第二有理数的运算单元培优考试卷 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

2026-2027学年度初一数学第二单元培优考试卷 本卷满分120分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题（每题3分，共计30分） 1．计算的结果是（    ）． A． B． C． D．4 2．四个互不相等整数，满足，则（    ） A．0 B．12 C． D．6 3．计算时，小嘉不小心把一个运算符号写错，结果得到，则他写错的是数（     ）前面的符号． A．20 B． C．22 D．23 4．正六边形（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点，表示的数分别为-2和-1．现将正六边形绕着顶点顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所表示的数为0．连续翻转多次后，数轴上2026所对应的点是（     ） A． B． C． D． 5．我国古代算盘（如图1）暗藏着十六进制，其算珠结构为“上二下五”，上珠以一当五，下珠以一当一．当算盘归零时，上下珠靠框，拨珠时靠梁，上珠下拨，下珠上拨．每档代表一个数位，从右往左数位依次增加．若通过“逢十六进一”的运算规则，则可适配古代重量单位“一斤等于十六两”的度量体系．图2表示的十六进制数为，通过（规定：时，），可知表示的十进制数为97．若十进制数88用该算盘表示为十六进制数，正确的是（   ） A． B． C． D． 6．已知a，b是有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列结论：①；②；③；④若，c是有理数，且满足，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 7．如表，张老师把教室里的白板密码设置成了数学问题，某同学看到图表后思索了片刻，之后输入密码，顺利地进入了白板页面，那么他输入的密码是（   ） 账号： 密码 A． B． C． D． 8．对于正数，规定，例如，计算，计算的结果是（   ） A．2017 B．2016.5 C．2018 D．2017.5 9．减去它的，再减去余下的，再减去余下的……，以此类推，一直减到余下的，则最后剩下的数是（   ） A． B．1 C． D． 10．如图在下列表格中，每行、每列以及每条对角线上的三位数字之和都相等，则的值为（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（每题3分，共计18分） 11．，则M的整数部分是( )，M的小数部分是( )． 12．二进制数与七进制数的和，写成八进制的数应为，括号内应填_______． 13．小新同学发明了一种游戏，将0，，1，，5，6，7，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等．他已经将，1，，7这四个数填入了圆圈，则图中的值为______． 14．已知a，b，c为三个互不相等的整数，且，则的最大值等于______________． 15．三个有理数，，，满足，求______． 16．机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过3秒后，甲、乙之间的距离为4个单位长度，那么此时甲所在位置表示的数为___________． 三、解答题 17．计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 18．已知与互为相反数，试求：的值． 19．（1）计算： （2）请你认真阅读下列材料：计算： 解：因为原式的倒数为 ． 所以原式 根据你对所提供材料的理解，计算： 20．同学们知道，表示与的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数与数两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数与数_____________两点间的距离； (2)的最小值是_____________； (3)计算的最小值． 21．综合与实践 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，十进制数一般不标注基数． 材料一：十进制数3721中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一，于是我们得到了下面的式子（规定当时，）： 例如，二进制数，转换为十进制数为：． 材料二：将十进制数转化为二进制数可以用除2取余法，例如，将十进制数25转换为二进制数的除法算式如图： 将上式中各步所得的余数按照逆序排列，即可得．此方法可推广为把十进制数转换为k进制数的算法（除k取余法）． 根据上述材料解答下列问题： 【任务一】 （1）十进制数13对应的二进制数为______． 【任务二】 （2）中国古代的十二地支，十二生辰，十二生肖等都属于十二进制的应用．十二进制使用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，X，Y来记数，其中X代表10，Y代表11．请结合以上材料计算十进制数982对应的十二进制数为_____． 【任务三】 （3）有一种密钥破解方式，先将二进制明码数转成十进制数x后，再按以下规则获得密码：当x为奇数时，破解公式为，当x为偶数时，破解公式为．试破解二进制明码表示的密码． 22．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，则_____；当时，则______；当时，则______． (2)若，求的值． (3)若，且，请分析的正负性，并求出的值． 23．如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是______； (2)以下是甲，乙两位同学求的方法； 甲同学的方法：利用已给正方形图形求，； 乙同学的方法：① ②   ②－①即可． 根据两位同学的方法，你认为______； (3)计算：； (4)请借助甲，乙同学的方法，求出的值． 24．如图，数轴上从左至右有，，，四个点．分别表示有理数，，，，点和点之间的距离为20个单位长度，且，互为相反数，． (1) ， ， ； (2)数轴上的动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点运动，设运动时间为秒．当点运动到点时，点从点出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴在点和点之间往返运动，当点运动到点时，点的运动停止． ①求为何值时，点与点第一次相遇； ②求点一共运动了多少个单位长度，并求点停止运动时在数轴上所表示的有理数； ③直接写出点，前两次相遇间隔的时长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年度初一数学第二单元培优考试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C D C A B D B B 1．A 【分析】本题考查有理数乘方的意义，通过拆分指数将原式转化为可利用乘方意义进行计算的形式，进而简便计算． 【详解】解：∵， ∴原式 ， 故选：A． 2．A 【分析】先对81分解因数，根据四个互不相等整数的乘积为正，确定四个整数的取值，再计算和即可． 【详解】解：∵，且是互不相等的整数，将81分解为四个互不相等整数的乘积，可得： ， 或， 或， 或， 或， ∴， 或， 或 或， 或， 观察四个选项，只有0符合，故A正确． 3．C 【分析】根据题意，改变一个数的符号会使总和增加该数的2倍，结合正确与错误结果的差值即可求解． 【详解】解： ， 错误结果与正确结果的差值为， ∵写错一个符号后结果增大， ∴是将某偶数前的负号改为正号，且总和增加该偶数的2倍， ∴该偶数是． 4．D 【分析】翻转后数轴上右侧的点表示的数是，对应的点为，由，根据规律进行判定即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得，连续翻转后，数轴上对应的点是，数轴上对应的点是，数轴上对应的点是，数轴上对应的点是，数轴上对应的点是，数轴上对应的点是，……， ∴每次一个循环． ∵， ∴连续翻转多次后，数轴上2026所对应的点是． 5．C 【分析】本题考查了数制转换，算盘的算珠表示规则及数字表示的逻辑推理，根据题意理解十六进制转十进制的规则，再分析算盘的算珠表示规则，将十进制数88转化为十六进制数，逐一验证选项中算盘的算珠表示是否对应，选出正确选项即可． 【详解】解：A项：，不符合题意； B项：，不符合题意； C项：，符合题意； D项：，不符合题意， 故选：C． 6．A 【分析】本题考查数轴与有理数，有理数的运算，绝对值的意义，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，结合有理数的运算法则和绝对值的意义，逐一进行判断即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴，； 若，， 则：或； 综上：①②③正确，④错误； 故答案为：①②③ 7．B 【分析】本题主要考查了有理数的运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据前两组运算规律，对于输入，输出由及它们的和组成，组合成六位数字． 【详解】解：∵对于：，组成； 对于：，组成； ∴对于：，组成； ∴密码为， 故选：B． 8．D 【分析】本题考查了定义新运算在有理数的混合运算中的应用，读懂定义，发现规律，是解题的关键． 按照定义式，发现规律，首尾两两组合相加，剩下中间的，最后再求和即可． 【详解】 = = = = 故选：D． 9．B 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算的顺序和运算法则是解题的关键．根据题意列出算式，先计算小括号内的减法，再计算乘法即可． 【详解】由题意得， 故选：B． 10．B 【分析】本题主要考查了九宫格与有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的运算法则． 根据九宫格的特征，逐个求出字母的值，然后代数求值即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得； ， 解得； ， 解得； ∴， ∴每行、每列以及每条对角线上的三位数字之和都为， ∴， ， ， ∴， 故选：B． 11． 【分析】将原式转化为，进行计算即可． 【详解】解：， ， M的整数部分为，小数部分为． 12．130 【分析】先将二进制数和七进制数分别转化为十进制数，计算二者的和后，再将得到的十进制和转化为八进制数即可. 【详解】解： ； ； ， ，，，将余数从高位到低位排列， . 13． 【分析】设外圈上空白处的数字为c，根据横、外圈上的数字之和都相等列式子求解即可． 【详解】解：设外圈上空白处的数字为c，根据题意可知： ， 即， ， ． 14． 【分析】设，，，将问题转化为把分解为三个互不相等整数的乘积，求的最大值，即可得到的最大值． 【详解】解：设，，， 则，且为互不相等的整数， 可得， 因此要使最大，只需使最大 ∵，负因数个数为奇数，要使和最大，负因数个数应为1个，且负因数尽可能大， ∴取负因数为， 此时剩余两个正整数的乘积为， 将分解为两个不同正整数的乘积，可得和两种情况， 当三个整数为时，和为， 当三个整数为时，和为， 其他分解方式得到的和均小于， ∴的最大值为， ∴的最大值为． 15．0或4 【分析】本题考查了绝对值的化简与有理数的符号分析，解题关键是根据分情况讨论a、b、c的正负性，再化简绝对值计算． 由 可知，、、 要么全为正数，要么两负一正，分别计算这两种情况下原式的值即可． 【详解】解：， 、、 全为正数或两负一正． 当 、、 全为正数时， ，，，， 故原式 ． 当 、、 两负一正时（不妨设 ，，）， ，，，， 故原式 ． 综上，原式的值为 或 ． 故答案为0或4． 16．或 【分析】本题考查了数轴上两点距离，有理数的混合运算的应用，理解题意是解决本题的关键． 根据题意得出乙所在位置表示的数为，进而根据甲、乙之间的距离是，得出甲所在位置表示的数，即可求解． 【详解】解：乙的速度是平均每秒个单位长度， 经过3秒后，乙所在位置表示的数为， 经过3秒后，甲、乙之间的距离是， 此时甲所在位置表示的数是或， 故答案为：或． 17．(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）利用加法交换律和结合律简化运算； （2）利用加法交换律和结合律简化运算； （3）先将带分数化为假分数，再按有理数乘除法则计算； （4）先通分计算括号内的运算，再计算乘法； （5）将带分数拆分后简化计算； （6）按先算括号内，再算乘除，最后算加减的顺序计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； 18． 【分析】先根据相反数的性质和绝对值的非负性求出和的值，再将原式拆分变形，通过抵消合并计算出最终结果，用裂项相消的方法完成求和． 【详解】解：根据题意得，， ∵，， ， ， 解得 ， 将，代入原式得 ： ． 19．（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先拆项，再利用加法结合律进行简便计算即可； （2）表示出原式的倒数，先将除法转化为乘法，然后利用乘法分配律求出值，进而确定出所求即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式的倒数 ． ∴原式． 20．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，关键是应用知识点解决问题； （1）根据绝对值的几何意义解答即可； （2）分情况讨论在不同位置时，代数式的值，比较并得出最小值； （3）通过观察可发现在到这段线段的中点时，代数式有最小值，代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得：表示数轴上数与数两点间的距离； 故答案为：； （2）解：当时，，即； 当时，； 当时，，即； 综上：的最小值是； 故答案为：； （3）解：共项， 根据绝对值的几何意义，取中间项时，原式的值最小， 即：当时， 原式 ， ∴的最小值为：． 21．（1）；（2）；（3）二进制明码表示的密码为181． 【分析】本题考查了数字规律，有理数的乘方运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干解题过程，得，即可作答； （2）理解题意，先模仿题干解题过程，即可作答； （3）先将转换成十进制数，再根据题意求解即可． 【详解】解：（1）依题意， ∴十进制数13对应的二进制数为； 故答案为：； （2）依题意，（最低位为10）， （次低位为9）， （最高位为0）， ∴． 故答案为：； （3）依题意， ， 由于365是奇数，代入公式得 ∴二进制明码表示的密码为181． 22．(1)；； (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的除法法则，运用分类讨论的思想解答是解题的关键． （1）根据题意化简可得前两问，根据讨论的正负即可解答； （2）由已知可得，，，，，三个有理数有两个正数一个负数，进而仿照题例解答即可求解； （3）得到，可得的正负性，根据题意可得，根据，，的正负即可解答． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，可得异号， 当，时，， 当，时，， 所以当时，， 故答案为：；；； （2）解：， ，，， ， ， ，，三个有理数有两个正数一个负数， 假设， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， 原式． 23．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了图形规律的探究，有理数的运算．熟练掌握图形规律的探究，有理数的运算是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）甲同学： ；乙同学：得，，计算求解即可； （3）令，则，，计算求解即可； （4）甲同学：如图，将边长为1的正方形四等分，每分割一次面积为原来的，依此类推，则图中阴影部分的面积为，可得一般性规律为，整理得，然后求解即可；乙同学：令，则，，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：甲同学： ； 乙同学：①，② 得，， 故答案为：； （3）解：令，则， ∴， ∴； （4）解：甲同学：如图，将边长为1的正方形四等分，每分割一次面积为原来的，依此类推， 则图中阴影部分的面积为， ∴可得一般性规律为：，整理得， ∴； 乙同学：令，则， ∴， 解得，， ∴的值为． 24．(1) (2)①②144，4③4秒 【分析】本题考查了有理数与数轴，非负性，有理数的运算，熟练掌握两点间的距离，正确地列出算式是解题的关键； （1）根据互为相反数的两个数到原点的距离相等，求出a，c，非负性求出b，d，进而求出即可； （2）①用点P到达点C的时间加上P，Q相遇时所用的时间，即可得出结果； ②求出点P从点C运动到点D所用的时间，再根据路程等于速度乘以时间，求出点Q运动的路程，进而求出点Q停止时所表示的数； ③先求出第一相遇的位置，再求出Q运动到B的时间，进而求出P运动的路程，再根据追及问题求时间即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， 点和点之间的距离为20个单位长度，且，互为相反数，， ， ， 故答案为：； （2）解：①点P到达点C所用时间为（秒）， ； 故当时，点P与点Q第一次相遇； ②P点从点C到达点D所用时间为（秒）， ∴点Q一共运动了个单位长度， ， ∴当点Q停止运动时，离点D有24个单位长度， ∴点Q表示的数为； ③P从C到第一次相遇运动的路程为：， P，Q在处相遇， Q运动到B所用时间为（秒），此时P运动的路程为个单位长度， ，前两次相遇间隔的时长为（秒）． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $