，1.311311131…（相邻两个3之间1的个数逐次加1）是无理数，无理数有4个． 故选D． 2. 满足下列条件的，不是直角三角形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理、勾股定理的逆定理，逐一判断各选项，找出不是直角三角形的选项即可． 【详解】解：A：∵， ， ， 则是直角三角形，不符合题意； B：设，，，则， 解得， ， 则是直角三角形，不符合题意； C：∵， ， 由勾股定理逆定理可知是直角三角形，不符合题意； D：设，，，， ，， 由于不满足勾股定理逆定理，则不是直角三角形，符合题意． 3. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据算术平方根，乘方运算，立方根的相关概念与运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 4. 已知一个三角形的三边长分别为、4、5，则此三角形的面积为（ ） A. 20 B. 10 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，先判断三角形是否为直角三角形，再利用直角三角形的面积公式计算． 【详解】解：由题意，三角形的三边长分别为、4、5， 所以， 所以三角形为直角三角形，其中4和5为直角边， 所以直角三角形的面积． 故选：B 5. 若将实数，，，这四个数分别表示在数轴上，则其中可能被如图所示的墨迹覆盖的数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根的概念分别估算各个实数的大小，根据题意判断． 【详解】＜0， 2＜＜3， 3＜＜4， 3＜＜4， ∴可能被如图所示的墨迹覆盖的数是， 故选：B． 【点睛】本题考查的是实数和数轴，算术平方根，正确估算算术平方根的大小是解题的关键． 6. 已知长方形纸片的边长，，将长方形纸片沿折叠，使点和点重合，则重合部分的面积是（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质和勾股定理求出的长，进而得到重合部分的面积． 【详解】解：将长方形纸片沿折叠，使点和点重合， ，， 设，则， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， 解得：， ． 7. 定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．若满足关系式：，求的“共同体区间”是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，无理数的估算，利用非负数的性质可得，，即得，进而根据即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴的“共同体区间”是， 故选：． 8. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于P，连接CP． 此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．∵DC=1，BC=4，∴BD=3，连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°，∴∠CBC′=90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，∴BC=BC′=4，根据勾股定理可得DC′===5．故选B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 如图，正方形的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形的边长分别为4和8，则正方形的面积为______． 【答案】48 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用．由正方形的边长分别为4和8可得中间的直角三角形的一直角边和斜边分别是4和8，再用勾股定理可求另一直角边，即可得出答案． 【详解】解：如图， ∵正方形的边长分别为4和8， ∴ ∵是直角三角形， ∴ ∴正方形的面积． 故答案为：48． 10. 在与之间的整数是__________． 【答案】7 【解析】 【详解】解：∵，且， ， 因此与之间的整数是． 11. 如图所示，一棵大树在离地面米处断裂，断裂后树的顶部落在离底部米处．这棵大树在折断之前是__________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出斜边长，最后相加得出答案即可． 【详解】解：如图所示：根据题意可知米，米， 根据勾股定理得． 所以树折断前有（米）． 故答案为：． 12. 已知的算术平方根是4，的立方根是3，则的平方根是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组，立方根、平方根及算术平方根的定义，求出m、n的值是解答本题的关键． 根据算术平方根及立方根的定义，求出m、n的值，代入可得出的平方根． 【详解】解：由题意得，， 即， 解得：， ， 的平方根是． 故答案为：． 13. 如图，在三角形纸片中，，，，折叠三角形纸片，使点在边上的点处，则的长是______． 【答案】3 【解析】 【分析】先求出的长，再得出，，，则可得的长，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由折叠的性质得：，，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得， 即的长是3． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的加减法及混合运算，熟练掌握运算法则及乘法公式是解答本题的关键． （1）将原式中的各二次根式进行化简后再合并即可； （2）原式根据平方差公式与完全平方公式，计算即可得出答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 15. 若的三边长分别是、、，且，，（、是正整数，），判断是否是直角三角形？并说明理由． 【答案】 解：是直角三角形．理由如下： ， ； ． 是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理，完全平方公式，根据勾股定理逆定理，结合完全平方公式，推出，即可． 【详解】略 16. 已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分， （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根，估算无理数的大小等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键． （1）根据立方根、算术平方根、估算无理数的大小得出，，，即可得出答案； （2）将a，b，c的值代入中计算，再根据平方根的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵的立方根是3，的算术平方根是4， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵c是的整数部分， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴的平方根是． 17. 如图所示，某小区在施工过程中留下了一块四边形空地，小区管理人员为美化环境，计划在空地上种上绿植，经测量，，，，，． （1）请计算这个四边形对角线的长度； （2）请用学过的知识求出这块空地的面积； （3）已知绿植每平方米造价70元，则在这块空地上绿植美化需花费多少元？ 【答案】（1）12 （2） （3）5880元 【解析】 【分析】(1)利用勾股定理直接计算求解即可． (2) 根据勾股定理计算，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，根据面积公式计算即可． (3) 根据面积乘以单价计算即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， 故的长为12米． 【小问2详解】 ∵，，， 且， ∴， ∴四边形面积为： =． 【小问3详解】 解：根据题意，得（元）． 18. 先阅读下面材料，再解答问题： 材料：实数运算中，任意一个有理数与无理数的和为无理数；任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数；零与无理数的积为零．由此可得：若，其中为有理数，是无理数，则，． 证明：∵，为有理数， ∴是有理数， ∵为有理数，是无理数， ∴， ∴， ∴， （1）已知是有理数，且满足，则_________，_________； （2）已知是的整数部分，为有理数且满足，求的值； （3）在（2）的条件下计算的值． 【答案】（1）3，2 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）按照材料的解题思路进行计算，即可解答； （2）先估算出，再按照材料的解题思路进行计算，即可解答； （3）利用（2）的结论，代入计算即可解答． 【小问1详解】 解：已知是有理数，且满足， ， 【小问2详解】 解：∵是的整数部分， ∴， ∵为有理数且满足， ∴ 解得： 【小问3详解】 解：由（2）得 ， ∴． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. a，b是两个连续整数，若，则的值是_______． 【答案】7 【解析】 【分析】此题考查了无理数的估算，估算出，a，b是两个连续的整数且，据此得到，代入即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ 由题意可知，a，b是两个连续的整数且， ∴， ∴， 故答案为：7 20. 《周髀算经》中记录了一组“勾为三，股为四，弦为五”的勾股数．观察下列勾股数：、、；、、；、、；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是________． 【答案】 【解析】 【分析】已知勾为，弦与股相差，根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：设该勾股数的股为，则弦为， 根据勾股定理可得， 展开等式右边得， 消去后整理得， 解得， 因此弦为． 21. 当，化简的结果是_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的性质及分母有理化． 先将原分式化简，再将代入化简结果计算即可． 【详解】∵， ∴， ， 当时， ， 故答案为：． 22. 如图，，过点P作且，得；再过点作且，得；又过点作且，得；…依此法继续作下去，得 __________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】结合图形，利用勾股定理找出规律求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵且， ∴， ， ∴． 23. 如图：一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别是50cm，30cm，10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路线的长是______________cm. 【答案】130 【解析】 【分析】只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】将台阶展开，如图： 因为BC=30×3+10×3=120，AC=50， 所以AB2=AC2+BC2=16900， 所以AB=130（cm）， 所以壁虎爬行的最短线路为130cm． 故答案是：130． 【点睛】考查了利用台阶的平面展开图求最短路径问题，根据题意判断出长方形的长和宽是解题关键． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24. 如图，正方形中，，数轴上点A表示的数为3，以点A为圆心，为半径作圆，与数轴相交于点E和F，点E表示的数记为x，点F表示的数记为y； （1）______，______； （2）化简求值：； （3）若，求的值． 【答案】（1）， （2）37 （3）4 【解析】 【分析】（1）利用正方形性质，勾股定理求出，再结合数轴得出结果即可； （2）根据完全平方公式进行化简求值即可； （3）先利用分母有理化求出a的值，再代入求解即可． 【小问1详解】 解：四边形为正方形， ，， ， ， ，， ，； 【小问2详解】 ，； ； 【小问3详解】 ， ，即 ． 【点睛】本题考查了正方形性质，勾股定理，实数与数轴，完全平方公式的运用，分母有理化，熟练掌握相关性质定理是解题关键． 25. 探究不同情境，解答下列的问题： （1）【探索】观察图1，图2，请根据，，之间的等量关系解决问题：若，，则的值是__________． （2）【应用】如图3，某学校有一块梯形空地，于点，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为120平方米，米，求种草区域的面积和． （3）【拓展】利用7张完全相同的小长方形纸片（长为，宽为）拼成如图4所示的大长方形，记长方形的面积为，长方形的面积为，若不论的长为何值时，为定值． ①求与之间的数量关系． ②若，求的定值． 【答案】（1） （2）平方米 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）用两种不同的方法表示出4个小长方形的面积即可得到；然后根据题意得到，将，代入求解即可； （2）设，由题意得，，，根据代入计算即可． （3）①根据长方形的面积得，结合永远为定值，整理得，根据，则，即可作答；②根据（3）①所求代入求值即可． 【小问1详解】 解：图1中4个小长方形的面积为， 图2中4个小长方形的面积为， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设米，米， 由题意得，米， ∵种花区域的面积和为120平方米 ∴，即， ∴ （平方米）， 答：种草区域的面积和为80平方米． 【小问3详解】 解：①∵长方形的面积为，长方形的面积为， ∴， ∴， ∵不论的长为何值时，永远为定值，且， ∴的值与无关， ∴， 即a与b之间的数量关系为； ②由（3）①得，， ∴当时，． 26. 【问题背景】 （1）如图1，点P是线段，的中点，求证：； 【变式迁移】 （2）如图2，在等腰中，是底边上的高线，点E为内一点，连接，延长到点F，使，连接，若，请判断、、的数量关系并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在等腰中，，，点D为中点，E点在线段上（点E不与点B，点D重合），连接，过点A作，连接，若，，请直接写出的长． 【答案】 （1）证明：∵点P是线段，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，连接， ∵在等腰中，是底边上的高线， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证明，得到，再利用平行线的判定即可证明； （2）连接，先证明，得到，，结合，得到，再利用勾股定理即可得出结论； （3）延长到点T，使，连接，延长交于点J，先证明，得到，，再证明得到，，利用线段的和差求出和，再利用勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，延长到点T，使，连接，延长交于点J， ∵点D为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $