精品解析：河南新乡市河南师范大学附属中学 2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027学年第一学期九年级第一次月考 《数学》试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）． A. 有两个不相等的实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 4. 把抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线对应的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 5. 二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 九年（5）班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了本图书，如果设全组共有名同学，依题意，可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 下表给出了二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值： x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … 0.14 0.62 … 那么关于x的方程的一个根的近似值可能是（ ） A. 1.07 B. 1.17 C. 1.27 D. 1.37 9. 已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（ ） A. ①②⑤ B. ②③⑤ C. ①③④ D. ①②④ 10. 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y（厘米/天）和光照强度x（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围（）内，y与x近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 当时，y随x的增大而减小 B. 当时，y取最大值 C. 当时， D. 当时， 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知方程的一个根是1，则另一个根是________． 12. 关于x的二次函数的图象经过原点，则a的值为________． 13. 二次函数的部分图象如图所示，则不等式的解集为________． 14. 如图，由长为的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借一段墙体（墙体的最大可用长度为），设的长为，所围的花圃面积为，则当________时，y的值最大． 15. 已知二次函数（为常数），当时，的最小值为，则的值为________． 三、解答题（共75分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 17. 已知抛物线经过点． （1）求a的值，并写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； （2）若点、在抛物线上，且，试比较、的大小． 18. 芯片目前是全球紧缺的资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业来发展新兴产业．芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产芯片100万个，第三季度生产芯片144万个．解决下列问题： （1）已知第二、三季度生产量的平均增长率相同，求第二、三季度生产量的平均增长率； （2）按照（1）中的平均增长率，该公司期望第四季度的芯片生产量达到175万个，请通过计算说明该目标能否实现？ 19. 已知关于x的一元二次方程 （1）若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）若该方程的两个根分别为，，当时，求的值． 20. 二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 0 0 m … （1）求二次函数的解析式以及m的值． （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象． （3）结合图象，回答下列问题： ①当时，x的取值范围是________； ②当时，y的取值范围是________． 21. 实践与综合：为了让同学们在实践中深入理解二次函数的实际应用，感受数学与生活的紧密联系，学校组织开展了小型烟花发射实验活动．同学们发现，从垂直地面的发射装置的顶端处，以一定倾斜角度发射出的烟花，烟花携带的火星运行的路线呈抛物线形状． 提出问题 怎样求该火星运行路线所在抛物线的解析式呢？ 分析问题 已知发射装置的高度是0.95米，当顶端处射出的火星与发射装置的水平距离为9米时，达到最大高度5米，此时烟花绚丽绽放，火星仍会沿原来的抛物线继续运动．以点为原点，表示地面的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系． 问题一 求火星运行路线所在抛物线的解析式； 问题二 火星降落后，为安全接住火星，在操场上放置安全回收箱，其截面示意图为矩形，其中为米，为米．为确保火星落到回收箱内（包含、两点），求发射装置到回收箱的距离的取值范围． 根据上述素材，完成问题一和问题二； 22. 某地艺术节期间举办了为期15天的“美食”厨艺秀，小张购进一批食材制作特色美食．由于食材需要冷藏保存，导致食材成本逐日增加，已知每盒食材的成本p与保存天数：（且x为整数）之间满足一次函数关系，第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元．食材制作成特色美食后，每盒售价为50元，每日销售量为y盒，y与x之间的关系如下表所示： 第x天 日销售量y/盒 10 （1）求p与x的函数关系； （2）若每日销售利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天的销售利润最大，最大销售利润是多少元？ （3）在“美食”厨艺秀期间，共有多少天小张的日销售利润不低于300元？请直接写出答案． 23. 已知抛物线经过点． （1）求出抛物线的对称轴和顶点坐标（用含a的式子表示）； （2）点A为抛物线上对称轴左侧的一点，且点A的纵坐标为1，过点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，若，求a的值； （3）在（2）的条件下，当时，二次函数的最大值为3，请直接写出n的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期九年级第一次月考 《数学》试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程． 【详解】解：．，含2个未知数，不是一元二次方程．故该选项不符合题意； ．，是一元二次方程，故该选项符合题意； ．，的分母中含未知数，是分式方程，不是一元二次方程．故该选项不符合题意； ．，的最高次数是1，不是一元二次方程．故该选项不符合题意； 故选：B． 2. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 【详解】解：x2-2x=2， x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 3. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）． A. 有两个不相等的实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的判别式，通过计算判别式的值来判断一元二次方程的根的情况． 【详解】∵方程中，， ， ， ∴， ∴ 方程没有实数根． 故选：D． 4. 把抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线对应的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减，上加下减”的法则是解答此题的关键．先向右平移3个单位，x 替换为；再向下平移1个单位，整体减去1 【详解】解：∵原函数为 ，向右平移3个单位：，再向下平移1个单位：； ∴ 所得函数表达式为 ， 故选：D 5. 二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象的性质即可判断． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点为， ∴C选项图象符合题意， 6. 九年（5）班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了本图书，如果设全组共有名同学，依题意，可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设全组共有x名同学，每名同学要赠送（x－1）本，则共赠送x（x－1）本，根据全组共互赠了132本图书即可得出方程． 【详解】解：设全组共有x名同学， 由题意知：x （x－1）＝132． 故选：A． 【点睛】考查的是列一元二次方程，要读清题意，弄清每名同学送出的图书是（x－1）本是解决本题的关键． 7. 若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的增减性，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键； 通过计算二次函数在各点的函数值，可得其大小关系． 【详解】解：∵ 二次函数为， ∴ 当时，； 当时，； 当时，． ， ． 故选：D． 8. 下表给出了二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值： x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … 0.14 0.62 … 那么关于x的方程的一个根的近似值可能是（ ） A. 1.07 B. 1.17 C. 1.27 D. 1.37 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，通过表中数据确定抛物线与x轴的交点横坐标的范围，从而得到一元二次方程的根(由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的)． 【详解】解：由表可知当时，， 当时，， 抛物线，与x轴的一个交点在点与之间，更靠近点， 方程的一个根的近似值约为， 故选：C． 9. 已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（ ） A. ①②⑤ B. ②③⑤ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与x轴交点个数，以及，对应y值的正负判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∴，所以①正确； 当时，， ∴，故②正确； ∵抛物线对称轴为， ∴与关于对称轴对称， ∵时，， ∴时，故③错误； 把代入得：， ∴，故④错误； 当时函数取得最大值为， 对于任意实数有， ∴，故⑤正确， 综上，正确的结论是①②⑤． 10. 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y（厘米/天）和光照强度x（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围（）内，y与x近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 当时，y随x的增大而减小 B. 当时，y取最大值 C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：A．由函数图象可知：抛物线的对称轴为，，结合图象可知当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，即A选项错误，不符合题意； B．由A知，当时，y有最大值，则B选项正确，符合题意； C．由函数图象可知：当时，或，即选项C错误，不符合题意； D．当时，由图象知，x对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知方程的一个根是1，则另一个根是________． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据方程的一个根为1，将x=1代入方程求出k的值，确定出方程，然后问题可求解． 【详解】解：将x=1代入方程得：，解得： ∴方程为， 解得：，， ∴方程的另一个根为-2； 故答案为：-2． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解及其解法，熟练掌握一元二次方程的解及其解法是解题的关键． 12. 关于x的二次函数的图象经过原点，则a的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将原点坐标代入函数表达式中得到关于a的方程，然后解方程即可解答，注意二次项系数不为零的隐含条件． 【详解】解：∵二次函数的图象经过原点， ∴将代入，得，即， 解得， ∵二次函数中的， ∴， ∴． 13. 二次函数的部分图象如图所示，则不等式的解集为________． 【答案】或 【解析】 【分析】直接根据二次函数的图象即可得出结论． 【详解】解：由图象知，二次函数的图象与x轴交于，对称轴为直线， ∴二次函数的图象与x轴另一交点为， ∴不等式的解集为或． 14. 如图，由长为的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借一段墙体（墙体的最大可用长度为），设的长为，所围的花圃面积为，则当________时，y的值最大． 【答案】 【解析】 【分析】设长为x米，则长为，该花圃的面积为；进而得出函数关系即可；根据x的取值范围，判断出最大面积时x的取值． 【详解】解：由题意得：，即， ∵，且， ∴； 故y与x的函数关系为； ∵； ∵开口向下，对称轴为， ∴当时，花圃有最大面积． 15. 已知二次函数（为常数），当时，的最小值为，则的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】分三种情况讨论：①若，②若，③若，利用二次函数的增减性确定出函数值取最小值时对应的的值，代入解析式即可解决问题． 【详解】解：二次函数（为常数）对称轴为， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ①若，时，函数值的最小值为， 则， 解得或（不合题意，舍去）； ②若，时，函数值有最小值为， 则， 解得； ③若，时，函数值的最小值为， 则，无解； 的值为或． 三、解答题（共75分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 解： ，，， ， ， ，． 17. 已知抛物线经过点． （1）求a的值，并写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； （2）若点、在抛物线上，且，试比较、的大小． 【答案】（1），该抛物线的开口方向向下，顶点坐标为，对称轴为直线 （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的解析式，进一步可得答案； （2）根据二次函数的增减性求解即可. 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ． 解得． ∴该抛物线的开口方向向下，顶点坐标为，对称轴为直线． 【小问2详解】 解：， ； ∵在抛物线中，当时，y随x的增大而增大， ． 18. 芯片目前是全球紧缺的资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业来发展新兴产业．芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产芯片100万个，第三季度生产芯片144万个．解决下列问题： （1）已知第二、三季度生产量的平均增长率相同，求第二、三季度生产量的平均增长率； （2）按照（1）中的平均增长率，该公司期望第四季度的芯片生产量达到175万个，请通过计算说明该目标能否实现？ 【答案】（1） （2）该目标不能实现 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设第二、三季度生产量的平均增长率为，利用第三季度的芯片生产量第一季度的芯片生产量第二、三季度生产量的平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）利用第四季度的芯片生产量第三季度的芯片生产量第二、三季度生产量的平均增长率），可求出第四季度的芯片生产量，再将其与175万个比较后，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设第二、三季度生产量的平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：第二、三季度生产量的平均增长率为； 【小问2详解】 解：该目标不能实现，理由如下： 按照（1）中的平均增长率，该公司第四季度的芯片生产量为（万个）， ∵， ∴该目标不能实现． 19. 已知关于x的一元二次方程 （1）若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）若该方程的两个根分别为，，当时，求的值． 【答案】（1）且 （2）3 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，进而求解即可； （2）首先得到方程，然后利用根与系数的关系得到，，然后利用完全平方公式的变形求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得． ∵该方程有两个不相等的实数根， ，即， 解得， 故m的取值范围为且． 【小问2详解】 解：当时，原方程为， ，， ． 20. 二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 0 0 m … （1）求二次函数的解析式以及m的值． （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象． （3）结合图象，回答下列问题： ①当时，x的取值范围是________； ②当时，y的取值范围是________． 【答案】（1）； （2）如下图： （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据表格数据和抛物线的对称性可得结果； （2）根据表格中的点，进行描点，连线，画出函数图象即可； （3）①根据函数图象直接写出自变量取值范围即可；②根据函数图象结合表格可直接写出函数值取值范围． 【小问1详解】 解：由表格可得，顶点坐标，根据抛物线的对称性可知，， ∴设该二次函数的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：①根据函数图象可得，当时，x的取值范围是； ②根据函数图象结合表格可得，当时，y的取值范围是． 21. 实践与综合：为了让同学们在实践中深入理解二次函数的实际应用，感受数学与生活的紧密联系，学校组织开展了小型烟花发射实验活动．同学们发现，从垂直地面的发射装置的顶端处，以一定倾斜角度发射出的烟花，烟花携带的火星运行的路线呈抛物线形状． 提出问题 怎样求该火星运行路线所在抛物线的解析式呢？ 分析问题 已知发射装置的高度是0.95米，当顶端处射出的火星与发射装置的水平距离为9米时，达到最大高度5米，此时烟花绚丽绽放，火星仍会沿原来的抛物线继续运动．以点为原点，表示地面的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系． 问题一 求火星运行路线所在抛物线的解析式； 问题二 火星降落后，为安全接住火星，在操场上放置安全回收箱，其截面示意图为矩形，其中为米，为米．为确保火星落到回收箱内（包含、两点），求发射装置到回收箱的距离的取值范围． 根据上述素材，完成问题一和问题二； 【答案】问题一：；问题二： 【解析】 【分析】问题一：设出顶点式为，然后代入求出a即可； 问题二：求出时，x的值，可得火星恰好落在安全回收箱的点时，的距离，然后再计算出火星恰好落在安全回收箱的点时，的距离即可． 【详解】问题一： 解：由题可知：抛物线的顶点为， ∴设抛物线解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴火星运行路线所在抛物线的解析式为； 问题二： 当时，即， 解得：， ∴当火星恰好落在安全回收箱的点时，的距离为17， ∴当火星恰好落在安全回收箱的点时，的距离为， ∴发射装置到回收箱的距离的取值范围为：． 22. 某地艺术节期间举办了为期15天的“美食”厨艺秀，小张购进一批食材制作特色美食．由于食材需要冷藏保存，导致食材成本逐日增加，已知每盒食材的成本p与保存天数：（且x为整数）之间满足一次函数关系，第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元．食材制作成特色美食后，每盒售价为50元，每日销售量为y盒，y与x之间的关系如下表所示： 第x天 日销售量y/盒 10 （1）求p与x的函数关系； （2）若每日销售利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天的销售利润最大，最大销售利润是多少元？ （3）在“美食”厨艺秀期间，共有多少天小张的日销售利润不低于300元？请直接写出答案． 【答案】（1） （2），第14天时的销售利润最大，最大销售利润是324元 （3）8天 【解析】 【分析】（1）设，然后根据第3天和第7天的成本利用待定系数法求一次函数解析式解答即可； （2）根据销售利润=每盒的利润×盒数列出函数关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的最值问题求解； （3）根据（2）的计算以及二次函数与一元二次方程的关系求解． 【小问1详解】 解：（1）设， ∵第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元， ∴， 解得， 所以，； 【小问2详解】 解：时，， 时，， 所以，w与x的函数关系式为， 时，∵， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w最大为， 时，， ∴当时，w最大为324， ∵， ∴第14天时当天的销售利润最大，最大销售利润是324元； 【小问3详解】 解：根据题意得：小张的日销售利润不低于300元 当时，， 解得， ∴整数解为1，2，故天数为2天； 当时，， 解得，， ∴， ∵x是整数， ∴，共6天， 综上，小张的日销售利润不低于300元的天数为天． 23. 已知抛物线经过点． （1）求出抛物线的对称轴和顶点坐标（用含a的式子表示）； （2）点A为抛物线上对称轴左侧的一点，且点A的纵坐标为1，过点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，若，求a的值； （3）在（2）的条件下，当时，二次函数的最大值为3，请直接写出n的值． 【答案】（1）抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求出函数解析式，再求出抛物线的对称轴和顶点坐标即可； （2）根据题意确定点的坐标，代入解析式，求出的值即可； （3）求出抛物线的解析式，得抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，再分，两种情况结合二次函数性质解答即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴把，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为； ∴抛物线的对称轴为， 把代入得： ， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵轴， ∴点与点A的纵坐标都为1； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴两点关于直线对称， ∵， ∴两点与对称轴的距离为， ∴, 把点代入抛物线得：， 解得：； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线， 令，则， 解得：，， 当，时，取得最大值， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴； 当，时，取得最大值， ∴， 解得或， ∵， ∴， 综上，符合条件的的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $