精品解析：河南中牟县第七初级中学2026-2027学年上学期九年级数学第一次质量监测

2026-2027学年上学期九年级数学第一次质量监测 时间：100分钟 总分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列长度的四组线段中，成比例的一组是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将每组线段按长度从小到大排序，验证最小与最大线段的乘积是否等于中间两条线段的乘积，相等则该组线段成比例，逐项判断即可． 【详解】解：A、排序得，，，， ，， ，该组线段不成比例． B、排序得，，，， ，， ，该组线段不成比例． C、排序得，，，， ，， ，该组线段成比例． D、排序得，，，， ，， ，该组线段不成比例． 2. 把一元二次方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【详解】解：整理得， 所以二次项系数为4，一次项系数为，常数项为． 3. 如图，在中，对角线相交于点，下列说法正确的是（ ）． A. 若，则是菱形 B. 若，则是矩形 C. 若，则是矩形 D. 若，则是菱形 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A：若，说明平行四边形有一个内角是直角，根据判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形，不是菱形．故A错误． 选项B：若，说明平行四边形对角线互相垂直，根据判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形．故B错误． 选项C：若，说明平行四边形对角线相等，根据判定：对角线相等的平行四边形是矩形．故C正确． 选项D：若，只是一组邻边与一条对角线相等，不满足菱形“一组邻边相等”或“对角线垂直”的判定条件，无法推出是菱形．故D错误． 4. 如图，菱形的对角线，相交于点O，点H是边的中点，连接，若，，则菱形的面积为（　　） A. 60 B. 78 C. 120 D. 240 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质和面积及直角三角形的性质，熟练掌握相应知识是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，求得，利用勾股定理求得，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点H是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴菱形的面积． 故选：C． 5. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴二次项系数，即． 令，即， 解得． ∴且 故选：C． 6. 如图，顺次连接四边形各中点得四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形和菱形的判定，掌握三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题关键．连接、，根据三角形中位线定理，推出，，四边形是平行四边形，要使四边形为菱形，则，从而得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接、， 顺次连接四边形各中点得四边形， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，，，， ，， 四边形是平行四边形， 要使四边形为菱形，则， ， ， 故选：D． 7. 用配方法解方程，则方程可变形为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，关键是掌握配方法的求解步骤． 使用配方法解方程，先将常数项移项，然后二次项系数化为1，再配方形成完全平方式． 【详解】解：∵ ∴ ∴（两边除以3） ∴ ∴ ∴． 故选：D． 8. 已知a是方程的一个根，则代数式的值是（ ） A. 1 B. －1 C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程根的定义得到，将所求代数式化简降次后整体代入求值. 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， . 9. 如图，中，，垂足为，，垂足为点，与交于点，则图中与不相似的三角形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用相似三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A．∵，， ∴， ∵， ∴，选项正确，不符合题意； B．∵，， ∴， ∵， ∴，选项正确，不符合题意； C．条件不足，无法证明：与相似，选项错误，符合题意； D．由B知：， ∴， ∵， ∴，选项正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键． 10. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB＝6，BC＝10，则GH的长度为（　　） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据矩形的性质得到∠A＝90°，AD∥BC，根据全等三角形的性质得到PD＝CF，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论． 【详解】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°，AD∥BC， ∵E，F分别是边AB，BC的中点，AB＝6，BC＝10， ∴AE＝AB＝×6＝3，CF＝BC＝10＝5， ∵AD∥BC， ∴∠DPH＝∠FCH， 在△PDH与△CFH中， ， ∴△PDH≌△CFH（AAS）， ∴PD＝CF＝5，CH＝PH， ∴AP＝AD﹣PD＝5， ∴， ∵点G是EC的中点， ∴GH＝EP＝ 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值，将分式化成含有的形式，再代入的值计算即可，将分式转化为含已知值的形式，利用整体代入法是解本题的关键． 【详解】解：． 12. 如图，，添加一个条件：_____，使．（写一个即可） 【答案】（或或） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理（两角分别相等、两边成比例且夹角相等）是解题的关键． 先由推出，再分别添加一组对应角相等或对应边成比例，利用相似三角形的判定定理证明． 【详解】解：情况：添加条件， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 情况：添加条件， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 情况：添加条件， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）． 故答案为：（或或）． 13. 如图，一张矩形纸片沿它的长边对折（EF为折痕），得到两个全等的小矩形，如果小矩形与原来的矩形相似，那么小矩形的长边与短边的比是_____． 【答案】：1． 【解析】 【分析】设原来矩形的长为x，宽为y，先表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，即可得答案. 【详解】设原来矩形的长为x，宽为y， 则对折后的矩形的长为y，宽为， ∵得到的两个矩形都和原矩形相似， ∴x：y＝y：， 解得x：y＝：1． 故答案为：：1 【点睛】本题主要利用相似多边形对应边成比例的性质，正确找出对应边是解题关键. 14. 如图，已知是黄金三角形（顶角为的等腰三角形），，为上一点，将沿折叠，使得点落在延长线上的点处，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解一元二次方程方程．设，由折叠的性质知，结合三角形内角和定理，证明，得到，据此求解即可． 【详解】解：设， ∵，， ∴， 由折叠的性质知， ∴，，， ∴， ∴，则， ∵，， ∴， ∴，即， 整理得， 解得， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在等腰中，，点D在边上，，，将线段绕点D逆时针旋转得线段，交边于点F，连接，若与相似，则的值是_________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论，①当时，作，垂足为G，，垂足为H，证明四边形是矩形，则．由旋转的性质可得，，结合等腰三角形的性质和勾股定理，计算出，再计算出即可；②当时，类比①证出，由相似三角形的性质，计算出，进而求出． 【详解】解：①当时，如图，作，垂足为G，，垂足为H， 由旋转的性质可得，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴，满足题意； ②当时，如图，作，垂足为G，，垂足为H， 由①可知，，，， 在直角中，， 在直角中，， 由旋转的性质可知，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴，满足题意． 综上所述，或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，正确分类讨论并构造相似三角形是解题关键． 三、解答题 16. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ，， ∴，； 【小问2详解】 解： ∴或 ∴，． 17. 如图，已知，请用尺规作图法，分别在，，边上取点D，E，F，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图，菱形即为所求作．（作法不唯一） 由作图可知：平分，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的判定及尺规作图，熟练掌握菱形的判定及尺规作图是解题的关键；先作出的角平分线，然后作线段的线段垂直平分线，进而问题可求解． 【详解】略 18. 阅读与思考：配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，还能用来解决求最值问题．例如：求代数式的最小值，过程如下： 原式 ． ，， ， 的最小值是． 根据材料中的方法，解答下列问题． （1）的最大值为 ； （2）求的最小值． 【答案】（1）3 （2）12 【解析】 【分析】（1）仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答； （2）利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【小问1详解】 解： ∵ ∴ ∴的最大值为3 ∴的最大值为3； 【小问2详解】 解： ， ∵，， ∴． ∴的最小值是12． 19. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且这两根分别是四边形相邻两边，的长． （1）若四边形为菱形，求的值； （2）若四边形为矩形，且该矩形对角线的长为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，菱形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握以上知识点是做题的关键． （1）根据题意得，进一步得，最后解方程即可； （2）由根与系数的关系得，，，进一步得，再根据勾股定理建立方程，最后求解并检验即可． 【小问1详解】 解：若四边形为菱形，则， ∴关于的一元二次方程有两个相等实数根， ， 即， 解得 ． 答：的值为． 【小问2详解】 解：由题意可知，，的长为方程的两个实数根， ，， ． 当四边形为矩形时，则有， 即， 解得，或． ，且，, 且， ． 答：的值为． 20. 如图，的对角线，相交于点O，E是边的中点，连接．过点O，E作直线的垂线，垂足分别为F，G． （1）求证：四边形是矩形； （2）若四边形是菱形，，，则矩形的面积为______． 【答案】（1） 证明：，， ，， 四边形是平行四边形， ， E是边的中点， ， 是的中位线， ，即， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形； （2）6 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质、矩形的判定及性质、菱形的性质、勾股定理、三角形的面积计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，由E是边的中点可得，根据三角形中位线定理得到，即，进而推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理得到结论； （2）根据菱形的性质得到，求得，，，由勾股定理求出，根据三角形面积公式得到，根据矩形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四边形是菱形，，， ， ，，， ， E是边的中点， ， ， ， ， 矩形的面积． 21. 某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 【答案】（1）二、三这两个月的月平均增长率为； （2）当商品降价5元时，商场获利4250元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的月平均增长率为，利用该商品三月份的销售量该商品一月份的销售量二、三这两个月的月平均增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据超市获利4250元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价5元时，超市获利4250元． 22. 如图，等边的边长为2，点D，B，C，E在同一直线上，，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质及三角形外角的性质可得，再结合，即可证明结论； （2）由可求得，再证明，即可求得． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴． 23. [问题情境]如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度（），点，的对应点分别为点，． [问题解决] （1）如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长； （2）若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）在绕点逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段长度的最大值． 【答案】（1） （2）四边形是正方形， 理由如下： 由旋转的性质得：，， ，， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形； （3） 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判断与性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解决本题的关键． （1）由勾股定理求出，再求出，由旋转的性质得：，则可得出答案； （2）先证四边形是矩形，再证明是正方形； （3）点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，当点、、依次共线时，最大，计算即可． 【小问1详解】 解：（1），，， ， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质得：， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：是固定值，点是定点，点是动点， 点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，如图： 当点、、依次共线时，最大， 此时，， 即长度的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上学期九年级数学第一次质量监测 时间：100分钟 总分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列长度的四组线段中，成比例的一组是（ ） A. B. C. D. 2. 把一元二次方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 如图，在中，对角线相交于点，下列说法正确的是（ ）． A. 若，则是菱形 B. 若，则是矩形 C. 若，则是矩形 D. 若，则是菱形 4. 如图，菱形的对角线，相交于点O，点H是边的中点，连接，若，，则菱形的面积为（　　） A. 60 B. 78 C. 120 D. 240 5. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 如图，顺次连接四边形各中点得四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 7. 用配方法解方程，则方程可变形为（    ） A. B. C. D. 8. 已知a是方程的一个根，则代数式的值是（ ） A. 1 B. －1 C. 0 D. 2 9. 如图，中，，垂足为，，垂足为点，与交于点，则图中与不相似的三角形是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB＝6，BC＝10，则GH的长度为（　　） A. B. C. D. 2 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，则的值为______． 12. 如图，，添加一个条件：_____，使．（写一个即可） 13. 如图，一张矩形纸片沿它的长边对折（EF为折痕），得到两个全等的小矩形，如果小矩形与原来的矩形相似，那么小矩形的长边与短边的比是_____． 14. 如图，已知是黄金三角形（顶角为的等腰三角形），，为上一点，将沿折叠，使得点落在延长线上的点处，若，则的长为______． 15. 如图，在等腰中，，点D在边上，，，将线段绕点D逆时针旋转得线段，交边于点F，连接，若与相似，则的值是_________． 三、解答题 16. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 17. 如图，已知，请用尺规作图法，分别在，，边上取点D，E，F，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 阅读与思考：配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，还能用来解决求最值问题．例如：求代数式的最小值，过程如下： 原式 ． ，， ， 的最小值是． 根据材料中的方法，解答下列问题． （1）的最大值为 ； （2）求的最小值． 19. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且这两根分别是四边形相邻两边，的长． （1）若四边形为菱形，求的值； （2）若四边形为矩形，且该矩形对角线的长为，求的值． 20. 如图，的对角线，相交于点O，E是边的中点，连接．过点O，E作直线的垂线，垂足分别为F，G． （1）求证：四边形是矩形； （2）若四边形是菱形，，，则矩形的面积为______． 21. 某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 22. 如图，等边的边长为2，点D，B，C，E在同一直线上，，． （1）求证：； （2）求的长． 23. [问题情境]如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度（），点，的对应点分别为点，． [问题解决] （1）如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长； （2）若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）在绕点逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段长度的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $