考点培优练04 圆锥曲线中的阿波罗尼斯圆等问题（高效培优专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

考点培优练04 圆锥曲线中的阿波罗尼斯圆、蒙日圆、四点共圆，阿基米德三角形5大考点 考点预览 目录 考点01 圆锥曲线中的阿波罗尼斯圆 1 考点02 圆锥曲线中蒙日圆的性质 9 考点03 圆锥曲线中的四点共圆 16 考点04 抛物线的阿基米德三角形性质 29 考点05 圆的其他新定义问题 37 考点通关 考点01 圆锥曲线中的阿波罗尼斯圆 平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点M的轨迹是圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆．特别的，当时，点M的轨迹是线段AB的中垂线． 证明：以直线AB为x轴建立平面直角坐标系，并设，，． 因为，所以，所以， 所以， 所以， 所以，所以点M的轨迹是圆 【典例1】（25-26高三上·福建·开学考试）古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足． (1)求点P的轨迹方程； (2)若点P的轨迹关于直线对称，求的最小值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设点P的坐标为，根据列方程化简可得结论， （2）由条件可得，由此可得，展开利用基本不等式求其最小值. 【详解】（1）设点P的坐标为，因为，又，， 所以， 所以， 所以， 所以，即， 所以点P的轨迹方程为． （2）因为点P的轨迹关于直线对称， 所以圆心在此直线上，即， 所以， 所以， 当且仅当，，即，时，等号成立． 故的最小值为． 【跟踪训练】1．（25-26高三上·安徽·阶段检测）阿波罗尼奥斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠.阿波罗尼奥斯发现:平面内到两个定点A，B的距离之比为定值且的点的轨迹是圆，此圆被称为点和相关的阿波罗尼斯圆.现已知点和相关的阿波罗尼斯圆为圆，其中点，且点P在该圆上，点Q在圆上，则的最小值为（    ） A．16 B．8 C．12 D．6 【答案】A 【分析】设，表示出，根据阿波罗尼斯圆定义得出点，再根据两点之间线段最短求出最小值. 【详解】，    设，则，故， 故=====， 可得，则， 故， 当且仅当B，P，Q，M四点共线时，取得最小值8， 则的最小值为16. 故选：A 2．（2026·江苏扬州·三模）(多选)古希腊数学家阿波罗尼斯发现：用平面截圆锥，可以得到不同的截口曲线，如图①．在圆锥中，轴截面是斜边长为的等腰直角三角形，点M是线段的中点．过点M的平面截圆锥，下列图②-图⑤中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点A）、抛物线的一部分（截面经过点O）、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则（     ）． A．圆的面积为 B．椭圆的长轴长为 C．抛物线的焦点到准线的距离为1 D．双曲线的离心率为 【答案】BCD 【分析】建立直角坐标系，利用平面几何知识可判断AB；根据圆锥和截面相交求出抛物线和双曲线的方程可判断CD. 【详解】已知圆锥的轴截面是斜边长的等腰直角三角形， 可得，，是中点，. 以为原点，以方向为轴，以与垂直向内的方向为轴， 以方向为轴建立空间直角坐标系， 得，，，，. 选项A：截口为圆时，截面平行于底面，圆半径， 面积，A错误； 选项B：截面过，椭圆长轴为线段， 可得， 故长轴长为，B正确； 选项C，如图，作出符合题意的图形， 设抛物线与底面圆的交点为，以为原点， 以为轴，在平面建立平面直角坐标系. 由于圆锥底面半径为，则，得，，， 将代入抛物线方程，得， 故抛物线的焦点到准线的距离为1，C正确； 选项D，如图，作出符合题意的图形， 在与平面垂直且过点的平面内，建立平面直角坐标系， 坐标原点与点到底面的距离相等，且在轴上， 则点的坐标为，双曲线与底面圆的一个交点为，其坐标为， 设双曲线方程为，则， 将代入双曲线方程得，解得， 则离心率，D正确. 3．（25-26高三上·河北沧州·期中）(多选)古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，记点P的轨迹为圆C，则下列结论正确的是（    ） A．圆C的方程为 B．的最大值为 C．M为直线上一动点，则的最小值为 D．若O为坐标原点，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】根据两点间距离公式，结合两点间线段最短、三角代换法、平面向量数量积的坐标表示公式逐一判断即可. 【详解】设点，因为， 所以，整理得， 所以圆C的方程为，故A错误． 因为，所以． 因为， 所以，故B正确． 设A关于直线的对称点为， 则解得 因为，所以， 所以当，C，M三点共线时，有最小值． 因为， 所以，故C正确． 设，， 因为，， 所以， 所以当时，有最大值，最大值为，故D正确． 故选：BCD 4．（25-26高三·全国·一轮复习）已知两定点，，动点M与定点P，Q的距离之比（，），那么点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，则的值为______． 【答案】 【分析】先根据阿波罗尼斯圆的性质得到三角形相似，进而得到比值和相应值． 【详解】如图所示，根据阿波罗尼斯圆的性质得，与相似， 于是有， 又，且阿波罗尼斯圆方程为， 所以，，因此，， 由于，因此，故的值为． 5．（2026·福建宁德·模拟预测）古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同.据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线.如图2，在底面半径为1，高为的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，E是母线SC上一点，，平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为______ 【答案】 【分析】根据题目已知条件表示出离心率，通过勾股定理求出，根据向量运算求出，结合正弦定理得到最终结果. 【详解】由题意得，，， 因此，， 所以， 而在中，，，，且， 则，， 而，则， 由正弦定理得，，则. 6．（25-26高二上·广东茂名·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点到，的距离比为，则点到圆上的点的距离最大值是______． 【答案】 【分析】设点，先利用距离比值求出点的轨迹方程，确定圆心和半径，再根据圆的方程确定圆的圆心和半径，利用两点间距离公式求出圆心距，确定两圆的位置关系，最后利用两圆的位置关系求出点到圆的最大值． 【详解】设点，， ，整理得， 点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 圆的标准方程为， 圆是以为圆心，半径是， 圆心与之间的距离， ， 点到圆的距离的最大值为． 故答案为：． 考点02 圆锥曲线中蒙日圆的性质 性质1：过圆上的动点作椭圆的两条切线，切点为，则，且平分弦． 性质2：为圆上任一点，过作椭圆的两条切线，切点分别为，延长交圆于两点，则 （1）三点共线； （2）； （3）； （4）当位于轴上时，弦取得最大值． 【典例2】（25-26高三上·云南曲靖·期中）椭圆任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：，这个圆称为椭圆的蒙日圆．已知椭圆的离心率为，点，均在椭圆上，直线，若上任意一点都满足，则可取的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由上任意一点都满足，可知直线与圆：相离，利用圆心到直线的距离大于圆的半径，结合离心率，列得关于的不等式，选出正确选项. 【详解】由题可知，若上任意一点都满足，则点在圆：外. 所以圆心到直线的距离大于圆的半径， 即，. 因为椭圆的离心率为，所以，即. 因此，. 故选：D. 【跟踪训练】1．（25-26高三上·山东济南·期中）法国著名的数学家蒙日首先发现，椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在轴上，A，B为上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，则的焦距的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知分析可知，直线与圆相离，利用直线与圆的位置关系可求出的取值范围，再结合椭圆离心率公式可求得椭圆的焦距的范围. 【详解】由题意知，圆为椭圆的“蒙日圆”， 如图，A，B为上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角， 则点在圆外，又动点在直线上， 则直线与圆相离， 所以，得，所以， 则，即， 则的焦距的取值范围为． 故选：A 2．（2025·青海西宁·二模）画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆的蒙日圆是，若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到蒙日圆方程为，根据蒙日圆与圆只有一个公共点，结合圆与圆的位置关系，得到或，求得的值，即可得到答案. 【详解】由椭圆的方程，可得且，且蒙日圆方程为， 可得蒙日圆的圆心为原点O，半径为， 又由圆的圆心为，半径为2， 因为两圆只有一个公共点，则两圆外切或内切， 可得或， 又因为，所以或， 解得或． 故选：B． 3．（25-26高三上·北京朝阳·期中）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在轴上，，为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，直线与圆相离，利用直线与圆的位置关系可求出的取值范围，再结合椭圆离心率公式可求得椭圆的离心率. 【详解】由题意可知，圆即为椭圆蒙日圆， 因为、为椭圆上任意两点，动点满足恒为锐角， 则点在圆外， 又因为动点在直线上，则直线与圆相离，    所以，，解得， 则，即， 因此，椭圆的离心率的取值范围是. 故选：D. 4．（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）法国著名的数学家蒙日发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”．已知焦点在轴上的椭圆，为椭圆上任意两点，动点在直线上．若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由椭圆焦点位置确定的下限，再根据蒙日圆定义得蒙日圆方程，结合为锐角的条件分析直线与蒙日圆的位置关系，求得的范围，最后计算椭圆离心率的取值范围. 【详解】由椭圆的焦点在轴上，得. 直线都与椭圆相切， 直线所围成的矩形的外接圆即为椭圆的蒙日圆. 因恒为锐角，故点在蒙日圆外. 又在直线上， 因此直线与蒙日圆相离，即原点到直线的距离大于蒙日圆半径. 原点到直线的距离：，故，平方得，即. 结合，得. 椭圆离心率. 当时，，故，即. 故选：B 5．（25-26高三上·广东珠海·阶段检测）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆（）的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在x轴上，A、B是椭圆E上的任意两点，动点P在直线上.若存在为钝角.则椭圆E离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知，直线与圆相交，利用直线与圆的位置关系可求出的取值范围，再结合椭圆离心率公式可求得椭圆的离心率. 【详解】由题意可知，圆即为椭圆的蒙日圆， 因为、为椭圆上任意两点，存在满足为钝角， 即存在点在圆内， 又因为动点在直线上， 则直线与圆相交， 所以，解得， 则，即， 因此，椭圆的离心率的取值范围是. 故选：B. 6．（25-26高三上·安徽合肥·阶段检测）法国数学家加斯帕尔•蒙日发现与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为，，分别为椭圆C的左、右焦点．离心率为，M为蒙日圆上一个动点，过点M作椭圆C的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为10，则椭圆C的长轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的离心率可得，分析可知为蒙日圆的直径，利用勾股定理可得，再利用基本（均值）不等式即可求解． 【详解】根据题意作图如下，    因为椭圆C的离心率，所以．因为，则， 所以，所以椭圆C的蒙日圆的半径为． 因为，所以为蒙日圆的直径，所以， 所以． 因为，当时，等号成立， 所以面积的最大值为．由面积的最大值为10， 得，得，进而有，故椭圆C的长轴长为． 故选：B． 7．（2026·湖南邵阳·三模）(多选)数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆任意两条互相垂直的切线的交点都在以原点为圆心，为半径的圆上，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆可以与边长为的正方形的四条边均相切，则（   ） A．椭圆的离心率为 B．若一个矩形的四条边均与椭圆相切，则该矩形面积的最大值为50 C．若为椭圆的蒙日圆上任意一点，则直线的斜率的取值范围为 D．若为椭圆的蒙日圆上任意一点，且点到直线与到直线的距离之和与点的位置无关，则的取值范围是 【答案】BCD 【分析】根据蒙日圆的定义，求得，得到椭圆的离心率，可判定A不正确；设矩形的边长分别为，结合基本不等式，求得，可判定B正确；根据直线与圆的位置关系，列出不等式，可判定C正确；根据直线与平行，并且分别位于蒙日圆的两侧，结合临界状态，结合点到直线的距离公式，可判定D正确. 【详解】对于A，由题意知，正方形的对角线的长度等于蒙日圆的直径， 即，所以，所以椭圆的离心率，所以A不正确； 对于B，设矩形的边长分别为，则， 由不等式，所以，可得， 所以矩形的面积的最大值为50，所以B正确； 对于C，设直线的方程为，且蒙日圆方程为， 由，解得，所以C正确； 对于D，如果点到两条直线的距离之和与点的位置无关， 可得直线与平行，并且分别位于蒙日圆的两侧， 临界状态就是与蒙日圆相切，且蒙日圆的方程为， 此时满足，且，解得， 所以的取值范围是，所以D正确． 考点03 圆锥曲线中的四点共圆 利用圆的几何性质转化为代数条件，通过联立方程、韦达定理、距离公式、垂直关系推导等量关系，判定四点共圆或求解参数。 解题思路 1. 设出两条相交直线，分别与圆锥曲线联立 1. 写出四个交点坐标关系，利用韦达表示根与系数 1. 思路一：求四边中垂线，证明交于同一点（圆心） 1. 思路二：利用圆方程联立，消去曲线式子验证成立 1. 思路三：证明对角互补、斜率满足垂直等量关系 1. 化简整理，确定参数范围或完成共圆证明 【典例3】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线，为坐标原点，过点作斜率的直线交抛物线于两点，其中在第一象限，直线交抛物线于另一点，其中，直线与直线交于点． (1)求抛物线的方程； (2)记与的面积分别为． ①当四点共圆时，求直线的方程； ②求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据条件求出点的坐标，代入抛物线方程，即可求解； （2）①联立直线与抛物线方程，由韦达定理得，根据条件有，从而可得，即可求解；②根据条件求出的取值范围，求出的横坐标，再利用三角形的面积公式及弦长公式得，即可求解. 【详解】（1）因为点，则，又，则， 所以，代入抛物线，得到，解得， 所以抛物线的方程为. （2）①因为直线方程为， 设，联立，消得到， 则， 当四点共圆时，则有，故， 则，所以， 又， 所以，即， 整理得到，又，所以，故直线的方程为. ②当时，由，得，又直线的斜率，则， 由，得到直线， 由，得， 直线，联立方程，解得， 由，得， 所以， 又， 又，所以， 故的取值范围为. 【跟踪训练】1．（25-26高三上·河南新乡·期末）在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点，点，点，，，，直线与直线交于点P，设点P的轨迹为E． (1)求点P的轨迹E的方程； (2)已知直线l与曲线E交于M，N两点，，l上存在一点H满足． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）若O，M，R，N四点共圆，且点，当取最大值时，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) （ⅰ）因为，，所以， 所以即为点O到直线MN的距离，设，， 当直线的斜率不存在时，，不妨设， 则，联立得，所以， 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，如图： 联立方程，化简得， ，所以， 所以，， 因为，所以，即， ，， 整理得，即， 因原点O到直线l的距离，所以， 综上，，为定值． （ⅱ）或． 【分析】（1）根据向量关系分别可得直线及的方程，两个方程联立消去参数可得； （2）（ⅰ）先由可得即为点O到直线MN的距离，分两种情况设直线l的方程，并与椭圆方程联立，由及根与系数关系得，从而可得；（ii）由四点共圆及可得，再结合根与系数关系可得，再与联立并通过换元可求得最大值及直线方程. 【详解】（1）因为点，，所以，因为，所以， 故直线的方程为，直线的方程为， 两式相乘得，因为，所以点P不能落在轴上，所以， 即. 故点P的轨迹E的方程为. （2）（ⅰ）略 （ⅱ）因为O，M，R，N四点共圆，所以四边形OMRN的对角互补，又因为，所以， 所以，即， ， 故， ， ，由（i）知， 所以，因为，所以， 故， 令，则， 当且仅当即时等号成立，此时，即，， 由知，，所以当取最大值时，直线l的方程为或． 2．（2026·广东汕头·一模）已知椭圆，点M为动直线被椭圆截得的弦的中点． (1)求证：动点M在定直线上，并求此定直线l的方程； (2)设直线l与该椭圆相交于C、D两点，求证：A、B、C、D四点共圆． 【答案】(1) 设，，则. 又因为在椭圆，所以， 两式相减得，即， 所以，又因为直线的方程为， 所以，代入上式得，即， 所以弦的中点恒在直线上，直线l的方程为. (2) 因为直线与椭圆相交于C、D两点， 直线与椭圆相交于A、B两点， 所以构造过A、B、C、D四点的曲线系方程， 化简整理得， 因为要使该方程表示圆，则，得， 代入方程得， 即，， 方程表示一个圆心，半径为的圆，且A、B、C、D四点在圆上.如图： 所以A、B、C、D四点共圆. 【分析】（1）直接由点差法证明点在定直线上，并可得直线方程； （2）根据直线的方程，直线l的方程及椭圆方程构造曲线系方程，再判断曲线系方程是否是一个圆的方程可得. 【详解】（1）略 （2）略 3．（25-26高三·全国·二轮复习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)已知定点，，过点作垂直于轴的直线，过点作斜率大于0的直线与曲线交于点、，其中点在轴上方，点在轴下方.曲线与轴负半轴交于点，直线、与直线分别交于点、，若、、、四点共圆，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用已知条件可得出关于、的等式，化简可得出曲线的方程； （2）设点、，设直线的方程为，将该直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出点、的纵坐标，利用相交弦定理以及韦达定理可求得实数的值. 【详解】（1）解：由题得：，两边平分并化简得， 所以，曲线的方程为. （2）解：设点、，设直线的方程为， 直线的方程与椭圆的方程联立， 消去得. 则，可得， 由韦达定理：，.    由条件，直线的方程为，直线的方程为， 于是可得，. 因为、、、四点共圆，由相交弦定理可得, 则，化简得， 又，，代入整理得：. 将韦达定理代入化简得：，即. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 4．（2026·四川·二模）已知椭圆的中心为O，离心率为，且过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线，与y轴交于点P，过点P的直线l与C分别交于点A，B，椭圆的下焦点为F，直线，分别交直线于点M，N，记直线l，，的斜率分别为k，，． ①若，探究是否为定值？若是，求出此值；若不是，请说明理由； ②若，使得O，F，M，N四点共圆，求k的取值范围． 【答案】(1) (2)①是定值，定值为② 【分析】（1）根据椭圆的离心率公式，结合代入法、之间的关系进行求解即可； （2）①设出直线l的方程与椭圆的方程联立，结合一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、直线的斜率公式进行求解即可； ②根据四点共圆的性质，结合锐角三角函数定义、导数的性质、椭圆的对称性进行求解即可. 【详解】（1）因为椭圆的中心为O，离心率为，且过点， 所以； （2）①是定值，定值为，理由如下： 当时，点P坐标为，下焦点的坐标为， 直线l的方程为，与椭圆的方程联立，得 ， ，或， 设，， ， ， 所以； ②假设，使得O，F，M，N四点共圆成立， 此时直线l的方程为，与椭圆的方程联立，得 ， ， 设，， 因为直线与直线垂直，因此M，N必在纵轴同侧. 因为该椭圆关于纵轴对称，因此先考虑M，N在纵轴左侧情形，此时， 直线的方程为，令，得， 同理可得，显然有， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 因为O，F，M，N四点共圆， 所以，于是有， ， ， ， 设，， 所以，显然函数在上单调递增， 于是当时，，所以， 所以函数在上单调递增， 于是当时，， 即， 因为，所以， 当M，N在纵轴右侧情形，此时， 同理可得， 综上所述：k的取值范围为. 5．（2026·浙江嘉兴·二模）已知斜率为的直线交椭圆（且）于A，B两点，AB的垂直平分线与椭圆交于C，D两点，点是线段AB的中点. (1)若，求的取值范围； (2)求的值； (3)证明：无论怎么变化，都存在A，B，C，D四点共圆，并求圆心的坐标. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】第1问直线存在即可，只需满足线段的中点在椭圆内，第2问中点弦问题用点差法即可，第3问当，，，四点共圆时，有，转化成坐标求解即可. 【详解】（1）设，当时，线段的中点， 此时应满足在椭圆内，即，解得， 所以当时，的取值范围为. （2）由为椭圆上两点，从而有， 两式作差得， 即， 由线段中点，得到，斜率， 所以，得到. （3）由(2)可知，，得到的垂直平分线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 联立，化简整理得， ， 设，则，， 从而的中点为，， 直线的方程为，即， 联立，化简整理得， ，， 由垂直平分，所以当，，，四点共圆时，有 即， 化简得， 当，，，四点共圆与的值无关，则，解得，则， 此时圆的圆心坐标为为或. 考点04 抛物线的阿基米德三角形性质 1．阿基米德三角形的定义: 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形． 2．过焦点的阿基米德三角形的常见性质: 如图所示,是抛物线的过焦点的一条弦（焦点弦）,分别过,作抛物线的切线,交于点,连接,则有以下结论: （1）点的轨迹是一条直线,即抛物线的准线 （2）两切线互相垂直,即; （3）; （4）点的坐标为． （5）的最小值为． 【典例4】（25-26高三上·河南南阳·期中）(多选)已知抛物线：的焦点为，若过点的直线与交于两点，且在第一象限，为坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A．面积的最小值为2 B．当直线的倾斜角为时， C．线段的中点到的准线的距离等于 D．在x轴上存在一点，使直线与的斜率之和为定值 【答案】ACD 【分析】直线AB的方程为，，，联立抛物线方程，得到，，由可判断A，由焦点弦长公式可判断B，由弦长公式可判断C，由斜率公式结合韦达定理得到，可判断D. 【详解】由题意知，设直线AB的方程为，，， 联立直线与抛物线的方程，得 消去整理得，则，. 对于A，， 故时，的面积取得最小值，为2，故A正确； 对于B，当直线AB的倾斜角为时，直线AB的方程为， 将代入，得，解得，， 所以，，所以，故B错误； 对于C，由题意知C的准线方程为，由前面的分析，知，， 所以， 又， 所以，故C正确； 对于D，由前面的分析，知，， 设，则 ， 所以当时，为定值0，即存在，使为定值，故D正确. 故选：ACD 【跟踪训练】1．（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为F，直线l与抛物线在第一象限相切于点P，并且与直线和x轴分别相交于A，B两点，直线PF与抛物线的另一个交点为Q．过点B作交PF于点C，若，则等于（    ） 附加结论：抛物线上两个不同的点A，B的坐标分别为，，以A，B为切点的切线PA，PB相交于点P，我们称弦AB为阿基米德的底边．    定理：点P的坐标为； 推论：若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点，则另一顶点P的轨迹方程为. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知：为抛物线的阿基米德三角形，AQ也与抛物线相切，结合平行关系可得，可得，，联立求解即可. 【详解】因为直线PQ过抛物线的焦点， 由推论可知以PQ为底边的阿基米德三角形的另一个顶点P的轨迹方程为， 又因为切线PA与直线相交于点A， 故为抛物线的阿基米德三角形，AQ也与抛物线相切． 如图，设点P，Q在直线（抛物线的准线）上的射影分别为，， 连接，，与x轴相交于点D．    由可得． 因为，则． 又因为，所以． 设，，则有①． 由定理可得，得， 即，故②． 联立①②两式，解得，， 故． 故选：C． 2．（2026·河北衡水·模拟预测）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常称为阿基米德三角形.若经过抛物线焦点的一条弦为，则阿基米德三角形满足点必在抛物线的准线上，且，若点的纵坐标为4，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由为“阿基米德三角形”，且线段经过抛物线的焦点，得到点，进而得到直线的斜率，再由，得到直线的斜率即可. 【详解】由题意可知，抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 因为为“阿基米德三角形”，且线段经过抛物线的焦点， 点在抛物线的准线上，所以点，直线的斜率为. 又因为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 3．（2026·山东聊城·二模）已知直线过抛物线的焦点，与交于、两点，线段的中点为，的垂直平分线交轴于，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】设点、，可得，，利用点差法可求得直线的斜率，根据可得出的值. 【详解】设点、，易知直线的斜率存在，且，， 若直线轴，则线段的垂直平分线为轴，不符合题意， 所以直线的斜率存在且不为零， 则，作差得， 故直线的斜率为， 因为，且，所以，解得. 4．（2026·辽宁·模拟预测）已知抛物线，设焦点为，准线交轴于点，直线过点交抛物线于点、（点在第一象限），若线段的中垂线过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用中点坐标与垂直条件建立点的方程，联立抛物线方程求出其坐标，再结合焦点弦长公式求解. 【详解】设点，由题意知， 联立得，解得． 设直线，联立得：， ，． ． 5．（25-26高三上·山东临沂·阶段检测）(多选)阿基米德在数学方面贡献巨大．抛物线上任意两点E，F处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，抛物线在，处的切线交于点，则关于“阿基米德三角形”，下列选项正确的是（    ） A．有可能是等边三角形 B．顶点在抛物线的准线上 C．若边的中点为，则轴 D．面积的最小值为64 【答案】BCD 【分析】关于阿基米德三角形的结论，需要逐个选项去判断，由，即可证明A；求出处的切线方程，可以得出的坐标进而可以验证B；通过两点的横坐标相同可以判断C；利用三角形面积公式结合韦达定理可以判断D. 【详解】设，，，，由可得：，， 由导数的几何意义知，直线的斜率为，同理直线的斜率为， 设直线，联立，化为， 得到，． 对于A，，，故    ， 所以是直角三角形，故A错误； 对于B：由导数的几何意义可得处的切线方程为：， 则，化简可得：， 所以直线的方程为：， 同理可得：直线的方程为：， 所以，则， 因为，解得：， 所以， 所以，因为抛物线：的准线为， 所以顶点的轨迹是抛物线的准线，故B正确； 对于C： 的中点，与横坐标相同，故轴，故C正确； 对于D：因为平行轴， 所以 因为，． 所以， ， 代入可得：， 当时，，故D正确； 故选：BCD. 6．（25-26高三上·广西·阶段检测）(多选)抛物线的弦与该弦端点处的两条切线所围成的三角形常被称为“阿基米德三角形”.已知抛物线的焦点为，线段为抛物线的弦，为抛物线的“阿基米德三角形”.设线段的中点为，下列说法正确的是（    ） A．若点，则的最小值为3. B．点与点的纵坐标相等. C．若点在直线上，则直线过点. D．若直线过焦点，且其倾斜角为锐角，则的最小值为. 【答案】BCD 【分析】根据抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、三角函数等知识逐项计算求解即可. 【详解】对于A，抛物线的焦点为，准线为， 由抛物线定义可知，则 当且仅当､､三点共线时取等号，故A错误； 对于B，设，过点的切线方程为 （切线斜率不为0），联立抛物线方程，化简并整理得，，又， 所以方程可变形为， 而，所以， 所以过点的切线方程为，结合，可得 过点的切线方程为，同理可得过点的切线方程为， 联立，结合，解得， 而线段的中点的坐标为，所以点的纵坐标相等，故B正确； 对于C，可设直线，联立， 化简并整理得，显然， 直线方程为过点，故C正确； 对于D，依题意直线的倾斜角为锐角，设， 设直线方程为，联立，易得 由题意知， ，，，， 则 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 考点05 圆的其他新定义问题 题型模版 1.特征：给出新曲线的定义；需要识别符号，利用已学过的知识分析。 2.方法：可转化为不等式、函数、三角函数知识来研究曲线上点到点、线的距离最值问题。 【典例5】（25-26高三上·云南·阶段检测）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆．已知点到的距离是点到的距离的3倍．记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设曲线与轴的负半轴交于点为坐标原点，若点不在轴上，直线分别与直线交于两点，探究以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2) 以为直径的圆过定点，或，理由如下， 令，可得，或，所以， 设，直线的方程分别为、， 因为，所以，可得， 由得，由得， 可得的中点为，， 以为直径的圆的方程为 ， 整理得， 由，得或， 可得以为直径的圆过定点，或. 【分析】（1）设，由代入坐标化简可得答案； （2）求出，设，直线的方程分别为、，根据得，直线的方程分别与联立求出点坐标，再求出以为直径的圆的方程，根据方程可得答案. 【详解】（1）设，由题意得， 即，化简得， 所以曲线的方程为； （2）略 【跟踪训练】1．（25-26高三上·陕西渭南·阶段检测）对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”：若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”：否则称为“平行相交”.已知直线，与圆的位置关系是“平行相交”，则实数的取值范围是（    ） A．且 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据定义先求出、与圆相切，再求出、与圆相离时实数的范围，结合“平行相交”的定义即可得到答案. 【详解】依题意，直线与平行， 则，解得或， 当时，直线与直线重合，舍去；当时，，符合题意. 由圆可得其标准方程为， 由与圆相切，可得， 由与圆相切，可得， 当、与圆都相离时，则， 故当直线、与圆的位置关系是“平行相交”时，实数应满足， 故实数的取值范围是且. 故选：A. 2．（2026·上海松江·模拟预测）记号表示中取较大的数，如. 在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”. 已知点为坐标原点，点在圆上，点在直线上，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】先利用几何直观判断取最小值的情形，再结合构造出需要优化的目标函数，最后通过分类讨论得到最小值. 【详解】设点，与点的切比雪夫距离为的点构成了一个以点为中心，边长为的正方形， 要让最小，直线应经过正方形的右上角或左下角，即或， 代入直线方程可得或， 于是有，即的最小值为， 由圆的圆心为且半径为可知圆在第一象限，所以有， 则， 因此需要优化的目标函数为，下面分类讨论， 当且时，， 当且时，， 即当时，当且仅当时取等号， 当时，联立和圆的方程得到，解得， 取较小的一组解进行验算得，符合前提条件； 当时，和不可能同时成立（否则）， 因此必定有，所以， 综上所述，的最小值也即的最小值为. 【点睛】目标函数优化问题一定要注意计算出来的最值能否取得. 3．（2026·上海·一模）定义：我们称双曲线的“交换双曲线”为； 我们称椭圆的“交换椭圆”为； 我们称圆的“交换圆”为． (1)若双曲线C的“交换双曲线”为自己本身，双曲线C过点，求：双曲线C的标准方程； (2)若过点且与相切的直线与所有半径为，“交换圆”是自己本身的圆均相切，且一个球的表面积与“交换圆”面积相同，求：球的体积； (3)已知曲线满足，当时与离心率为，长轴长为的椭圆重合，当时，与椭圆的“交换椭圆”重合，若矩形的顶点均在曲线上且关于对称，求证：矩形的面积小于． 【答案】(1) (2) (3)证明：由长轴为，可得，由离心率，得， 所以， 不妨设椭圆的焦点在x轴，则方程为， 则椭圆的“交换椭圆”方程为， 所以曲线的方程为， 因为矩形关于对称，设在椭圆W上， 则在“交换椭圆”上，则， 又直线平行直线，则直线PN的斜率为1， 所以直线PN的方程为，即， 联立，得， 所以，得， 所以， 所以面积， 因为点P在椭圆W上，所以， 令，为参数，， 因为，所以，解得， 不妨取第一象限部分，则， 代入可得 ， 因为，则， 所以当时，取得最大值为. 【分析】（1）由题意可得，设出双曲线C的方程，代入点坐标，求出，即可得答案. （2）根据导数的几何意义，求出切线l的方程，根据题意，可得圆中，设出圆的方程，根据点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系，求出半径r的值，进而可得球的半径，代入体积公式，即可得答案. （3）求出椭圆的方程与其“交换椭圆”的方程，设，根据矩形的性质，可得对称点Q的坐标，进而可得的表达式，根据直线平行直线，求出直线PN的方程，与椭圆W联立，根据韦达定理，可得N点坐标，根据弦长公式，可得表达式，进而可得面积S的表达式，根据椭圆W的参数方程，结合三角函数的性质，即可得证. 【详解】（1）因为双曲线C的“交换双曲线”为自己本身，所以， 设双曲线C的方程为， 代入点，得， 所以双曲线C的方程为； （2）对求导可得，设切点为， 则切线的斜率，又， 所以切线l的方程为， 代入点，得，则切线l的方程为，即， 因为“交换圆”是自己本身，所以， 设圆的方程为， 因为直线l与圆相切，所以， 则“交换圆”面积为， 设球的半径为R，则，解得， 所以球的体积为 （3）略 4．（2026·湖南长沙·二模）对于双曲线，我们称与互为“交换双曲线”；对于椭圆，我们称与互为“交换椭圆”. (1)若双曲线E的“交换双曲线”为自己本身，且过点，求双曲线E的标准方程； (2)在（1）的条件下，设双曲线E的左顶点为A，斜率为2的直线与双曲线E的右支交于B，C两点，且B，C均不在x轴上.试判断的垂心是否在双曲线E上，并说明理由； (3)已知椭圆W的焦点在x轴上，长轴长为，离心率为.封闭曲线上任一点满足：当时，点D在椭圆W上；当时，点D在椭圆W的“交换椭圆”上.若矩形关于直线对称且各顶点均在曲线上，求证：矩形的面积小于5.20.（注：） 【答案】(1) (2)的垂心在双曲线E上，理由如下： ，设直线的方程为：，设，， 联立可得：， 直线与双曲线E的右支交于B，C两点， 所以，解得：， 又因为， ， 设垂心为，所以直线的方程为：， 又因为，所以直线的方程为：， 联立可得：， 则 因为，所以， ， 因为，所以，所以，又因为在， 所以，所以， 又因为：.故的垂心在双曲线E上.    (3)证明如下： 由长轴为，可得，由离心率，得， 所以， 不妨设椭圆的焦点在x轴，则方程为， 则椭圆的“交换椭圆”方程为， 所以曲线的方程为， 因为矩形关于对称，设在椭圆W上， 则在“交换椭圆”上，则， 又直线平行直线，则直线PN的斜率为1， 所以直线PN的方程为，即， 联立，得， 所以，得， 所以， 所以面积， 因为点P在椭圆W上，所以， 令， 代入可得 ， 取，此时等号成立， 且当时，， ， ，满足， 故矩形的面积小于5.20.    【分析】（1）由题意可得，设出双曲线的方程，代入点坐标，求出，即可得答案. （2）分别表示出直线、直线的方程，两式联立求出，再代入双曲线的方程验证即可证明. （3）求出椭圆的方程与其“交换椭圆”的方程，设，根据矩形的性质，可得的表达式，根据直线平行直线，求出直线PN的方程，与椭圆W联立，根据韦达定理，可得N点坐标，根据弦长公式，可得表达式，进而可得面积S的表达式，根据椭圆W的参数方程，结合三角函数的性质，即可得证. 【详解】（1）由“交换双曲线”的定义可知，即， 所以设双曲线的方程为，又因为过点， 所以，双曲线E的标准方程为：. （2）略 （3）略 5．（25-26高二下·上海徐汇·期中）定义：我们称双曲线的“交换双曲线”为；我们称椭圆的“交换椭圆”为；我们称圆的“交换圆”为． (1)若双曲线的“交换双曲线”为自己本身，双曲线过点，求：双曲线的标准方程； (2)过点且与相切的直线与所有半径为，“交换圆”是自己本身的圆均相切，求：直线的方程与“交换圆”的面积； (3)已知曲线满足，当时与离心率为，长轴长为的椭圆重合，当时，与椭圆的“交换椭圆”重合，若矩形的顶点均在曲线上且关于对称，求证：矩形的面积小于5.2． 【答案】(1)； (2)，； (3) 由椭圆的长轴为，得，由其离心率，得，则， 不妨设椭圆的焦点在x轴，则其方程为，椭圆的“交换椭圆”方程为， 因此曲线的方程为，依题意，矩形关于对称， 设在椭圆W上，则在“交换椭圆”上， ，由直线平行直线，得直线PN的斜率为1， 直线PN的方程为，即，设， 由，得， 则，，， 于是矩形的面积， 由点P在椭圆W上，得，令，， 由，得，不妨取第一象限部分，则，， 因此， 由，得，则当时，， 所以矩形的面积小于5.2. 【分析】（1）由题意可得，设出双曲线C的方程，代入点坐标，求出，即可得答案. （2）根据导数的几何意义，求出切线l的方程，根据题意，可得圆中，设出圆的方程，根据点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系，求出半径r的值. （3）求出椭圆的方程与其“交换椭圆”的方程，设，根据矩形的性质，可得对称点Q的坐标，进而可得的表达式，根据直线平行直线，求出直线PN的方程，与椭圆W联立，根据韦达定理，可得N点坐标，根据弦长公式，可得表达式，进而可得面积S的表达式，根据椭圆W的参数方程，结合三角函数的性质，即可得证. 【详解】（1）由双曲线C的“交换双曲线”为自己本身，得，设双曲线C的方程为， 而点在双曲线C上，则， 所以双曲线C的方程为. （2）由函数，求导得，设切点为， 则切线的斜率，又，切线的方程为， 由点在切线上，得，即，令函数， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此，切线的方程为，即； 由“交换圆”是自己本身，得，设该圆的方程为， 由直线与圆相切，得， 所以“交换圆”面积为. （3）略 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点培优练04 圆锥曲线中的阿波罗尼斯圆、蒙日圆、四点共圆，阿基米德三角形5大考点 考点预览 目录 考点01 圆锥曲线中的阿波罗尼斯圆 1 考点02 圆锥曲线中蒙日圆的性质 4 考点03 圆锥曲线中的四点共圆 6 考点04 抛物线的阿基米德三角形性质 9 考点05 圆的其他新定义问题 11 考点通关 考点01 圆锥曲线中的阿波罗尼斯圆 平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点M的轨迹是圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆．特别的，当时，点M的轨迹是线段AB的中垂线． 证明：以直线AB为x轴建立平面直角坐标系，并设，，． 因为，所以，所以， 所以， 所以， 所以，所以点M的轨迹是圆 【典例1】（25-26高三上·福建·开学考试）古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足． (1)求点P的轨迹方程； (2)若点P的轨迹关于直线对称，求的最小值． 【跟踪训练】1．（25-26高三上·安徽·阶段检测）阿波罗尼奥斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠.阿波罗尼奥斯发现:平面内到两个定点A，B的距离之比为定值且的点的轨迹是圆，此圆被称为点和相关的阿波罗尼斯圆.现已知点和相关的阿波罗尼斯圆为圆，其中点，且点P在该圆上，点Q在圆上，则的最小值为（    ） A．16 B．8 C．12 D．6 2．（2026·江苏扬州·三模）(多选)古希腊数学家阿波罗尼斯发现：用平面截圆锥，可以得到不同的截口曲线，如图①．在圆锥中，轴截面是斜边长为的等腰直角三角形，点M是线段的中点．过点M的平面截圆锥，下列图②-图⑤中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点A）、抛物线的一部分（截面经过点O）、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则（     ）． A．圆的面积为 B．椭圆的长轴长为 C．抛物线的焦点到准线的距离为1 D．双曲线的离心率为 3．（25-26高三上·河北沧州·期中）(多选)古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，记点P的轨迹为圆C，则下列结论正确的是（    ） A．圆C的方程为 B．的最大值为 C．M为直线上一动点，则的最小值为 D．若O为坐标原点，则的最大值为 4．（25-26高三·全国·一轮复习）已知两定点，，动点M与定点P，Q的距离之比（，），那么点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，则的值为______． 5．（2026·福建宁德·模拟预测）古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同.据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线.如图2，在底面半径为1，高为的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，E是母线SC上一点，，平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为______ 6． （25-26高二上·广东茂名·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点到，的距离比为，则点到圆上的点的距离最大值是______． 考点02 圆锥曲线中蒙日圆的性质 性质1：过圆上的动点作椭圆的两条切线，切点为，则，且平分弦． 性质2：为圆上任一点，过作椭圆的两条切线，切点分别为，延长交圆于两点，则 （1）三点共线； （2）； （3）； （4）当位于轴上时，弦取得最大值． 【典例2】（25-26高三上·云南曲靖·期中）椭圆任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：，这个圆称为椭圆的蒙日圆．已知椭圆的离心率为，点，均在椭圆上，直线，若上任意一点都满足，则可取的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【跟踪训练】1．（25-26高三上·山东济南·期中）法国著名的数学家蒙日首先发现，椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在轴上，A，B为上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，则的焦距的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·青海西宁·二模）画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆的蒙日圆是，若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（   ） A．或 B．或 C． D． 3．（25-26高三上·北京朝阳·期中）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在轴上，，为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）法国著名的数学家蒙日发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”．已知焦点在轴上的椭圆，为椭圆上任意两点，动点在直线上．若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·广东珠海·阶段检测）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆（）的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在x轴上，A、B是椭圆E上的任意两点，动点P在直线上.若存在为钝角.则椭圆E离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·安徽合肥·阶段检测）法国数学家加斯帕尔•蒙日发现与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为，，分别为椭圆C的左、右焦点．离心率为，M为蒙日圆上一个动点，过点M作椭圆C的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为10，则椭圆C的长轴长为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·湖南邵阳·三模）(多选)数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆任意两条互相垂直的切线的交点都在以原点为圆心，为半径的圆上，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆可以与边长为的正方形的四条边均相切，则（   ） A．椭圆的离心率为 B．若一个矩形的四条边均与椭圆相切，则该矩形面积的最大值为50 C．若为椭圆的蒙日圆上任意一点，则直线的斜率的取值范围为 D．若为椭圆的蒙日圆上任意一点，且点到直线与到直线的距离之和与点的位置无关，则的取值范围是 考点03 圆锥曲线中的四点共圆 利用圆的几何性质转化为代数条件，通过联立方程、韦达定理、距离公式、垂直关系推导等量关系，判定四点共圆或求解参数。 解题思路 1. 设出两条相交直线，分别与圆锥曲线联立 1. 写出四个交点坐标关系，利用韦达表示根与系数 1. 思路一：求四边中垂线，证明交于同一点（圆心） 1. 思路二：利用圆方程联立，消去曲线式子验证成立 1. 思路三：证明对角互补、斜率满足垂直等量关系 1. 化简整理，确定参数范围或完成共圆证明 【典例3】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线，为坐标原点，过点作斜率的直线交抛物线于两点，其中在第一象限，直线交抛物线于另一点，其中，直线与直线交于点． (1)求抛物线的方程； (2)记与的面积分别为． ①当四点共圆时，求直线的方程； ②求的取值范围． 【跟踪训练】1．（25-26高三上·河南新乡·期末）在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点，点，点，，，，直线与直线交于点P，设点P的轨迹为E． (1)求点P的轨迹E的方程； (2)已知直线l与曲线E交于M，N两点，，l上存在一点H满足． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）若O，M，R，N四点共圆，且点，当取最大值时，求直线l的方程． 2．（2026·广东汕头·一模）已知椭圆，点M为动直线被椭圆截得的弦的中点． (1)求证：动点M在定直线上，并求此定直线l的方程； (2)设直线l与该椭圆相交于C、D两点，求证：A、B、C、D四点共圆． 3．（25-26高三·全国·二轮复习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)已知定点，，过点作垂直于轴的直线，过点作斜率大于0的直线与曲线交于点、，其中点在轴上方，点在轴下方.曲线与轴负半轴交于点，直线、与直线分别交于点、，若、、、四点共圆，求的值. 4．（2026·四川·二模）已知椭圆的中心为O，离心率为，且过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线，与y轴交于点P，过点P的直线l与C分别交于点A，B，椭圆的下焦点为F，直线，分别交直线于点M，N，记直线l，，的斜率分别为k，，． ①若，探究是否为定值？若是，求出此值；若不是，请说明理由； ②若，使得O，F，M，N四点共圆，求k的取值范围． 5．（2026·浙江嘉兴·二模）已知斜率为的直线交椭圆（且）于A，B两点，AB的垂直平分线与椭圆交于C，D两点，点是线段AB的中点. (1)若，求的取值范围； (2)求的值； (3)证明：无论怎么变化，都存在A，B，C，D四点共圆，并求圆心的坐标. 考点04 抛物线的阿基米德三角形性质 1．阿基米德三角形的定义: 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形． 2．过焦点的阿基米德三角形的常见性质: 如图所示,是抛物线的过焦点的一条弦（焦点弦）,分别过,作抛物线的切线,交于点,连接,则有以下结论: （1）点的轨迹是一条直线,即抛物线的准线 （2）两切线互相垂直,即; （3）; （4）点的坐标为． （5）的最小值为． 【典例4】（25-26高三上·河南南阳·期中）(多选)已知抛物线：的焦点为，若过点的直线与交于两点，且在第一象限，为坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A．面积的最小值为2 B．当直线的倾斜角为时， C．线段的中点到的准线的距离等于 D．在x轴上存在一点，使直线与的斜率之和为定值 【跟踪训练】1．（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为F，直线l与抛物线在第一象限相切于点P，并且与直线和x轴分别相交于A，B两点，直线PF与抛物线的另一个交点为Q．过点B作交PF于点C，若，则等于（    ） 附加结论：抛物线上两个不同的点A，B的坐标分别为，，以A，B为切点的切线PA，PB相交于点P，我们称弦AB为阿基米德的底边．    定理：点P的坐标为； 推论：若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点，则另一顶点P的轨迹方程为. A． B． C． D． 2．（2026·河北衡水·模拟预测）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常称为阿基米德三角形.若经过抛物线焦点的一条弦为，则阿基米德三角形满足点必在抛物线的准线上，且，若点的纵坐标为4，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山东聊城·二模）已知直线过抛物线的焦点，与交于、两点，线段的中点为，的垂直平分线交轴于，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（2026·辽宁·模拟预测）已知抛物线，设焦点为，准线交轴于点，直线过点交抛物线于点、（点在第一象限），若线段的中垂线过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·山东临沂·阶段检测）(多选)阿基米德在数学方面贡献巨大．抛物线上任意两点E，F处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，抛物线在，处的切线交于点，则关于“阿基米德三角形”，下列选项正确的是（    ） A．有可能是等边三角形 B．顶点在抛物线的准线上 C．若边的中点为，则轴 D．面积的最小值为64 6．（25-26高三上·广西·阶段检测）(多选)抛物线的弦与该弦端点处的两条切线所围成的三角形常被称为“阿基米德三角形”.已知抛物线的焦点为，线段为抛物线的弦，为抛物线的“阿基米德三角形”.设线段的中点为，下列说法正确的是（    ） A．若点，则的最小值为3. B．点与点的纵坐标相等. C．若点在直线上，则直线过点. D．若直线过焦点，且其倾斜角为锐角，则的最小值为. 考点05 圆的其他新定义问题 题型模版 1.特征：给出新曲线的定义；需要识别符号，利用已学过的知识分析。 2.方法：可转化为不等式、函数、三角函数知识来研究曲线上点到点、线的距离最值问题。 【典例5】（25-26高三上·云南·阶段检测）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆．已知点到的距离是点到的距离的3倍．记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设曲线与轴的负半轴交于点为坐标原点，若点不在轴上，直线分别与直线交于两点，探究以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【跟踪训练】1．（25-26高三上·陕西渭南·阶段检测）对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”：若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”：否则称为“平行相交”.已知直线，与圆的位置关系是“平行相交”，则实数的取值范围是（    ） A．且 B． C． D． 2．（2026·上海松江·模拟预测）记号表示中取较大的数，如. 在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”. 已知点为坐标原点，点在圆上，点在直线上，则的最小值为__________. 3．（2026·上海·一模）定义：我们称双曲线的“交换双曲线”为； 我们称椭圆的“交换椭圆”为； 我们称圆的“交换圆”为． (1)若双曲线C的“交换双曲线”为自己本身，双曲线C过点，求：双曲线C的标准方程； (2)若过点且与相切的直线与所有半径为，“交换圆”是自己本身的圆均相切，且一个球的表面积与“交换圆”面积相同，求：球的体积； (3)已知曲线满足，当时与离心率为，长轴长为的椭圆重合，当时，与椭圆的“交换椭圆”重合，若矩形的顶点均在曲线上且关于对称，求证：矩形的面积小于． 4．（2026·湖南长沙·二模）对于双曲线，我们称与互为“交换双曲线”；对于椭圆，我们称与互为“交换椭圆”. (1)若双曲线E的“交换双曲线”为自己本身，且过点，求双曲线E的标准方程； (2)在（1）的条件下，设双曲线E的左顶点为A，斜率为2的直线与双曲线E的右支交于B，C两点，且B，C均不在x轴上.试判断的垂心是否在双曲线E上，并说明理由； (3)已知椭圆W的焦点在x轴上，长轴长为，离心率为.封闭曲线上任一点满足：当时，点D在椭圆W上；当时，点D在椭圆W的“交换椭圆”上.若矩形关于直线对称且各顶点均在曲线上，求证：矩形的面积小于5.20.（注：） 5．（25-26高二下·上海徐汇·期中）定义：我们称双曲线的“交换双曲线”为；我们称椭圆的“交换椭圆”为；我们称圆的“交换圆”为． (1)若双曲线的“交换双曲线”为自己本身，双曲线过点，求：双曲线的标准方程； (2)过点且与相切的直线与所有半径为，“交换圆”是自己本身的圆均相切，求：直线的方程与“交换圆”的面积； (3)已知曲线满足，当时与离心率为，长轴长为的椭圆重合，当时，与椭圆的“交换椭圆”重合，若矩形的顶点均在曲线上且关于对称，求证：矩形的面积小于5.2． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $