湖南衡阳市衡阳县滨江中学2026-2027学年九年级上学期数学9月阶段学情自测

九年级数学月考 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.用配方法解关于x的一元二次方程，配方后的方程可以是( ) A. B. C. D. 2.二次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是( ) A. B. C. D.或 3.将抛物线：向左平移2个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于x轴对称，则抛物线的解析式为( ) A. B. C. D. 4.若m，n是方程的两个根，则的值为( ) A.2025 B.2026 C.2027 D.2028 5.已知，则的值为( ) A.-5或2 B.5 C.-2或5 D.2 6.已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是( ) A. B. C. D. 7.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根.若，则k的值是( ) A.3 B.-1 C.3或-1 D.不存在 8.已知点，在抛物线上，若，则下列判断正确的是( ) A. B. C. D. 9.已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是( ) A.可以找到一个实数a，使得 B.无论实数a取什么值，都有 C.可以找到一个实数a，使得 D.无论实数a取什么值，都有 10.二次函数的图象如图，给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④， 其中正确结论的个数是( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.请把答案填在题中横线上） 11.若抛物线（m是常数）与x轴只有一个公共点，则m的值为______. 12.设是方程的两个根，那么的值为______. 13.已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC，有一动点D在线段BC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，则DE的最大值为______. 14.对于实数p，q，用符号表示p，q两数中较小的数，例如，若，则______. 15.已知二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，b的取值范围是______. 三、解答题（本大题共8小题，共计75分，解答题应写出演算步骤或证明过程） 16.（8分）解下列一元二次方程： （1）； （2）. 17.（8分）如图，抛物线的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且. （1）求抛物线的解析式. （2）若点在该抛物线上，求的面积. 18.（9分）我们定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”. （1）求证：方程是“倍根方程”. （2）若是“倍根方程”，求n的值. （3）若一元二次方程是“倍根方程”，求a，b，c之间的数量关系. 19.（9分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于，C两点（点B在点C的左侧），抛物线的顶点为D. （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）P是线段OB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若，求点E的坐标. 20.（9分）智能头盔是在传统防护头盔基础上，集成电子、传感、通讯模块的安全防护+智能穿戴设备，逐渐被电动车、摩托车等骑行爱好者喜欢.某品牌智能头盔专卖店统计了2026年第二季度（4月至6月）该品牌智能头盔的销量情况：4月份销售150个，6月份销售216个. (1)求该店该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； (2)该智能头盔的进价为300元/个，市场调研发现：当售价为400元/个时，月销售量为60个；若售价在此基础上每上涨2元/个，则月销售量将减少1个.为响应政府“安全骑行、惠民利民”的号召，该专卖店希望在月销售利润达到6032元的同时，尽可能让市民享受实惠.请问该品牌智能头盔的实际售价应定为每个多少元？ 21.（10分）根据以下素材，探索完成任务. 运用二次函数研究电缆架设问题 素材 电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂可以近似看成抛物线的形状.如图，在一个斜坡上按水平距离间隔米架设两个塔柱.每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为20米（米），以点O为原点所在直线为y轴，建立如图所示坐标系.电缆的最低点D到y轴的距离为30米，点D到坡面的铅直高度米，（于F），经测量，斜坡的坡度为（即）. 素材2 若电缆下垂的安全高度是米，即电缆距离坡面的铅直高度的最小值不小于米时，符合安全要求，否则存在安全隐患. 完成以下任务 (1)求出下垂电缆（抛物线）的解析式； (2)上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由. 22.（10分）在数学研究课上，李明发现了一个现象：有些看似和一元二次方程不沾边的问题，只要巧妙构造一元二次方程，利用根与系数的关系就能轻松解决.他随即抛出了两个问题，邀请同学们一起探究. （1）若实数a，b满足，，求的值； （2）若实数p，q满足，，且，求的取值范围. 23.（12分）如图，已知抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点C，对称轴为直线. （1）求抛物线的解析式. （2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ的长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由. （3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且.在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由. 答案与解析 1.答案：A 解析：移项，得：，配方，得：，即. 2.答案：D 解析：∵二次函数的图象与x轴交于点，，开口向上，∴关于x的不等式的解集是或.故选D. 3.答案：A 解析：将抛物线向左平移2个单位长度，得到抛物线，即抛物线的解析式为.因为抛物线与抛物线关于x轴对称，所以抛物线的解析式为. 4.答案：C 解析：是方程的根， ，，， 则原式.故选C. 5.答案：B 解析：设，则，原方程可化为，整理得，解得（舍去），，.故选B. 6.答案：C 解析：，抛物线的对称轴为直线，且顶点坐标为，，和时的函数值相等.，当时，函数取得最大值，，又∵当时，函数取得最小值，，，解得.故选C. 7.答案：A 解析：由题意可知，解得，且，，， 整理得，解得或， ，.故选A. 8.答案：A 解析：方法一：（增减性比较法）易知抛物线过点，对称轴为直线.，，点A在对称轴左侧，点、点B在对称轴右侧.∵点A关于直线对称的点的横坐标为，，.，抛物线开口向上，∴在抛物线对称轴右侧，y随x的增大而增大，故. 方法二：（特殊值法）令，则，当时，，当时，.故. 9.答案：C 解析：解题思路：根据二次函数可得二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线，顶点坐标为.将点A，B的横坐标分别代入解析式，可得，，再进行讨论. 二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线，顶点坐标为.将代入解析式，得，，，故A项、B项错误，不符合题意.将代入解析式，得，，当时，有最小值，为，当时，，故C项符合题意，D项不符合题意. 10.答案：B 解析：抛物线和x轴有两个交点， ， ，①正确； 对称轴是直线，和x轴的一个交点在点和点之间， 抛物线和x轴的另一个交点在和之间， 把代入抛物线得：， ，②错误； 把代入抛物线得：， ， ， ，，③正确； 抛物线的对称轴是直线， 的值最大， 即把代入得：， ， 即，④正确； 即正确的有3个， 故选B. 11.答案：11 解析：抛物线（m是常数）与x轴只有一个公共点，∴关于x的方程的根的判别式等于0，即，解得. 12.答案：-4 解析：是方程的两个根， ，，，，，. 13.答案： 解析：当时，即，解得，.∵点A在点B的左侧，∴点B的坐标是.当时，，点C的坐标是.设直线BC的解析式是，把点B的坐标，点C的坐标分别代入，可得解得直线BC的解析式是.设点D的坐标是，则点E的坐标是，.该二次函数的二次项系数为，当时，DE有最大值，最大值是. 14.答案：-1或2 解析：易知，分以下两种情况： ①当时，，解得或，时，，不符合要求，舍去；时，，符合要求； ②当时，，解得或，时，，符合要求；时，，不符合要求，舍去. 综上所述，或. 15.答案： 解析：如图，当时，，解得，，则点，.将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方部分的图象的解析式为，即.当直线经过点时，，解得；当直线与抛物线有唯一一个公共点时，方程有两个相等的实数根，所以，解得，所以当直线与新图象有4个交点时，b的取值范围为. 16.答案：（1）， （2）， 解析：（1）移项，得， 配方，得，即， 由此可得， ，. （2）方程可化为，此时，，，， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ，. 17.答案：（1） （2）3 解析：（1）由，得顶点，所以，因为，所以，所以. 将点代入，得， 解得，所以. （2）如图，过点C作轴于D，将代入， 得， 所以. 所以 . 18.答案：（1）证明见解析 （2）或 （3） 解析：（1）证明：，即， 或，解得，， ，方程是“倍根方程”. （2），，. 又是“倍根方程”， 或，或. （3）一元二次方程是“倍根方程”， 设方程的两根分别为t，2t. 根据题意得，，， ，，. 19.答案：（1）， （2）存在， 解析：（1）将点，的坐标分别代入， 得解得 ∴抛物线的解析式为. ， ∴点. （2）对于， 令，则， 解得，，点. 设点，其中，则点. ，， 解得（舍去），， ∴点. 20.答案：(1) (2)404元 解析：(1)设该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为x， 由题意得 解得： 即或 （不合题意，舍去） 答：该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为. (2)设该品牌智能头盔的实际售价定为每个y元， 由题意得： 解得，， 要尽可能让顾客得到实惠， 该品牌智能头盔的实际售价应定为每个404元. 21.答案：(1)； (2)不符合安全要求，理由见详解. 解析：(1)由题意知O为原点，米，A在地面上， ， 米，斜坡坡度为，即， 米， 右侧地面点B的坐标为， 设直线的解析式为，把，代入得， ， 解得， 斜坡所在直线的解析式为， 米且塔柱竖直， 右侧电缆固定点C的坐标为， 最低点D到y轴的距离为30米， 点D的横坐标为30， 此时坡面纵坐标为， 点D到坡面的铅直高度米， 点D的纵坐标为， 即， 设抛物线解析式为， 抛物线过原点， ， 解得， . (2)设电缆上任一点到坡面的铅直高度为h米， ， ， ， ， 当时，h取得最小值13.25米， ， 上述电缆的架设不符合安全要求. 22.答案：（1）23或2 （2） 解析：（1）满足，， ∴当时，， 当时，a，b可看作是方程的两个不相等的实数根， ，，. 综上，的值为23或2. （2）将方程两边同乘2，得， ∵实数p，q满足，，且， 是一元二次方程的两个不相等的实数根， ，，， 又是方程的两个不相等的实数根， ，解得，， . 23.答案：（1） （2）见解析 （3），或 解析：（1）根据题意，得解得 ∴抛物线的解析式为. （2）四边形OCPQ是平行四边形.理由如下： 由（1）易得，， ∴直线BC的解析式为. ∵点P在线段BC上，∴可设. 轴，， . ，当时，线段PQ取最大值，为4. ，. 又， ∴当线段PQ的长度最大时，四边形OCPQ是平行四边形. （3）在y轴上存在点F，使得为等腰三角形. 连接DP并延长，交QE于点M. ，D是OC的中点，. 如图，由（2）知，. ，又，. 又，， ∴点关于PQ的对称点为点M，. ∵直线QE过点和， ∴直线QE的解析式为. 由点E是直线QE与抛物线的交点，可得点. 假设y轴上存在点，使得为等腰三角形. 若，即，则， 解得，； 若，即，则， 解得，或； 若，即，则，化简，得. 方程无实数根， 故在y轴上不存在点F，使得. 综上所述，在y轴上存在点F，使得为等腰三角形，点F的坐标为，或. 学科网（北京）股份有限公司 $