5.3.2 一元一次方程的应用 盈余不足 问题 课件2026-2027学年北师大版数学七年级上册

3 一元一次方程的应用 第五章 一元一次方程 七年级上册数学（北师版） 第2课时 “盈余不足”问题 教学目标 1. 借助表格分析复杂问题中的数量关系,从而建立方程解决实际问题。 2. 领悟数学来源于实践,服务于实践,解决问题用最简单的方法。 重点：利用方程解决“盈余不足”问题。 难点：根据题意建立等量关系,列出方程。 导入新课 《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部。 《九章算术》第七章“盈不足”中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？” 你知道我国古人是如何解决这个 问题的吗？ 探究新知 “盈不足”问题 1 “今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？” 题目大意：几个人合伙买东西，若每人出 8 钱，则会多出 3 钱，若每人出 7 钱，则还少 4 钱。问合伙的人数和物品的价格分别是多少？ （1）问题中有哪些已知量和未知量？它们之间有怎样的等量关系？ 合作探究 （2）设人数为 x，其他未知量能用含 x 的代数式表示吗？请完成下表。 有关量 每人出 8 钱 每人出 7 钱 人数 x 出钱总数 物价 8x 8x - 3 x 7x 7x + 4 知识总结 （3）根据等量关系，你能列出怎样的方程？ 方法总结：利用表格分析数量关系是一种有效方法。 设人数为 x。 根据等量关系，列出方程： 。 解这个方程，得 x = 。 因此，人数为 ，物价为 。 7 7 53 8x - 3 = 7x + 4 知识总结 如果设物价为 y，你能列出怎样的方程？与同伴进行交流。 解得 y = 53。 你比较喜欢用哪种方式列方程呢？ 例1 《九章算术》“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问人数、金价各几何？ 题目大意：几个人合伙买金，每人出 400 钱，会多出 3400 钱；每人出 300 钱，会多出 100 钱。合伙人数、金价各是多少？ 典例精析 分析：设人数为 x，你能把下表补充完整吗？ 有关量 每人出400 钱 每人出300 钱 人数 x 出钱总数 物价 400x 400x - 3400 x 300x 300x - 100 解：设合伙人数为 x，则金价可表示为 （400x - 3400）钱，还可表示为 （300x - 100）钱，根据等量关系，列出方程： 方程的两边就是金价的两种不同的表达式。 400x - 3400 = 300x - 100。 解这个方程，得 x = 33。 300×33 - 100 = 9800。 因此，人数为 33，金价为 9800 钱。 思考交流 （1）对于例 1，如果设金价为 y，能列出怎样的方程？ 解得 y = 9800。 （2）《九章算术》给出了一种算法： 人数 = 两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差； 物价 = 每人出的较多钱数×人数 - 剩余钱数， 或 物价 = 每人出的较少钱数×人数 + 不足的钱数。 你能理解这种解法吗？与方程的求解过程相比，有什么不同？与同伴进行交流。 解方程→顺向思考 算式方法→逆向思考 练一练 1. 《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之,绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺。问绳长、井深各几何? ”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺。问绳长和井深各多少尺？假设井深为 x 尺，则符合题意的方程应为 ( ) A.13x - 4 = 14x - 1 B.3x + 4 = 4x + 1 C. 13x + 4 = 14x + 1 D.3(x + 4) = 4(x + 1) D 2.《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少元？ 解：设学生有 x人． 根据题意，得 8x－3＝7x＋4. 解得 x＝7. 7×8－3＝53(元)． 答：学生有 7 人，该书单价是 53 元． 当堂小结 实际问题 盈亏不足问题 盈时的总量－盈时的数量＝亏时的总量＋____的数量 亏时 方法点拨：“盈余不足”问题，往往都是根据同一个量的两种不同表示方式来列方程求解，一般有两种设未知数的方法。 1.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一。书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱。问：共有几个人？”设共有 x 个人共同出钱买鸡，则下面所列方程正确的是（　　） A．9x + 11 = 6x - 16 B．9x - 11 = 6x + 16 C．6x - 11 = 9x + 16 D．6x + 11 = 9x - 16 课堂练习 B 2. 牛奶是家家户户早餐的选择，现某奶站每天需要配送若干瓶牛奶，若每个送奶员配送 10 瓶，还剩 6 瓶；若每个送奶员配送 12 瓶，还差 6 瓶。设该奶站现有送奶员 x 人，根据题意列方程为（　　） A．10x + 6 = 12x - 6 B．10x - 6 = 12x + 6 C．10 + 6x = 12 - 6x D．10 - 6x = 12 + 6x　 A 3. 在数学课上，老师展示了下列问题，请同学们分组讨论解决的方法． 中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人和车各几何？”这个题的意思是：今有若干人乘车。若每 3 人乘一辆车，则余 2 辆空车；若每 2 人乘一辆车。则余 9 人需步行，问共有多少辆车，多少人？ 某小组选择用一元一次方程解决问题，请补全他们的分析和解答过程： （1）设共有 x 辆车； （2）由“若每 3 人乘一辆车，则余 2 辆空车”，可得人数为 （用含 x 的式子表示）； （3）由“若每 2 人乘一辆车，则余 9 人需步行”可得人数为 （用含 x 的式子表示）； （4）根据两种乘车方式的人数相等，列出方程为 。 3(x - 2) 2x + 9 3(x - 2) = 2x + 9 （5）写出解方程的过程。 3(x - 2) = 2x + 9。 去括号，得 3x - 6 = 2x + 9。 移项，得 3x - 2x = 9 + 6。 合并同类项，得 x = 15。 （3）如果本次义演共售出1000张票，筹得票款6950元，成人票与学生票各售出多少张？ 分析：本题中存在2个等量关系： 总票数=成人总票数＋学生总票数； 总票款=成人总票款＋学生总票款. 方法1：设学生票为x张 x 1000-x 5x 8(1000－x) 学生 成人 票数（张） 票款（元） 解：设学生票为x张， 据题意得 5x＋8(1000－x) =6950. 解，得 x=350. 此时，1000－x = 1000－350 = 650(张). 答：售出成人票650张，学生票350张． 例１：某文艺团体为“希望工程”募捐义演，成人票８元，学生票５元． 学生 成人 票数（张） 票款（元） （方法2）解：设学生票款为y张， 据题意得 y 6950－y 方法2 1000－350=650(张). 答：售出成人票650张，学生票350张． 解，得 y=1750， 设学生票款为y元 答：因为x= 不符合题意，所以如果票价不变， 解：设售出学生票为x张， 据题意得 5x＋8(1000－x) =6930. 解，得 x= 变式：如果票价不变，那么售出1000张票所得的票款可能是6930元吗？ 分析：列表 学生 成人 票数（张） x 1000-x 票款（元） 5x 8(1000－x) 售出1000张票所得票款不可能是6930元． 例１：某文艺团体为“希望工程”募捐义演，成人票８元，学生票５元． 学校为希望工程捐了88厘米高的一摞数学书和语文书，共90本。小明量得一本数学书厚0.8厘米，一本语文书厚1.2厘米。你知道这摞书数学书和语文书各有多少本吗？ 练 一 练 数学书 语文书 册数(册) 总厚度(厘米) 例2 一套餐桌由一张桌子和四把椅子组成，如果1立方米木料可做10张桌子或20把椅子，现有6立方米木料，那么用多少立方米木料做桌子、多少立方米木料做椅子，恰好配套成餐桌？能配成多少套餐桌？ 要求：勾出题中重要语句，找出等量关系 桌子 椅子 用料(立方米） 个数 解：设做桌子的木料是x m³，则做椅子的木料是（6-x）m³ 由题意得 20(6-x)=4×10x 解得 x=2 答：2m³木料做桌子，4m³木料做椅子恰好配套成20套餐桌 【变式】 用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身16个或制盒底45个,一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有100张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以正好配套？ 解：设x张白铁皮做盒身,列方程 2×16x＝45×（100－x） 解，得 x＝60 则做盒底的铁皮为：100－x＝40（张） 答：用60张白铁皮做盒身，40张白铁皮做盒底． 1．某校准备将2000元奖金全部发给20名三好生，其中市级三好生每人得奖金200元，校级三好生每人得奖金50元，请问全校市级三好生、校级三好生各有多少人？ 解：高全校市级三好生x人，列方程 　　200x＋50（20－x） ＝2000 　　解，得x＝5． 　　所以校级三好生： 20－x＝15（人） 答：市级三好生5人；校级三好生15人． 2．一个笼中装有鸡、兔若干只，从上面看，共有21个头；从下面看，共有66只脚，问鸡、兔各有多少只． 解：设鸡x只，列方程 　　2x＋4（21-x） ＝66 　　解，得 x＝9 　　所以兔的个数为：21－x＝12（只） 答：笼中有鸡9只，兔12只． 3、某工厂三个车间共有180人，第二车间人数是第一车间 人数的3倍还多1人，第三车间人数是第一车间人数的 一半还少1人，三个车间各有多少人？ 解:设第一车间有x人，则第二车间有3(x＋1)人， 第三车间有(0.5x－1)人. 据题意得 x＋3(x＋1)＋(0.5x－1)=180. 解，得 x=40. 此时， 3(x＋1)= 3(40＋1)=121(人)， 0.5x－1=0.5×40－1=19(人). 答：第一、二、三车间分别有40人，121人，19人． 巩固练习 4.某水利工地派40人去挖土和运土，如果每人每天平均挖土5方或运土3方，那么应怎样安排人员，正好能使挖出的土及时运走？ 解：设每天派x人挖土，列方程 5x＝3（40－x） 解，得 x＝15 所以每天运土人数为: 40－x＝25（人） 答：每天派15人挖土，25人运土，正好能使挖出的土及时运走． 课堂小结 1.两个未知量，两个等量关系，如何列方程； 2.寻找中间量； 3.学会用表格分析数量间的关系； 4.注意检查解的合理性. $