精品解析：河南省郑州市中牟县求实学校2025-2026学年上学期12月月考九年级数学试题

中牟县求实学校2025-2026年九年级数学12月月考 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，关于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义“一般地，形如（，，是常数，且）的函数叫做二次函数，其中是自变量”，熟记定义是解题关键．根据二次函数的定义逐项判断即可得． 【详解】解：解：A、是一次函数，则此项不符合题意； B、是一次函数，则此项不符合题意； C、是二次函数，则此项符合题意； D、中是分式，不是二次函数，则此项不符合题意； 故选：C． ［新情景］ 2. “何以解忧，唯有杜康”，河南杜康老酒，精选高粱小麦，醇厚绵柔，千年古泉酿造．如图是河南杜康老酒的酒瓶，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 三视图都相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 主视图与左视图相同 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据三视图的定义即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：这个酒瓶的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同， 故选：D． 3. 计算的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值，即可解答，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 4. 反比例函数的图象在每一个象限内，随的增大而减小，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质．根据反比例函数的性质，当比例系数大于0时，函数图象在每个象限内随的增大而减小． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每一个象限内随的增大而减小， ∴比例系数， ∴． 故选：C． 5. 如图，与位似，位似中心是点，且，若的周长为8，则的周长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的概念，相似三角形的判定与性质，根据位似图形的概念得到，，接着证明，求得与相似比为，然后根据位似图形的周长之比等于相似比即可求解． 【详解】解：与位似，位似中心是点， ，， ， ， ， 与相似比为， 的周长为8， 则的周长为． 故选：A． [新考法] 6. 如图的方格纸中有一个四边形（A、B、C、D均为格点），每个小正方形边长为1，则下列说法错误的是（ ） A. 四边形是菱形 B. C. 四边形的面积是12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定，由勾股定理和网格的特点可知，据此可判断A、B；再由，根据菱形面积计算公式可判断C；由于，则不是等边三角形，据此可判断D． 【详解】解；由勾股定理和网格的特点可知，故B说法正确，不符合题意； ∴四边形是菱形，故A说法正确，不符合题意； ∵， ∴，故C说法正确，不符合题意； ∵， ∴不是等边三角形， ∴，故D说法错误，符合题意； 故选：D． 7. 若反比例函数的图象位于第二、四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况是（） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，一元二次方程根的判别式的意义．根据反比例函数图象的位置确定的符号，再计算判别式判断根的情况． 【详解】解：∵反比例函数()的图象位于第二、四象限， ∴． 对于方程， 判别式． ∵， ∴， ∴， 即， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 8. 二次函数的部分对应值如下表所示： x 3 4 y m 0 m 则当时，x的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由表格给出的信息可知，对称轴为直线，利用二次函数的对称性得到当时，或，进而可得二次函数的开口方向以及与x轴的交点坐标，当时，函数图象在x轴下方，据此求出x的取值范围． 【详解】解：由表可知，二次函数的对称轴为直线， 则当时，或， ，在对称轴左侧，y随x的增大而增大， 二次函数的图象开口向下，且与x轴的交点为， 当时，x的取值范围为或， 故选：C． 9. 如图，将正方形沿折叠，使得点正好落在的中点处，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，求角的正弦值，熟练掌握知识点是解题的关键．设正方形边长为，则，由折叠可知，设，则，再利用勾股定理算出，最后求角的正弦值即可． 【详解】解：设正方形边长为，则， ∵是中点， ∴， 由折叠可知，设，则， 在中，根据勾股定理， 解得， ∴， 故选：B． 10. 如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象，确定当时，，即有，再证明，即可作答． 【详解】解：根据函数图象有：当时，， 此时：， ∵， ∴， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个开口向上，对称轴为y轴的抛物线的表达式：_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数开口向上，那么二次项系数为正，对称轴为y轴，则一次项系数为0，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，符合题意的抛物线表达式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 为了测试某种芯片的良品率，设计团队开展实验，记录了如下的实验数据： 累计试验芯片数 （单位：千块） 1 4 6 8 10 12 14 累计试验良品芯片数 （单位：千块） 0.9 3.5 5.2 6.8 8.5 10.2 11.9 如果需要425块良品芯片，请根据如表的数据，用频率估计概率的思想判断需要准备的试验芯片数是__________．（单位：块） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，深刻理解频率与概率之间的关系是解题的关键：频率与概率是两个不同的概念，概率是伴随着随机事件客观存在的，只要有一个随机事件存在，那么这个随机事件的概率就一定存在；而频率是通过试验得到的，它随着试验次数的变化而变化，当试验的重复次数充分大后，频率在概率附近摆动，为了求出某一随机事件的概率，我们可以通过多次重复试验，用所得的频率来估计事件的概率．也就是说，通过大量重复试验，可以用频率估计概率（大量反复试验下频率稳定值即概率）． 根据频率与概率之间的关系即可得出答案． 【详解】解：由表格数据可知：随着累计试验芯片数的增大，良品率测试的频率稳定在， 如果需要425块良品芯片，需要准备的试验芯片数是： （块）， 故答案为：． [理解与应用] 13. 在物理实验课上，教师指导学生进行一次光的折射实验，如图所示．光线在水面点处，经折射后到盆底点处，法线与盆底交于点．光线的入射角为，折射角为．若规定“”为折射率，则光在水中的折射率约为．当时，测得，则的长为______． 【答案】80 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用．先根据折射率、特殊角的函数值求出的值，再利用直角三角形的边角间关系得结论． 【详解】解：∵， ∴， 当时， ， 在中， ∵，， ∴． 故答案为：80． 14. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点在抛物线上，点B是该抛物线的顶点，连结，以、为边向右侧作，则图中阴影部分图形的面积和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，坐标与图形性质，平行四边形的性质； 利用待定系数法求出抛物线解析式，得到顶点B的坐标，由抛物线的对称性可知，图中阴影部分的面积和等于的面积，然后利用平行四边形的性质求出，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∴， 连接，由抛物线的对称性可知，图中阴影部分的面积和等于的面积， ∵，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，点D为边上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转，且，得到线段，连接，其中交于点F，当为直角三角形时，的长为______． 【答案】8或 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当为直角三角形时，分两种情况， ①当时，如解图①， ∵， ∴． 由旋转的性质可得，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D为的中点， ∴； ②当时，如解图②，过点A作的垂线，垂足为G． ∵， ∴点G为的中点， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由①知，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴在中，． 在中，， ∴， ∵， ∴． 综上所述，CD的长为8或． 三、解答题（本题共8个小题，共75分） 16. （1）解方程：； （2）计算． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数值的混合运算． （1）根据配方法解一元二次方程，即可求解； （2）将特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：（1）移项，得， 配方，得， 即， ∴， ∴，； （2）原式 ． 17. 如图，在中，，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出边的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若（1）中所作的垂直平分线与边交于点，连接，已知，求的长． 【答案】（1） 如图， （2） 【解析】 【分析】本题考查了作已知线段的垂直平分线，垂直平分线的性质，解直角三角形； （1）利用作已知线段的垂直平分线的方法作图即可； （2）连接，根据垂直平分线的性质可得，则，解，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴ 新素材 18. 某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同． （1）甲选择“校园安全”主题的概率为______； （2）请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了画树状图求事件的概率，熟练掌握画树状图求事件的概率是解题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）画树状图，求得所有等可能的结果数，再找出甲和乙选择不同主题的结果数，利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：共有四种等可能结果，甲选择“校园安全”主题的结果只有一种，所以甲选择“校园安全”主题的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：设交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全分别为A、B、C、D， 画树状图为： ， 共有16种等可能结果，其中甲和乙选择不同主题的结果有12种， 则甲和乙选择不同主题的概率为． 19. 自《义务教育课程方案》和课程标准（2022版）发布以来，河南省各地区学校积极响应劳动教育课程改革，开展多种形式劳动教育．为便于劳动实践活动，某校要建一个如图所示的矩形菜园，其中一边靠墙，另外三边用总长为36米的篱笆围成．已知墙长25米．若设矩形菜园的边长为x米，矩形菜园的面积为y平方米． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，满足条件的矩形菜园面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）， （2）当时，满足条件的矩形菜园面积最大，最大面积为162平方米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）矩形菜园的边长为米，则边长为米，进而根据矩形的面积公式列出函数关系式，根据墙长25米，进而得出自变量x的取值范围； （2）根据配方法化为顶点式，结合二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：∵矩形菜园的边长为米， ∴边长为米， ∴， 自变量x的取值范围是； 【小问2详解】 解：， ∴当时，y有最大值，最大值为， 答：当时，满足条件的矩形菜园面积最大，最大面积为平方米． 20. 综合实践活动中，某数学课外活动小组用他们刚学过的锐角三角函数知识开展了测量“学校新建的图书馆楼顶上旗杆的高度”的课题活动，具体方案及数据如下表： 课题 测量旗杆的高度 测量方案 如图，代表旗杆的高度，在地面，处用两个高度相同的测角仪分别测得旗杆顶端的仰角，，并测得之间的距离，，均代表测角仪的高度． 说明：点，，，，，在同一竖直平面内，点，，在同一直线上 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 仰角的度数 仰角的度数 ，之间的直线距离 测角仪的高度 参考数据 ，，． 任务一：根据多次测量取平均值的原理，表中___________，___________； 任务二：据建筑人员介绍图书馆楼高为，求旗杆高度． 【答案】任务一：，；任务二： 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用； （1）根据题意，取两次测量值的平均值，即可求解； （2）连接，交于点，依题意得出，，进而解，，求得的长，根据，即可求解． 【详解】解：任务一：， 故答案为：．，； 任务二：如图， 依题意，，，， 连接，交于点，， 四边形为矩形，则， ∴， 在中， ， ， ， 在中， 答：旗杆高度为． 21. 新情境 含三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中（，），小东将该三角板绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在反比例函数图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）求点N的横坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形综合，待定系数法求解析式，相似三角形的性质与判定，特殊角的三角函数值； （1）将代入，即可求解； （2）过点，分别作，垂直于轴分别于点，，根据得出为等腰直角三角形，进而证明，在中，．进而根据相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 ∵是反比例函数图象上的点． ∴，解得， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 过点，分别作，垂直于轴分别于点，， ∵， ∴，， 又∵点， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，． ∴． 解得． ∴点N的横坐标为． 22. 如图是一个游乐场中的击球游戏模拟图，平台与地面平行，其中于点O，，是一个斜坡，斜坡的坡比为，现以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．若击球手在A处将球击出，球在空中的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，当与点A的水平距离为时，球运动到最高点，且距地面． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若球落在的延长线上，则称此次击球失误．请通过计算，判断此次击球是否失误； （3）在斜坡的三等分点D处（靠近坡脚），有一球洞，若这次击球，不改变抛物线的形状和大小，使球恰好进入洞内，击球手需在平台上后退几米？直接写出结果． 【答案】（1） （2）此次击球没有失误， （3）向后退2米正好经过点． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用、解直角三角形的应用、待定系数法求函数解析式，用待定系数法求得二次函数的解析式是解决本题的关键． （1）由题意得抛物线的顶点坐标，用顶点式设出抛物线解析式，进而把点A的坐标代入即可； （2）取抛物线解析式中的，求得合适的x的值，过B点作于点E，求出，进而求得长，将x值与的长度比较即可判断击球是否失误； （3）过D点作于点F，判断出点D的坐标，设后退m米球正好入洞，设出相应的函数解析式，把点D的坐标代入求得合适的解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为：， 由题意得：点A的坐标为， ， 解得：， 抛物线的函数表达式为：； 【小问2详解】 此次击球没有失误． 理由：当时，， 解得：，（不合题意，舍去）， 过B点作于点E， 则四边形为矩形，， ，， 的坡比为， ， ， ， 此次击球没有失误； 【小问3详解】 过D点作于点F， 则， ， ， ， ， ，， ， 点D的坐标为， 设向后退m米正好经过点D， 正好经过点D的抛物线为：， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：向后退2米正好经过点． 23. 综合与实践如图1，在菱形中，，点是对角线上的一个动点（不与点，重合），过点作交于点． （1）观察猜想：线段与的数量关系是___________． （2）探究思考在图1的基础上，连接，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点恰好落在射线上，得到图2． ①请判断线段与之间的数量关系并说明理由； ②求的度数． （3）拓展应用在图1的基础上，连接，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点恰好落在射线上，记与交于点．若，，请直接写出的长． 【答案】（1） （2） ① 理由：对角线所在直线为菱形的对称轴， 点与点关于对称， ，又根据旋转的性质，可得， ； ② （3）或 【解析】 【分析】（1）先证明是等边三角形，得到，，再根据平行线的性质得，，从而得到，则有，即可由得出结论； （2）①根据菱形的性质可得点与点关于对称，则，，根据旋转的性质可得，等量代换，即可求解； ②连接，利用菱形的对称性，得出，，再利用旋转的性质与等腰三角形的性质得出，最后利用三角形外角的性质可求解； （3）连接交于，分两种情况：①当点在上时，②当点在上时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：； 理由：菱形， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ， ， 即； 故答案为：； 【小问2详解】 解：① 略 ②四边形是菱形， ，． ， 是等边三角形． ． ， ． ． 在和中， ，，， ． ，． 由旋转的性质，得． ． ． ， ，． ． ． 在和中， ，，， ． ． ， 即． 【小问3详解】 解：的长为或． 连接交于点． 由（2）可知是等边三角形，， ． 四边形是菱形， ，，． ． ． ． ，， ． ． 分两种情况： ①当点在线段上时，如图． ． 由（1）可知． ． 由（2）可知， ． ． ． ②当点在线段上时，如图． ． 由（1）可知． ． 由（2）可知， ． ． ． 综上，的长为或． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，此题属四边形综合题目，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中牟县求实学校2025-2026年九年级数学12月月考 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，关于二次函数的是（ ） A. B. C. D. ［新情景］ 2. “何以解忧，唯有杜康”，河南杜康老酒，精选高粱小麦，醇厚绵柔，千年古泉酿造．如图是河南杜康老酒的酒瓶，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 三视图都相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 主视图与左视图相同 3. 计算的值为（ ） A. B. C. D. 4. 反比例函数的图象在每一个象限内，随的增大而减小，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，与位似，位似中心是点，且，若的周长为8，则的周长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 [新考法] 6. 如图的方格纸中有一个四边形（A、B、C、D均为格点），每个小正方形边长为1，则下列说法错误的是（ ） A. 四边形是菱形 B. C. 四边形的面积是12 D. 7. 若反比例函数的图象位于第二、四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况是（） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 8. 二次函数的部分对应值如下表所示： x 3 4 y m 0 m 则当时，x的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 如图，将正方形沿折叠，使得点正好落在的中点处，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个开口向上，对称轴为y轴的抛物线的表达式：_______． 12. 为了测试某种芯片的良品率，设计团队开展实验，记录了如下的实验数据： 累计试验芯片数 （单位：千块） 1 4 6 8 10 12 14 累计试验良品芯片数 （单位：千块） 0.9 3.5 5.2 6.8 8.5 10.2 11.9 如果需要425块良品芯片，请根据如表的数据，用频率估计概率的思想判断需要准备的试验芯片数是__________．（单位：块） [理解与应用] 13. 在物理实验课上，教师指导学生进行一次光的折射实验，如图所示．光线在水面点处，经折射后到盆底点处，法线与盆底交于点．光线的入射角为，折射角为．若规定“”为折射率，则光在水中的折射率约为．当时，测得，则的长为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点在抛物线上，点B是该抛物线的顶点，连结，以、为边向右侧作，则图中阴影部分图形的面积和为______． 15. 如图，在中，，点D为边上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转，且，得到线段，连接，其中交于点F，当为直角三角形时，的长为______． 三、解答题（本题共8个小题，共75分） 16. （1）解方程：； （2）计算． 17. 如图，在中，，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出边的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若（1）中所作的垂直平分线与边交于点，连接，已知，求的长． 新素材 18. 某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同． （1）甲选择“校园安全”主题的概率为______； （2）请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率． 19. 自《义务教育课程方案》和课程标准（2022版）发布以来，河南省各地区学校积极响应劳动教育课程改革，开展多种形式劳动教育．为便于劳动实践活动，某校要建一个如图所示的矩形菜园，其中一边靠墙，另外三边用总长为36米的篱笆围成．已知墙长25米．若设矩形菜园的边长为x米，矩形菜园的面积为y平方米． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，满足条件的矩形菜园面积最大？最大面积是多少？ 20. 综合实践活动中，某数学课外活动小组用他们刚学过的锐角三角函数知识开展了测量“学校新建的图书馆楼顶上旗杆的高度”的课题活动，具体方案及数据如下表： 课题 测量旗杆的高度 测量方案 如图，代表旗杆的高度，在地面，处用两个高度相同的测角仪分别测得旗杆顶端的仰角，，并测得之间的距离，，均代表测角仪的高度． 说明：点，，，，，在同一竖直平面内，点，，在同一直线上 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 仰角的度数 仰角的度数 ，之间的直线距离 测角仪的高度 参考数据 ，，． 任务一：根据多次测量取平均值的原理，表中___________，___________； 任务二：据建筑人员介绍图书馆楼高为，求旗杆高度． 21. 新情境 含三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中（，），小东将该三角板绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在反比例函数图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）求点N的横坐标． 22. 如图是一个游乐场中的击球游戏模拟图，平台与地面平行，其中于点O，，是一个斜坡，斜坡的坡比为，现以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．若击球手在A处将球击出，球在空中的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，当与点A的水平距离为时，球运动到最高点，且距地面． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若球落在的延长线上，则称此次击球失误．请通过计算，判断此次击球是否失误； （3）在斜坡的三等分点D处（靠近坡脚），有一球洞，若这次击球，不改变抛物线的形状和大小，使球恰好进入洞内，击球手需在平台上后退几米？直接写出结果． 23. 综合与实践如图1，在菱形中，，点是对角线上的一个动点（不与点，重合），过点作交于点． （1）观察猜想：线段与的数量关系是___________． （2）探究思考在图1的基础上，连接，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点恰好落在射线上，得到图2． ①请判断线段与之间的数量关系并说明理由； ②求的度数． （3）拓展应用在图1的基础上，连接，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点恰好落在射线上，记与交于点．若，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $