专题05 函数的概念与表示（期中复习讲义）高一数学上学期苏教版必修第一册

专题05 函数的概念与表示（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 函数关系的判断 能根据函数定义判断函数关系 基础考点，常出现在选择题，填空题 函数定义域 能求具体函数定义域；能求抽象函数定义域 基础考点，常出现在选择题，填空题 函数值域 能求根式型函数值域，能求分式型函数值域 基础考点，常出现在选择题，填空题 求解析式 能用待定系数法，换元法，方程组法求解析式 基础考点，常出现在选择题，填空题 分段函数 能求分段函数的值，能根据函数值求参数 基础考点，常出现在选择题，填空题 知识点01 函数的概念 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集. 函数的四个特征： ①非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 知识点02 求函数解析式 1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． 2、换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围. 3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， 4、方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 知识点03 分段函数 对于函数，若自变量在定义域内的在不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数叫分段函数． 注：(1)分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同； （2）在书写时要指明各段函数自变量的取值范围； （3）分段函数的定义域是所以自变量取值区间的并集． 题型一 函数关系的判断 解｜题｜技｜巧 严格按照定义判断 【典例1】下列图象中，不能作为函数图象的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知集合，，给出下列四个对应关系：①，②，③，④，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【变式2】给定集合，，若是从集合到集合的函数，请写出一个符合条件的函数的解析式 . 题型二 同一函数 解｜题｜技｜巧：根据函数三要素判断函数是否是同一函数 1、定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． 2、对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3、值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range). 【典例1】（24-25高一上·江苏苏州·期中）下列各组中，函数与表示同一函数的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1】（多选）下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（24-25高一上·江苏徐州·期中）下列各组函数表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．， 题型三 求具体函数定义域 解｜题｜技｜巧 求函数的定义域： 函数有意义的准则一般有： ①分式的分母不为0； ②偶次根式的被开方数非负； ③y＝x0要求x≠0； 【典例1】（24-25高一上·江苏泰州·期中）已知函数的定义域为 . 【变式1】（24-25高一上·江苏无锡·期中）函数的定义域是 . 【变式2】（24-25高一上·江苏徐州·期中）函数的定义域为 . 题型四 抽象函数的定义域 解｜题｜技｜巧 （1）若已知函数的定义域为[a，b]，则复合函数的定义域由求出： ①函数的定义域为[a，b]是指中的的范围为： ②的定义域中g(x)的范围等同于中的的范围，即： ③根据求出的范围。（注意定义域都是指单个的取值范围） （2）若已知函数的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为在x∈[a，b]时的值域 ①函数f (g(x))的定义域为[a，b]是指f (g(x))中单个的范围，即： ②根据，求出的范围， ③的定义域是指中单个的范围，此的范围等同于中的范围， 【典例1】（23-24高一上·江苏南京·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·江苏盐城·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【变式2】（23-24高一上·江苏扬州·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为 题型五 待定系数法求解析式 解｜题｜技｜巧 待定系数法 ：针对已知函数类型；如一次函数；二次函数 ①根据题意设出函数的解析式； ②根据条件求函数解析式 【典例1】（1）已知f（x）是一次函数，且满足f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋3，求f（x）的解析式． （2）若二次函数g（x）满足g（1）＝1，g（－1）＝5，且图象过原点，求g（x）的解析式． 【变式1】（多选）（23-24高一上·浙江·期中）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【变式2】若一次函数满足：对任意都有，则的解析式为 ． 题型六 换元法求解析式 解｜题｜技｜巧 已知复合函数的表达式时，可用换元法，这时要注意换元必换范围 ①令根据，求出关于的表达式 ②根据求出的取值范围 ③将求出的关于的表达式代入的表达式中，求出的表达式，再换元为 【典例1】已知，则的解析式是（   ）. A． B． C． D． 【变式1】已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 题型七 方程组法求解析式 解｜题｜技｜巧 方程组法：针对与或形成的表达式 ,一些比较复杂的形式，需要观察赋值，消元后求解析式。 【典例1】（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数满足，则函数的解析式为 . 【变式1】已知函数满足，且，则 . 【变式2】已知函数对定义域内的任意实数满足，则 . 题型八 值域（分式型） 解｜题｜技｜巧 ①形如：：分离常数法 ②形如：：换元法，令 ③形如：，综合运用换元法或分离常数法 【典例1】（23-24高一上·安徽合肥·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式1】若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式2】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 题型九 值域（根式型） 解｜题｜技｜巧 形如：，换元法，令，从而化为一元二次函数求值域；注意换元必换范围 【典例1】（24-25高一上·江西南昌·期中）已知函数，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·辽宁·期中）函数的最大值是（    ） A． B． C．4 D． 【变式2】已知函数，则的值域为 . 期中基础通关练（测试时间：60分钟） 1．（24-25高一上·四川资阳·期中）下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中，值域是的是（    ）． A． B．（） C．（） D． 4．（25-26高一上·全国·开学考试）已知函数，其中表示不超过x的最大整数，当时，下列函数中，其值域与的值域不相同的函数为（    ） A． B． C． D． 5．若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 6．根据列表中的数据选择合适的模型，则（   ） 1 2 3 4 5 2 0 A． B． C． D． 7．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 8．若函数，满足，且，则（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 9．（多选）与函数值域相同的函数有（    ） A． B． C． D． 10．（多选）（24-25高一上·福建莆田·期中）已知定义域为，则错误的是（    ） A． B． C．， D．函数的定义域为 11．已知函数的定义域为，值域为，则下列函数的值域也为的是 . ①    ② ③    ④ 12．（2025·广东梅州·模拟预测）已知函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为 . 13．（1）已知函数的定义域为，求的定义域； （2）已知函数的定义域为，求的定义域． 14．求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（）． 期中重难突破练（测试时间：30分钟） 1．（24-25高一上·四川成都·期中）函数的定义域为，则（    ） A．2 B．－2 C．－1 D．1 2．（24-25高一上·广东梅州·开学考试）已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知定义域为的函数，若对任意，存在正数，都有成立，则称函数是定义域为上的“有界函数”．已知下列函数： （1）；（2）；（3）；（4）． 其中“有界函数”个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知函数，用表示中的较小者，记为，若函数的最大值小于1，则实数的取值范围为 ． 5．已知函数. (1)若，求函数在的值域； (2)若，求函数在上的值域. 期中综合拓展练（测试时间：20分钟） 1．定义区间的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，的长度.用表示不超过x的最大整数，记，其中.设，当时，不等式解集的区间长度为，则实数的最小值为（    ） A． B． C．6 D．7 2．（多选）已知定义在上的函数，对于给定集合，若，当时都有，则称是“封闭”函数，则下列命题正确的是（   ） A．是“封闭”函数 B．定义在上函数都是“封闭”函数 C．若是“封闭”函数，则一定是“封闭”函数（） D．若是“封闭”函数（），则在区间上单调递减 3．（2025·安徽合肥·模拟预测）高斯是世界著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美称.函数称为“高斯函数”，它的函数值表示不超过的最大整数，例如，，.若，则实数的取值范围是 . 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数的概念与表示（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 函数关系的判断 能根据函数定义判断函数关系 基础考点，常出现在选择题，填空题 函数定义域 能求具体函数定义域；能求抽象函数定义域 基础考点，常出现在选择题，填空题 函数值域 能求根式型函数值域，能求分式型函数值域 基础考点，常出现在选择题，填空题 求解析式 能用待定系数法，换元法，方程组法求解析式 基础考点，常出现在选择题，填空题 分段函数 能求分段函数的值，能根据函数值求参数 基础考点，常出现在选择题，填空题 知识点01 函数的概念 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集. 函数的四个特征： ①非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 知识点02 求函数解析式 1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． 2、换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围. 3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， 4、方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 知识点03 分段函数 对于函数，若自变量在定义域内的在不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数叫分段函数． 注：(1)分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同； （2）在书写时要指明各段函数自变量的取值范围； （3）分段函数的定义域是所以自变量取值区间的并集． 题型一 函数关系的判断 解｜题｜技｜巧 严格按照定义判断 【典例1】下列图象中，不能作为函数图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数定义可得出结论. 【详解】根据函数的定义可知，C选项中存在一个对应两个值，不合乎函数的定义， ABD选项中，对于定义域内每一个值，都只有唯一的值与之对应，满足函数的定义. 故选：C. 【变式1】（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知集合，，给出下列四个对应关系：①，②，③，④，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】D 【分析】由函数的定义一一判断即可. 【详解】对于①，当时，，故①不正确； 对于②，当时，，故②不正确； 对于③，当时，，当时，，故③正确； 对于④，当时，，当时，，故④正确. 故选：. 【变式2】给定集合，，若是从集合到集合的函数，请写出一个符合条件的函数的解析式 . 【答案】，（答案不唯一） 【分析】利用函数的定义求解； 【详解】由函数的定义得：，（答案不唯一） 故答案为：，（答案不唯一） 题型二 同一函数 解｜题｜技｜巧：根据函数三要素判断函数是否是同一函数 1、定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． 2、对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3、值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range). 【典例1】（24-25高一上·江苏苏州·期中）下列各组中，函数与表示同一函数的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】根据函数的定义域相同，解析式一致即可判断. 【详解】对于A：函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数的定义域不相同，不是同一函数，故A错误； 对于B：函数的定义域为， 函数的定义域为， 两函数的定义域不相同，不是同一函数，故B错误； 对于C：函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数的定义域不相同，不是同一函数，故C错误； 对于D：函数的定义域为，且， 函数的定义域为，且， 两函数的定义域相同，解析式一致，所以是同一函数，故D正确. 故选：D 【变式1】（多选）下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据函数的定义判断，即判断定义域与对应法则是否相同可得答案. 【详解】由，得或，所以函数的定义域为或． 由得，所以函数的定义域为． 两函数的定义域不同，不是同一个函数，故A错误； 函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故B错误； 函数的定义域为， 函数的定义域为，是同一个函数，故C正确； 函数的定义域为，函数的定义域为，且对应关系也相同，是同一个函数，故D正确. 故选：CD 【变式2】（多选）（24-25高一上·江苏徐州·期中）下列各组函数表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．， 【答案】BC 【分析】先求得函数的定义域，根据同一函数的概念，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】对于A，定义域为，定义域为，A错误； 对于B，定义域为，定义域为，且对应法则相同，B正确； 对于C，，，定义域均为，且对应法则相同，为同一个函数，C正确． 对于D，定义域为，的定义域为，D错误； 故选：BC． 题型三 求具体函数定义域 解｜题｜技｜巧 求函数的定义域： 函数有意义的准则一般有： ①分式的分母不为0； ②偶次根式的被开方数非负； ③y＝x0要求x≠0； 【典例1】（24-25高一上·江苏泰州·期中）已知函数的定义域为 . 【答案】 【分析】由解析式列出不等式求解即可. 【详解】由题意得，即， 即，解得， ∴函数的定义域为. 故答案为：. 【变式1】（24-25高一上·江苏无锡·期中）函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据二次根号写大于等于零以及分母不为零，建立不等式组，可得答案. 【详解】由题意可知，解得且，所以函数的定义域为. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一上·江苏徐州·期中）函数的定义域为 . 【答案】且 【分析】由定义域的概念列出不等式求解即可. 【详解】由题意可得：， 解得：且， 所以定义域为：且， 故答案为：且 题型四 抽象函数的定义域 解｜题｜技｜巧 （1）若已知函数的定义域为[a，b]，则复合函数的定义域由求出： ①函数的定义域为[a，b]是指中的的范围为： ②的定义域中g(x)的范围等同于中的的范围，即： ③根据求出的范围。（注意定义域都是指单个的取值范围） （2）若已知函数的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为在x∈[a，b]时的值域 ①函数f (g(x))的定义域为[a，b]是指f (g(x))中单个的范围，即： ②根据，求出的范围， ③的定义域是指中单个的范围，此的范围等同于中的范围， 【典例1】（23-24高一上·江苏南京·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义域，对于函数，可得出关于不等式组，由此可解得函数的定义域. 【详解】因为的定义域为， 对于函数，则，解得， 因此，函数的定义域为. 故选：A. 【变式1】（24-25高一上·江苏盐城·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据函数的定义域，对于函数，可得出关于实数满足的不等式，由此可得出函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为， 对于函数，有，解得. 因此，函数的定义域为. 故答案为：. 【变式2】（23-24高一上·江苏扬州·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为函数的定义域为，对于函数， 令，解得或， 所以函数的定义域为. 故答案为： 题型五 待定系数法求解析式 解｜题｜技｜巧 待定系数法 ：针对已知函数类型；如一次函数；二次函数 ①根据题意设出函数的解析式； ②根据条件求函数解析式 【典例1】（1）已知f（x）是一次函数，且满足f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋3，求f（x）的解析式． （2）若二次函数g（x）满足g（1）＝1，g（－1）＝5，且图象过原点，求g（x）的解析式． 【答案】（1）f（x）＝－2x－9；（2）g（x）＝3x2－2x. 【分析】（1）设f（x）＝kx＋b（k≠0），代入条件式子中化简可求解参数，即可得函数的解析式； （2）设g（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），依题意列方程求解即可． 【详解】（1）设f（x）＝kx＋b（k≠0）， 则f（x＋1）－2f（x－1）＝kx＋k＋b－2kx＋2k－2b＝－kx＋3k－b， 即－kx＋3k－b＝2x＋3不论x为何值都成立， ∴解得∴f（x）＝－2x－9. （2） 设g（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），∵g（1）＝1，g（－1）＝5，且图象过原点， ∴解得 ∴g（x）＝3x2－2x. 【变式1】（多选）（23-24高一上·浙江·期中）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】设，则由，可得，然后列方程组可求出，从而可求得答案. 【详解】由题意设， 因为， 所以， 即， 所以，解得或， 所以或， 故选：AB 【变式2】若一次函数满足：对任意都有，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】设，代入题干等式，化简，即可求得. 【详解】设一次函数， ， 化简得：， 因为对任意，上式都满足，取和代入上式得： ，解得：， 所以. 故答案为：. 题型六 换元法求解析式 解｜题｜技｜巧 已知复合函数的表达式时，可用换元法，这时要注意换元必换范围 ①令根据，求出关于的表达式 ②根据求出的取值范围 ③将求出的关于的表达式代入的表达式中，求出的表达式，再换元为 【典例1】已知，则的解析式是（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法求出函数的解析式. 【详解】令，则，而，于是， 因此， 所以的解析式是. 故选：A 【变式1】已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法求函数解析式，注意函数的定义域即可. 【详解】令， 由， 则，即. 故选：C. 【变式2】已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据换元法求函数解析式. 【详解】令，可得. 所以， 因此的解析式为. 故选：D. 题型七 方程组法求解析式 解｜题｜技｜巧 方程组法：针对与或形成的表达式 ,一些比较复杂的形式，需要观察赋值，消元后求解析式。 【典例1】（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数满足，则函数的解析式为 . 【答案】 【分析】根据题意，用代替，得到，联立方程组，即可求解. 【详解】由， 用代替，可得， 联立方程组，解得， 所以函数的解析式为. 故答案为：. 【变式1】已知函数满足，且，则 . 【答案】 【分析】用替换,再解方程组可得答案. 【详解】由①， 用替换，得②， ①×2－②，得，得. 故答案为：. 【变式2】已知函数对定义域内的任意实数满足，则 . 【答案】 【分析】本题可以构造方程组来求函数的解析式 【详解】因为，取，则，即，两式相加可得，所以， 故答案为： 题型八 值域（分式型） 解｜题｜技｜巧 ①形如：：分离常数法 ②形如：：换元法，令 ③形如：，综合运用换元法或分离常数法 【典例1】（23-24高一上·安徽合肥·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简函数，结合，求得的取值范围，即可求解. 【详解】由题意，函数（）， 令，则，可得， 故（）的值域为． 故选：A. 【变式1】若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分离常数后求其值域即可. 【详解】， 因为，所以，所以， 所以，所以函数的值域为. 故选：A. 【变式2】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分离常数法得到，因为，分子是常数，分母不能为0，所以，即可得到答案． 【详解】解：，因为，所以，所以函数的值域为 故选：D 题型九 值域（根式型） 解｜题｜技｜巧 形如：，换元法，令，从而化为一元二次函数求值域；注意换元必换范围 【典例1】（24-25高一上·江西南昌·期中）已知函数，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法及二次函数的性质计算可得. 【详解】令，则，， 则， 令，， 则，所以函数的值域为. 故选：B 【变式1】（24-25高一上·辽宁·期中）函数的最大值是（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】设，可得，然后配方后利用二次函数的性质求解即可. 【详解】设，则， 即， 因为，所以当时，的最大值为， 故选：B. 【变式2】已知函数，则的值域为 . 【答案】 【分析】换元后，转化为二次函数问题，求出值域. 【详解】令，则，， ， 当时，取的最小值，最小值为， 则的值域为. 故答案为： 期中基础通关练（测试时间：60分钟） 1．（24-25高一上·四川资阳·期中）下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据函数的定义域以及对应关系是否相等，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A, 的定义域为,的定义域为，两个函数的定义域不相同， 故不是同一个函数，A错误， 对于B，，，两个函数相同，故B正确， 对于C, 与的对应关系不相等，故不是同一个函数，C错误， 对于D, 的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相等， 故不是同一个函数，D错误， 故选：B 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由，得，所以，解得，或，所以函数的定义域为． 故选：C． 3．下列函数中，值域是的是（    ）． A． B．（） C．（） D． 【答案】D 【分析】分别求出各函数的值域即可. 【详解】因为，所以函数值域为，故A错误； 因为时，，故B错误； 因为时，函数的值域为集合，不是区间．故C错误； 因为，所以函数的值域为，故D正确. 故选：D． 4．（25-26高一上·全国·开学考试）已知函数，其中表示不超过x的最大整数，当时，下列函数中，其值域与的值域不相同的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据取整函数的概念，求得函数的值域为，再分别求得选项中函数的值域，即可得到答案. 【详解】当时，的值域为． 对于A，由，则函数值域为，与的值域相同； 对于B，由，则函数值域为，与的值域相同； 对于C，由，则函数的值域为，与的值域不相同； 对于D，由，则函数值域为，与的值域相同. 故选：C． 5．若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数定义域为的条件，结合二次函数性质来确定实数的取值范围． 【详解】由题意可知，关于的方程无解，此时进行分类讨论． ①当，即时，不成立，分母不为零，所以符合题意； ②当，即时，应满足，解得． 综上，实数的取值范围为． 故选：C． 6．根据列表中的数据选择合适的模型，则（   ） 1 2 3 4 5 2 0 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察表格数据，检验选项中解析式即可得解. 【详解】A项：，A错误； B项：，B错误； C项：，C错误； D项： 满足表中的数据，D正确． 故选：D. 7．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由配凑法结合基本不等式求出的范围即可得解. 【详解】因为， 且，或， 当且仅当即时取等. 所以. 故选：D. 8．若函数，满足，且，则（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】应用赋值法及方程组法计算求解. 【详解】令可得，所以； 令可得； 令可得， 所以， 所以， 令可得，所以， 所以. 故选：D. 9．（多选）与函数值域相同的函数有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据基本不等式确定函数的最值，从而得其值域，再结合二次函数、绝对值函数、对勾函数、一次函数的性质确定函数值域即可得答案. 【详解】当时，函数，当且仅当时，等号成立，则的值域为， 对于A，函数，当时有最小值，故其值域为，故A正确； 对于B，因为，则，则的值域为，故B错误； 对于C，因为，所以， 当且仅当时，等号成立，故的值域为，故C正确； 对于D，当时，函数，其值域为，故D错误． 故选：AC. 10．（多选）（24-25高一上·福建莆田·期中）已知定义域为，则错误的是（    ） A． B． C．， D．函数的定义域为 【答案】ABD 【分析】首先需要根据已知条件求出的表达式，再据此计算各选项中的函数值并判断定义域是否正确. 【详解】已知，设，则. 因为，所以. 那么，化简可得，，即，.   当时，，所以无定义，A选项错误.   当时，，所以无定义，B选项错误.   由前面的计算可知，，C选项正确.   对于函数，因为的定义域为，所以. 解不等式得，所以函数的定义域为，D选项错误. 故选：ABD. 11．已知函数的定义域为，值域为，则下列函数的值域也为的是 . ①    ② ③    ④ 【答案】①③ 【分析】根据各选项中图象变换的特征可得值域为的函数的序号. 【详解】对于①，的图象可看作由的图象向左平移一个单位得到的， 值域不变，①正确； 对于②，由，得， 即的值域为，②错误； 对于③，函数与函数的图象关于轴对称， 则函数的值域与函数的值域相同，为，③正确； 对于④，由，得， 即的值域为，④错误. 故答案为：①③. 12．（2025·广东梅州·模拟预测）已知函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用一元二次不等式恒成立的条件即可求解. 【详解】要使有意义，则有， 函数的定义域为实数集，在上恒成立， 当时，，恒成立； 当时，则有，解得； 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 13．（1）已知函数的定义域为，求的定义域； （2）已知函数的定义域为，求的定义域． 【答案】（1）；（2） ． 【分析】根据抽象函数定义域的整体性代换求解即可. 【详解】（1）因为函数中的相当于函数中的， 所以，所以， 所以所以 的定义域为 （2）因为 的定义域为， 即，所以， 所以的定义域为 即所以， 所以的定义域为． 14．求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（）． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）利用观察法求值域； （2）利用配方法求值域； （3）利用换元法求值域； （4）利用分离常数法求值域； （5）利用基本不等式法求值域； 【详解】（1）因为，所以．故值域为． （2）因为，且，所以，所以，故函数的值域为． （3）令，则，且， 所以（）．故函数的值域． （4），其中，， 当时，． 又因为，所以． 故函数的值域为． （5）因为，所以，所以， 当且仅当，即时，取等号，即取得最小值8． 故函数的值域为． 期中重难突破练（测试时间：30分钟） 1．（24-25高一上·四川成都·期中）函数的定义域为，则（    ） A．2 B．－2 C．－1 D．1 【答案】A 【分析】根据定义域知不等式的解集，再由不等式解集得出对应方程的根，即可得解. 【详解】因为的定义域为， 所以的解集为， 得 ，解得，，故. 故选：A． 2．（24-25高一上·广东梅州·开学考试）已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】函数的定义域是，等价于不等式对任意恒成立，分和两种情况求出实数的取值范围即可. 【详解】因为函数的定义域是， 所以不等式对任意恒成立， 当时，，对任意恒成立，符合题意； 当时，，即，解得：， 综上，实数的取值范围是; 故选：D 3．已知定义域为的函数，若对任意，存在正数，都有成立，则称函数是定义域为上的“有界函数”．已知下列函数： （1）；（2）；（3）；（4）． 其中“有界函数”个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】分别求四个函数的值域，对照“有界函数”的概念即可判断． 【详解】对（1）：， 故不是“有界函数”； 对（2）：，故对任意，都有成立， 故函数是定义域为上的“有界函数”； 对（3）令，当时， 函数有最小值，即， 所以，所以， 故函数为有界函数； （4）令，则，即，， 当时，，无最小值，即， 此时不存在正数，都有成立，故该函数不是有界函数． 故选：B. 4．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知函数，用表示中的较小者，记为，若函数的最大值小于1，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据进行分类讨论，画出对应函数的草图，数形结合分析即可得出结论. 【详解】当时，函数的草图如下图所示： 由图易知，此时函数的最大值为0，满足函数的最大值小于1，符合题意. 时，函数的草图如下图所示： 由图易知，此时函数的最大值小于1，符合题意. 当时，函数的草图如下图所示： 由图易知，此时函数的最大值等于1，不符合题意. 当时，函数的草图如下图所示： 由图易知，此时函数的最大值等于1，不符合题意. 综上所述，满足题意的实数的取值范围为 故答案为： 5．已知函数. (1)若，求函数在的值域； (2)若，求函数在上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过分离常数法可得，令，则.由对勾函数性质即可求解； （2）根据判别式法即可求解. 【详解】（1）若，则. 令，∵，∴，故. 由对勾函数性质可知，∴. ∴函数的值域为. （2）若，则函数. 因为恒成立，故， 则由可得， 当时，，符合题意； 当时，由于，故恒有实数根， 故，解得且， 综上可得，的值域为. 期中综合拓展练（测试时间：20分钟） 1．定义区间的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，的长度.用表示不超过x的最大整数，记，其中.设，当时，不等式解集的区间长度为，则实数的最小值为（    ） A． B． C．6 D．7 【答案】B 【分析】由函数新定义，将不等式转化为，再分的范围进行讨论即可； 【详解】，， 即， 当时，，得：，∴，其区间长度为； 当 时，，得：，∴；当 时，，得：，∴； 当 时，，得：，∴； 当 时，，得：，∴； 当 时，，得：，∴，其区间长度为； 当 时，，得：，∴，其区间长度为； 所以当 时， 不等式的解集为； ∴当时，不等式解集的区间长度为 ， 所以实数的最小值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能利用函数新定义将已知不等式转化为，再分的范围逐项讨论即可. 2．（多选）已知定义在上的函数，对于给定集合，若，当时都有，则称是“封闭”函数，则下列命题正确的是（   ） A．是“封闭”函数 B．定义在上函数都是“封闭”函数 C．若是“封闭”函数，则一定是“封闭”函数（） D．若是“封闭”函数（），则在区间上单调递减 【答案】ABC 【分析】A选项，若，有，A正确；B选项，，有，B正确；C选项，推出，都有，进而得到，即，C正确；D选项，举出反例即可. 【详解】对于A，任意的，若， 都有，故是“封闭”函数，A正确； 对于B，对于集合，任意的，若，即， 则有，故定义在上函数都是“封闭”函数，B正确； 对于C，对于集合，任意的，，即 因为是“封闭”函数，故， 即对于，都有， 对于集合，任意的，，即，， 其中， 故，， 所以一定是“封闭”函数（），C正确； D选项，不妨令，，满足任意的，若， 有，故是“封闭”函数（）， 但在区间上单调递增，D错误. 故选：ABC 【点睛】新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 3．（2025·安徽合肥·模拟预测）高斯是世界著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美称.函数称为“高斯函数”，它的函数值表示不超过的最大整数，例如，，.若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用高斯函数的定义，结合给定的和列出不等式组求解. 【详解】由，得，又， 则，， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $