精品解析：福建省建瓯市芝华中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试题

2024-2025上芝华中学高三数学第一次月考试卷 时间：120分钟 分值：150 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 故选：D 2. 下列函数中是增函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于A，为上的减函数，不合题意，舍. 对于B，为上的减函数，不合题意，舍. 对于C，在为减函数，不合题意，舍. 对于D，为上的增函数，符合题意， 故选：D. 3. 函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】令， 则， 所以为奇函数，排除BD； 又当时，，所以，排除C. 故选：A. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 5. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，解之即得. 【详解】∵在上单调递增， ∴，解得. 故选：B. 6. 曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用导数求得切线方程，再求得切线与两坐标轴的交点，进而可求得三角形面积. 【详解】由，则， ，所以在处切线的方程为，即， 令，得；令，得， 所以切线与坐标轴围成的三角形面积为. 故选：A. 7. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论. 【详解】因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则，所以，， 所以，，即， 故函数是以为周期的周期函数， 因为函数为奇函数，则， 故，其它三个选项未知. 故选：B. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 8. 已知函数，则（　　） A. 函数是偶函数 B. 是函数的一个零点 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的图象关于直线对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断A选项的正误；计算的值，可判断B选项的正误；利用正弦型函数的单调性可判断C选项的正误；代入检验可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，令， 则，，故函数不是偶函数，A错； 对于B选项，因为，故是函数的一个零点，B对； 对于C选项，当时，， 所以，函数在区间上单调递增，C对； 对于D选项，因为， D对. 故选：BCD. 9. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 10. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，是的极大值点 C. 存在a，b，使得为曲线的对称轴 D. 存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 11. 函数在上的最大值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】先用半角公式，降幂公式及辅助角公式进行化简，然后再结合正弦函数的图象求最大值. 【详解】， 因为，所以， 所以， 所以， 所以在上的最大值为2. 故答案为：2. 12. 在中，角所对的边分别为，若，，，则的面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理边角互化，结合余弦定理解得，再利用三角形面积公式求解即可. 【详解】由正弦定理边角互化可得①， 又由余弦定理可得②， ①②联立解得， 所以，又因为，所以， 所以， 故答案为： 13. 设是定义在R上的偶函数，对任意的，都有，且当时，.若关于x的方程在区间内恰有三个不同实根，则实数a的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数及可以推出的周期，在坐标平面中画出两个函数的图象，依据它们有三个不同的交点得到，解这个不等式组可得的取值范围. 【详解】因为为偶函数，故 所以， 故是函数且周期为4， 因为时，， 故在上的图象如图所示： 因为有3个不同的解， 所以的图象与的图象有3个不同的交点, 故，即解得. 故实数a的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）（2）12 【解析】 【详解】试题分析： (1)利用题意可知 ，结合两角和差正余弦公式可得 ． (2)利用二倍角公式结合题意整理计算可得三角函数式的值为12. 试题解析： （1）由 所以． 则 （2）因为，． 所以． 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A． （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长. 【小问1详解】 方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 【小问2详解】 由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 16. 如图，在平面四边形中，. (1)若,求； (2)若,求. 【答案】（1）（2）3 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理直接可得；（2）设，根据得，由余弦定理可得，在直角三角形中求得，最后解方程得. 【详解】(1)由正弦定理得，，即, 解得. (2)设，在中，, 在中,由余弦定理得，. 又所以，即. 整理得，解得或（舍去），即 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【小问1详解】 当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 18. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）当时，证明：当时，恒成立． 【答案】（1） 当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2） ，且时，， 令，下证即可. ，再令，则， 显然在上递增，则， 即在上递增， 故，即在上单调递增， 故，问题得证 【解析】 【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性； （2）先根据题设条件将问题可转化成证明当时，即可. 【小问1详解】 定义域为， 当时，，故在上单调递减； 当时，时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025上芝华中学高三数学第一次月考试卷 时间：120分钟 分值：150 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中是增函数的为（ ） A. B. C. D. 3. 函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 8. 已知函数，则（　　） A. 函数是偶函数 B. 是函数的一个零点 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的图象关于直线对称 9. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 10. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，是的极大值点 C. 存在a，b，使得为曲线的对称轴 D. 存在a，使得点为曲线的对称中心 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 11. 函数在上的最大值是______． 12. 在中，角所对的边分别为，若，，，则的面积为___________. 13. 设是定义在R上的偶函数，对任意的，都有，且当时，.若关于x的方程在区间内恰有三个不同实根，则实数a的取值范围是______ 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A． （2）若，，求的周长． 16. 如图，在平面四边形中，. (1)若,求； (2)若,求. 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 18. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）当时，证明：当时，恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $