精品解析：湖南桃源县文津学校2026-2027学年九年级上学期9月阶段检测数学试题

文津中学2026年下学期九年级数学9月月考试卷 一．选择题（共10小题共30分） 1. 下列图形一定相似的是（ ） A. 两个等边三角形 B. 两个直角三角形 C. 两个矩形 D. 两个菱形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似多边形的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据相似图形的定义（对应角相等、对应边成比例的图形相似），结合各选项图形的性质逐一分析判断即可． 【详解】解：相似图形需满足对应角相等且对应边成比例， A选项：∵等边三角形的三个内角均为，且各边长度相等， ∴任意两个等边三角形对应角相等，对应边的比值为定值， ∴两个等边三角形一定相似，该项正确； B选项：∵两个直角三角形仅直角相等，另外两个锐角不一定相等，对应边也未必成比例， ∴两个直角三角形不一定相似，该项错误； C选项：∵两个矩形的对应角均为，但对应边的比值不一定相等， ∴两个矩形不一定相似，该项错误； D选项：∵两个菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等， ∴两个菱形不一定相似，该项错误； 故选A． 2. 若，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质，如果或，那么，即比例的内项之积与外项之积相等；反之，如果，那么或（）． 根据比例的基本性质逐项分析即可． 【详解】解：选项A：由得，故错误； 选项B：由得，整理得，故错误； 选项C：由得，整理得，故错误； 选项D∵由得，故正确． 故选：D． 3. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. 1，2，4，6 B. 2，3，5，8 C. 2，3，6，9 D. 1，，， 【答案】C 【解析】 【分析】计算前两条线段之比与后两条线段之比，若二者相等，则这组线段是成比例线段，否则不是． 【详解】解：A、∵， ∴这组线段不是成比例线段，不符合题意； B、∵， ∴这组线段不是成比例线段，不符合题意； C、∵， ∴这组线段是成比例线段，符合题意； D、∵， ∴这组线段不是成比例线段，不符合题意． 4. 大自然是美的设计师，即使是一片树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点为的黄金分割点，如果的长度为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】线段上一点把线段分成两段，其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么这个点就是这条线段的黄金分割点．即，据此求解即可． 【详解】解：∵P为的黄金分割点， ∴，即， ∴， ∴．（负值不合题意已经舍去） 5. 如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，解直角三角形，设，根据含30度的直角三角形的性质，得到，根据角平分线的性质，结合同高三角形的面积比等于底边比，得到，进而求出的长，勾股定理求出的长，等角的正弦值相等，得到，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， 设，则：， ∵平分，， ∴点到的距离相等均为的长，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴； 故选：A． 6. 如图，中，为BC的中点，于点与相交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三线合一，解直角三角形，根据三线合一可得，，导角得到，根据得到，即可得出结果． 【详解】解：∵为BC的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，在中，， ∴； 故选B． 7. 中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意易得，则有，然后可得，则，进而根据进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 8. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，且原点O为位似中心，其位似比，若点，则其对应点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的对应坐标．由于位似的两个图形在原点的同侧，则A点的两个坐标分别乘即得D的坐标． 【详解】解：∵与位似，且原点O为位似中心，其位似比，点， ∴其对应点D的坐标为，即． 故选：A 9. 在中，，结合尺规作图痕迹提供的信息，求出线段的长为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线和垂线的尺规作图、角平分线的性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关图形的性质与判定是关键； 先根据勾股定理求出，设交于点M，作于点N，如图，利用角平分线的性质可得，利用等积法求出，进而可得，证明，再根据相似三角形的性质求解即可. 【详解】解：∵在中，， ∴, 由题意可得：平分，即， 设交于点M，作于点N，如图， 则， 设， ∵， ∴， 即， 解得：，即， 则， 由作图痕迹可知：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 故选：A. 10. 如图，在正方形中，点、分别在边、上，于点，交于点，于点，交的延长线于点，连接．下列四个结论：①；②；③；④若，则．正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】由正方形的性质可得，由题意可得，再求出，即可判断①正确；先证明，得出，连接，则为等腰直角三角形，从而可得，，证明，得出，证明，得出，再证明，得出，即可判断②正确；利用已知条件无法证明出，即可判断③错误；证明，得出，再由平行线分线段成比例定理可得，进而得出，证明点、、、在以为直径的圆上，，得出垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，求出，从而可得，即可判断④正确． 【详解】解：①∵四边形为正方形， ∴，，，， ∵于点，交的延长线于点， ∴， ∴， ∴，为等腰直角三角形，故①正确，符合题意； ∴， ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 连接，如图： ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③利用已知条件无法证明出，故③错误，不符合题意； ④∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点、、、在以为直径的圆上， ∵，， ∴， ∴垂直平分， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有①②④． 二．填空题（共6小题，共18分） 11. 如图，在中，，点为边上一点，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则___． 【答案】 【解析】 【分析】由作法可知，，再利用平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：由作法可知，， ， ， ， ． 12. 已知，其中与是一组对应边，，．若，则边上的高是___． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方求出的面积，再根据三角形面积公式即可得到答案． 【详解】解：∵， 与是一组对应边，，， ∴, ∵ ∴ ∴边上的高是：． 13. 如图，点D，E，F分别在的三边上，若，，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴． 14. 如图，一架无人机在高的点处可探测到的水平地面区域的宽度，再垂直上升，到达点处，可探测到的水平地面区域的宽度为，已知，，，则__________． 【答案】120 【解析】 【分析】证明，根据相似三角形的高之比等于相似比即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 15. 如图，在中，，，，点，，分别在，，边上，连接，，，若，，则的最小值为___． 【答案】 【解析】 【分析】先由勾股定理求得 ，设， 如图，延长至，使得，则，进而求得，取的中点，连接，，，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，垂直平分线的性质与判定，得出，，可得点在的角平分线上，当时，最小，此时最小， 进而解求得的最小值，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， 设， 如图，延长至，使得，则， ∴，， ∴， 如图，取的中点，连接，，， ∴，， ∵， ∴垂直平分，是的角平分线， ∴点在的角平分线上， 当时，最小，此时最小， ∴， ∴此时， ∴ ，即的最小值为． 16. 如图，在中，,是边上一点，且，点边上一个动点，连接，以为直角边，点为直角顶点，在的左侧作等腰直角三角形，连接，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 在的下方作等腰直角，作射线，交 的延长线于．证明，可得，，证明在射线上，可得当时，最短，再进一步求解即可． 【详解】解：，，，点是边上的一点，且， ，， 如图，在的下方作等腰直角，作射线，交的延长线于． ，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ∴即点Q在与成角的直线上， 当时，最短， ， ， ， ， 故答案为：． 三．解答题（共8小题6+6+8+8+10+10+12+12） 17. 如图．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】首先根据得，据此可得出，进而可判定，然后根据相似三角形的性质可得出结论． 【详解】略 18. 已知，，是的三边长，且，的周长为，求三边，，的长． 【答案】，， 【解析】 【分析】由已知比例关系，设，，，利用周长求出的值，进而求出各边长． 【详解】解：∵， ∴， ∴设， 则，，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴，，． 19. 如图，直线，，分别交直线于点A，B，C，交直线于点D，E，F，且． （1）若，，，求的长； （2）点O是直线与的交点，若，，求的长． 【答案】（1）3 （2）9 【解析】 【分析】本题考查平行线间的线段成比例，掌握知识点是解题的关键． （1）由，得到，将已知条件代入比例式即可解答． （2）先推导出，证明，则，由求出，即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可知，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意可知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20. 已知：中，，F、G为边上的点，且． （1）求证：； （2），，，求的长． 【答案】（1）证明：在中，， ， ， ， ， ， ； （2）的长是 【解析】 【分析】（1）利用垂直的定义得出，由同角的余角相等得出，即可证明； （2）设，由含30度直角三角形的性质以及勾股定理分别得出，，由相似三角形的性质得出，然后代入即可求出x的值． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 设， ， ， ， ， ，即， 解得，即， ， ， ， ，即， 解得， 的长是． 21. 如图，在单位长度为1的平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，与位似，位似中心为原点，与的相似比为．（点，，分别与点，，对应，且点在第二象限） （1）在图中画出，并直接写出点的坐标； （2）用无刻度直尺作出的角平分线； （3）与的周长比为___________． 【答案】（1）如图为所求，点的坐标为 （2）如（1）图，即为的角平分线； （3） 【解析】 【分析】（1）利用位似三角形的概念作图即可； （2）由图可得，所以和为等腰直角三角形，则，故延长交于点，即为的角平分线； （3）根据位似比可得周长比． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：与的相似比为， ∴与的周长比为． 22. 综合与实践 【情境】在学习完《相似》内容后，甲同学和乙同学在数学活动实践课上，对测量校园内的旗杆高度提出了两种不同的方案． 【思考】两个同学的测量方案如下： 甲同学方案 乙同学方案 测量过程及数据 如图1，在距离旗杆底点30米远的处竖立一根高2米的标杆，甲同学在处站立，他的眼睛所在位置、标杆的顶端和旗杆顶端三点在一条直线上．已知甲同学的眼睛到地面的距离米，米，，点在同一直线上． 如图2，乙同学拿着一根长为16厘米的木棒站在离旗杆30米的地方（即点到的距离为30米），他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即点在一条直线上，点在一条直线上），已知点到木棒的距离为40厘米． 示意图 【探究】 （1）下列判断正确的是___________（填序号）； ①只有甲同学的方案可行； ②只有乙同学的方案可行； ③两个同学的方案都可行； （2）请结合（1）的判断，选择一种正确的测量方案，求出旗杆的高度． 【答案】（1）③ （2）旗杆的高度为12米 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的实际应用： （1）（2）若选择甲同学的方案，则过点作，垂足为，交于点，根据即可求解；若选择乙同学的方案，则过点作，垂足为，交于点，根据即可求解． 【小问1详解】 解：若选择甲同学的方案，则过点作，垂足为，交于点，根据即可求解；若选择乙同学的方案，则过点作，垂足为，交于点，根据也可求解； 故两个同学的方案都可行， 故答案为：③； 【小问2详解】 解：若选择甲同学的方案：如图，过点作，垂足为，交于点． 由题意得，（米）， （米）， （米）， （米）， ， ， ，即， 米， （米）， 旗杆的高度为12米． 若选择乙同学的方案：如图，过点作，垂足为，交于点，则， ， 由题意得，厘米米， 厘米米，米， ， ， ，即 （米）， 旗杆的高度为12米． 23. 如图，在中，，，点在上，且，连接．过点作的垂线交于点，交于点，连接，． （1）求的长； （2）求证：； （3）求的值． 【答案】（1）4 （2） 证明：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （3）2 【解析】 【分析】（1）直接由勾股定理求解即可； （2）证明，得到，再由代入求证即可； （3）先证明点为的中点，然后求出，，再由共高三角形面积比等于底之比求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24. 如图1，在中，点D，点E分别在上． （1）添加条件：　　　，可使；（填一个即可） （2）已知． ①若，则的长为　　　； ②若的面积为2，求四边形的面积． （3）如图2，已知．求证：； （4）如图3，，，求的长． 【答案】（1）或或（填一个即可） （2）①②6 （3）证明：∵， ∴，， ∴，． ∴； （4） 【解析】 【分析】（1）依据题意，根据相似三角形的判定，结合图形可以判断得解； （2）①依据题意，由，则，结合，从而可以计算得解； ②依据题意，由，则，结合，可得，则，从而计算可以得解； （3）通过已知，利用相似三角形的对应边成比例、对应角相等，推导出且，从而证明； （4）通过作辅助线构造直角三角形和相似三角形，利用角度关系和勾股定理，逐步推导得出的长度． 【小问1详解】 解：或或．理由如下： 当时， ∵， ∴； 当时， ∵， ∴； 当时， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：①由题意，∵， ∴． ∵， ∴． ②∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴四边形的面积的面积； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：如图，过点A作的垂线，过点D作的垂线，两垂线交于点M，连接． ∵， ∴， ∴． 又， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 文津中学2026年下学期九年级数学9月月考试卷 一．选择题（共10小题共30分） 1. 下列图形一定相似的是（ ） A. 两个等边三角形 B. 两个直角三角形 C. 两个矩形 D. 两个菱形 2. 若，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. 1，2，4，6 B. 2，3，5，8 C. 2，3，6，9 D. 1，，， 4. 大自然是美的设计师，即使是一片树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点为的黄金分割点，如果的长度为，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，为BC的中点，于点与相交于点，则（ ） A. B. C. D. 7. 中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，且原点O为位似中心，其位似比，若点，则其对应点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 在中，，结合尺规作图痕迹提供的信息，求出线段的长为（ ） A. B. C. 6 D. 10. 如图，在正方形中，点、分别在边、上，于点，交于点，于点，交的延长线于点，连接．下列四个结论：①；②；③；④若，则．正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二．填空题（共6小题，共18分） 11. 如图，在中，，点为边上一点，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则___． 12. 已知，其中与是一组对应边，，．若，则边上的高是___． 13. 如图，点D，E，F分别在的三边上，若，，，则的值为______． 14. 如图，一架无人机在高的点处可探测到的水平地面区域的宽度，再垂直上升，到达点处，可探测到的水平地面区域的宽度为，已知，，，则__________． 15. 如图，在中，，，，点，，分别在，，边上，连接，，，若，，则的最小值为___． 16. 如图，在中，,是边上一点，且，点边上一个动点，连接，以为直角边，点为直角顶点，在的左侧作等腰直角三角形，连接，则的最小值是______． 三．解答题（共8小题6+6+8+8+10+10+12+12） 17. 如图．求证：． 18. 已知，，是的三边长，且，的周长为，求三边，，的长． 19. 如图，直线，，分别交直线于点A，B，C，交直线于点D，E，F，且． （1）若，，，求的长； （2）点O是直线与的交点，若，，求的长． 20. 已知：中，，F、G为边上的点，且． （1）求证：； （2），，，求的长． 21. 如图，在单位长度为1的平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，与位似，位似中心为原点，与的相似比为．（点，，分别与点，，对应，且点在第二象限） （1）在图中画出，并直接写出点的坐标； （2）用无刻度直尺作出的角平分线； （3）与的周长比为___________． 22. 综合与实践 【情境】在学习完《相似》内容后，甲同学和乙同学在数学活动实践课上，对测量校园内的旗杆高度提出了两种不同的方案． 【思考】两个同学的测量方案如下： 甲同学方案 乙同学方案 测量过程及数据 如图1，在距离旗杆底点30米远的处竖立一根高2米的标杆，甲同学在处站立，他的眼睛所在位置、标杆的顶端和旗杆顶端三点在一条直线上．已知甲同学的眼睛到地面的距离米，米，，点在同一直线上． 如图2，乙同学拿着一根长为16厘米的木棒站在离旗杆30米的地方（即点到的距离为30米），他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即点在一条直线上，点在一条直线上），已知点到木棒的距离为40厘米． 示意图 【探究】 （1）下列判断正确的是___________（填序号）； ①只有甲同学的方案可行； ②只有乙同学的方案可行； ③两个同学的方案都可行； （2）请结合（1）的判断，选择一种正确的测量方案，求出旗杆的高度． 23. 如图，在中，，，点在上，且，连接．过点作的垂线交于点，交于点，连接，． （1）求的长； （2）求证：； （3）求的值． 24. 如图1，在中，点D，点E分别在上． （1）添加条件：　　　，可使；（填一个即可） （2）已知． ①若，则的长为　　　； ②若的面积为2，求四边形的面积． （3）如图2，已知．求证：； （4）如图3，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $