25.1 一元二次方程的概念 知识清单2026-2027 学年人教版九年级数学上册

25.1 一元二次方程的概念 知识清单 人教版（2024）九年级数学上册　第二十五章　一元二次方程　25.1 一元二次方程的概念 知识地图 ① 概念　只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是 2 的方程，叫作一元二次方程。 ② 一般形式　a + bx + c = 0（a ≠ 0）；a 是二次项，bx 是一次项，c 是常数项。 ③ 三项系数　a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项；写系数要带符号，缺项写 0。 ④ 为什么 a ≠ 0　若 a = 0，方程就变成 bx + c = 0，不再是一元二次方程。 ⑤ 根　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫作这个一元二次方程的根（也叫作解）。 ⑥ 化一般形式四步　去括号 → 移项（右边化为 0）→ 合并同类项 → 按未知数 x 的降幂排列。 一、学习目标与重难点 1. 学习目标 层次 具体要求 理解 理解一元二次方程的概念，知道「都是整式、一个未知数、最高次数是 2」这三个条件；会先把整式方程化简，再判断它是不是一元二次方程 理解 理解一元二次方程一般形式中 a ≠ 0 的必要性 掌握 会把一元二次方程化成一般形式，并能正确指出二次项、一次项、常数项及其系数（含缺项情形） 掌握 理解一元二次方程的根的概念，会判断一个数是不是一元二次方程的根 应用 能把实际问题中的数量关系列成一元二次方程，并化为一般形式 2. 本节重难点 重点：一元二次方程的概念与一般形式；会把方程化为一般形式，并确定二次项系数、一次项系数和常数项。 难点：由一元一次方程迁移到一元二次方程的概念建构；正确识别一般形式中各项的符号，并理解 a ≠ 0 的必要性。 二、一元二次方程的概念 1. 从实际问题引出方程 方程是现实问题中含有未知数的等量关系的数学表达。先看教材给出的三个实际问题，分别设未知数、列出方程，再观察它们有什么共同点。 章引言（人体雕像）　使雕像腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感。某人体雕像全身长 5 m，设腰部以下的身长为 x m，则腰部以上为 (5 − x) m。由「腰部以上∶腰部以下 = 腰部以下∶全身」得 = 5(5 − x)，整理得 + 5x − 25 = 0。 教材问题 1（无盖方盒）　一块矩形铁皮长 100 cm、宽 50 cm，四角各切去一个同样大小的正方形，把四周凸出部分折起做成无盖方盒。若方盒的底面积为 3600 cm2，设切去的正方形边长为 x cm，则盒底的长为 (100 − 2x) cm、宽为 (50 − 2x) cm，由 (100 − 2x)(50 − 2x) = 3600 整理得 − 75x + 350 = 0。 教材问题 2（排球邀请赛）　赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛 1 场）。赛程计划安排 7 天、每天 4 场，即全部比赛共 28 场。设应邀请 x 支球队，每队要与其他 (x − 1) 支球队各赛 1 场；因甲队对乙队与乙队对甲队是同一场，全部比赛共 x(x − 1) 场，由 x(x − 1) = 28 整理得 − x − 56 = 0。 图 1　教材三个实际问题列出的方程：① 人体雕像　② 无盖方盒　③ 排球邀请赛 思考：方程 ①、②、③ 有什么共同点？ 2. 一元二次方程的概念 结合图 1 观察，方程 ①、②、③ 有如下共同点： ① 都是整式方程——含有未知数的式子都是整式； ② 都只含有一个未知数； ③ 未知数的最高次数都是 2——例如 + 5x − 25 = 0 中 x 的最高次数是 2。 定义：一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是 2，这样的方程叫作一元二次方程。 ★ 三个条件缺一不可：含有未知数的式子都是整式（分母中不含未知数）、只含一个未知数、未知数的最高次数是 2。 ★ 判断的步骤：① 先看含有未知数的式子是不是整式——这一步只看原方程，不能先去分母（去分母会改变方程的类型）； 　　② 是整式方程，再把它化简：去括号、移项、合并同类项，使等号右边为 0；③ 最后看化简后未知数的个数是不是 1、最高次数是不是 2。 判断一个方程是不是一元二次方程，就按上面这三条依次检查，具体见下面的辨析与图 2。 3. 辨一辨：这些方程是一元二次方程吗 按上面的三个条件逐条判断（整式方程要先化简，再看元数与次数）： 方程 是不是 理由 3 + 2 = 0 是 整式方程，只含一个未知数，最高次数是 2 2x + 5 = 0 不是 最高次数是 1，它是一元一次方程 + y = 1 不是 含有两个未知数 x、y，不是「一元」 x + = 3 不是 分母中含有未知数，不是整式方程（不能先去分母） = (x − 1)(x + 1) 不是 化简后得 −6x + 10 = 0，是一元一次方程 − 3x = x(x + 2) 不是 化简后得 −5x = 0，是一元一次方程 a + bx + c = 0 不一定 当 a ≠ 0 时是；当 a = 0 时不是（要盯住 a ≠ 0） − 3 + 1 = 0 不是 最高次数是 3，不是 2 其中第 5、6 行是教材练习里的典型情形：形式上有 项，化简后却是一元一次方程，所以不能只看「有没有 项」。 上面的辨析过程可以归纳成图 2 的四个步骤： 图 2　判断一个方程是不是一元二次方程的四步：看式子 → 化简 → 看元数 → 看次数 三、一元二次方程的一般形式 1. 一般形式 类比一元一次方程的一般形式 ax + b = 0（a ≠ 0），一元二次方程也有它的一般形式。 一般形式：a + bx + c = 0（a ≠ 0）。 a 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 ★ 化成一般形式：把等号右边化为 0，左边按未知数 x 的降幂排列。 一般形式中各项的名称与系数如图 3： 图 3　一元二次方程的一般形式 a + bx + c = 0（a ≠ 0）各项的名称与系数 2. 为什么规定 a ≠ 0 原因：如果 a = 0，a + bx + c = 0 中的二次项就消失了，当 b ≠ 0 时方程变成 bx + c = 0，它是一元一次方程，不再是一元二次方程。 所以：「a ≠ 0」是一元二次方程成立的前提；而 b、c 可以等于 0。 三种特殊形式：当 b = 0 时，方程为 a + c = 0（如 4 − 81 = 0）；当 c = 0 时，方程为 a + bx = 0（如 3 + x = 0）；当 b = 0 且 c = 0 时，方程为 a = 0。它们都是一元二次方程。 3. 例 1（教材 P3 例）　化一般形式并写出各项系数 将方程 3x(x − 1) = 5(x + 2) 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 解：去括号，得 3 − 3x = 5x + 10； 　　移项，得 3 − 3x − 5x − 10 = 0； 　　合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3 − 8x − 10 = 0。 　　它的二次项系数为 3，一次项系数为 −8，常数项为 −10。 ★ 注意：系数和项都要包含前面的符号，一次项系数是 −8 而不是 8，常数项是 −10 而不是 10。 4. 确定各项系数的方法（一看二化三确定） 一看：先看方程是不是一般形式——等号右边是否为 0，左边是否按 x 的降幂排列。 二化：若不是，通过去括号、移项、合并同类项把它化成一般形式。 三确定：再确定 a、b、c：系数要带符号；没有出现的项，它的系数是 0（不是「没有」）。 小技巧：如果二次项系数是负数，通常把方程两边同乘 −1，把它变成正数。例如 − + 3x = 0 写成 − 3x = 0，此时二次项系数为 1，一次项系数为 −3。 四、一元二次方程的根 1. 根的概念 我们已经知道：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值，叫作一元一次方程的解。类比这个说法，可以得到一元二次方程的根的概念。 定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。 例如：当 x = 8 时， − 8 − 56 = 64 − 8 − 56 = 0，所以 x = 8 是方程 − x − 56 = 0 的解。 2. 判断一个数是不是方程的根 方法：把这个数分别代入方程的左边和右边：若左边 = 右边，它就是方程的根；否则就不是。 ★ 一个一元二次方程的根可以不止一个，所以要把题目给出的数逐个代入检验。 3. 例 2（教材）　代入检验，判断哪些数是方程的根 对于由排球邀请赛列出的方程 − x − 56 = 0，下列各数 −7，0，3，5，8 中，哪些是它的根？ 解：把各数分别代入方程的左边，看结果是否为 0。 　　当 x = −7 时，左边 = 49 + 7 − 56 = 0，所以 x = −7 是方程的根； 　　当 x = 0 时，左边 = 0 − 0 − 56 = −56 ≠ 0，所以 x = 0 不是方程的根； 　　当 x = 3 时，左边 = 9 − 3 − 56 = −50 ≠ 0，所以 x = 3 不是方程的根； 　　当 x = 5 时，左边 = 25 − 5 − 56 = −36 ≠ 0，所以 x = 5 不是方程的根； 　　当 x = 8 时，左边 = 64 − 8 − 56 = 0，所以 x = 8 是方程的根。 答：−7 和 8 是方程 − x − 56 = 0 的根。 ★ 检验根时，把数代入「左边」算值最省事——因为方程右边是 0。 4. 例 3（自编）　已知根求参数 若 x = 2 是关于 x 的一元二次方程 − 3x + m = 0 的一个根，求 m 的值。 解：因为 x = 2 是方程的根，把 x = 2 代入，得 　　 − 3 × 2 + m = 0，即 4 − 6 + m = 0， 　　所以 m = 2。 ★ 把「根」代回方程，就得到关于待定字母的等式，这是求参数的基本方法。 五、典型例题（基础题） 例 4（自编）　判断一个方程是不是一元二次方程 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） 　A. 2 = 3x − 1　　B. − x = 0　　C. + = 4　　D. a = 1 解：A 是一元二次方程——含有未知数的式子都是整式，只含一个未知数，最高次数是 2。 　　B 中 x 的最高次数是 3；C 的分母中含有未知数，不是整式方程；D 中 a 可能等于 0，不一定是。 　　故选 A。 ★ A 的左边其实也不是一般形式（右边有 3x − 1），但这不影响判断——判断看的是「化简后」是不是整式、一元、二次。 例 5（教材 P3 练习第 1 题）　化一般形式并写出各项系数 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： 　(1) 5 − 1 = 4x；　(2) 4 = 81；　(3) 4x(x + 2) = 25；　(4) (3x − 2)(x + 1) = 5x − 2。 解：(1) 5 − 4x − 1 = 0；二次项系数 5，一次项系数 −4，常数项 −1。 　　(2) 4 − 81 = 0；二次项系数 4，一次项系数 0，常数项 −81。 　　(3) 4 + 8x − 25 = 0；二次项系数 4，一次项系数 8，常数项 −25。 　　(4) 去括号，得 3 + x − 2 = 5x − 2；移项、合并同类项，得 3 − 4x = 0；二次项系数 3，一次项系数 −4，常数项 0。 ★ (2)、(4) 都是缺项题——没有出现的项，它的系数是 0，不能空着不写。 例 6（教材 P3 练习第 2 题）　由实际问题列一元二次方程 根据下列问题列出一元二次方程，并把所列方程化成一般形式： 　(1) 4 个完全相同的正方形的面积之和是 25，求正方形的边长； 　(2) 一个矩形的长比宽多 2，面积是 100，求矩形的长； 　(3) 把长为 1 m 的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长。 解：(1) 设正方形的边长为 x。由 4 个正方形的面积之和是 25，得 4 = 25，化成一般形式为 4 − 25 = 0。 　　(2) 设矩形的长为 x，则宽为 x − 2。由「长 × 宽 = 面积」，得 x(x − 2) = 100，化成一般形式为 − 2x − 100 = 0。 　　(3) 设较短一段的长为 x m，则较长一段的长为 (1 − x) m。由题意得 x × 1 = ，即 x = 1 − 2x + ，化成一般形式为 − 3x + 1 = 0。 ★ 列方程三步：① 设未知数（通常设所求的量为 x）；② 找等量关系（面积公式、长度关系等）；③ 用含 x 的式子表示各量，列出等式再化成一般形式。 例 7（自编）　由定义求参数的取值范围 若关于 x 的方程 (a − 2) − 2x + 3 = 0 是一元二次方程，求 a 的取值范围。 解：因为方程是一元二次方程，所以二次项系数不能为 0， 　　即 a − 2 ≠ 0，所以 a ≠ 2。 ★ 「二次项系数不为 0」是含参问题的隐藏条件，最容易漏。 例 8（自编）　含参数「有一个根是 0」的综合问题 已知关于 x 的一元二次方程 (k − 2) − 3x + − 4 = 0 有一个根是 0，求 k 的值。 解：因为 0 是方程的一个根，把 x = 0 代入，得 − 4 = 0， 　　解得 k = 2 或 k = −2。 　　又因为方程是一元二次方程，所以 k − 2 ≠ 0，即 k ≠ 2。所以 k = −2。 ★ 求参数时，既要满足「根」的条件，又不能忘记「二次项系数不为 0」。 六、典型例题（提升题） 例 9（自编）　化一般形式后求 a + b + c 已知关于 x 的方程 = (x + 3)(x − 3) 化成一般形式后为 a + bx + c = 0，求 a + b + c 的值。 解：左边用完全平方公式展开，得 = 4 − 4x + 1（中间的 −4x 不能漏）；右边得 (x + 3)(x − 3) = − 9。 　　所以 4 − 4x + 1 = − 9。 　　移项、合并同类项，得 3 − 4x + 10 = 0。 　　所以 a = 3，b = −4，c = 10，a + b + c = 3 + (−4) + 10 = 9。 例 10（自编）　根的定义与整体代入求值 已知 m 是方程 − 3x − 1 = 0 的一个根，求代数式 2 − 6m + 2027 的值。 解：因为 m 是方程的根，把 x = m 代入，得 − 3m − 1 = 0， 　　即 − 3m = 1。 　　所以 2 − 6m + 2027 = 2( − 3m) + 2027 = 2 × 1 + 2027 = 2029。 ★ 先把根代回方程得到一个等式，再把它（或其变形）整体代入所求的代数式；不必求出 m 的具体值。 例 11（自编）　指数与系数同时含参数 若关于 x 的方程 ( − 4) + 5x − 3 = 0 是一元二次方程，求 m 的值。 解：由一元二次方程的定义，得 |m| − 1 = 2 且 − 4 ≠ 0。 　　由 |m| − 1 = 2 得 |m| = 3，所以 m = 3 或 m = −3。 　　又 − 4 ≠ 0，即 ≠ 4，所以 m ≠ 2 且 m ≠ −2。 　　两个条件都满足，所以 m = 3 或 m = −3。 ★ 两个条件一个也不能漏：指数决定次数，二次项系数决定「是不是」。 例 12（自编）　分类讨论：一元二次方程与一元一次方程 已知关于 x 的方程 (m − 3) + 5x + − 9 = 0。 　(1) 当 m 取何值时，它是一元二次方程？　　(2) 当 m 取何值时，它是一元一次方程？ 解：(1) 要使它是一元二次方程，二次项系数不能为 0，即 m − 3 ≠ 0，所以 m ≠ 3。 　　(2) 要使它是一元一次方程，二次项必须消失，且一次项系数不能为 0。 　　　　由 m − 3 = 0 得 m = 3；此时 − 9 = 0，方程变为 5x = 0，一次项系数 5 ≠ 0，它是一元一次方程。所以 m = 3。 ★ 一个含参方程「是什么方程」，由它各项系数是否为 0 决定，要分类讨论。 七、易错清单与错解辨析 1. 高频失分点 易错点 典型错解 正确做法 忽略 a ≠ 0 认为 a + bx + c = 0 一定是一元二次方程 只有 a ≠ 0 时才是；a = 0 时（b ≠ 0）是一元一次方程 只看「有 x 的二次项」 看到含 的方程就判成一元二次方程 还要看是不是整式方程、是不是只含一个未知数（如 x + = 3 就不是） 不化简就判断 = (x − 1)(x + 1) 中含 项，就判成一元二次方程 整式方程要先化简： = (x − 1)(x + 1) 化简后得 −6x + 10 = 0，是一元一次方程 写系数漏符号 3 − 8x − 10 = 0 中一次项系数写成 8 系数要带符号：一次项系数是 −8，常数项是 −10 缺项当作「没有」 4 = 81 化成 4 − 81 = 0 后，一次项系数空着不写 没有出现的项，系数写 0：一次项系数是 0 移项忘变号 3x(x − 1) = 5(x + 2) 写成 3 − 3x + 5x + 10 = 0 移项要变号：3 − 3x − 5x − 10 = 0 去括号漏乘 3x(x − 1) 写成 3 − 1 3x 要乘到括号里的每一项：3x(x − 1) = 3 − 3x 2. 错解辨析 【题 1】判断方程 x + = 3 是不是一元二次方程。 错解：去分母，两边同乘 x，得 + 1 = 3x，整理得 − 3x + 1 = 0，所以它是一元二次方程。 （错因：先去分母再判断，把原方程的类型改变了。） 正解：原方程的分母中含有未知数，它不是整式方程，所以它不是一元二次方程。 【题 2】判断 a = 1（a 为常数）是不是一元二次方程。 错解：含有未知数 x 的二次项，所以是一元二次方程。 （错因：漏掉了二次项系数 a 必须不为 0 这一条件。） 正解：当 a ≠ 0 时它是一元二次方程；当 a = 0 时方程变为 0 = 1，这时方程里没有未知数，更不是一元二次方程。所以不能笼统地说它是。 【题 3】写出方程 3 − 8x − 10 = 0 的二次项系数、一次项系数和常数项。 错解：二次项系数 3，一次项系数 8，常数项 10。 （错因：漏掉了一次项与常数项前面的负号。） 正解：二次项系数 3，一次项系数 −8，常数项 −10。 八、方法总结与知识结构 1. 知识结构 一元二次方程 概念 只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是 2 的方程 先看是不是整式方程；是整式方程要先化简再判断 一般形式 a + bx + c = 0（a ≠ 0） 右边为 0；按 x 的降幂排列 各项与系数 a 是二次项（系数 a）；bx 是一次项（系数 b）；c 是常数项 系数带符号；缺项写 0 为什么 a ≠ 0 若 a = 0，方程变成 bx + c = 0，不再是一元二次方程 b、c 可以等于 0 根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值 一元二次方程的根也叫作它的解，可能不止一个 2. 判断与解题的一般流程 ① 看式子：含有未知数的式子是不是整式（分母中不含未知数）——这一步不能先去分母。 ② 化简：是整式方程，就去括号、移项、合并同类项，使等号右边为 0。 ③ 看元数与次数：化简后是不是只含一个未知数、最高次数是不是 2。 ④ 定系数：写出 a、b、c，系数带符号，缺项写 0。 ⑤ 验根：把数代入方程的左、右两边，左边 = 右边就是方程的根。 ⑥ 求参数：由「根」代入得到等式；若参数出现在二次项系数上，别忘了 a ≠ 0。 ⑦ 列方程：设未知数 → 找等量关系 → 列等式 → 化成一般形式。 九、学以致用（即时自测） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） 　　A. − 3xy + 4 = 0　　B. = 3y + 2　　C. x + − 3 = 0　　D. 2x + 5 = 0 2. 把方程 (x + 2)(x − 3) = 4 化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 3. 把方程 3 + 1 = 2x 化成一般形式，并指出它的一次项。 4. 若关于 x 的方程 (m − 1) + 3x − 2 = 0 是一元二次方程，则 m 的取值范围是＿＿＿＿。 5. 下列各数：−4，−3，−2，−1，0，1，2，3，4 中，哪些是方程 − x − 6 = 0 的根？ 6. 已知 x = 1 是关于 x 的一元二次方程 + kx − 3 = 0 的一个根，求 k 的值。 参考答案与提示 1. B。（A 含有两个未知数；C 的分母中含有未知数；D 的最高次数是 1。） 2. 去括号，得 − x − 6 = 4；移项、合并同类项，得 − x − 10 = 0；二次项系数 1，一次项系数 −1，常数项 −10。 3. 移项，得 3 − 2x + 1 = 0；它的一次项是 −2x。 4. m ≠ 1。 5. 当 x = 3 时，左边 = 9 − 3 − 6 = 0；当 x = −2 时，左边 = 4 + 2 − 6 = 0；其余各数代入后左边都不等于 0。所以 −2 和 3 是方程的根。 6. 把 x = 1 代入，得 1 + k − 3 = 0，所以 k = 2。 十、课后巩固（对接教材 P4 习题 25.1） 教材 P3 的练习和 P4 的习题 25.1 是本节的配套练习，请先独立完成，再对照本节例题自查：概念与判断看「二、2、3」和例 4；化一般形式看例 1、例 5；列方程看例 6 和「八、2」；根的概念与检验看「四、1、2、3」和例 2、例 3；含参数问题看例 7、例 8、例 11、例 12。 1. （教材习题 25.1 第 1 题）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： 　　(1) 4 + 5x = 81；　　(2) (2x − 3)(x − 1) = 0；　　(3) (3x − 2)(x + 1) = x(2x + 1)。 2. （教材习题 25.1 第 2 题）根据下列问题列出一元二次方程，并将所列方程化成一般形式： 　　(1) 一个圆的面积是 2π，求它的半径 r； 　　(2) 一个直角三角形的两条直角边的长相差 3，面积为 9，求较长直角边的长 x； 　　(3) 一个直角三角形的一条直角边长是另一条直角边长的 2 倍，斜边长为 5，求较短直角边的长。 3. （教材习题 25.1 第 3 题）下列各数：−4，−3，−2，−1，0，1，2，3，4 中，哪些是方程 + x − 12 = 0 的根？为什么？ 4. （教材习题 25.1 第 4 题）南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记载：直田积（矩形面积）八百六十四步，只云阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步。设田阔为 x 步，列出方程并化成一般形式。 参考答案与提示 1. (1) 4 + 5x − 81 = 0；二次项系数 4，一次项系数 5，常数项 −81。 　　(2) 2 − 5x + 3 = 0；二次项系数 2，一次项系数 −5，常数项 3。 　　(3) 去括号，得 3 + x − 2 = 2 + x；移项、合并同类项，得 − 2 = 0；二次项系数 1，一次项系数 0，常数项 −2。 2. (1) 由圆的面积公式，得 π = 2π，所以 = 2，化成一般形式为 − 2 = 0。 　　(2) 较长的直角边为 x，则较短的直角边为 x − 3。由三角形面积公式，得 x(x − 3) = 9，化成一般形式为 − 3x − 18 = 0。 　　(3) 设较短直角边长为 x，则另一条为 2x。由勾股定理，得 + = ，即 5 = 25，化成一般形式为 − 5 = 0。 3. 当 x = −4 时，左边 = 16 + (−4) − 12 = 0；当 x = 3 时，左边 = 9 + 3 − 12 = 0；其余各数代入后左边都不等于 0。所以 −4 和 3 是这个方程的根。 4. 由题意，得 x(x + 12) = 864，化成一般形式为 + 12x − 864 = 0。 十一、本课技能自查 技能点 自我评价 对应例题 判断一个方程是不是一元二次方程 □ 熟练　□ 基本会　□ 需巩固 二、2、3；例 4；九、1 理解 a ≠ 0 的必要性，会求参数的范围 □ 熟练　□ 基本会　□ 需巩固 三、2；例 7、11、12 把一元二次方程化成一般形式 □ 熟练　□ 基本会　□ 需巩固 例 1、5、9；九、2；十、1 正确指出二次项、一次项、常数项及其系数 □ 熟练　□ 基本会　□ 需巩固 三、4；例 1、5；九、2 判断一个数是不是一元二次方程的根 □ 熟练　□ 基本会　□ 需巩固 四、2、3；例 2；九、5；十、3 由根求参数、整体代入求值 □ 熟练　□ 基本会　□ 需巩固 例 3、8、10；九、6 由实际问题列一元二次方程并化为一般形式 □ 熟练　□ 基本会　□ 需巩固 例 6；十、2、4；十二 十二、用一元二次方程表示实际问题（列方程的四步） 步骤 教材问题 1（无盖方盒） 教材问题 2（排球邀请赛） ① 设未知数 设切去的小正方形边长为 x cm 设应邀请 x 支球队参加比赛 ② 表示相关量 铁皮长 100 cm、宽 50 cm，四角各切去边长 x cm 的小正方形，所以盒底的长为 (100 − 2x) cm，宽为 (50 − 2x) cm 每支球队都要与其他 (x − 1) 支球队各赛 1 场 ③ 找等量关系 盒底的面积是 3600 ，即 长 × 宽 = 3600，得 (100 − 2x)(50 − 2x) = 3600 全部比赛共 28 场，而甲队对乙队与乙队对甲队是同一场，所以 总场数 = x(x − 1) = 28 ④ 化成一般形式 去括号、移项、合并同类项，整理得 − 75x + 350 = 0 整理得 − x − 56 = 0 ★ 关键：列方程就是把题目的「文字语言」翻译成含 x 的式子，再根据等量关系写成等式。 ★ 提醒：去括号、移项、合并同类项都不改变方程的解，但每一步都要注意符号。 十三、一元二次方程与一元一次方程的对比 一元二次方程是在一元一次方程的基础上「升次」得到的，它们都属于整式方程。对比着看，能更快抓住一元二次方程的特点。 对比项 一元一次方程 一元二次方程 未知数的个数 1 个 1 个 未知数的最高次数 1 2 含有未知数的式子 都是整式 都是整式 一般形式 ax + b = 0（a ≠ 0） a + bx + c = 0（a ≠ 0） 对系数的要求 a ≠ 0 a ≠ 0；b、c 可以等于 0 根的情况 一般有且只有一个解 根可能不止一个（下一节 25.2 研究） 主要的思想方法 化归：转化为「x = 一个数」 类比、化归：先整理成一般形式 ★ 判断：含有未知数的式子都是整式、只含一个未知数、未知数的最高次数是 2 —— 三条都满足，才是一元二次方程（整式方程要先化简再判断）。 ★ 形式：一般形式 a + bx + c = 0（a ≠ 0），写系数要带符号，缺项写 0。 ★ 根：能使方程左右两边相等的未知数的值，就是一元二次方程的根；一个方程可能不止一个根，要逐个检验。 学科网（北京）股份有限公司 $