精品解析：湖南省常德市桃源县文昌中学2025-2026学年上学期九年级第二次月考数学试卷

桃源县文昌中学2025年下学期九年级第二次月考试卷 数学 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（共10小题） 1. 将一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的值为（ ） A. . B. C. 1 D. 3. 如图，直线与轴平行且与反比例函数（）与（）的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 4. 如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上异于B，C的一点，则∠A的度数为（ ） A. 60° B. 70° C. 80° D. 90° 5. 如表列出了二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，则一元二次方程的其中一个解的取值范围是（ ） x … 0 1 ... y … 15 3 3 … A. B. C. D. 6. 已知为实数，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 无解 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数，左右平移该抛物线，顶点恰好落在正比例函数y=-x的图像上，则平移后的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，点D在上，，点E在上，，，相交于F，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知抛物线（，，为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④无论，，取何值，抛物线一定经过；⑤；⑥一元二次方程有两个不相等的实数根，其中正确结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（共8小题） 11. 式子的值为______________________． 12. 已知，则________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在y轴的同侧作等边三角形，使它与位似，且相似比为3：1．若四边形是边长为6的菱形，则点A的坐标为______． 14. 已知一元二次方程 的两个根为，则____． 15. 如图，在的正方形网格图中，已知点A、B、C、D、O均在格点上，其中A、B、D又在上，点E是线段与的交点．则的正切值为________． 16. 定义新运算：对于任意实数a，b，都有，其中等式右边是通常的加法、乘法运算，例如．若y关于x的函数图象与x轴有两个公共点，则实数k的范围是______． 17. 当时，二次函数的函数值y的取值范围是________． 18. 如图，将抛物线在x轴下方部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形，当直线与图形恰有两个公共点时，b的取值范围是_______． 三、解答题（共8小题） 19. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上一点，tan∠DBC=，且BC=6，AD=4．求cosA的值． 20. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于0，求的取值范围． 21. 如图，四边形内接于，并且是的直径，C是弧的中点，和的延长线交于外一点E， （1）求证：． （2）若的长是方程的两根，求的长． 22. 如图，一次函数的图象交x轴于点A，交反比例函数的图象于点．将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象交x轴于点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）当的面积为3时，求m的值． 23. 如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东方向的点A处，它沿着点A的南偏东的方向航行10千米到达点C处，此时点C位于点B的北偏东． （1）求此时渔船距离直线的距离（结果保留根号）． （2）渔船到达点C后，按原航向继续航行一段时间后，到达点D等待补给，此时渔船在点B的南偏东的方向．在渔船到达点D的同时，一艘补给船从点B出发前往D处，请问补给船行驶的距离的长度．（参考数据：） 24. 一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成矩形零件如图，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在上． （1）若E 、F是中点 求四边形的面积； （2）如果把它加工成矩形零件，且，求该矩形面积． 25. 某网店以每件50元的价格购进一批商品，若以单价70元销售，每月可售出320件，调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销售量就减少10件． （1）请写出每月该商品销售量m（件）与单价上涨x（元）间的函数关系式； （2）求每月销售该商品的利润y（元）与单价上涨x（元）间的函数关系式； （3）单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少元？ 26. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接、，点E为线段上的一点，直线与抛物线交于点H． （1）直接写出A、B、C三点的坐标，并求出直线的表达式； （2）连接、，求面积的最大值； （3）若点P为抛物线上一动点，试判断在平面内是否存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桃源县文昌中学2025年下学期九年级第二次月考试卷 数学 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（共10小题） 1. 将一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，直接去括号进而移项，得出答案． 【详解】解：， ， 故选：A． 2. 若，则的值为（ ） A. . B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由于sin(α+15°)=，α是锐角，而sin60°=，则可求α+15°=60°，从而可求α，再把α的值代入tan（α-15°）中，即可求值． 【详解】解：∵sin(α+15°)=，α是锐角， ∴α+15°=60° α=45°； ∴=1 故选C. 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题关键是熟记特殊角的三角函数值. 3. 如图，直线与轴平行且与反比例函数（）与（）的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数值的几何意义，连接，易得，再利用分割法以及值的几何意义进行求解即可． 【详解】解：连接，设直线与轴交于点， ∵直线与轴平行， ∴， ∵直线与反比例函数（）与（）的图象分别交于点和点， ∴， ∴； 故选B． 4. 如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上异于B，C的一点，则∠A的度数为（ ） A. 60° B. 70° C. 80° D. 90° 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：∵BC是⊙O的直径，∴∠A=90°．故选D． 考点：圆周角定理． 5. 如表列出了二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，则一元二次方程的其中一个解的取值范围是（ ） x … 0 1 ... y … 15 3 3 … A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据表格可得对称轴为直线，函数开口向上，则可确定时自变量的取值范围，进而可得答案． 【详解】解：∵当和当时的函数值都是3， ∴对称轴为直线， ∵， ∴当时的函数值大于时的函数值， ∴函数开口向上， ∴在对称轴左侧y随x增大而减小，在对称轴右侧y随x增大而增大， ∵时，，时，， ∴一元二次方程的其中一个解的取值范围是， ∴由对称性可知，一元二次方程的另一个解的取值范围是， 故选：A． 6. 已知为实数，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 无解 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：（x2+3x-3）（x2+3x+6）=0 ∴x2+3x=3或x2+3x=-6 故选C 考点:1．整体思想；2．因式分解法解一元二次方程 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象等知识点，灵活运用利用一次函数的性质和二次函数的性质是解题的关键． 根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数中a、b的正负情况与二次函数中a、b的正负情况，然后逐项判断即可解答． 【详解】解：A、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项A错误，不符合题意； B、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项B正确，符合题意； C、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项C错误，不符合题意； D、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项D错误，不符合题意． 故选：B． 8. 已知二次函数，左右平移该抛物线，顶点恰好落在正比例函数y=-x的图像上，则平移后的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把这个二次函数的图象左、右平移，顶点恰好落在正比例函数y=﹣x的图象上，即顶点的横纵坐标互为相反数，而平移时，顶点的纵坐标不变，即可求得函数解析式． 【详解】由题可知原二次函数的顶点坐标为， ∵左右平移抛物线时，顶点坐标的纵坐标不变， ∴平移后的抛物线的顶点坐标的纵坐标仍为-1， 又因为顶点恰好落在正比例函数y=-x的图像上， 则当y=-1时x=1，即平移后的抛物线的顶点坐标为， 所以其解析式为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律，上下平移时，点的横坐标不变；左右平移时，点的纵坐标不变． 9. 如图，在中，点D在上，，点E在上，，，相交于F，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 作，根据平行线分线段成比例定理求出，根据题意求出，根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：过点D作交于H， 则， ， ， ， ， ， 故选：D． 10. 如图，已知抛物线（，，为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④无论，，取何值，抛物线一定经过；⑤；⑥一元二次方程有两个不相等的实数根，其中正确结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】①根据图象开口向上，对称轴位置，与y轴交点分别判断出a，b，c的正负；②根据对称轴公式，判断之间的关系；③根据时，，比较与0的大小；④根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等结合②的结论判断即可；⑤根据抛物线对称轴找到顶点坐标的纵坐标，比较任意一点与顶点的纵坐标值，即比较函数值的大小即可判断结论；⑥方程的解即为抛物线与直线的交点的横坐标即可得到结论． 【详解】解：①∵抛物线图象开口朝上， ∴ ， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，即，故②错误； ∵抛物线图象与y轴交点位于x轴下方， ∴c<0， ，故①正确； ③经过， 又由①得c<0，， ，故③正确； ④根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等， 当时，即 ， 即， 经过，即经过，故④正确； ⑤当时，，当时，， ， 函数有最小值， ， ∴， ∴，故⑤正确； ⑥方程的解即为抛物线与直线的交点的横坐标，结合函数图象可知，抛物线与直线有两个不同的交点，即方程有两个不相等的实数根，故⑥正确； 综上所述：①③④⑤⑥正确． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数图象与性质，二次函数解析式中系数与图象的关系，结合图像逐项分析，结已知条件得出结论是解题的关键． 二、填空题（共8小题） 11. 式子的值为______________________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了含特殊角的三角函数值的混合运算、二次根式的混合运算等知识点，掌握常见角的特殊角的三角函数值成为解题的关键．先利用特殊角的三角函数值化简，然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：2． 12. 已知，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，由已知比例可用表示，然后代入化简即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在y轴的同侧作等边三角形，使它与位似，且相似比为3：1．若四边形是边长为6的菱形，则点A的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质、位似图形的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．根据菱形的性质、等边三角形的性质求出，通过相似比即可得A的坐标． 【详解】解：∵四边形是边长为6的菱形， ∴，平分， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，且相似比为3：1， ∴， 故答案为：． 14. 已知一元二次方程 的两个根为，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程、乘法公式的知识；解题的关键是根据一元二次方程根与系数的关系，得，，然后整体代入计算． 【详解】解：∵一元二次方程 的两个根为， ∴，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在的正方形网格图中，已知点A、B、C、D、O均在格点上，其中A、B、D又在上，点E是线段与的交点．则的正切值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意易得BD=4，BC=2，∠DBC=90°，∠BAE=∠BDC，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】解：由题意得：BD=4，BC=2，∠DBC=90°， ∵∠BAE=∠BDC， ∴， 故答案为． 【点睛】本题主要考查三角函数及圆周角定理，熟练掌握三角函数及圆周角定理是解题的关键． 16. 定义新运算：对于任意实数a，b，都有，其中等式右边是通常的加法、乘法运算，例如．若y关于x的函数图象与x轴有两个公共点，则实数k的范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，新定义，根据新运算定义，将函数化为二次函数形式，再根据图象与x轴有两个公共点，得到判别式大于零且二次项系数不为零，从而求解k的范围． 【详解】解：由新运算定义，得 ， ∵y关于x的函数图象与x轴有两个公共点， ∴关于x的方程有两个不相等的实数根． ∴，且． 解得且， 故答案为：且． 17. 当时，二次函数的函数值y的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵，，对称轴为直线， ∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，取最小值为：； ∵， ∴当时，取最大值为：； ∴y的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性，是解题的关键． 18. 如图，将抛物线在x轴下方部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形，当直线与图形恰有两个公共点时，b的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，通过解方程得到A、B的坐标，利用二次函数的性质得到顶点的坐标，可写出图象沿x轴翻折所得图象的解析式为，然后求出直线与只有一个交点时b的值，直线过A和过B点所对应的b的值，再利用图象可判断直线与此图象有且只有两个公共点时b的取值范围． 【详解】解：当时，，解得，则， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 把二次函数沿x轴翻折所得图象的解析式为， 如图， 当直线与只有一个交点时，直线与图形有三个交点，此时方程有两个相等的实数解， 方程整理得， ∴， 解得（舍去）； 当时，直线与图形恰有两个公共点，不符合题意； 当直线过时，，解得， 当直线过时，，解得， ∴当时，直线与图形有且只有两个公共点． 综上可知，当直线与图形恰有两个公共点时，的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题（共8小题） 19. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上一点，tan∠DBC=，且BC=6，AD=4．求cosA的值． 【答案】 【解析】 【分析】先在Rt△BDC中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，由AC=AD+DC求出AC的长，然后在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AB的长，从而求出 cosA的值． 【详解】解：在Rt△BDC中， tan∠DBC=， 且BC=6 ， ∴ tan∠DBC===， ∴CD=8， ∴AC=AD+DC=12， 在Rt△ABC中，AB==6 ， ∴ cosA ===. 【点睛】本题主要考查解直角三角形．熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 20. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于0，求的取值范围． 【答案】（1） ， ， ， 方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）先求出判别式，利用配方法变为完全平方式即可， （2）利用求根公式，先求一元二次方程含k 的根，让其一根小于0，求出范围即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， 方程有一根小于0， ， ． 【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的范围问题，掌握根的判别式的用途，会用根的判别式解决方程根的情况，会利用求根公式解方程，会用条件利用不等式，会解不等式是关键． 21. 如图，四边形内接于，并且是的直径，C是弧的中点，和的延长线交于外一点E， （1）求证：． （2）若的长是方程的两根，求的长． 【答案】（1） 证明：连接． ∵是的直径， ∴． ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴． ∵C是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）1 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，一元二次方程根的判别式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）连接，先根据直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的性质和等弧所对的圆周角相等得到，从而根据等角对等边即可证明； （2）根据根的判别式为零，构建方程求出m的值，解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵的长是方程的两根，， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， ∴或8， 当时，方程为，解得， ∴． 当时，方程为，解得（不符合题意舍去）． 综上所述，． 22. 如图，一次函数的图象交x轴于点A，交反比例函数的图象于点．将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象交x轴于点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）当的面积为3时，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及了求反比例函数解析式、一次函数图象平移问题等知识点，熟记相关结论即可； （1）由题意得：点在一次函数的图象上，可求出，即可求解； （2）对于一次函数，令求出；一次函数的图象向下平移个单位长度后的解析式为：；求出，即可求解； 【小问1详解】 解：由题意得：点在一次函数的图象上， ∴， ∴； ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：对于一次函数，令，则； ∴； 一次函数的图象向下平移个单位长度后的解析式为：； 对于一次函数，令，则； ∴； ∴； 解得： 23. 如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东方向的点A处，它沿着点A的南偏东的方向航行10千米到达点C处，此时点C位于点B的北偏东． （1）求此时渔船距离直线的距离（结果保留根号）． （2）渔船到达点C后，按原航向继续航行一段时间后，到达点D等待补给，此时渔船在点B的南偏东的方向．在渔船到达点D的同时，一艘补给船从点B出发前往D处，请问补给船行驶的距离的长度．（参考数据：） 【答案】（1）千米 （2）千米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键。 （1）过点作于，由锐角三角函数可求的长，即可求解； （2）过点作于，解直角三角形求出的长，进而求出的长，进而可求出的长． 【小问1详解】 解：如图，过点作于， 由题意可得：（千米）， ， （千米）， 答：此时渔船距离直线的距离为千米； 【小问2详解】 解：如图，过点作于， 由题意可得：， ，， （千米），（千米）， 千米， ， 千米， ， （千米）， 答：补给船行驶的距离的长度约为千米． 24. 一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成矩形零件如图，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在上． （1）若E 、F是中点 求四边形的面积； （2）如果把它加工成矩形零件，且，求该矩形面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练利用相似三角形的性质是解题的关键． （1）根据中位线的性质得到，再证明，可得三角形，利用面积之差，即可解答； （2）设，同（1）中原理表示出，再列方程，即可求得的值，即可解答． 【小问1详解】 解：E 、F是中点， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， 四边形为矩形， ， ， ， 是三角形的高， ，即 ， ， 可得方程， 解得， ， 矩形的面积为． 25. 某网店以每件50元的价格购进一批商品，若以单价70元销售，每月可售出320件，调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销售量就减少10件． （1）请写出每月该商品销售量m（件）与单价上涨x（元）间的函数关系式； （2）求每月销售该商品的利润y（元）与单价上涨x（元）间的函数关系式； （3）单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1) m=320﹣10x；(2) 单价定为76元时，每月销售该商品的最最大利润为6760元． 【解析】 【详解】试题分析：（1）单价上涨x（元），由单价每上涨1元，该商品每月的销量就减少10件得到销售量为（320﹣10x）件； （2）根据利润等于销售价减成本得到每件的利润为（70﹣50+x），因此每月销售该商品的利润y等于月销售量×每件的利润； （3）把（2）得到的函数关系式进行配方得到y=﹣10（x﹣6）2+6760，然后根据二次函数的最值问题易得到单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大． 解：（1）由题意可得：m=320﹣10x； （2）由题意可得：y=（70+x﹣50）（320﹣10x） =﹣10x2+120x+6400； （3）y=﹣10x2+120x+6400， =﹣10（x﹣6）2+6760， 当x=6时，y有最大值6760 即单价定为76元时，每月销售该商品的最最大利润为6760元． 考点：二次函数的应用． 26. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接、，点E为线段上的一点，直线与抛物线交于点H． （1）直接写出A、B、C三点的坐标，并求出直线的表达式； （2）连接、，求面积的最大值； （3）若点P为抛物线上一动点，试判断在平面内是否存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；；； （2） （3）存在，Q的坐标为或 【解析】 【分析】（1）分别令，，求出对应的x、y的值，即可求出A、B、C的坐标，然后根据待定系数法求出直线的表达式即可； （2）过点H作轴，交直线于点M，设点H的坐标为，则点M的坐标为，可求，，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）分或两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：当时，， 解得，， ，， 当时，， ， 设直线的解析式为， 则， 解得 ； 【小问2详解】 解：过点H作轴，交直线于点M， ， 设点H的坐标为， 则点M的坐标为， ， ， 当时，． 【小问3详解】 解：以B、C、P、Q为顶点的四边形是以BC为边的矩形时，存在或两种情况，设 （1）当，延长，交轴一点， ， ， ，即为等腰直角三角形，即：， ，则， 为等腰直角三角形，则，则， 设PC解析式为，代入，， 得，解得， ， 令，解得（舍去），， ， ，， ； ②当交x轴于点N， ， ，即为等腰直角三角形，即：， ，则， 为等腰直角三角形，则，则， 同理可得解析式为：， 令，解得（舍去）， ， ， ， 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与面积问题、特殊四边形问题等，涉及到的知识有待定系数法，二次函数的性质，矩形的性质等，明确题意，合理分类讨论，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $