精品解析：山东青岛市城阳区第八中学2026-2027学年度上学期第一次学情自测八年级数学试题

青岛市城阳第八中学八年级第一次月质量检测数学试卷 一、选择题（本题满分30分1共有10道小题，每小题3分） 1. 64的平方根是（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方根，根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴64的平方根是， 故选：D． 2. 下列各组长度的线段能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可． 【详解】解：A、，则能组成直角三角形，故A正确； B、，则不能组成直角三角形，故B错误； C、，则不能组成直角三角形，故C错误； D、，则不能组成直角三角形，故D错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的三边a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形． 3. 在实数，，（每相邻两个1之间依次增加1个0），，，中，无理数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等． 【详解】是有限小数，属于有理数； ，是整数，属于有理数： 是分数，属于有理数： 是无限循环小数，属于有理数． 无理数有（每相邻两个1之间依次增加1个0），，，共3个， 故选C． 4. 如图，每个小正方形的边长都是1，，，分别在格点上，则的度数为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据勾股定理逆定理可得是以、为腰的等腰直角三角形，据此可得答案． 【详解】解：如图，连， 则，， ， 即， 为等腰直角三角形，， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理和等腰直角三角形的判定和性质． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根及平方根的运算，掌握算术平方根和平方根的区别和联系成为解题的关键． 根据算术平方根及平方根的性质逐项化简即可解答． 【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意； B．，故该选项不正确，不符合题意； C．，故该选项正确，符合题意； D．，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，正方形是面积公式是解题的关键． 先求出张方形的边长，再根据向右动就用加法计算求解． 【详解】解：正方形的边长为：， ∴点所表示的数为：， 故选：A． 7. 勾股定理是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时(即水平距离)，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．由题意可知，，，，设，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，，，， ， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， 即绳索的长是， 故：A． 8. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（    ） A. 10 B. C. D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图1， ，，， ，， ； 如图2， ，，， ，， ， ， 它需要爬行的最短路程为10． 故选：A． 9. 如图，在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（ ） A. B. 的面积为5 C. D. 点到的距离为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 利用勾股定理求出长可判定A，利用网格图计算三角形的面积可判定B，利用勾股定理及其逆定理判定C；利用面积公式求出边的高，即可利用点到直线的距离判定D． 【详解】解：A． ∵， ∴，本选项结论正确，不符合题意； B．，本选项结论正确，不符合题意； C．，，， ， ，本选项结论正确，不符合题意； D．点A到的距离，本选项结论错误，符合题意； 故答案为：D 10. 如图，在中，，，．D为斜边上一动点，连接，过点D作交边于点E，若为等腰三角形，则的周长为（ ） A. B. 6 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质，先根据勾股定理得到，然后根据等腰三角形的性质得到，并得到，然后根据的周长为解题即可． 【详解】解：解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴ 又∵为等腰三角形， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴的周长为， 故选D． 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11. 的平方根是___________；的立方根是___________；的算术平方根是___________． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】本题考查了立方根、算术平方根和平方根等知识，利用立方根、算术平方根和平方根的定义求解，即可解题． 【详解】解：的平方根是；的立方根是；的算术平方根是． 故答案为：，，． 12. 已知一个正数的平方根是和，则__． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根的概念，熟练掌握平方根的概念是解题的关键．一个正数有两个平方根，它们互为相反数．一个正数的平方根有两个且互为相反数，所以，求出a的值即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：5． 13. 如图，有一块直角三角形纸片，，两直角边，，现将该纸片沿直线折叠，使点落在斜边上的点处，则折痕___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查翻折变换的性质，勾股定理的应用，先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长，然后根据勾股定理即可求得．掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵将该纸片沿直线折叠，使点落在斜边上的点处， ∴，，， ∴， 设， ∴，， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 在中，． 故答案为：． 14. 比较大小：_____（选填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】＜ 【解析】 【分析】两式作差，通分后比较分子与0的关系即得答案． 【详解】解：∵－＝ ， ∴＜． 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，属于常考题型，掌握作差法解答的方法是关键． 15. 如图，数轴上两点表示的数分别为和，点关于点的对称点为，则点所表示的数是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据对称点可以求出AC的长度，根据C在原点的左侧，进而可求出C的坐标． 【详解】∵对称的两点到对称中心的距离相等， ∴CA=AB=， 设点C所表示的数是， ∴CA=， ∴， ∵C点在原点左侧， ∴C表示的数为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，对称的性质，数轴上两点之间的距离，同时也利用对称点的性质、数形结合思想解决问题． 16. 如图所示，一个没有盖的圆柱盒高8cm，底面圆的周长为24cm，点A距离下底面3cm．一只位于圆盒外表面点A处的蚂蚁想爬到盒内表面对侧中点B处吃东西，则蚂蚁需要爬行的最短路径长为____cm． 【答案】15. 【解析】 【详解】解：如图，作出点A关于CD的对称点A′. ∵圆柱盒高为8cm，点A距离下底面3cm， ∴AC=5cm， ∴A′C=5cm. ∵点B是对侧中点， ∴BD=4cm， ∴A′F=5+4=9（cm）. ∵底面圆的周长为24cm， ∴BF=×24=12cm， ∴BA'==15cm. 三、作图题（本题满分4分） 17. 在数轴上作出表示的点． 【答案】如图，点A即为所求． 【解析】 【分析】根据，再利用尺规作图即可求解． 【详解】略 四、解答题（68分） 18. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3）－6 （4）6 【解析】 【分析】（1）先利用二次根式的性质进行化简，然后合并同类项，即可得到答案； （2）利用完全平方公式进行计算，即可得到答案； （3）利用平方差公式进行计算，即可得到答案； （4）先计算除法和零指数幂，然后合并同类项即可. 【详解】解：（1） = =； （2） = =； （3） = =； （4） = =. 【点睛】本题考查了整式的混合运算，二次根式的性质，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题. 19. 如图，点在中，，，， （1）求的长； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面积； （1）根据勾股定理和，，，可以求出的长； （2）根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，从而可以求出阴影部分的面积． 【小问1详解】 解：∵，，， ， 【小问2详解】 ∵，， ， 是直角三角形，， ． 故图中阴影部分的面积为． 20. 已知的平方根为，的立方根为， （1）求的算术平方根； （2）若是的整数部分，求的平方根． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平方根和立方根的性质可得，，从而得到，，再代入，即可求解； （2）先估算出，可得，然后再代入，即可求解． 【小问1详解】 解：的平方根为，的立方根为， ，， 解得，， ， 的算术平方根为， 的算术平方根是； 【小问2详解】 解：， 的整数部分为， 即， 由（1）得，， ， 而的平方根为， 的平方根． 【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的性质，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题的关键． 21. 为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，幸福家园小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 【答案】（1）居民从点A到点C将少走路程 （2）这片绿地的面积是 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识． （1）连接，求出的长即可； （2）由勾股定理的逆定理得是直角三角形，，然后由三角形面积公式即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图，连接， ，，， ， ， 答：居民从点到点将少走路程； 【小问2详解】 解：，，， 是直角三角形，， ，， ， 答：这片绿地的面积是． 22. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由向移动，已知点为海港，，，，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）求海港到直线的距离； （2）台风中心由向移动的过程中，海港受台风影响吗？为什么？ 【答案】（1）海港到直线的距离为 （2） 解：由（1）可知，海港到直线的距离为， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响，如图所示，以点为圆心，以为半径作圆， ∵， ∴海港受台风影响． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理先求出的长度，再运用等面积法即可求解； （2）根据台风半径与长度的大小比较，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴是直角三角形， ∴（）， 如图所示，过点作于点， ∴， ∴（）， ∴海港到直线的距离为． 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查直角三角形的勾股定理，点到直线的最短距离的运用，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 23. 阅读下列材料，然后回答问题，在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ＝＝ （1） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： ＝ （2） ①请参照（1）（2）的方法用两种方法化简： 方法一： ＝ 方法二： ＝ ②直接写出化简结果： ＝ ＝ ③计算： + + +…+ + 【答案】①方法一：＝＝ 方法二：＝ ②；；③ 【解析】 【分析】①根据材料运用的两种方法进行分母有理化即可； ②根据材料运用的两种方法进行分母有理化即可； ③先分母有理化，再根据式子的规律即可求解. 【详解】①方法一：＝＝ 方法二：＝ ②＝＝ ＝＝ 故答案为； ③ + + +…+ + 【点睛】本题主要考查二次根式的分母有理化，分析材料，运用材料的方法是解题关键. 24. 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．证法如下： 把两个全等的直角三角形（）如图1放置，，点E在边AC上，现设两直角边长分别为、，斜边长为，请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理 （1）请根据上述图形的面积关系证明勾股定理 （2）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，CD为两个村庄（看作直线上的两点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 千米． （3）在（2）的背景下，若AB=40千米，AD=25千米，BC=16千米，要在AB上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出AP的距离． （4）借助上面的思考过程，当时，求代数式的最小值． 【答案】（1）证明：，，， 他们满足的关系式为：， 化简得； （2）41千米； （3）如图2②所示，千米； （4）最小值为 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积和梯形的面积就可表示出； （2）连接CD，作CE⊥AD于点E，根据AD⊥AB，BC⊥AB得到BC=AE，CE=AB，从而得到DE=AD-AE=25-16=9千米，利用勾股定理求得CD两地之间的距离． （3）连接CD，作CD的垂直平分线角AB于P，P即为所求；设AP=x千米，则BP=（40-x）千米，分别在Rt△APD和Rt△BPC中，利用勾股定理表示出CP和PD，然后通过PC=PD建立方程，解方程即可． （4）根据轴对称-最短路线的求法作图，然后根据勾股定理即可求出． 【详解】（1）略 （2）如图2①，连接CD，作于点E， ∵，， ∴，， ∴千米， ∴（千米）， ∴两个村庄相距41千米． 故答案为：41千米． （3）设千米，则千米， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即千米． 故答案为千米； （4） 先作出点C关于AB的对称点F，连接DF，过点F作于E，即：DF就是代数式最小值． 代数式的几何意义是线段AB上一点到D，C的距离之和，而它的最小值就是点C的对称点F和点D的连线与线段AB的交点就是它取最小值时的点，从而构造出了以AB为一条直角边，AD和BC的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是最小值， 令， 则原式 最小值为 故答案为． 【点睛】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称-最短路线问题以及线段的垂直平分线等，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，本题锻炼了同学们数形结合的思想方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛市城阳第八中学八年级第一次月质量检测数学试卷 一、选择题（本题满分30分1共有10道小题，每小题3分） 1. 64的平方根是（ ） A. 4 B. C. 8 D. 2. 下列各组长度的线段能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 在实数，，（每相邻两个1之间依次增加1个0），，，中，无理数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 如图，每个小正方形的边长都是1，，，分别在格点上，则的度数为（ ）. A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 7. 勾股定理是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时(即水平距离)，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（    ） A. 10 B. C. D. 9 9. 如图，在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（ ） A. B. 的面积为5 C. D. 点到的距离为 10. 如图，在中，，，．D为斜边上一动点，连接，过点D作交边于点E，若为等腰三角形，则的周长为（ ） A. B. 6 C. D. 5 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11. 的平方根是___________；的立方根是___________；的算术平方根是___________． 12. 已知一个正数的平方根是和，则__． 13. 如图，有一块直角三角形纸片，，两直角边，，现将该纸片沿直线折叠，使点落在斜边上的点处，则折痕___________． 14. 比较大小：_____（选填“＞”“＜”或“＝”） 15. 如图，数轴上两点表示的数分别为和，点关于点的对称点为，则点所表示的数是_________． 16. 如图所示，一个没有盖的圆柱盒高8cm，底面圆的周长为24cm，点A距离下底面3cm．一只位于圆盒外表面点A处的蚂蚁想爬到盒内表面对侧中点B处吃东西，则蚂蚁需要爬行的最短路径长为____cm． 三、作图题（本题满分4分） 17. 在数轴上作出表示的点． 四、解答题（68分） 18. 计算： （1） （2） （3） （4） 19. 如图，点在中，，，， （1）求的长； （2）求图中阴影部分的面积． 20. 已知的平方根为，的立方根为， （1）求的算术平方根； （2）若是的整数部分，求的平方根． 21. 为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，幸福家园小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 22. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由向移动，已知点为海港，，，，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）求海港到直线的距离； （2）台风中心由向移动的过程中，海港受台风影响吗？为什么？ 23. 阅读下列材料，然后回答问题，在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ＝＝ （1） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： ＝ （2） ①请参照（1）（2）的方法用两种方法化简： 方法一： ＝ 方法二： ＝ ②直接写出化简结果： ＝ ＝ ③计算： + + +…+ + 24. 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．证法如下： 把两个全等的直角三角形（）如图1放置，，点E在边AC上，现设两直角边长分别为、，斜边长为，请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理 （1）请根据上述图形的面积关系证明勾股定理 （2）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，CD为两个村庄（看作直线上的两点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 千米． （3）在（2）的背景下，若AB=40千米，AD=25千米，BC=16千米，要在AB上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出AP的距离． （4）借助上面的思考过程，当时，求代数式的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $