专题01 集合全章4考点9题型（期中复习讲义）高一数学上学期苏教版必修第一册

专题01 集合 1 2 2 3 考点一 集合的概念与集合元素的性质 3 考点二 集合之间的包含关系（子集、真子集、空集） 3 考点三 集合交、并、补的基本运算 4 考点四 含参数的集合综合问题 4 4 题型一 ：利用集合元素的互异性求参数 4 题型二 ：判断元素与集合的关系 5 题型三 ：判断是否为同一集合 5 题型四 ：集合的子集（真子集）个数问题 6 题型五 ：由集合的包含关系求参数 6 题型六 ：由集合的相等关系求参数 7 题型七 ：集合的交、并、补运算 8 题型八 ：由集合的运算结果求参数 8 题型九 ：集合中的新定义与容斥原理 9 10 基础固本练（限时：15分钟） 10 综合进阶练（限时：15分钟） 11 苏教版必修第一册第一章《集合》是高一上学期期中必考专题，期中试卷题型以选择题、填空题为主，部分试卷会设置解答第一题考查集合运算，整体以基础、中档题为主，很少出现高难度压轴。 1. 命题考点分布 集合元素三要素（重点是互异性）、集合的表示方法、元素与集合的关系、集合间包含关系（子集、真子集、空集）、集合交、并、补运算、含参数的集合问题是期中高频考点；互异性检验、空集的遗漏是本专题最主要失分点。 2. 命题角度特点 基础题：直接考查集合识别、简单交并补运算，侧重对集合基本概念的识记； 中档题：已知集合运算结果或者子集关系求解参数取值范围，最容易忽略空集；实数连续集合运算常结合数轴考查端点取舍； 命题联动：集合经常和一元一次、一元二次不等式结合命题，用数轴处理数集运算，是期中热门考法。 3. 主要失分点 ①解出参数之后忘记回代检验集合元素互异性； ②处理含参子集、交集问题，漏掉空集讨论； ③描述法集合看错代表元素，造成集合判断错误； ④利用数轴运算集合时，端点等号取舍出错； ⑤混淆、等易混集合符号。 识记 1. 识记集合定义，集合元素确定性、互异性、无序性三大性质；熟记常用数集符号； 2. 分清元素与集合；集合与集合各类符号含义； 3. 熟记交集、并集、补集的定义与数学符号。 理解 1. 理解列举法、描述法两种集合表示方法，能够读懂描述法中代表元素的含义； 2. 理解子集、真子集、集合相等概念，充分理解空集的特殊性：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集； 3. 理解交、并、补运算的集合含义，会借助 Venn 图、数轴理解集合运算。 应用 1. 能利用集合元素互异性求参数，求解后回代检验排除增根； 2. 熟练完成集合交、并、补混合运算，会利用数轴求解不等式型数集运算； 3. 熟练处理含参数集合问题，主动考虑空集情况，求解参数取值； 4. 会计算集合的子集、真子集、非空子集的个数。 考点一 集合的概念与集合元素的性质 1. 集合中元素具备三大性质：确定性、互异性、无序性，期中考试高频考查互异性。 2. 常用数集：自然数集；正整数集；整数集；有理数集；实数集。 3. 描述法辨析：代表元素是，表示函数的定义域；代表元素是，表示函数的值域；代表元素是有序实数对，表示函数图像上点的集合。 ⚠️易混易错 理解描述法集合，务必看清代表元素，代表元素不同，则集合完全不同。 解参数算出结果后，一定要回代检验互异性，集合内部不能出现重复元素。 区分,，不含任何元素，含有一个元素；含有一个元素，不是空集。 考点二 集合之间的包含关系（子集、真子集、空集） 1. 空集性质：空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集。 2. 子集个数公式：若集合含有个元素，则子集有个；真子集有个；非空子集有个；非空真子集有个。 3. 与：是元素，是集合，关系记作。 4. 含义：集合中所有元素都属于集合；代表是的子集，且中至少有一个元素不属于。 ⚠️易混易错 遇到条件，做含参题目必须优先讨论的情况。 分清元素与集合符号，不能写。 ️注意子集、真子集个数公式的区别，计算要看清题目提问类型。 考点三 集合交、并、补的基本运算 设集合，全集: 1. 交集：，取两个集合公共元素；代表两集合没有公共元素。 2. 并集：，合并两个集合所有元素，重复元素只写一次。 3. 补集：，在全集中，去掉集合A的元素，剩下所有元素构成的集合。 4. 解题工具：离散数集优先 Venn 图；连续实数不等式数集优先数轴。 ⚠️易混易错 ️计算补集，一定要看清题目给定的全集，全集改变，补集结果随之改变。 利用数轴处理集合运算，重点核对端点能否取等号。 并集运算中，重复元素只保留一个，不要重复书写。 考点四 含参数的集合综合问题 1. 常见条件等价转化：；。 2. 解题通用流程：优先讨论集合为空集；集合非空时借助数轴列出不等式；求出参数范围，回代检验互异性；综合空集、非空两种情况写出最终答案。 ⚠️易混易错 看到子集关系不要直接默认集合非空，空集讨论是高频失分点。 得到参数结果后，必须回代原题检验集合元素互异性。 ️数轴列不等式，端点取值要带回原题验证，不要随意写等号。 题型一 ：利用集合元素的互异性求参数 典例1 （25-26高一上·江苏扬州·期中）已知集合，若，则___________． 💡破题要诀 集合元素具有确定性、互异性、无序性，这类题核心是互异性。 1. 先根据条件列式求出参数的候选值； 2. 回代检验：把候选参数代入集合，检验集合内元素是否互不相等； 3. 舍去使集合出现重复元素的参数值，得到最终答案。 迁移应用 1．（25-26高一上·浙江·期中）（多选）已知集合，且，则的值可以为（    ） A．3 B． C．-3 D． 2．（25-26高一上·上海·期中）已知，，若集合，则的值为_______． 题型二 ：判断元素与集合的关系 典例2 （25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）（多选）若，则下列结论中正确的是（   ） A． B．若，则 C．若且，则 D．存在且，满足 💡破题要诀 元素与集合只有属于 、不属于 两种关系。 1. 把元素代入集合中，判断是否符合条件； 2. 描述法集合，看清代表元素是谁（是 、 还是其他），避免看错代表元素出错； 3. 若集合是列举法，直接看元素是否在集合内。 迁移应用 1．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）非空集合具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断错误的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 2．（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）下列表述正确的是（   ） A． B． C． D． 题型三 ：判断是否为同一集合 典例3 （25-26高一上·山东济南·期中）下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 💡破题要诀 两个集合相等 ⇔ 两个集合元素完全相同，与元素顺序无关。 1. 列举法：对比两个集合全部元素，元素完全一样就是同一集合； 2. 描述法：先化简集合，看两个集合中所有元素的取值范围是否完全一致，重点关注代表元素； 3. 集合只关心"有哪些元素"，元素排列顺序不影响集合。 迁移应用 1．（25-26高一上·陕西汉中·期中）（多选）下面表示同一个集合的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏泰州·阶段检测）下列各项中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 题型四 ：集合的子集（真子集）个数问题 典例4 （25-26高一上·江苏盐城·期中）设集合A满足，且是集合的真子集，则满足条件的A有__________个. 💡破题要诀 若一个集合有 n 个元素： 1. 子集总数： 个（包含空集和集合本身）； 2. 真子集总数： 个（去掉集合自身）； 3. 非空子集： 个；非空真子集： 个； 4. 注意：遇到含参数集合，优先确认集合元素个数，空集元素个数为0，子集只有1个。 迁移应用 1．（25-26高一上·江苏连云港·期中）设集合，则集合的子集个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．15 2．（25-26高一上·湖南永州·期中）（多选）设集合，集合，若，实数取值的集合，则下列命题正确的为（   ） A． B． C．集合的非空子集为7个 D．集合的子集为4个 题型五 ：由集合的包含关系求参数 典例5 （25-26高一上·江苏南京·期中）（多选）已知为实数，若集合，且，则的值可以是（　　） A． B． C． D． 💡破题要诀 A⊆B，即集合 A 中所有元素都在集合 B 中。 1. 优先讨论空集： 时，空集是任何集合的子集； 2. 时，借助数轴表示两个集合的范围，列出不等式； 3. 单独验证区间端点，确认端点是否可取； 4. 最后检验参数结果，保证集合互异性。 迁移应用 1．（25-26高一上·安徽芜湖·期中）设，已知集合，. (1)当时，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 2．（25-26高一上·河北保定·期中）已知集合． (1)若中恰有一个元素，求实数的取值构成的集合； (2)若，求实数的取值范围． 题型六 ：由集合的相等关系求参数 典例6 （25-26高一上·福建泉州·期中）（多选）下列说法中正确为（     ） A．集合，若集合有且仅有2个子集，则的值为 B．集合，集合，若，则的值为 C．集合，，则“”是“"的充分不必要条件 D．集合，集合，则集合B中含有4个元素 💡破题要诀 A=B⇔A⊆B 且 B⊆A，两个集合元素完全相同。 1. 列举型集合：建立元素对应关系，列出方程，得到参数候选； 2. 描述型集合：两个集合取值范围完全一致，列等式； 3. 必做回代检验，利用互异性剔除会造成元素重复的参数。 迁移应用 1．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）已知集合，非空集合. (1)若是的必要条件，求实数m的取值范围; (2)是否存在实数m，使是的充要条件. 2．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知集合，，若，则实数的值为______. 题型七 ：集合的交、并、补运算 典例7 （26-27高一上·江苏·期中）设全集，集合或，． (1)求； (2)设集合，若，求实数的取值范围． 💡破题要诀 •交集 A∩B：取两个集合公共元素； •并集 A∪B：取两个集合全部元素，重复只保留一次； •补集：在全集 U 中去掉 A 内的元素，剩下元素构成补集。 1. 列举集合：直接找出对应元素； 2. 连续数集：画数轴，数形结合，注意空心点、实心点； 3. 看清全集 是谁，全集不同，补集结果不同。 迁移应用 1．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为________________．    2．（25-26高一上·江苏常州·期末）已知集合，，，其中. (1)若全集，求； (2)若，求的取值范围. 题型八 ：由集合的运算结果求参数 典例8 （25-26高一上·江苏苏州·期中）设全集，集合，． (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围． 💡破题要诀 已知交、并、补的结果反求参数。 1. 根据运算结果翻译集合关系，如 说明两集合无公共元素； 等价于 ； 2. 优先考虑空集情况；用数轴辅助列出不等式； 3. 求出参数后代入原题验算，验证运算结果是否符合题意。 迁移应用 1．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知集合，，. (1)求； (2)已知________，求实数的取值范围. 从下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并进行解答. 条件①：； 条件②：，，且是的必要不充分条件； 条件③：任意，都有为真命题； 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. 2．（26-27高一上·辽宁·期中）设全集，集合，. (1)当时，求，； (2)若 ，求实数的取值范围. 题型九 ：集合中的新定义与容斥原理 典例9（25-26高一上·江苏宿迁·期中）高一（1）班45名同学中有10人参加了物理兴趣小组，14人参加了化学兴趣小组.已知都未参加的有25人，则同时参加的人数为（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 💡破题要诀 1. 新定义集合：读懂题目自定义的集合规则，严格按定义代入元素判断，不要凭固有集合知识主观推断； 2. 容斥原理：两个集合 代表集合 中元素个数； 3. 复杂计数可以借助韦恩图，直观区分各区域元素，避免重复计数、漏计数。 迁移应用 1．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知某班有50名同学，据统计发现同学们喜欢的奥运比赛项目都集中在乒乓球、跳水、射击这三个，其中有13名同学只喜欢乒乓球比赛，10名同学只喜欢跳水比赛，8名同学只喜欢射击比赛，同时喜欢乒乓球与跳水比赛的同学有13名，同时喜欢乒乓球与射击比赛的同学有12名，同时喜欢跳水与射击比赛的同学有10名，则该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有___________人． 2．（25-26高一上·江苏苏州·期中）定义集合，若集合，，则集合中包含______个元素． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26高一上·重庆·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 2．（26-27高一上·广东·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·福建福州·期中）下列四组中，表示相等集合的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·上海·期中）满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·江苏南京·期中）（多选）已知为实数，若集合，且，则的值可以是（　　） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江苏南京·期中）若集合，则（　　） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知集合，集合，若，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·广东江门·阶段检测）（多选）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ）    A． B． C． D． 11．（25-26高一上·福建泉州·期中）设集合，，若，则_____． 12．（25-26高一上·山东青岛·期中）某商店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出18种商品，第二天售出12种商品，第三天售出16种商品，前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该商店第一天售出但第二天未售出的商品有________种；这三天售出的商品至少有________种. 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（26-27高一上·江苏·期中）设集合，若的所有子集中的所有元素之和为32，则（　　） A．0 B． C．1 D．2 2．（26-27高一上·江苏·期中）已知集合，若集合是集合的个不同子集，且，则的最大值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（26-27高一上·江苏·期中）若非空且互不相等的集合满足，，则（　　） A． B． C． D． 4．（26-27高一上·江苏·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高一上·江苏·期中）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若，则实数的值为1或2 B．命题“，”的否定是“，” C．命题“，”是真命题 D．若集合只有一个元素，则实数的值为1 6．（26-27高一上·江苏·期中）（多选）已知集合，下列说法正确的有（    ） A．集合A中最大元素可以为3 B．若集合A为无限集，则 C．集合A中至少有8个元素 D．若集合A中恰有8个元素，则 7．（26-27高一上·江苏·期中）设全集，集合或，． (1)求； (2)设集合，若，求实数的取值范围． 8．（26-27高一上·江苏·期中）设全集，集合，． (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围． 9．（26-27高一上·江苏·期中）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 10．（25-26高一上·河北石家庄·期中）已知集合为非空实数集，定义：，（注：和可相等，也可不相等）. (1)若集合，写出集合，； (2)若集合，，且，求的值； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合 1 2 2 3 考点一 集合的概念与集合元素的性质 3 考点二 集合之间的包含关系（子集、真子集、空集） 3 考点三 集合交、并、补的基本运算 4 考点四 含参数的集合综合问题 4 4 题型一 ：利用集合元素的互异性求参数 4 题型二 ：判断元素与集合的关系 5 题型三 ：判断是否为同一集合 7 题型四 ：集合的子集（真子集）个数问题 8 题型五 ：由集合的包含关系求参数 9 题型六 ：由集合的相等关系求参数 11 题型七 ：集合的交、并、补运算 12 题型八 ：由集合的运算结果求参数 13 题型九 ：集合中的新定义与容斥原理 16 17 基础固本练（限时：15分钟） 17 综合进阶练（限时：15分钟） 21 苏教版必修第一册第一章《集合》是高一上学期期中必考专题，期中试卷题型以选择题、填空题为主，部分试卷会设置解答第一题考查集合运算，整体以基础、中档题为主，很少出现高难度压轴。 1. 命题考点分布 集合元素三要素（重点是互异性）、集合的表示方法、元素与集合的关系、集合间包含关系（子集、真子集、空集）、集合交、并、补运算、含参数的集合问题是期中高频考点；互异性检验、空集的遗漏是本专题最主要失分点。 2. 命题角度特点 基础题：直接考查集合识别、简单交并补运算，侧重对集合基本概念的识记； 中档题：已知集合运算结果或者子集关系求解参数取值范围，最容易忽略空集；实数连续集合运算常结合数轴考查端点取舍； 命题联动：集合经常和一元一次、一元二次不等式结合命题，用数轴处理数集运算，是期中热门考法。 3. 主要失分点 ①解出参数之后忘记回代检验集合元素互异性； ②处理含参子集、交集问题，漏掉空集讨论； ③描述法集合看错代表元素，造成集合判断错误； ④利用数轴运算集合时，端点等号取舍出错； ⑤混淆、等易混集合符号。 识记 1. 识记集合定义，集合元素确定性、互异性、无序性三大性质；熟记常用数集符号； 2. 分清元素与集合；集合与集合各类符号含义； 3. 熟记交集、并集、补集的定义与数学符号。 理解 1. 理解列举法、描述法两种集合表示方法，能够读懂描述法中代表元素的含义； 2. 理解子集、真子集、集合相等概念，充分理解空集的特殊性：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集； 3. 理解交、并、补运算的集合含义，会借助 Venn 图、数轴理解集合运算。 应用 1. 能利用集合元素互异性求参数，求解后回代检验排除增根； 2. 熟练完成集合交、并、补混合运算，会利用数轴求解不等式型数集运算； 3. 熟练处理含参数集合问题，主动考虑空集情况，求解参数取值； 4. 会计算集合的子集、真子集、非空子集的个数。 考点一 集合的概念与集合元素的性质 1. 集合中元素具备三大性质：确定性、互异性、无序性，期中考试高频考查互异性。 2. 常用数集：自然数集；正整数集；整数集；有理数集；实数集。 3. 描述法辨析：代表元素是，表示函数的定义域；代表元素是，表示函数的值域；代表元素是有序实数对，表示函数图像上点的集合。 ⚠️易混易错 理解描述法集合，务必看清代表元素，代表元素不同，则集合完全不同。 解参数算出结果后，一定要回代检验互异性，集合内部不能出现重复元素。 区分,，不含任何元素，含有一个元素；含有一个元素，不是空集。 考点二 集合之间的包含关系（子集、真子集、空集） 1. 空集性质：空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集。 2. 子集个数公式：若集合含有个元素，则子集有个；真子集有个；非空子集有个；非空真子集有个。 3. 与：是元素，是集合，关系记作。 4. 含义：集合中所有元素都属于集合；代表是的子集，且中至少有一个元素不属于。 ⚠️易混易错 遇到条件，做含参题目必须优先讨论的情况。 分清元素与集合符号，不能写。 ️注意子集、真子集个数公式的区别，计算要看清题目提问类型。 考点三 集合交、并、补的基本运算 设集合，全集: 1. 交集：，取两个集合公共元素；代表两集合没有公共元素。 2. 并集：，合并两个集合所有元素，重复元素只写一次。 3. 补集：，在全集中，去掉集合A的元素，剩下所有元素构成的集合。 4. 解题工具：离散数集优先 Venn 图；连续实数不等式数集优先数轴。 ⚠️易混易错 ️计算补集，一定要看清题目给定的全集，全集改变，补集结果随之改变。 利用数轴处理集合运算，重点核对端点能否取等号。 并集运算中，重复元素只保留一个，不要重复书写。 考点四 含参数的集合综合问题 1. 常见条件等价转化：；。 2. 解题通用流程：优先讨论集合为空集；集合非空时借助数轴列出不等式；求出参数范围，回代检验互异性；综合空集、非空两种情况写出最终答案。 ⚠️易混易错 看到子集关系不要直接默认集合非空，空集讨论是高频失分点。 得到参数结果后，必须回代原题检验集合元素互异性。 ️数轴列不等式，端点取值要带回原题验证，不要随意写等号。 题型一 ：利用集合元素的互异性求参数 典例1 （25-26高一上·江苏扬州·期中）已知集合，若，则___________． 【答案】 【分析】分情况讨论元素与集合间的关系，解方程即可. 【详解】因为，， 当时，则，此时，不符题意： 当时，解得（舍去）或，若，则，符合题意； 综上所述，， 故答案为：. 💡破题要诀 集合元素具有确定性、互异性、无序性，这类题核心是互异性。 1. 先根据条件列式求出参数的候选值； 2. 回代检验：把候选参数代入集合，检验集合内元素是否互不相等； 3. 舍去使集合出现重复元素的参数值，得到最终答案。 迁移应用 1．（25-26高一上·浙江·期中）（多选）已知集合，且，则的值可以为（    ） A．3 B． C．-3 D． 【答案】ABD 【分析】由题得到或，求出参数m，再由集合元素互异性检验即可. 【详解】集合，且， 所以或，解得或， 当时，，符合； 当时，，符合； 当时，，符合. 故的值可以为. 故选：ABD 2．（25-26高一上·上海·期中）已知，，若集合，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据集合相等的定义判断的取值进行计算. 【详解】因为，所以，， 此时两个集合即，所以，解得或， 若，则两个集合都是不满足互异性， 所以此时两个集合都是，满足条件. 所以， 故答案为：. 题型二 ：判断元素与集合的关系 典例2 （25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）（多选）若，则下列结论中正确的是（   ） A． B．若，则 C．若且，则 D．存在且，满足 【答案】ABD 【分析】利用集合的特征性质对选项进行判断． 【详解】若， 对于A，，其中，故A正确； 对于B，若，不妨设， 则，，所以，故B正确； 对于C，若且，取，则，故C错误； 对于D，存在且，满足． 例如， 若， 则， 故，故D正确． 故选：ABD． 💡破题要诀 元素与集合只有属于 、不属于 两种关系。 1. 把元素代入集合中，判断是否符合条件； 2. 描述法集合，看清代表元素是谁（是 、 还是其他），避免看错代表元素出错； 3. 若集合是列举法，直接看元素是否在集合内。 迁移应用 1．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）非空集合具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断错误的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】通过对进行赋值及利用两个性质可判断各个选项. 【详解】由于0不能作除数，所以，A正确；由性质①，取可得，B正确； 因为，所以，由性质①，即，C正确； 假设若，则，取可得与矛盾，D错误. 故选：D 2．（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）下列表述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用常用数集，结合集合包含关系和元素与集合的关系逐项判断即得. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确； 故选：D. 题型三 ：判断是否为同一集合 典例3 （25-26高一上·山东济南·期中）下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合相等集合的定义、集合元素特征逐一判断即可 【详解】对于A，由集合元素的互异性知，集合表示错误，A错误； 对于B，解得，此时与集合表示同一个集合，B正确； 对于C，且，故两集合不表示同一集合，C错误； 对于D，集合表示点集，只有一个元素，D错误. 故选：B. 💡破题要诀 两个集合相等 ⇔ 两个集合元素完全相同，与元素顺序无关。 1. 列举法：对比两个集合全部元素，元素完全一样就是同一集合； 2. 描述法：先化简集合，看两个集合中所有元素的取值范围是否完全一致，重点关注代表元素； 3. 集合只关心"有哪些元素"，元素排列顺序不影响集合。 迁移应用 1．（25-26高一上·陕西汉中·期中）（多选）下面表示同一个集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据集合的定义和性质，结合元素特性逐一分析各选项中集合是否为同一集合． 【详解】选项A：，解得，集合， ，解得，集合， ，即集合表示同一个集合，故A正确； 选项B：集合中的元素是有序数对，顺序不同表示元素不同， 集合表示不同集合，故B错误； 选项C：集合中元素完全相同，集合表示同一个集合，故C正确； 选项D：表示奇数集，也表示奇数集， 集合表示同一个集合，故D正确． 故选：ACD． 2．（25-26高一上·江苏泰州·阶段检测）下列各项中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的概念及分类对选项一一判断，得到答案. 【详解】A选项，是坐标系内不同的两个点，故不表示同一集合，A错误； B选项，是同一个集合，B正确； C选项，是点集，是数集，不是同一集合，C错误； D选项，为点集，为数集，D错误. 故选：B 题型四 ：集合的子集（真子集）个数问题 典例4 （25-26高一上·江苏盐城·期中）设集合A满足，且是集合的真子集，则满足条件的A有__________个. 【答案】3 【分析】根据给定条件，写出含有元素的集合的真子集即可. 【详解】由集合A满足，且是集合的真子集， 得含有元素的集合的真子集为：， 所以满足条件的A有3个. 故答案为：3 💡破题要诀 若一个集合有 n 个元素： 1. 子集总数： 个（包含空集和集合本身）； 2. 真子集总数： 个（去掉集合自身）； 3. 非空子集： 个；非空真子集： 个； 4. 注意：遇到含参数集合，优先确认集合元素个数，空集元素个数为0，子集只有1个。 迁移应用 1．（25-26高一上·江苏连云港·期中）设集合，则集合的子集个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．15 【答案】C 【分析】用列举法表示集合A，可得集合的子集个数. 【详解】，所以集合的子集个数是. 故选：C. 2．（25-26高一上·湖南永州·期中）（多选）设集合，集合，若，实数取值的集合，则下列命题正确的为（   ） A． B． C．集合的非空子集为7个 D．集合的子集为4个 【答案】AC 【分析】求出集合，再根据分情况讨论集合，进而求出实数取值的集合，依次判断选项即可. 【详解】由题可得：，因为， 当时，； 当时，，则或，解得：或， 所以实数取值的集合， 则，故A正确；B错误； 集合的子集为个，非空子集为个，故C正确，D错误； 故选：AC 题型五 ：由集合的包含关系求参数 典例5 （25-26高一上·江苏南京·期中）（多选）已知为实数，若集合，且，则的值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先解方程表示出集合，然后根据和进行分类讨论即可，由此可求结果. 【详解】由解得或，则， 当时，此时，满足； 当时，此时，则， 若，则或，所以或； 综上所述，的可取值为， 故选：ABC. 💡破题要诀 A⊆B，即集合 A 中所有元素都在集合 B 中。 1. 优先讨论空集： 时，空集是任何集合的子集； 2. 时，借助数轴表示两个集合的范围，列出不等式； 3. 单独验证区间端点，确认端点是否可取； 4. 最后检验参数结果，保证集合互异性。 迁移应用 1．（25-26高一上·安徽芜湖·期中）设，已知集合，. (1)当时，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据元素与集合的关系列不等式并化简即可； （2）根据已知条件可知，再根据集合之间的关系列不等式，最后两种情况取并集即可. 【详解】（1），，解得：， 实数的取值范围为. （2）若，则， 解，得，集合， 当时，满足，此时，解得， 当时，满足，解得， 综上所述：实数的取值范围为 . 2．（25-26高一上·河北保定·期中）已知集合． (1)若中恰有一个元素，求实数的取值构成的集合； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一次方程以及二次方程的判别式即可求解， （2）对进行讨论，即可结合（1）的结论以及韦达定理求解. 【详解】（1）对于， 当，即时，方程为，则，集合中只有一个元素，满足题意； 当时，方程为关于的一元二次方程， 由题意知，该方程有两个相等的实根， 所以， 解得或. 所以实数的取值构成的集合为. （2）由题意可知，，若，则分以下几种情况讨论： ①当时，，即. ②当集合中只有一个元素时，由（1）知， 当时，，，； 当时，，，，； 当时，，，，. ③当集合中有两个元素时， 因为，所以，即， 即关于的方程的两根分别为1，2， 所以，无解. 综上所述，实数的取值范围是. 题型六 ：由集合的相等关系求参数 典例6 （25-26高一上·福建泉州·期中）（多选）下列说法中正确为（     ） A．集合，若集合有且仅有2个子集，则的值为 B．集合，集合，若，则的值为 C．集合，，则“”是“"的充分不必要条件 D．集合，集合，则集合B中含有4个元素 【答案】BC 【详解】对于A，因集合有且仅有2个子集，则集合中只有一个元素， 于是有或，即或，A不正确； 对于B，因为，则，即，所以，根据集合相等及互异性， 所以，解得或（舍），所以，B正确； 对于C，当时，；当时，或，则或， 所以“”是“”的充分不必要条件，C正确； 对于D， 故有6个元素 ， D不正确. 💡破题要诀 A=B⇔A⊆B 且 B⊆A，两个集合元素完全相同。 1. 列举型集合：建立元素对应关系，列出方程，得到参数候选； 2. 描述型集合：两个集合取值范围完全一致，列等式； 3. 必做回代检验，利用互异性剔除会造成元素重复的参数。 迁移应用 1．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）已知集合，非空集合. (1)若是的必要条件，求实数m的取值范围; (2)是否存在实数m，使是的充要条件. 【答案】(1). (2)不存在 【分析】（1）把必要条件转化为子集关系，从而确定参数满足的不等式组，即可求解； （2）把充要条件转化为两集合相等，从而确定参数满足的方程组，即可作出判断. 【详解】（1）∵是的必要条件，故， ∴，解得， 即所求实数m的取值范围是. （2）∵若是的充要条件，则， ∴，由于该方程组无解， 即不存在实数m，使是的充要条件. 2．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知集合，，若，则实数的值为______. 【答案】2 【分析】根据集合相等的定义分析即可. 【详解】集合，， 若，则， 则或，所以或或， 当时，集合，，则，满足题意； 当时，集合，，不符合； 当时，集合，，不符合； 综上，实数的值为2. 故答案为：2 题型七 ：集合的交、并、补运算 典例7 （26-27高一上·江苏·期中）设全集，集合或，． (1)求； (2)设集合，若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用补集和交集运算求解即可； （2）根据集合关系列出不等式组，求出的取值范围即可． 【详解】（1）因为集合或，所以， 又，所以. （2）集合，显然不为， 因为，， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 💡破题要诀 •交集 A∩B：取两个集合公共元素； •并集 A∪B：取两个集合全部元素，重复只保留一次； •补集：在全集 U 中去掉 A 内的元素，剩下元素构成补集。 1. 列举集合：直接找出对应元素； 2. 连续数集：画数轴，数形结合，注意空心点、实心点； 3. 看清全集 是谁，全集不同，补集结果不同。 迁移应用 1．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为________________．    【答案】 【分析】利用Venn图得出阴影部分表示的集合为，再利用交集、补集的概念和运算规则求解． 【详解】由Venn图可知，图中阴影部分区域表示为， ，， 或， ， 或， 故答案为：． 2．（25-26高一上·江苏常州·期末）已知集合，，，其中. (1)若全集，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）集合或，， ，. （2），或，，其中. ，解得， 的取值范围是. 题型八 ：由集合的运算结果求参数 典例8 （25-26高一上·江苏苏州·期中）设全集，集合，． (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)=；或； (2)或. 【分析】（1）将代入，根据交集、并集及补集的定义求解即可； （2）求得，求出时的范围，再取其补集即可. 【详解】（1）因为或， ， 所以或=； 或， 所以或或或； （2）因为或， ， 又因为， 所以， 当时， ，解得， 因为， 所以或， 所以实数的取值范围为或. 💡破题要诀 已知交、并、补的结果反求参数。 1. 根据运算结果翻译集合关系，如 说明两集合无公共元素； 等价于 ； 2. 优先考虑空集情况；用数轴辅助列出不等式； 3. 求出参数后代入原题验算，验证运算结果是否符合题意。 迁移应用 1．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知集合，，. (1)求； (2)已知________，求实数的取值范围. 从下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并进行解答. 条件①：； 条件②：，，且是的必要不充分条件； 条件③：任意，都有为真命题； 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先分别求出集合和集合，再根据集合的交集运算即可求解； （2）①由条件可得，分集合为空集和非空集两种情况，根据子集定义列出不等式组，求解即可；②由条件可得，分集合为空集和非空集两种情况，根据真子集定义列出不等式组，求解即可；③由条件可得，分集合为空集和非空集两种情况，根据子集定义不等式组，求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 所以. （2）选择条件①：因为，所以， 当时，则时，则； 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 选择条件②：因为，.且是的必要不充分条件，则真包含于， 当时，则时，则； 当时，或，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 选择条件③：任意，都有为真命题，所以， 当时，则时，则； 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 2．（26-27高一上·辽宁·期中）设全集，集合，. (1)当时，求，； (2)若 ，求实数的取值范围. 【答案】(1) ，； (2). 【分析】（1）由集合的交并运算求集合； （2）由集合的补运算得，再由并集结果列不等式求参数范围. 【详解】（1）由题设，， 则 ， ； （2）由题设，若 ，则 ，解得， 故的取值范围是. 题型九 ：集合中的新定义与容斥原理 典例9（25-26高一上·江苏宿迁·期中）高一（1）班45名同学中有10人参加了物理兴趣小组，14人参加了化学兴趣小组.已知都未参加的有25人，则同时参加的人数为（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 【答案】B 【分析】根据容斥原理求解. 【详解】设同时参加的人数有人， 则由容斥原理可得：， 解得， 故选：B. 💡破题要诀 1. 新定义集合：读懂题目自定义的集合规则，严格按定义代入元素判断，不要凭固有集合知识主观推断； 2. 容斥原理：两个集合 代表集合 中元素个数； 3. 复杂计数可以借助韦恩图，直观区分各区域元素，避免重复计数、漏计数。 迁移应用 1．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知某班有50名同学，据统计发现同学们喜欢的奥运比赛项目都集中在乒乓球、跳水、射击这三个，其中有13名同学只喜欢乒乓球比赛，10名同学只喜欢跳水比赛，8名同学只喜欢射击比赛，同时喜欢乒乓球与跳水比赛的同学有13名，同时喜欢乒乓球与射击比赛的同学有12名，同时喜欢跳水与射击比赛的同学有10名，则该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有___________人． 【答案】8 【分析】根据给定条件，借助韦恩图，结合容斥原理列式计算即可得. 【详解】如图，设该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有人， 则由图可得，解得， 故该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有8人. 故答案为：. 2．（25-26高一上·江苏苏州·期中）定义集合，若集合，，则集合中包含______个元素． 【答案】3 【分析】利用定义作集合运算，注意元素的互异性即可. 【详解】因为集合，， 根据定义可得， 所以集合中包含3个元素， 故答案为：3 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26高一上·重庆·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系及元素的互异性求解即可. 【详解】由题意， 是集合 的元素，则 或 ，解得 或 . 根据集合元素的互异性检验：当 时， 且 ，集合 中出现重复元素，故舍去； 当 时，，，集合 ，符合题意. 综上，. 故选：. 2．（26-27高一上·广东·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A选项，若，则，可得，所以，A错； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D错. 3．（25-26高一上·福建福州·期中）下列四组中，表示相等集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相等集合的定义逐一判断可得. 【详解】对于A，两集合表示点的坐标不同，不是同一个集合，故A错误； 对于B，两集合元素相同，是相等集合，故B正确； 对于C，集合中有元素，集合为空集，不是相等集合，故C错误； 对于D，集合表示抛物线上的点，集合为数集，故D错误. 故选：B 4．（25-26高一上·上海·期中）满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定，再由题意可得，其中集合为集合的子集，从而可得结果. 【详解】由，得. 设集合为集合的子集，则集合可能为：，共种. 由题意，集合，所以集合共有个， 分别为：． 5．（25-26高一上·江苏南京·期中）（多选）已知为实数，若集合，且，则的值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先解方程表示出集合，然后根据和进行分类讨论即可，由此可求结果. 【详解】由解得或，则， 当时，此时，满足； 当时，此时，则， 若，则或，所以或； 综上所述，的可取值为， 故选：ABC. 6．（25-26高一上·江苏南京·期中）若集合，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集运算直接得到结果. 【详解】因为， 所以， 故选：D. 7．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据补集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，集合，， 所以. 故选：A 8．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合集合的并集运算求解即可. 【详解】因为集合，所以. 故选：B. 9．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知集合，集合，若，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由交集定义计算即可. 【详解】由，则，故实数的取值范围为. 故选：B. 10．（23-24高一上·广东江门·阶段检测）（多选）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用集合的交集、并集以及补集的定义，结合韦恩图分析各选项即可求得结果. 【详解】根据图示可知阴影部分表示的元素是属于集合，而不属于集合， 即在阴影部分区域内任取一个元素，则满足，且，即且； 因此阴影部分可表示为，即A正确； 且，因此阴影部分可表示为，C正确； 易知阴影部分表示的集合是和的真子集，即B错误，D错误. 故选：AC. 11．（25-26高一上·福建泉州·期中）设集合，，若，则_____． 【答案】 【分析】根据集合相等可得出关于的等式与不等式，即可解得的值. 【详解】因为集合，，且，故，解得. 故答案为：. 12．（25-26高一上·山东青岛·期中）某商店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出18种商品，第二天售出12种商品，第三天售出16种商品，前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该商店第一天售出但第二天未售出的商品有________种；这三天售出的商品至少有________种. 【答案】 【分析】第一天售出商品数减去前两天都售出的商品数即可解决第一空，再求出第三天售出的商品中有多少种商品第二天未售出，要使商品种数最少，则只需第三天中这种第二天未售出的商品恰都是第一天售出过，即可得解. 【详解】因为前两天都售出的商品有种， 因此第一天售出且第二天没有售出的商品有种； 同理由后两天都售出的商品有种， 则第三天售出的商品中有种第二天未售出； 所以三天售出商品种数最少时， 即第三天中这种第二天未售出的商品恰都是第一天售出过的，且第二天未售出的那些即可， 所以这三天售出的商品至少有种. 故答案为：；. 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（26-27高一上·江苏·期中）设集合，若的所有子集中的所有元素之和为32，则（　　） A．0 B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据子集概念分析即可求解. 【详解】由题意可知，集合的非空真子集的个数为， 集合中的每一个元素在其非空真子集中出现的次数为次， 所以的所有子集中的所有元素之和为， 所以． 故选：A 2．（26-27高一上·江苏·期中）已知集合，若集合是集合的个不同子集，且，则的最大值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】写出集合A的所有子集，并根据题意及真子集的定义分析满足条件的情况可知，集合中最多只有一个三元素集合，而其它集合均是这个集合的真子集，由此可得的最大值为. 【详解】集合A的子集有：，{八}，{校}，{联}，{盟}，{八，校}，{八，联}，{八，盟}，{校，联}，{校，盟}，{联，盟}，{八，校，联}，{八，校，盟}，{八，联，盟}，{校，联，盟}，{八，校，联，盟}. 要满足，且的值最大，三元素子集最多有一个，不妨取{校，联，盟}，此时剩余的集合只能是{校，联，盟}的真子集，即，{校}，{联}，{盟}，{校，联}，{校，盟}，{联，盟}. 所以，的最大值为. 故选：D. 3．（26-27高一上·江苏·期中）若非空且互不相等的集合满足，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】非空且互不相等的集合满足，， 所以为的真子集，为的真子集， 所以. 4．（26-27高一上·江苏·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解分式不等式得集合，再根据交集的定义求解. 【详解】将解不等式，化为， 得解，即， 所以. 故选：C 5．（26-27高一上·江苏·期中）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若，则实数的值为1或2 B．命题“，”的否定是“，” C．命题“，”是真命题 D．若集合只有一个元素，则实数的值为1 【答案】BC 【分析】由元素的互异性可判断A，由全称量词命题的否定结构可判断B，求解方程可判断C，由，可判断D. 【详解】对于A，若，则或. 当时，，此时，集合元素有重复，不符合互异性； 当时，，此时，集合为，符合题意. 因此，满足条件的实数的值仅为，故A错误； 对于B，命题“，”的否定是“，”正确； 对于C，由可得：，故正确； 对于D，当时，符合，故错误. 故选：BC 6．（26-27高一上·江苏·期中）（多选）已知集合，下列说法正确的有（    ） A．集合A中最大元素可以为3 B．若集合A为无限集，则 C．集合A中至少有8个元素 D．若集合A中恰有8个元素，则 【答案】ACD 【分析】根据k的不同取值情况，分类讨论集合A，结合基本不等式分别解出对应的一元二次不等式，即可判断选项. 【详解】当时，原不等式等价于为，解得， 此时，为无限集，集合A中最大的元素可以为3，故A正确； 当时，原不等式等价于为， 若，则， 当且仅当即时，等号成立， 此时或，为无限集； 综上，当或时，集合A为无限集，故B错误； 若，则， 当且仅当即时，等号成立， 此时，为有限集， 集合A的元素可能有. 综上，集合A至少有8个元素，故C正确； 若集合A恰有8个元素， 则，解得，故D正确. 故选：ACD 7．（26-27高一上·江苏·期中）设全集，集合或，． (1)求； (2)设集合，若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用补集和交集运算求解即可； （2）根据集合关系列出不等式组，求出的取值范围即可． 【详解】（1）因为集合或，所以， 又，所以. （2）集合，显然不为， 因为，， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 8．（26-27高一上·江苏·期中）设全集，集合，． (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)=；或； (2)或. 【分析】（1）将代入，根据交集、并集及补集的定义求解即可； （2）求得，求出时的范围，再取其补集即可. 【详解】（1）因为或， ， 所以或=； 或， 所以或或或； （2）因为或， ， 又因为， 所以， 当时， ，解得， 因为， 所以或， 所以实数的取值范围为或. 9．（26-27高一上·江苏·期中）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先解一元二次不等式得出集合，再应用交集定义计算求解； （2）先由得出，再分和两种情况列式计算求解. 【详解】（1）由，解得：，所以， 当时，，则； （2）因为，所以，且 当时，，解得； 当时，要满足题意需，解得：， 综上：实数的取值范围为. 10．（25-26高一上·河北石家庄·期中）已知集合为非空实数集，定义：，（注：和可相等，也可不相等）. (1)若集合，写出集合，； (2)若集合，，且，求的值； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3)67. 【分析】（1）根据给定的定义，直接计算即得集合. （2）根据给定的定义求出集合，再利用集合相等求出. （3）设集合，求出对应的集合，再由建立不等式关系，求出对应的值即可. 【详解】（1）集合，则， ， 所以. （2）集合，，则集合中元素为： 显然，由，得，解得， 此时，所以. （3）设满足题意，其中， 则， 则，又，则， 由，由容斥原理，得， 中最小的元素为0，最大的元素为，， 因此，即，解得， 事实上当时满足题意， 理由如下：设，， 则，， 由，得，解得， 因此m的最小值为34，即当时，中元素最多，时满足题意， 所以的最大值是67. / 学科网（北京）股份有限公司 $