第2章 有理数的运算 单元讲练测-2026-2027学年浙教版七年级数学上册

第2章 有理数的运算 单元讲练测 浙教版《数学》七年级上册（2024年新版）· 2.1-2.7 · 配单元综合检测卷（满分100分） 单元导航 【本章地位】 有理数的运算是小学算术运算在引入了负数之后的自然延伸，也是整个初中代数运算的基石。本章在“有理数”概念基础上，依次学习加、减、乘、除、乘方及混合运算，并把运算结果延伸到近似数与科学记数法。运算法则的“符号判定”是贯穿全章的核心，数形结合（数轴）与转化思想（减法化加法、除法化乘法）是本单元最重要的数学思想方法。 【学习目标】 1. 掌握有理数的加法、减法、乘法法则，能熟练进行有理数的加减乘运算，并理解“减法转化为加法”“异号相加取绝对值较大符号”等关键环节。 2. 理解倒数概念，掌握有理数的除法法则，会进行除法运算，知道“0 不能作除数”。 3. 理解乘方的意义，能正确进行乘方运算，掌握有理数幂的符号规律（负数的奇次幂为负、偶次幂为正）。 4. 掌握有理数混合运算的顺序，能正确进行含有乘方、乘除、加减及括号的混合运算。 5. 了解准确数与近似数，会用“四舍五入”法取近似数并表述精确度；会用科学记数法表示较大或较小的数。 【重难点提示】（依据浙教版教师教学用书七上第2章教学目标整理） 重点：有理数四则运算法则；乘方运算及幂的符号规律；混合运算的顺序。 难点：符号的确定——异号两数相加的符号、有理数乘法的符号、有理数幂的符号；减法法则“减一个数等于加它的相反数”的转化；混合运算中顺序与符号的双重把控；近似数的精确度表述（四舍五入到哪一位，就精确到哪一位）。 第一部分 知识梳理 一、2.1 有理数的加法 有理数加法分两种情况，并把“与 0 相加”作为补充： ① 同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加； ② 异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； ③ 互为相反数的两个数相加得 0；一个数同 0 相加，仍得这个数。 二、2.2 有理数的减法 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 有理数减法法则 （提示：减法必须先“变号”——减号变加号、减数变其相反数，再按加法法则计算。） 三、2.3 有理数的乘法 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与 0 相乘，积为 0。 若两个有理数的乘积为 1，则称这两个数互为倒数。0 没有倒数。 乘法运算律在有理数范围仍成立：交换律 ；结合律 ；分配律 。 四、2.4 有理数的除法 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何一个不等于 0 的数都得 0。 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数：（）。 五、2.5 有理数的乘方 求 n 个相同因数 a 的积的运算叫做乘方，结果叫做幂。在 中，a 叫底数，n 叫指数，读作“a 的 n 次方”。 幂的符号规律：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0 的正整数次幂是 0。注意 与 不同——前者是先平方再取相反数。 六、2.6 有理数的混合运算 有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算从左到右依次进行；如果有括号，先进行括号内的运算。 七、2.7 近似数 与实际完全符合的数叫准确数；与实际接近但不完全符合的数叫近似数。 一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位。 较大的数或较小的数常用科学记数法表示为 ，其中 ，n 为整数。 第二部分 分节精讲·例题 2.1 有理数的加法 【知识要点】加法三大法则（同号、异号、相反数及与0）；先定符号，再算绝对值。 【例1】计算：（1）(−11)+(−9)；（2）(−3.5)+(+7)；（3）(−1.08)+0；（4）()+()。 【分析】先判断两数同号还是异号，确定结果的符号，再把绝对值相加或相减；带分数先通分。 【解答】（1）同号相加，得 ；（2）异号且 |7|>|3.5|，取正号，7−3.5=3.5，得 ；（3）任何数加 0 仍是它本身，得 ；（4）通分 。 【点拨】异号相加易错在“符号取错”或“绝对值相减方向反”，始终用“大绝对值减小绝对值”。 【例2】以警戒水位为基准（记为 0），某水库星期一水位变化 +0.3 m，星期二水位变化 −0.5 m。这两天水位合计变化多少？与警戒水位相比如何？ 【分析】“合计变化”即把两天的变化量相加；正数表示上升、负数表示下降。 【解答】合计变化为 (+0.3)+(−0.5)。异号相加，|−0.5|>|0.3|，取负号，0.5−0.3=0.2，所以得 m。即两天后水位低于警戒水位 0.2 m。 图1 例2：(+5)+(−2) 在数轴上表示“上升5再下降2，净变化−2” 【点拨】把“上升/下降”制成相反数后用加法统一处理，是减法化加法的思想雏形。 2.2 有理数的减法 【知识要点】减法法则 a−b=a+(−b)；先变号再按加法算。 【例3】计算：（1）5−(−5)；（2）0−7−5；（3）(−1.3)−(−2.1)。 【分析】每处减号都变成加号，减数变成相反数，再按加法法则计算。 【解答】（1）5−(−5)=5+5=10；（2）0−7−5=0+(−7)+(−5)=−12；（3）(−1.3)−(−2.1)=−1.3+2.1=。 【点拨】连续减法也连续“变号”，别漏掉中间符号；0 减一个数等于这个数的相反数。 【例4】某天厦门最高气温 9 ℃，哈尔滨最高气温 −7 ℃。这天厦门气温比哈尔滨高多少摄氏度？ 【分析】“A 比 B 高多少”用 A−B；减负数等于加正数。 【解答】气温差为 9−(−7)=9+7=16（℃）。即厦门比哈尔滨高 16 ℃。 图2 例4：9−(−7) 在数轴上直观得到相距 16 【点拨】有理数减法能统一成加法，是本章最重要的“转化”思想。 2.3 有理数的乘法 【知识要点】乘法法则（同号得正、异号得负、绝对值相乘、与0相乘得0）；倒数。 【例5】计算：（1）(−3)×(−4)；（2）3×(−5)；（3）(−2.5)×0；（4）()×()。 【分析】先看两数符号定积的符号，再把绝对值相乘；一旦有因数 0，积直接为 0。 【解答】（1）同号得正，3×4=12，得 ；（2）异号得负，3×5=15，得 ；（3）含因数 0，得 ；（4）同号得正，，得 。 【点拨】乘积符号由“负因数个数”的奇偶性决定；多个数相乘先数负号个数。 【例6】求下列数的倒数：，2.5；并计算 。 【分析】倒数即乘积为 1 的数（把分数倒过来，整数看作分母1）；连乘可先约分再定号。 【解答】 的倒数是 （因为 ）；2.5=，倒数是 。连乘：，再 。 图3 例5背景：3×2 与 (−3)×2 在数轴上分别表示向右、向左累计 【点拨】连乘先确定整体符号（负因数个数），再算绝对值，能减少出错。 2.4 有理数的除法 【知识要点】除法法则（同号得正、异号得负、绝对值相除、0÷非0数=0）；除以非0数=乘倒数。 【例7】计算：（1）(−24)÷12；（2）18÷(−9)；（3）0÷(−5)；（4）()÷()。 【分析】定符号后绝对值相除；除以分数等于乘它的倒数；0 作被除数（除数非0）得 0。 【解答】（1）异号得负，24÷12=2，得 ；（2）异号得负，18÷9=2，得 ；（3）0 除以非零数得 ；（4）。 【点拨】除法与乘法互为逆运算，能用倒数就把除法化乘法来做。 【例8】计算 。 【分析】乘除混合从左到右算，先把除法变乘法，再约分。 【解答】。 【点拨】连除连乘统一成乘法后，负因数个数决定最终符号，约分要彻底。 2.5 有理数的乘方 【知识要点】乘方定义；幂的符号规律；分清 −a² 与 (−a)²。 【例9】计算：（1）(−4)²；（2）(−2)³；（3）−3²；（4）(−1)¹⁰。 【分析】有括号时底数是括号内的整体；没有括号时“−”在乘方之外（如 −3² 是先平方再取负）。 【解答】（1）底数是 −4，偶次幂为正，得 ；（2）底数是 −2，奇次幂为负，得 ；（3）−3²=−(3²)=−9（注意不是 9）；（4）(−1) 的偶次幂为 。 【点拨】负号在括号内还是括号外，结果天差地别，写乘方务必先看清括号。 【例10】判断下列各幂的符号，不必计算：（1）(−2)⁵；（2）()⁴；（3）0.3³。 【分析】只需看底数正负与指数奇偶：负数奇次幂负、偶次幂正；正数任何次幂正。 【解答】（1）底数 −2 为负、指数 5 为奇，符号为 （负）；（2）底数 为负、指数 4 为偶，符号为 （正）；（3）底数 0.3 为正，符号为 （正）。 【点拨】“奇负偶正”是判断幂符号的快捷口诀，但仅适用于底数为负数的情形。 2.6 有理数的混合运算 【知识要点】运算顺序：乘方 → 乘除 → 加减；有括号先算括号内；同级从左到右。 【例11】计算：（1）；（2）。 【分析】先算乘方，括号内先合并；再算乘除，最后算加减；注意每一步的符号。 【解答】（1）；（2）（即 −16.75）。 【点拨】乘方优先于一切；带分数的括号先通分，能避免符号与顺序双重错误。 【例12】计算 。 【分析】先处理括号内减法，再乘，最后加减。 【解答】。 【点拨】混合运算最容易漏“先乘方/先括号”，一步步标顺序最稳。 2.7 近似数 【知识要点】准确数/近似数；四舍五入取精确度；科学记数法 a×10ⁿ（1≤|a|<10）。 【例13】指出下列各数是准确数还是近似数，并说明理由：（1）教室里有 24 张课桌；（2）小明的身高为 1.57 m；（3）光速约为 3×10⁸ m/s；（4）一盒铅笔有 12 支。 【分析】看是否“与实际完全符合”：计数、编号等通常为准确数；测量、估计得来的为近似数。 【解答】（1）24 张是清点所得，准确数；（2）1.57 m 由测量得到，近似数；（3）3×10⁸ 是对光速的近似，近似数；（4）12 支是计数，准确数。 【点拨】带“约”“大约”的多为近似数；计数得到的整数一般是准确数。 【例14】（1）将 0.0496 精确到 0.01；（2）将 84960 精确到百位，并用科学记数法表示。 【分析】精确到哪一位，就看它后面一位，按四舍五入处理；精确到百位要把结果写成 a×10ⁿ。 【解答】（1）0.0496 千分位是 9，向百分位进 1，得 0.05（精确到 0.01）；（2）84960 十位是 6，向百位进 1 得 85000，写成 。 图4 例14：身高 1.57 m 表示实际身高在 [1.565, 1.575) m 之间 【点拨】科学记数法中 a 的取值范围 1≤|a|<10；精确到哪一位，就看保留到的最后一位。 第三部分 分层训练 【选题说明】本部分题目选自 2023—2026 学年浙江省杭州市文澜中学、锦绣育才教育集团、观城教育集团等校七年级（上）期中数学试卷真题，按 2.1—2.7 分节编排，难度与考查方向均取自真实考试。 2.1 有理数的加法 【基础达标】 1.（4分）计算：(−11)+(−7) = 　　　　。 【能力提升】 2.（4分）计算：−7+13+(−6)+10 = 　　　　。 【拓展挑战】 3.（4分）已知 x>0，y<0，且 |x|<|y|，则 x+y 是（　　） A. 零　　B. 正数　　C. 负数　　D. 非负数 2.2 有理数的减法 【基础达标】 1.（4分）计算：−3+(−5)−(−8) = 　　　　。 【能力提升】 2.（4分）下列计算正确的是（　　） A. (−3)+(−8) = 5　　B. −5+7 = −12　　C. 6+(−7) = 1　　D. (−11)−(−6) = −5 2.3 有理数的乘法 【基础达标】 1.（4分）若 a、b 都是整数，且 ，则 的最小值是 　　　　。 【能力提升】 定义一种新运算“⊕”，运算规则为 。 2.（4分）计算：(−2)⊕2 = 　　　　。 【拓展挑战】 3.（4分）比较大小：(−3)⊕4 　　　 5⊕(−4)（填“＞”“＝”或“＜”）。 2.4 有理数的除法 【基础达标】 1.（4分）−4 的倒数是（　　） A. 4　　B. −4　　C. 　　D. 【能力提升】 2.（4分）在 −2，−3，0，4 这四个数中，任意两个数相除，所得的商最小是 　　　　。 【拓展挑战】 3.（4分）已知 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，则 = 　　　　。 2.5 有理数的乘方 【基础达标】 1.（4分）(−2)³ = 　　　；−2³ = 　　　；−3² = 　　　；(−3)² = 　　　。 【能力提升】 2.（4分）已知 ，，，若 abc>0，则 的值为 　　　　　　。 【拓展挑战】 3.（4分）若 ，则 的值为（　　） A. 8　　B. 10　　C. −8　　D. −2 2.6 有理数的混合运算 【基础达标】 1.（4分）计算： = 　　　　。 【能力提升】 2.（4分）计算： = 　　　　。 【拓展挑战】 3.（4分）计算： = 　　　　。 2.7 近似数 【基础达标】 1.（4分）“一带一路”地区覆盖总人口约为 4400000000 人，这个数用科学记数法表示为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 【能力提升】 2.（4分）下列实例中，数据属于准确数的是（　　） A. 2024 年浙江省中考考生约 54.9 万人　　B. 杭州地铁 1 号线全线共设 33 个站点　　C. 新浙教版七年级上册数学课本长约 26 厘米　　D. 巴黎奥运会冠军潘展乐以 46 秒 09 摘取男子百米自由泳冠军 【拓展挑战】 3.（4分）杭州亚运会售出约 3050000 张门票，这个数据用科学记数法表示为 　　　　　　。 第四部分 单元综合检测卷 满分：100分　建议时间：60分钟　（本卷题目均选自近三年杭州各校七上期中真题） 一、选择题（每题5分，共20分） 1.（5分）−5 的倒数是（　　） A. 　　B. 　　C. −5　　D. 5 2.（5分）地球与月球的平均距离约为 384000 km，数据 384000 用科学记数法表示为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 3.（5分）据统计，中国每年浪费食物总量折合成粮食约 500 亿千克，这个数据用科学记数法表示为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 4.（5分）在算式 (−2)□(−3) 的□中填上运算符号，使结果最小，应填的运算符号是（　　） A. +　　B. −　　C. ×　　D. ÷ 二、填空题（每题4分，共20分） 5.（4分）−6 的倒数是 　　　　　。 6.（4分）−2024 的倒数是 　　　　　　。 7.（4分）计算：|−2|+(−1) = 　　　　。 8.（4分）国家中小学智慧云平台上线的某天，全国大约有 5450000 人在平台上学习，将数据 5450000 用科学记数法表示为 　　　　　　。 9.（4分）近似数 3.40 万精确到 　　　　位。 三、解答题（每题30分，共60分，须写出必要的计算过程） 10.（30分）司机小凡沿着东西大街跑出租车，规定向东为正，向西为负．某天，小凡从东西大街的 A 地处出发，收工时出租车的行驶记录为（单位：千米）：+8、−9、+7、−2、+5、−10、+7、−3．（1）收工时小凡在 A 地的东边还是西边？距 A 地多少千米？（2）若每千米耗油 0.2 升，问从 A 地出发到收工时，共耗油多少升？ 11.（30分）计算：． 第五部分 参考答案 一、2.1 有理数的加法 1. −18。同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加：−(11+7) = −18。 2. 10。−7+13 = 6，6+(−6) = 0，0+10 = 10。 3. C。x>0、y<0 且 |x|<|y|，异号两数相加取绝对值较大的加数的符号，故 x+y<0，即 x+y 是负数。 二、2.2 有理数的减法 1. 0。−3+(−5) = −8，−8−(−8) = −8+8 = 0。 2. D。(−3)+(−8) = −11，−5+7 = 2，6+(−7) = −1，(−11)−(−6) = −11+6 = −5，只有 D 正确。 三、2.3 有理数的乘法 1. −13。因为 且 a、b 为整数，当 a = −1、b = −12（或 a = −12、b = −1）时， 最小。 2. −4。(−2)⊕2 = (−2)×2−(−2)−2 = −4+2−2 = −4。 3. ＞。(−3)⊕4 = −12+3−4 = −13，5⊕(−4) = −20−5+4 = −21，因为 −13 > −21，所以 (−3)⊕4 ＞ 5⊕(−4)。 四、2.4 有理数的除法 1. D。−4 的倒数是 （因为 −4×() = 1）。 2. −2。异号两数相除得负，取商的绝对值最大者：4÷(−2) = −2。 3. 。由 a、b 互为相反数得 a+b = 0，由 c、d 互为倒数得 cd = 1，所以 。 五、2.5 有理数的乘方 1. −8；−8；−9；9。(−2)³ = −8，−2³ = −8，两者相等；−3² = −9，(−3)² = 9。注意“负号在括号内还是括号外”结果不同。 2. 15 或 −7。由 |a| = 5 得 a = ±5，由 b² = 4 得 b = ±2，由 c³ = −8 得 c = −2；又 abc>0，故 a = 5、b = −2 或 a = −5、b = 2。当 a = 5、b = −2、c = −2 时，a−3b−2c = 5+6+4 = 15；当 a = −5、b = 2、c = −2 时，a−3b−2c = −5−6+4 = −7。 3. B。由绝对值和平方的非负性得 x−2 = 0、y+6 = 0，即 x = 2、y = −6，所以 2x−y = 4−(−6) = 10。 六、2.6 有理数的混合运算 1. −7。。 2. 22。(−2)²×5−(−2)³÷4 = 4×5−(−8)÷4 = 20−(−2) = 22。 3. −2。；；；所以原式 = −8−(−6) = −2。 七、2.7 近似数 1. C。4400000000 = 4.4×10⁹（1≤|a|<10，n 为整数）。 2. B。“33 个站点”由计数得到，是准确数；A 含“约”、C 含“长约”、D 为成绩计时，均为近似数。 3. 3.05×10⁶。 八、单元综合检测卷 （一）选择题 1. B。−5 的倒数是 。 2. B。384000 = 3.84×10⁵。 3. B。500 亿 = 50000000000 = 5×10¹⁰。 4. A。(−2)+(−3) = −5，(−2)−(−3) = 1，(−2)×(−3) = 6，(−2)÷(−3) = ，结果最小的是 −5，应填“+”。 （二）填空题 5. 。 6. 。 7. 1。|−2|+(−1) = 2−1 = 1。 8. 5.45×10⁶。 9. 百。3.40 万 = 34000，最后一个 0 在百位，故精确到百位。 （三）解答题 10.（1）8+(−9)+7+(−2)+5+(−10)+7+(−3) = 3（千米），结果为正，所以收工时小凡在 A 地的东边，距 A 地 3 千米。（2）行驶总路程为 8+9+7+2+5+10+7+3 = 51（千米），共耗油 51×0.2 = 10.2（升）。 11. 25。原式 = 。 / 学科网（北京）股份有限公司 $