福建省福州格致中学2026-2027学年第一学期高三数学10月限时训练

福州格致中学2026-2027学年第一学期高三数学10月限时训练 （满分：150分；完卷时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（ ） A．1 B． C． D．0 3．下列四个函数中，以为最小正周期且在上单调递减的偶函数是（ ） A． B． C． D． 4．若，是任意实数，且，则（ ） A． B． C． D． 5．已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积是（ ） A． B． C． D． 6．已知向量，是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 7．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：h）间的关系为（其中，是正常数），如果在前消除了的污染物，那么污染物减少需要花费的时间约为（ ）（参考数据：，） A．6h B．10h C．15h D．33h 8．已知是偶函数的导函数，．若时，，则使得不等式成立的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（ ） A．在区间上单调递增 B．的最大值是1 C．的一条对称轴为 D．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 10．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列结论正确的有（ ） A．， B．当时，最小 C．使得成立的最小自然数 D． 11．已知偶函数与函数的定义域均为，且满足，，则下列关系式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．曲线过原点的切线方程为__________． 13．记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有4个正整数满足，则实数的取值范围是__________． 14．已知平面向量，，满足且，向量满足，则的最大值是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知等差数列，若，且，，成等比数列． （I）求数列的通项公式； （II）若，设，求数列的前项和． 16．（15分） 在中，，，所对的边分别为，，，向量，，且． （1）求角的大小； （2）若外接圆的半径为2，求面积的最大值． 17．（15分） 已知椭圆，且焦点在轴上，离心率． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若，求直线的方程及弦长． 18．（17分） 如图，在正四棱锥中，，为与的交点，点，分别为棱，的中点，且． （1）求的长度； （2）求二面角的正弦值； （3）若，且，，，四点共面，求的值． 19．（17分） 若数列使得函数满足，则称为的进阶数列．已知函数，，，，． （1）证明：为的进阶数列． （2）证明：． （3）证明：为的进阶数列． 学科网（北京）股份有限公司 $《10月月考》参考答案 题号 5 6 8 9 10 答案 A 不 0 C D B BCD BCD 题号 11 答案 ABD 12.y=-e3x 13.(14,18] 14.V2 15.D0,=2n-1或a,=1mS 【详解】解：（①）a,=11,4+5d=11o 1分 4,a,a4成等比数列，a=a,44, :(a+4d)=(a+d)(a+13d)化简得6a,d=3d 4分 若d=0,an=11 5分 若d≠0,2a=d@,由0②可得，4=1，d=2. 6分 所以数列的通项公式是4，=2n-l或0，=11 7分 b= 1 1(11 (Ⅱ)由(I)得 (2n-1)(2n+1)22n-12n+1 …9分 …13分 Aπ 16.(1)3:(2)3V5 【详解】(1)依题意得：acos B+(亿-2c)cosA=0 则sin Ac0sB+sin Bc0sA=2 sin Cc0sA,…2s分 .sinC=2 sin CcosA,又sinC≠0，… …4分 1 2,4(0,), cos A= Asπ 3.. …6分 (2)法一：由正弦定理得b=2 RsinB=4sinB, c=4nc=4sn（-8 .△ABC面积 2 =6sin8cos8+25sm'B=3sn28+50-cos28)=5+25sn28-8) Asπ 0<B<2T-<2B-<7m 由3得： 3,则6 66, 288s128--- 1 ，故62，即23时，Sx=3V5 法二：由正弦定理得：a=2 Rsin A=2√3 8分 由余弦定理得：a2=b2+c2-2 becos A, .b2+C2=12+bc≥2bC,当且仅当b=C时取等号，…11分 .bC≤12， …3分 (be)mw sin3 3 15分 父+ -=1 17.(1)42.(2)直线1的方程为 22 弦长MW=V5 2,y2 【详解】1)已知椭圆C:4+=1(6>0) C: 一十 焦点在x轴上，故a2=4,即a=2 1分 由离心率 a2,得c=V2 …2分 b2=a2-c2=4-2=2,… …3分 父+ =1 因此椭圆方程为42 …4分 (2)设过P0,-2)的直线1方程为y=x-2,设M(,乃)，N(x,2) y=-2 联立直线与椭圆方程得： 42 消去y整理得（1+2k2)2-8%+4=0 气4=8-160+2）=162-小>0，霜号 …6分 8k 由韦达定理得 1+2k,31+2K …7分 d2 原点O到直线的距离 V1+k2, …8分 4V1+k2)(2k2-1 MW=V1+k2·V(x+x,)2-4xx2= 弦长 1+2k2 …10分 三角形面积 .wwd 1+2k2 …11分 令t=V2k2-1,t>0,则2k2=+1, 4t =√2 代入化简可得t2+2 ,整理得2-2W2t+2=0, 解得1=V2,即V2k2-1=V2,得2k2-1=2,即 2,满足 21 , 23 当 2， …l3分 k=tv6 V6 y= x-2 即 2时，直线的方程为 .…14分 3 5 3 1+2 2 …15分 当直线1斜率不存在时，直线过P(0,-2),此时0，M,N三点共线，不符合题意，舍去. V42 = 18.(1)P0=V6(2)7(3) 3 【详解】1)在正四棱锥P-ABCD中，以O为坐标原点，OA,OB,OP}为正交基底建立如图所示的 空间直角坐标系。 F B 因为AB=2,则42.a0）,B5.0,c5.0o,D0v2.0.设P0aa>0)则 所以 …2分 =0 因为AE⊥BF,所以 E.BF=-3 2+4 ,解得a=V6 所以PO=V6 …4分 Ac=(-22,0,0) (2)由(1)知， Bc=(-2,-V2,0 …5分 设平面AEC的法向量为%=(，，) , AE, 正=5+ 2+ 2=0 由万1AC,得 n·AC=-2W2x=0, 则5=0，取名=1，则片=5 即平面EC的一个法向量为%=(0，-V5, 7分 设平面BEC的法向量为=(x2,2,乙2)】 m,·BC=-V2x,-V2y,=0, 乃⊥BC, 由历1EB,得 丽=2-6 2-2=0, 取=1，则h=V5,为=-5 即平面BEC的一个法向量为 =（-3,3，) 。。。。。。。。。。。。 …9分 cos= -3+1_万 设二面角A-EC-B的大小为B,则 2×V7 7 in0=V42 所以 7, √42 即二面角A-EC-B的正弦值为7 …11分 3由Pc-(2,06)】 所PG=APc=(2,0-6) 所4G=P+PG-(51-20,62+v6) …13分 设平面AEF的法向量为%=(，为，二)， 因为 %·6=-2+2%+6 2 2 3=0, ⊥AE, 由元1AF,得” 派 2+ 230 则⅓=0，取3=2，则本=5 即平西F的个法向经为”(30,2) …l5分 因为A,E,F,G四点共面，则%1AG 所u(5a-2)水V5+(6+6)k2=0 1= 解得 3 …17分 19.(1)由题可知f(o)+f(a,)+[f(a,+[f(a,门++[f(a.] 1 41+11,11- =l+。++。++ em+l 1 1 1e- 1- e 所以{a.}为()的进阶数列.…。 ……4分 (2)构造函数y=e-x-L,可得y=e-l 当r∈(0，+0)时，y>0,即函数y=e-r-l在(0，+0)上单调递增， 当x∈(0,0)时，y<0,即函数y=e-x-1在（-0,0)上单调递减. 因此函数y=©-x-l在x=0处取得极小值，也是最小值， 即可得y=e-x-1≥0恒成立，即e之x+1,当且仅当x=0时，等号成立.…7分 由e≥x+1,可得e1≥x+2,即r+1≥血(x+2),当且仅当x=-1时，等号成立. 综上，c≥x+1,x+1≥血(x+2)恒成立，但等号不在同一点处取得， 所以e>h(x+2),即f()>g(x+) 10分 (3)由(2)中结论e>1血(x+2)可知l血(1+x)<e …13分 ヅe-e 因此 …14分 0+g6-[ea了+[s6++[gar=0+2++】 举 feee00e 即}为8（的进阶数列.… …17分