精品解析：山东青岛第四实验初级中学2026-2027学年第一学期第一次学情自测九年级数学试题

青岛第四实验初级中学阶段性学情练习数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．熟练掌握一元二次方程的定义判断是解题的关键． 【详解】解：A、该方程中含有两个未知数，故本选项不符合题意； B、该方程是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； D、当时，该方程中未知数的最高次数不是2，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 在同一单位长度下，下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. 1，3，20，30 B. ，，2 C. 1，2，3，4 D. ，10，10， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比例线段，分别找出各选项对应的比例关系即可，然后选出符合题意的答案． 【详解】解：因为，所以A选项不符合题意． 因为，所以B选项不符合题意． 因为，所以C选项不符合题意． 因为，所以D选项符合题意． 故选：D． 3. 若一元二次方程的二次项系数是2，则常数项是（ ） A. B. C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义：形如的方程叫做一元二次方程，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项，据此求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程即的二次项系数是2， ∴常数项为， 故选：B． 4. 根据表格对应值： 判断关于x的方程的一个解的范围是（ ） A. B. C. D. 无法判定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查利用二次函数的图象估算一元二次方程的近似解，根据抛物线与x轴的交点的左右两边的函数值的符号为一正一负，即可得出结果． 【详解】解：令， 由表格可知：时，，当时，， ∴当，存在一个x的值使， ∴关于x的方程的一个解x的范围是； 故选：A． 5. 如图，矩形的对角线，交于点．若，，则长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质，由矩形的性质可得，证明为等边三角形，得出，即可得解，熟练掌握矩形的性质、等边三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故选：D． 6. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠的部分为四边形，若测得A，C之间的距离为3，B，D之间的距离为4，则线段的长为（ ） A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的判定和性质，作于R，于S，根据题意先证出四边形是平行四边形，再由得平行四边形是菱形，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，作于R，于S，连接交于点O， 由题意知，， ∴四边形是平行四边形． ∵两张纸条等宽， ∴． ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴． 在中，，， ∴． 故选：A． 7. 某市年底有2万户用户，计划到年底全市用户数累计达到万户．设全市用户数年平均增长率为，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．由题意知，年底用户有万户，年底用户有万户，即，根据用户数累计即可列出方程． 【详解】解：依题意得，， 故选：D． 8. 若实数满足方程，那么的值为（） A. B. 5 C. 或5 D. 3或 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，一元二次方程的解，熟记解题步骤是解题的关键．设，则原方程转化为关于的新方程，通过解新方程来求的值，即的值． 【详解】解：设， 原方程变形为， 整理得：， 解得：， 当时，， 即， 此时； 当时，， 即， 此时； 此时方程无实数根； 故选：B． 9. 如图，正方形ABCD中，AB=6，将△ADE沿AE对折至△AEF，延长EF交BC于点G，G刚好是BC边的中点，则ED的长是（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 【答案】C 【解析】 【分析】设DE=x，则根据对折的性质和正方形的性质可以得到关于x的方程，解方程即可得到x即ED的值． 【详解】解：如图，连接AG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD=6，∠B=∠D=90°， 由折叠得：AD=AF，∠D=∠AFE=90°， ∴∠B=∠AFG=90°，AF=AB， ∵Rt△ABG和Rt△AFG中， AB=AF，AG=AG， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)， ∴BG=GF， ∵G是BC边的中点，∴BG=GC=GF=3 设DE=x，则CE=6−x,CG=3,GE=GF+EF=BG+DE=3+x， 在Rt△ECG中，由勾股定理得：，即， 解方程得：x=2 故选C． 【点睛】本题考查轴对称和正方形的综合应用，灵活应用轴对称的性质和正方形的性质解答是解题关键． 10. 如图，在矩形中，的平分线交于点E，交的延长线于点F，取的中点G，连接，，，，下列结论：①；②；③；④若，则；其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．先求出，判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，，从而得到，故①正确；再求出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再求出，然后利用“边角边”证明，得到，由，得到，，故②错误；由于，得到，故③正确；由是等腰直角三角形得到，求得，过G作于M，求得，进而得出答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵点G为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②错误； ∵， ∴， 故③正确； ∵， ∴设 ∵， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过G作于M， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④正确． 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 如果，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的运算法则解题． 【详解】解：∵， ∴． 12. 绘画兴趣小组的每名同学将自己水墨画作品向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了272件．若设全组有名同学，则根据题意列出方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．由绘画兴趣小组的人数，可得出每名同学需赠送件水墨画作品，结合全组共互赠了272件水墨画作品，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵绘画兴趣小组的每名同学将自己水墨画作品向本组其他成员各赠送一件，且全组有x名同学， ∴每名同学需赠送件水墨画作品． 根据题意得：． 故答案为：． 13. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据医院二次方程的定义和根的判别式的定义得到，且，即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根， ，且， 解得：，且， 故答案为：且． 14. 如图，在矩形中，的平分线交于点，，．若四边形是正方形，则与应满足的数量关系为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，熟练掌握正方形的性质，矩形的性质是解决问题的关键，先证明是等腰直角三角形得，再证明和全等得则，由此可得出与应满足的数量关系． 【详解】解∶∵四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴； 在和中， ． ∴， ∴， ∴ ∴． 故答案为∶． 15. 把和拼成如图所示的图案，其中点B，C，D在同一直线上，F是的中点．已知，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理得，，再证明，得，进而证明，然后由勾股定理求出，最后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解题的关键． 【详解】解：，，，，， ，，， ， ， ， ， ， 是的中点， ， 故答案为：． 16. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边，上的动点，P是线段的中点，，，G，H为垂足，连接．若，，，则的最小值是______． 【答案】7.5 【解析】 【分析】连接、、，由勾股定理求出，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后证四边形是矩形，得，当A、P、C三点共线时，即可求解． 【详解】连接、、，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵P是线段的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当A、P、C三点共线时， ， ∴的最小值是7.5， 故答案为：7.5． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，求出的最小值是解题的关键． 三、作图题（本题满分4分） 17. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：四边形，． 求作：菱形，且点E在边上，点F在边上． 【答案】 如图，四边形即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定等知识，作线段的垂直平分线交于点E，交于点F，连接，四边形即为所求． 【详解】略 四、解答题（本题共6道小题，满分68分） 18. 解方程： （1）（公式法）； （2）（配方法）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】（1）根据公式法解一元二次方程，先计算判别式，再代入公式，得到方程的解； （2）先移项将常数项移项至等式右边，通过配方将等式左边写成完全平方式，通过直接开平方解方程即可； （3）先移项，利用平方差公式分解因式，去括号后用因式分解法解一元二次方程即可； （4）先移项，再提取公因式，用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， 移项，等式两边同时加，得：， 配方，得：， 即：， ， 解得：，； 【小问3详解】 解：， 移项，利用平方差公式可得：， 去括号，得：， 或， ，； 【小问4详解】 解：， 移项，得：， 提取公因式，得：， 解得：，． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）若，求k的值； （2）求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1）的值为 （2） 证明： ， ∴无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式的意义； （1）根据一元二次方程根与系数的关系式得出，，代入，解方程，即可求解； （2）计算一元二次方程根的判别式得出，即可得证． 【小问1详解】 解：由根与系数的关系得， ∵， ∴， 解得，即的值为 【小问2详解】 略． 20. 如图，在中，，为边上一点，为边上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ，， ， ． （2）2或4 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、一元二次方程的解法，等腰三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）一线三等角模型，通过外角的性质得到，推出，即可得证； （2）直接根据第一问的相似三角形得到，代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 由（1）知，， ， 即， 或4，经检验，符合题意； 答：或4． 21. 如图，和相交于点，，，点、分别是、的中点． （1）求证：； （2）当时，猜测四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】（1） 证明：在和中， ∴， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴； （2） 四边形是矩形，理由： 由（）得：， ∵， ∴四边形是平行四边形，，， ∵为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】（）直接证明，得出，根据、分别是、的中点，即可得证； （2）证明四边形是平行四边形，进而根据，推导出是等边三角形，进而可得，即可证明四边形是矩形． 本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 某商场销售，两种新型小家电，型每台进价元，售价元，型每台进价元，售价元，月份售出型台，且销售这两种小家电共获利不少于元． （1）求月份售出型小家电至少多少台？ （2）经市场调查，月份型售价每降低元，销量将增加台；型售价每降低元，销量将在月份最低销量的基础上增加台．为尽可能让消费者获得实惠，商场计划月份，两种小家电都降低相同价格，且希望销售这两种小家电共获利元，则这两种小家电都应降低多少元？ 【答案】（1）月份售出型小家电至少台； （2）这两种小家电都应降低元． 【解析】 【分析】（）设月份售出型小家电台，根据题意列出不等式，然后解不等式即可； （）设这两种小家电都应降低元，根据题意列出方程，然后解方程并检验即可； 本题考查了一元一次不等式和一元二次方程的应用，读懂题意，找出数量关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：设月份售出型小家电台， 根据题意，得， 解得：， 答：月份售出型小家电至少台； 【小问2详解】 解：设这两种小家电都应降低元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵为尽可能让消费者获得实惠， ∴舍去， 答：这两种小家电都应降低元． 23. 已知：如图，在△中，，，，，点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位；点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位，作， ，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为． 解答下列问题： （1）四边形是菱形时，求的值； （2）为何值时，点在边上； （3）连接、设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； （4）在运动过程中，是否存在某一时刻，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）与之间的函数关系式为； （4）以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时的值为或或． 【解析】 【分析】（）根据菱形的性质得出即可求解； （）由（）得：四边形是平行四边形，，，证明，根据相似三角形的性质即可求解； （）设与交于点，由（）得：四边形是平行四边形，则，再由即可求解； （）根据相似三角形的性质和勾股定理得出，又，，然后分当时，当时，当时三种情况分析即可； 本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，解一元二次方程，勾股定理，建立函数关系式，等腰三角形的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意得：，， ∴，， ∵， ， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，由（）得：四边形是平行四边形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，设与交于点， 由（）得：四边形是平行四边形， ∴， ∴ ， ∴与之间的函数关系式为； 【小问4详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， 当时，， ∴； 当时，，整理得：， 解得：（舍去）或； 当时，，整理得： 解得：（舍去）或； 综上可知：以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时的值为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛第四实验初级中学阶段性学情练习数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 在同一单位长度下，下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. 1，3，20，30 B. ，，2 C. 1，2，3，4 D. ，10，10， 3. 若一元二次方程的二次项系数是2，则常数项是（ ） A. B. C. 5 D. 4 4. 根据表格对应值： 判断关于x的方程的一个解的范围是（ ） A. B. C. D. 无法判定 5. 如图，矩形的对角线，交于点．若，，则长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 8 6. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠的部分为四边形，若测得A，C之间的距离为3，B，D之间的距离为4，则线段的长为（ ） A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 7. 某市年底有2万户用户，计划到年底全市用户数累计达到万户．设全市用户数年平均增长率为，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若实数满足方程，那么的值为（） A. B. 5 C. 或5 D. 3或 9. 如图，正方形ABCD中，AB=6，将△ADE沿AE对折至△AEF，延长EF交BC于点G，G刚好是BC边的中点，则ED的长是（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 10. 如图，在矩形中，的平分线交于点E，交的延长线于点F，取的中点G，连接，，，，下列结论：①；②；③；④若，则；其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 如果，则_________． 12. 绘画兴趣小组的每名同学将自己水墨画作品向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了272件．若设全组有名同学，则根据题意列出方程为_______． 13. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是_______． 14. 如图，在矩形中，的平分线交于点，，．若四边形是正方形，则与应满足的数量关系为______． 15. 把和拼成如图所示的图案，其中点B，C，D在同一直线上，F是的中点．已知，则的长为______． 16. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边，上的动点，P是线段的中点，，，G，H为垂足，连接．若，，，则的最小值是______． 三、作图题（本题满分4分） 17. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：四边形，． 求作：菱形，且点E在边上，点F在边上． 四、解答题（本题共6道小题，满分68分） 18. 解方程： （1）（公式法）； （2）（配方法）； （3）； （4）． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）若，求k的值； （2）求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 20. 如图，在中，，为边上一点，为边上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 21. 如图，和相交于点，，，点、分别是、的中点． （1）求证：； （2）当时，猜测四边形的形状，并证明你的结论． 22. 某商场销售，两种新型小家电，型每台进价元，售价元，型每台进价元，售价元，月份售出型台，且销售这两种小家电共获利不少于元． （1）求月份售出型小家电至少多少台？ （2）经市场调查，月份型售价每降低元，销量将增加台；型售价每降低元，销量将在月份最低销量的基础上增加台．为尽可能让消费者获得实惠，商场计划月份，两种小家电都降低相同价格，且希望销售这两种小家电共获利元，则这两种小家电都应降低多少元？ 23. 已知：如图，在△中，，，，，点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位；点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位，作， ，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为． 解答下列问题： （1）四边形是菱形时，求的值； （2）为何值时，点在边上； （3）连接、设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； （4）在运动过程中，是否存在某一时刻，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $