考点培优练01 直线和圆中常见的最值范围问题7大考点（高效培优专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 聚焦直线和圆的7类最值范围问题，以“概念-方法-应用”逻辑构建体系，通过典例示范几何直观与代数转化的解题思维，培养数学眼光与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点01-07|每考点1典例+3-8跟踪训练|斜率转化、距离公式应用、几何法求最值、代数法几何意义、位置关系判定|从斜率/距离概念到点线圆位置关系，形成“公式-模型-变式”递进链条|

考点培优练01 直线和圆中常见的最值范围问题7大考点 考点预览 目录 考点01 与斜率、倾斜角有关的范围问题 1 考点02 与两点距离、点到直线的距离有关的最值与范围 3 考点03 与圆中与距离有关的最值问题 4 考点04 利用代数法的几何意义求最值 5 考点05 点与圆的位置关系最值问题 7 考点06 直线与圆的位置关系最值问题 9 考点07 圆与圆的位置关系最值与范围 10 考点通关 考点01 与斜率、倾斜角有关的范围问题 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 【注】(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）已知实数，满足，则的最大值为________，最小值为________． 【跟踪训练】1．（25-26高三上·江西·开学考试）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．-1 2．（2025·广东江门·一模）(多选)已知曲线，则（   ） A．曲线关于轴对称 B．曲线围成图形的面积为 C．曲线上的点到点的距离最大值为 D．若点是曲线上的点，则的最大值为1 3．（25-26高三上·云南曲靖·阶段检测）(多选)若实数x，y满足，则的取值范围是_____. 4．（2025·广东汕头·模拟预测）如图所示是放在平面直角坐标系中的太极图，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为______. 5．（2025·四川凉山·一模）已知是曲线上的点，则的取值范围是____________. 考点02 与两点距离、点到直线的距离有关的最值与范围 1、点到点的距离公式：平面内两点，间的距离公式为：． 2、点到直线的距离公式：点到直线的距离． 3、直线到直线的距离公式：两条平行直线，，它们之间的距离为：． 【典例2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知点． (1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程． (2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？ (3)是否存在过点P且与原点的距离为3的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． 【跟踪训练】（25-26高三下·江西赣州·期中）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川凉山·三模）(多选)已知，则（   ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 3．（25-26高二下·上海宝山·期末）已知实数、、、满足，则的最小值为__________． 4．（2026·新疆·二模）已知实数满足，则的最小值为__________. 5．（25-26高三上·辽宁·期中）若，则的最小值是___________. 6．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知直线经过点，则点到直线的距离最小为_____． 7．（2026·浙江金华·二模）已知实数a，b满足，若对任意实数c，d，记的最小值为M，则M的最大值为______． 8．（2025·上海奉贤·二模）直线上的动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是______________． 考点03 与圆中与距离有关的最值问题 在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小、最大、范围等.这些问题常常联系到平面几何知识，利用数形结合思想进行求解得到相关结论. 1．圆上的点到定点的距离最值问题 一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值. 2．圆上的点到直线的距离最值问题 已知圆C和圆外的一条直线l，则圆上点到直线距离的最小值为：，距离的最大值为：. 【典例3】（2026·湖南·三模）已知实数x，y满足，则的最大值为_________，此时_________． 【跟踪训练】1．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）若点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B．（－10，6） C． D． 2．（2025·四川达州·一模）已知圆，若过点有且仅有两条直线被圆所截得的弦长为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（2026·甘肃平凉·模拟预测）过作圆的两条切线，切点分别为A、B，当为正三角形时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知 ，若直线 上存在点 满足 ，则实数 的最大值是（    ） A． B． C．4 D．14 5．（2026·湖北武汉·模拟预测）(多选)已知点，，M为圆O：上一点，则（   ） A．点B在圆O外 B．的最大值为6 C． D．的最大值为9 6．（2026·山东烟台·模拟预测）(多选)已知点，圆，则下列结论正确的有（    ） A．点在圆内部 B．点与圆上的点之间距离的最大值为 C．以为中点的弦所在的直线方程为 D．若过点的直线截圆的弦长为，则的方程为 7．（2026高三上·全国·专题练习）已知圆，线段在直线上运动，点为上任意一点，若圆上存在两点，，使得成立，则线段长度的最大值为______． 考点04 利用代数法的几何意义求最值 1．利用代数法的几何意义求最值 (1)形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. (2)形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. (3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题，可转化为曲线上的点到点(a,b)的距离平方的最值问题. 【典例4】（2026高三·全国·专题练习）已知实数满足．求： (1)的最大值； (2)的最小值； (3)的最值． 【跟踪训练】1．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）已知实数x，y满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三·全国·二轮复习）已知实数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·湖北·期末）已知实数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·江苏苏州·阶段检测）已知x，y满足，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 5．（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）已知点在曲线上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·全国·课后作业）如果实数满足等式，那么的最大值是________；的最大值是________． 7．（专题9.3圆的方程（练）【理】-《2020年高考一轮复习讲练测》）已知为圆上任意一点． （1）求的最大值； （2）求的最大值和最小值． 考点05 点与圆的位置关系最值问题 设圆心到直线的距离为，圆的半径为 （1）当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大、最小的距离分别为和； （2）当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大、最小的距离分别为和，此时； （3）当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大、最小的距离分别为和0． 【典例5】（2026·河北·二模）(多选)已知圆的半径为2，则（   ） A． B．原点在圆的内部 C．圆与圆有且仅有1条公切线 D．直线与圆交于两点，的面积为 【跟踪训练】1．（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 2．（2025·河北邯郸·一模）“”是“点在圆外部”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·四川绵阳·模拟预测）“或”是“定点在圆的外部”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知点在圆外，则的取值范围（    ） A． B． C．或 D．或 5．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知，，三点，点在圆上运动，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·贵州黔南·二模）已知直线与直线的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·广西河池·二模）(多选)已知圆方程为，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围为 B．若已知在圆内，则 C．若，则直线与圆相离 D．若，圆关于直线对称的圆方程为 考点06 直线与圆的位置关系最值问题 1、设直线l的方程为ax+by+c=0，圆O的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2(r>0)，求弦长的方法通常有以下两种 （1） 几何法：由圆的性质知，过圆心O作l的垂线，垂足C为线段AB的中点，如图所示.在Rt△OCB中，|BC|2=r2-d2，则弦长|AB|=2|BC|=2. 2、求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的条数. （1）求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，则由垂直关系得切线斜率为-，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y=y0或x=x0. （2）求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线方程时，常用几何方法求解： 设切线方程为y-y0=k(x-x0)，即kx-y-kx0+y0=0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而求出切线方程.但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，切线方程为x=x0. 【典例6】（2026·山西晋城·一模）过直线上一动点（点不在轴上）作抛物线的两条切线，两条切线与轴分别交于点，则的外接圆面积的最小值为__________． 【跟踪训练】1．（2026·江苏·模拟预测）已知圆，是直线上一点，以为直径的圆与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知点为抛物线上一点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·广东深圳·期末）已知圆，直线与交于，两点，则数量积的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·湖北黄冈·期末）直线与x，y轴分别交于M，N两点，点在圆上，当面积最大时，（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·四川南充·阶段检测）直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的最大值是（    ） A． B． C．6 D．4 6．（2026·河南开封·二模）(多选)已知点是圆上一动点，点，点，则（   ） A．点到直线的距离的最大值为 B．满足的点有2个 C．过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 D．的最小值是 7．（2026·安徽合肥·三模）已知点为圆上任意一点，过点分别向直线和作垂线，垂足分别为，，则的最大值为______． 8．（25-26高三上·江苏·阶段检测）已知，是圆上的两个不同的点，若，则的最大值是________. 考点07 圆与圆的位置关系最值与范围 判断两圆位置关系的方法有两种：一是代数法，看方程组的解的个数，但往往较烦琐；二是几何法，看两圆圆心距d，当d=r1+r2时，两圆外切，d=|r1-r2|时，两圆内切，d>r1+r2时，两圆外离，d<|r1-r2|时，两圆内含，|r1-r2|<d<r1+r2时，两圆相交. 【典例7】8．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）圆：与：相交于A、B两点. (1)求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程； (2)求经过A、B两点且面积最小的圆的方程. 【跟踪训练】1．（26-27高三上·河南·开学考试）已知圆，，，，则直线与这四个圆的公共点个数的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2026·山东潍坊·一模）(多选)半径为1的圆沿圆外侧无滑动滚动一周，设圆上的点的运动轨迹为曲线.已知点的初始位置为，则（    ） A．点在曲线上 B．曲线围成的区域面积等于16 C．曲线与直线有三个交点 D．曲线上点的横坐标的最大值为 3．（26-27高三上·陕西榆林·开学考试）(多选)已知关于直线对称，，则（    ） A． B．经过的直线方程为 C．与的公切线的数量为3 D．若，分别是圆与圆上的点，则的最大值为 4．（26-27高三上·广东湛江·开学考试）(多选)已知圆：与圆：有公共点，则（     ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 5．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）与直线和圆都相切的半径最小的圆的标准方程是_____. 6．（25-26高二下·湖南衡阳·阶段检测）已知圆，直线上至少存在一点P，使得以点P为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的最小值是___________. 7．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知圆：，直线：，圆与圆外切，且圆与直线相切，记圆心的轨迹为，若直线MN经过点，且与曲线交于M、N两点，则的最小值为________. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点培优练01 直线和圆中常见的最值范围问题7大考点 考点预览 目录 考点01 与斜率、倾斜角有关的范围问题 1 考点02 与两点距离、点到直线的距离有关的最值与范围 6 考点03 与圆中与距离有关的最值问题 13 考点04 利用代数法的几何意义求最值 19 考点05 点与圆的位置关系最值问题 27 考点06 直线与圆的位置关系最值问题 32 考点07 圆与圆的位置关系最值与范围 40 考点通关 考点01 与斜率、倾斜角有关的范围问题 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 【注】(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）已知实数，满足，则的最大值为________，最小值为________． 【答案】 8 【分析】由题可知表示定点和曲线上任一点的连线的斜率，再结合函数图像求解． 【详解】解析：如图，作出的图像（曲线段）， 则表示定点和曲线段上任一点的连线的斜率， 连接，，则．易得，， 所以，，所以， 故的最大值是8，最小值是． 【跟踪训练】1．（25-26高三上·江西·开学考试）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．-1 【答案】C 【分析】转化为点与点连线的斜率，然后结合图象由直线与圆的位置关系求解. 【详解】 依题意，则为直线的斜率， 结合图象可知，当直线与半圆相切时，斜率最小， 设，则，解得或（舍去）， 即的最小值为. 故选：C 2．（2025·广东江门·一模）(多选)已知曲线，则（   ） A．曲线关于轴对称 B．曲线围成图形的面积为 C．曲线上的点到点的距离最大值为 D．若点是曲线上的点，则的最大值为1 【答案】AD 【分析】用换判断A；确定曲线对应的图形，结合圆的相关知识求解判断BCD. 【详解】对于A，令是曲线上的任意一点，即， 则成立，即点在曲线上，因此曲线关于轴对称，A正确； 当时，，即，是以为圆心， 2为半径的圆在直线及上方的半圆，当时，， 即，是以为圆心，为半径的圆在直线及下方部分， 对于B，曲线在直线及上方的半圆面积为，B错误； 对于C，曲线在直线及下方部分上的点与点的距离最大值为 ，C错误； 对于D，表示曲线上的点与点确定直线斜率的， 观察图形知，当过点的直线与曲线在轴下方部分相切时，直线斜率最大， 设此切线方程为，则，解得，所以的最大值为1，D正确. 故选：AD 3．（25-26高三上·云南曲靖·阶段检测）(多选)若实数x，y满足，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】根据条件，求出x的范围，设，则与图象有交点，作出图象，分析即可得答案. 【详解】由题意，解得， 设，则与图象有交点， 当时，，当时，， 作出的图象，如图所示    由图象可得. 故答案为： 4．（2025·广东汕头·模拟预测）如图所示是放在平面直角坐标系中的太极图，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用目标式的几何意义，结合直线与圆的位置关系求出最小值. 【详解】依题意，表示点与定点确定直线的斜率， 令，得直线：， 观察图形知，当与半圆相切于第一象限时，最小， 此时，因此，解得，所以的最小值为. 故答案为： 5．（2025·四川凉山·一模）已知是曲线上的点，则的取值范围是____________. 【答案】 【分析】根据已知条件做出图形，利用两点斜率公式及不等式的性质即可求解. 【详解】， 由题意可知,作出图形，如图所示， 因为是曲线上的点，则 表示过点两点直线的斜率， 显然当位于处时，有最大值， 显然当位于处时，有最小值， 所以 所以 故的取值范围是 故答案为：. 考点02 与两点距离、点到直线的距离有关的最值与范围 1、点到点的距离公式：平面内两点，间的距离公式为：． 2、点到直线的距离公式：点到直线的距离． 3、直线到直线的距离公式：两条平行直线，，它们之间的距离为：． 【典例2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知点． (1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程． (2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？ (3)是否存在过点P且与原点的距离为3的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)，最大距离为 (3)不存在 【分析】（1）根据条件设出方程，再根据点到直线的距离公式，求出参数． （2）过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，由此求出直线斜率和方程，再由点到直线的距离公式求出最大距离； （3）由（2）可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线，由此可得出结论. 【详解】（1）过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为，显然，过点且垂直于x轴的直线满足条件， 此时l的斜率不存在，其方程为． 若斜率存在，设l的方程为， 即．由已知得，解得． 此时l的方程为． 综上，可得直线l的方程为或． （2）作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图． 由，得，所以． 由直线方程的点斜式得，即． 所以直线是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为． （3）由（2）可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线， 因此不存在过点P且到原点的距离为3的直线． 【跟踪训练】（25-26高三下·江西赣州·期中）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，将问题转化成求两平行直线，间的距离，即可求解. 【详解】由，得到，， 因为表示点到点间的距离， 又点在直线上，点在直线上， 易知直线与直线平行， 则两直线，间的距离为， 所以的最小值为. 2．（2025·四川凉山·三模）(多选)已知，则（   ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 【答案】ACD 【分析】A选项表示圆上一点到点的距离，即最小值为；圆上一点到直线的距离为，，即为到直线的距离减半径，求出，即可得判断B；表示圆上一点到点距离之和，由此求解可判断C；化简D选项可知D表示圆上一点到点距离之差的2倍，由此求解可判断D. 【详解】方程的圆心为， 对于A，表示圆上一点到点的距离， ， 所以的最小值是，故A正确； 对于B，圆上一点到直线的距离为， ，所以求的最小值，即求， 所以即为到直线的距离减半径， 所以到直线的距离为， 所以，所以的最小值为，故B错误； 对于C，因为，所以 表示圆上一点到点距离之和， 所以，当三点在一条直线上时取等， 故的最小值是，故C正确； 对于D，因为，所以 ， 表示圆上一点到点距离之差的2倍， 所以，当三点在一条直线上时取等， 的最大值是，故D正确. 故选：ACD. 3．（25-26高二下·上海宝山·期末）已知实数、、、满足，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】由题意可得，，将问题转化为求圆上的点与直线上点的距离的平方的最小值，利用直线与圆的位置关系及点到线的距离公式求解即可. 【详解】因为， 所以，， 所以在圆上，在直线上， 要求的最小值， 即求圆上的点与直线上点的距离的平方的最小值， 又因为圆的圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以圆上的点到直线的最短距离为， 所以的最小值为. 4．（2026·新疆·二模）已知实数满足，则的最小值为__________. 【答案】4 【分析】由可知，，从而将问题转化为求单位圆上一点到直线距离的最小值的平方，利用圆心到直线的距离和半径即可得解. 【详解】因为，所以，， 记为圆，为直线, 则表示圆上的动点与直线的动点的距离， 易知，当直线与直线垂直且经过圆心时，取得最小值， 圆心到直线的距离， 所以的最小值为， 所以最小值为. 故答案为：4. 5．（25-26高三上·辽宁·期中）若，则的最小值是___________. 【答案】 【分析】将问题转化为点到点和点的距离之和的最小值的求解问题，作出关于轴的对称点，则所求最小值即为点和点之间的距离. 【详解】， 表示点到点和点的距离之和， 关于轴的对称点为， 在轴上任取一点，则（当且仅当为线段与轴交点时取等号）， 的最小值为. 故答案为：. 6．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知直线经过点，则点到直线的距离最小为_____． 【答案】/ 【分析】根据题意，求得，结合圆心到直线的距离和圆的性质，即可求解. 【详解】由点在直线上，可得， 整理得，即，即在以为圆心，半径的圆上， 则圆心到直线的距离为， 根据圆的性质，可得点到直线的距离最小值为. 7．（2026·浙江金华·二模）已知实数a，b满足，若对任意实数c，d，记的最小值为M，则M的最大值为______． 【答案】/ 【分析】根据题意可得或，结合图形及几何意义进行求解． 【详解】解：， 或， 即或， 故点在如图直线族中，   表示点与点距离的平方， 又相邻两直线的距离， 所以的最小值， 故M的最大值为． 8．（2025·上海奉贤·二模）直线上的动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是______________． 【答案】 【分析】利用平行线之间的距离公式求解即可. 【详解】直线和直线互相平行， 故点与点之间距离的最小值即两条直线间的距离， 且两条直线间的距离：. 故答案为： 考点03 与圆中与距离有关的最值问题 在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小、最大、范围等.这些问题常常联系到平面几何知识，利用数形结合思想进行求解得到相关结论. 1．圆上的点到定点的距离最值问题 一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值. 2．圆上的点到直线的距离最值问题 已知圆C和圆外的一条直线l，则圆上点到直线距离的最小值为：，距离的最大值为：. 【典例3】（2026·湖南·三模）已知实数x，y满足，则的最大值为_________，此时_________． 【答案】 【分析】根据给定条件，确定方程表示的曲线，再利用目标函数的几何意义，结合圆上的点与定点距离最值求法求解. 【详解】曲线是以点为圆心，1为半径的圆 关于轴、原点及轴对称而得的圆、圆、圆与圆组合而成，如图： 是曲线上的点与定点的 距离平方并减去74的差的一半，由图知圆心离点最远，连接并延长交圆于点， 因此曲线上的点与点距离的最大值为， 的最大值为； 直线方程为，即，由， 由，得，则点的横坐标为， 所以的最大值为，此时. 【跟踪训练】1．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）若点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B．（－10，6） C． D． 【答案】B 【分析】先找到圆心坐标及半径，然后根据点到圆心的距离大于半径时点在圆外计算即可. 【详解】点在圆外，即点到圆心的距离大于半径. 将圆方程化为标准形式得，圆心为，点 P 到圆心距离为 4， 故有，解得; 故选：B 2．（2025·四川达州·一模）已知圆，若过点有且仅有两条直线被圆所截得的弦长为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用圆的性质求出过点的直线被圆所截弦长为的弦中点所在图形，再利用点与圆的位置关系列式求解. 【详解】圆的圆心，半径， 令过点的直线被圆所截弦长为的弦中点为，则， ，因此点在以原点为圆心，为半径的圆上， 此时为圆的切线，依题意，过点可以作圆的两条切线， 则点在圆外，于是，解得或， 所以的取值范围是. 故选：B 3．（2026·甘肃平凉·模拟预测）过作圆的两条切线，切点分别为A、B，当为正三角形时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的切线的性质，求得，得到点的轨迹方程为，令，转化为圆上的动点到定点的连线的斜率，结合直线与圆的位置关系，列出不等式，即可求解. 【详解】如图所示，根据圆的切线的性质，可得，    因为为正三角形，可得，所以， 即点的轨迹方程为， 令，其几何意义为圆上的动点和定点的连线的斜率， 由，可得， 则圆心到直线的距离为， 令，即，整理得，即， 解得，即的取值范围为. 4．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知 ，若直线 上存在点 满足 ，则实数 的最大值是（    ） A． B． C．4 D．14 【答案】C 【分析】先根据求出点的轨迹为圆，再结合直线与圆有交点时圆心到直线的距离不大于半径，求解的取值范围即可得到最大值。 【详解】设，由得，化简整理得. 由题意得直线与有公共点， 故， 解得， 所以实数 的最大值是. 5．（2026·湖北武汉·模拟预测）(多选)已知点，，M为圆O：上一点，则（   ） A．点B在圆O外 B．的最大值为6 C． D．的最大值为9 【答案】ABD 【分析】由点与圆心间的距离与圆的半径比较，确定点与圆的位置关系，判断A；求出圆上的点到定点的距离的最大值为定点到圆心的距离加上圆半径，判断B；设，表示出，得其关系，即可判断C；求得，即可得其最大值，判断D. 【详解】对于A，，所以B在圆O外，故A正确； 对于B，由图知，当且仅当点为圆与轴的左交点时取等，故B正确； 对于C，D，设，则， 故， ， 则，故C错误； 所以由B项可得，，当且仅当时取等，故D正确． 6．（2026·山东烟台·模拟预测）(多选)已知点，圆，则下列结论正确的有（    ） A．点在圆内部 B．点与圆上的点之间距离的最大值为 C．以为中点的弦所在的直线方程为 D．若过点的直线截圆的弦长为，则的方程为 【答案】AC 【分析】选项A，通过比较点到圆心的距离与半径的大小来判断；选项B，先求出点到圆心的距离，再加半径；选项C，利用圆的性质，圆心与点的连线与弦垂直求出斜率，然后点斜式写出直线方程；选项D，先根据弦长求出圆心到直线的距离，再结合直线过点来求解. 【详解】点代入，， 点在圆内部，选项A正确； ， 点与上的点之间距离的最大值为，选项B错误； ，以为中点的弦所在的直线的斜率为， 其方程为，即， 以为中点的弦所在的直线方程为，选项C正确； 过点的直线截圆的弦长为，由， 得， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合； 当直线的斜率存在时，设直线为，即， ，解得，直线为，即， 所以直线的方程为或，选项D错误. 7．（2026高三上·全国·专题练习）已知圆，线段在直线上运动，点为上任意一点，若圆上存在两点，，使得成立，则线段长度的最大值为______． 【答案】2 【分析】利用得，则从点向圆作两条切线，设切线夹角，设切线与的夹角为，则，即，可得，所以线段全部落在以为圆心，半径为3的圆内部或圆上，从而可计算线段长度的最大值. 【详解】由圆得圆心，半径. 圆心到直线的距离. 所以直线与圆相离，点在圆外. 因为圆上存在两点，，使得成立， 所以. 所以从点向圆作两条切线，设切线夹角为，则. 设切线与的夹角为，则. 又因为，所以. 所以，则. 所以线段全部落在以为圆心，半径为3的圆内部或圆上. 直线被以为圆心，半径为3的圆截得的弦长为. 所以线段长度的最大值为2. 考点04 利用代数法的几何意义求最值 1．利用代数法的几何意义求最值 (1)形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. (2)形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. (3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题，可转化为曲线上的点到点(a,b)的距离平方的最值问题. 【典例4】（2026高三·全国·专题练习）已知实数满足．求： (1)的最大值； (2)的最小值； (3)的最值． 【答案】(1) (2) (3)最小值为，最大值为． 【分析】（1）设，利用直线与圆相切时，取得最大值或最小值即可求解； （2）设，利用直线与圆相切时，取得最大值或最小值即可求解； （3）解法一：通过的几何意义即可求解；解法二：令，，，通过三角函数求解的最值即可. 【详解】（1）已知原式可化为，它表示以为圆心，以为半径的圆，    设，则，直线与圆相切时，取得最大值或最小值， 此时，解得或（舍去）， 所以的最大值为． （2）设，即直线，为直线在轴上的截距， 由图可知，当直线与圆切于点时，有最小值，此时圆心到直线的距离为半径， 即，解得或（舍去）， 故的最小值为． （3）解法一：记，则，其中为圆上任一动点．易求， 由图可知，当点位于点时，最大；当点位于点时，最小． 因此所求的最大值为，最小值为， 即的最大值为，最小值为. 解法二：设为圆上任一动点，令，，， 则，其中， 由于，所以，所以， 即的最大值为，最小值为. 【跟踪训练】1．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）已知实数x，y满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和两种情况讨论，当，可得，令，过作圆的切线，切点分别为，连接，求出，结合斜率的几何意义求解即可. 【详解】由题知,圆心，半径为 若，则； 若，则，令，则    过作圆的切线，切点分别为，连接， 由于,, 同理可得， 所以， 由于在上单调递减，在上单调递减， 则， 所以，综上， 2．（25-26高三·全国·二轮复习）已知实数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，确定的范围，再变形目标式，令，利用直线与圆的位置关系确定的范围，进而求出最大值. 【详解】由，得，， 当时，， 当时，， 令，则，由直线与有公共点， 得，解得，则， 而函数在上单调递增，则， 因此当时，取得最大值，所以的最大值为. 故选：B 3．（25-26高三上·湖北·期末）已知实数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，则，根据直线与圆有公共点求出.记，利用单调性定义判断出在的单调性可得答案. 【详解】由题，所以.令，则. 考虑圆上的点满足，则直线与圆有公共点. 所以，解得.记， 设， ， 因为，所以， 所以，所以 ，， 则在单调递减， 设， ， 因为，所以， 所以，所以 ，， 则在单调递增. 所以.从而的最小值为. 故选：D. 4．（25-26高三上·江苏苏州·阶段检测）已知x，y满足，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】联系点到直线的距离以及两点间的距离公式得出的几何意义，利用正弦函数的性质得出的最大值. 【详解】求，取 设是圆上任一点，过P作的垂线，垂足为T， 则的几何意义为PT的长，表示， ，直线与圆相切时， 令，当与圆相切于第一象限时，取最大值， 此时 ∴ 故选：D. 5．（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）已知点在曲线上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将曲线方程化为半圆，目标式转化为点到直线距离的5倍，利用圆心到直线的距离与半径的关系求出最小距离，再结合半圆端点求出最大距离，从而得到取值范围. 【详解】由，得，所以曲线是以点为圆心，2为半径的圆去掉轴下面的部分. 到直线的距离为，所以表示点到直线的距离的5倍. 又点到直线的距离为，所以点到直线的距离的最小值为； 过圆心作直线的垂线与半圆的交点中，远离直线的那个交点不在上半圆上，因此最大值只能出现在半圆端点， 所以当点与点重合时到直线0的距离最大，最大距离为，所以点到直线的距离的最大值为， 故的取值范围为. 6．（24-25高二上·全国·课后作业）如果实数满足等式，那么的最大值是________；的最大值是________． 【答案】 / / 【分析】画出图形，通过数形结合，以及直线与圆的位置关系、所求代数式的几何意义逐一求解即可. 【详解】由，得的几何意义为圆上的动点到原点距离的平方． 因为圆心到原点的距离为，所以圆上的动点到原点距离的最大值为， 则的最大值是． 令，则是直线在轴上的截距， 当直线与圆相切时，直线在轴上的截距，一个是最大值，一个是最小值， 此时，圆心到直线的距离，解得， 所以的最大值为． 故答案为：；. 7．（专题9.3圆的方程（练）【理】-《2020年高考一轮复习讲练测》）已知为圆上任意一点． （1）求的最大值； （2）求的最大值和最小值． 【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为． 【解析】（1）求出圆心，半径，设，将看成直线方程，利用圆心到直线的距离，即可得到所求的最大值． （2）记点，表示直线的斜率，直线的方程．直线与圆有公共点，列出不等式，求解即可． 【详解】解：（1）因为的圆心，半径， 设，将看成直线方程， 因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离， 解上式得，， 所以所求的最大值为． （2）记点，因为表示直线的斜率， 所以直线的方程为，即． 由直线与圆有公共点，得． 可得，所以的最大值为，最小值为 考点05 点与圆的位置关系最值问题 设圆心到直线的距离为，圆的半径为 （1）当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大、最小的距离分别为和； （2）当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大、最小的距离分别为和，此时； （3）当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大、最小的距离分别为和0． 【典例5】（2026·河北·二模）(多选)已知圆的半径为2，则（   ） A． B．原点在圆的内部 C．圆与圆有且仅有1条公切线 D．直线与圆交于两点，的面积为 【答案】BC 【分析】根据半径可求解，即可判断AB，进而根据两圆的位置关系可判断C，根据点到直线的距离公式以及圆的弦长公式即可求解D. 【详解】的圆心和半径分别为, 故，则，A错误， 由于，故原点在圆内，B正确， 的圆心和半径分别为,由于， 故两圆内切，因此两圆只有一条公切线，C正确， 到直线的距离为，则， 故，D错误. 【跟踪训练】1．（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 【答案】C 【分析】将圆方程变为标准方程，可得圆心和半径，根据两点间距离公式，可得点P到圆心的距离，分析即可得答案. 【详解】圆变为标准方程为， 圆心为，半径， 所以点P到圆心的距离， 所以点P在圆内，且不是圆心. 故选：C 2．（2025·河北邯郸·一模）“”是“点在圆外部”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由点在圆外结合二次方程表示圆的条件可将“点在圆外部”化为，据此可得答案. 【详解】因点在圆外部， 则，即， 解得：. 注意到是的真子集， 则由“”不能得到“点在圆外部”， 由“点在圆外部”可得到“”， 即“”是“点在圆外部”的必要不充分条件. 故选：B 3．（2025·四川绵阳·模拟预测）“或”是“定点在圆的外部”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由定点在圆的外部得，求得k的取值范围，结合充分,必要条件的意义可得结论. 【详解】定点在圆的外部， ，化简得， k的取值范围：或， 所以或”是“定点在圆的外部”的必要不充分条件. 故选：B. 4．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知点在圆外，则的取值范围（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程以及点在圆外，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】因为点在圆外，则， 解得，所以实数的取值范围为. 故选：B. 5．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知，，三点，点在圆上运动，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程写出点的参数方程坐标，分别计算，再合并即得，最后利用余弦函数的值域即可求得其范围. 【详解】依题意，设点， 则 故 ， 因，故易得. 故选：A. 6．（2024·贵州黔南·二模）已知直线与直线的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立直线可得其交点坐标，由该点在圆的内部计算即可得. 【详解】联立，解得，即点在圆的内部， 即有，解得. 故选：D. 7．（2025·广西河池·二模）(多选)已知圆方程为，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围为 B．若已知在圆内，则 C．若，则直线与圆相离 D．若，圆关于直线对称的圆方程为 【答案】BD 【分析】对于A，给圆的方程配方即可求解；对于B，根据点在圆内即可列方程；对于C，比较圆心到直线的距离与半径的大小即可；对于D，只需求出圆心关于直线的对称点即可. 【详解】对于A，圆的方程为，所以，得，故A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，当，时圆C方程为， 此时圆心C到直线的距离，所以与圆相切，故C错误； 对于D，当时，可得圆C的方程为，则圆心，半径为2， 设圆D的方程为，由， 对称圆D方程为即，故D正确. 故选：BD. 考点06 直线与圆的位置关系最值问题 1、设直线l的方程为ax+by+c=0，圆O的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2(r>0)，求弦长的方法通常有以下两种 （1） 几何法：由圆的性质知，过圆心O作l的垂线，垂足C为线段AB的中点，如图所示.在Rt△OCB中，|BC|2=r2-d2，则弦长|AB|=2|BC|=2. 2、求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的条数. （1）求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，则由垂直关系得切线斜率为-，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y=y0或x=x0. （2）求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线方程时，常用几何方法求解： 设切线方程为y-y0=k(x-x0)，即kx-y-kx0+y0=0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而求出切线方程.但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，切线方程为x=x0. 【典例6】（2026·山西晋城·一模）过直线上一动点（点不在轴上）作抛物线的两条切线，两条切线与轴分别交于点，则的外接圆面积的最小值为__________． 【答案】 【详解】的焦点为，抛物线方程可改写为，则， 设两条切线分别为，切点分别为，如下图： 则， 令，可得．联立的方程，可得， 所以，则，所以， 同理， 则的外接圆以为直径，又， 所以外接圆面积的最小值为． 【跟踪训练】1．（2026·江苏·模拟预测）已知圆，是直线上一点，以为直径的圆与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【详解】在以为直径的圆上，， 故， ，． 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知点为抛物线上一点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，点的坐标为，有，利用两点间距离公式可求得的最小值，进而可得，可得的最小值； 【详解】设，点的坐标为，有， 由圆：，可得圆心，半径， 因此, 由，有， 因此的最小值为. 3．（25-26高三上·广东深圳·期末）已知圆，直线与交于，两点，则数量积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知直线恒过，当时，数量积的最大值，求解即可. 【详解】由可得， 由可得， 令可得：，可得直线恒过， 取的中点为，则，则 ， 要使数量积取得最大值，则最大，即到直线的距离最大， 当与重合，即时，数量积的最大值， 所以. 故选：B. 4．（25-26高三上·湖北黄冈·期末）直线与x，y轴分别交于M，N两点，点在圆上，当面积最大时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题设分析可得，要使面积最大，点到直线的距离最大，进而求解即可. 【详解】直线与x，y轴分别交于M，N两点，则， 由圆，即，则圆心，半径， 所以圆心到直线的距离为， 则直线与圆相离，而点在圆上， 要使面积最大，则点到直线的距离最大， 即与直线垂直，而，则， 如图，此时三点共线，即，则， 所以. 故选：A    5．（25-26高三上·四川南充·阶段检测）直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的最大值是（    ） A． B． C．6 D．4 【答案】C 【分析】先求得的长，再求得圆心到直线距离，再求得点到直线的距离的范围，故可得面积的取值范围，结合选项可得答案． 【详解】直线分别与轴，轴交于，两点， ，，则， 点在圆上， 圆心为，则圆心到直线距离， 故点到直线的距离的范围为， 则．所以面积的最大值是 故选：C． 6．（2026·河南开封·二模）(多选)已知点是圆上一动点，点，点，则（   ） A．点到直线的距离的最大值为 B．满足的点有2个 C．过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 D．的最小值是 【答案】BCD 【分析】利用点到直线的距离公式来判断A，利用的动点的轨迹是以为直径的圆，然后借助两圆位置关系来判断B，根据切线的性质求得两圆相交弦所在直线方程来判断C，设存在定点，使得点在圆上任意位置时都有，求得点，计算判断D. 【详解】对于A，原点到直线的距离为， 所以圆上动点到直线的距离的最大值为，故 A错误； 对于B，满足的动点的轨迹是以为直径的圆， 设线段的中点为，则，圆的半径为， 所以圆， ，因为，所以圆与圆相交，故B正确； 对于C，过点作圆的两条切线，切点分别为， 由切线性质可知四点共圆，该圆的方程为， 则直线的方程为两圆的相交弦， 所以，故C正确； 对于D，设存在定点，使得点在圆上任意位置时都有， 设，则， 化简可得， 因为，所以，即点 所以， 当且仅当三点共线且点在中间时等号成立， 所以的最小值是，故D正确． 7．（2026·安徽合肥·三模）已知点为圆上任意一点，过点分别向直线和作垂线，垂足分别为，，则的最大值为______． 【答案】18 【分析】由题意可知互相垂直且均经过定点，进而可得，再由基本不等式计算即可求解. 【详解】圆C的圆心，半径， 由题意互相垂直且均经过定点， 因此，当且仅当三点共线且在线段之间时等号成立， 所以，当且仅当等号成立， 检验，当三点共线时，， 直线的方程为，即， 直线与圆联立方程组得，解得或， 结合题意可知，此时，解得或， 当时，直线，此时， 当时，直线，此时， 经检验，当或，时有最大值为. 8．（25-26高三上·江苏·阶段检测）已知，是圆上的两个不同的点，若，则的最大值是________. 【答案】 【分析】为和到直线距离之和的倍，是的中点到直线距离的倍，利用点轨迹，求最值即可. 【详解】由题知，圆的圆心坐标，半径为2，因为，所以． 设为的中点，所以，所以点的轨迹方程为． 即点的轨迹是以为圆心半径为的圆. 设点到直线的距离分别为， 所以，，， 所以． 因为点到直线的距离为，所以， 即，所以． 所以的最大值为18． 故答案为：18 考点07 圆与圆的位置关系最值与范围 判断两圆位置关系的方法有两种：一是代数法，看方程组的解的个数，但往往较烦琐；二是几何法，看两圆圆心距d，当d=r1+r2时，两圆外切，d=|r1-r2|时，两圆内切，d>r1+r2时，两圆外离，d<|r1-r2|时，两圆内含，|r1-r2|<d<r1+r2时，两圆相交. 【典例7】8．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）圆：与：相交于A、B两点. (1)求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程； (2)求经过A、B两点且面积最小的圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先设圆系方程（为常数），根据圆心在直线上，求，即可求得圆的方程； （2）面积最小的圆，就是以线段AB为直径的圆，求出该圆的圆心和半径可得圆的方程. 【详解】（1）因为圆的圆心不在直线上，所以所求圆不是圆， 故可设经过A、B两点的圆的方程为（为常数）， 即, 则圆心坐标为；又圆心在直线y＝－x上，故， 解得，故所求方程为. （2）因为圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 所以直线的方程为，即， 由题意可知以线段AB为直径的圆的面积最小， 由两个圆的方程相减可得直线的方程为， 联立，解得，则所求圆的圆心为， 圆心到直线的距离， 所以，所以所求圆的半径为. 故面积最小的圆的方程为. 【跟踪训练】1．（26-27高三上·河南·开学考试）已知圆，，，，则直线与这四个圆的公共点个数的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】在同一平面直角坐标系中，作出图象，再作出直线观察公共点个数，由于整体图象关于原点对称，先作出平行于轴的直线判断出最多个数，再验证7，8个公共点的存在性，即可求解． 【详解】根据四个圆的方程，在同一平面直角坐标系中，作出图象： 易知这四个圆两两相切，记直线与这四个圆的公共点个数为． 当直线的方程为时，； 当直线的方程为时，； 考虑证明不合题意．注意到圆与直线最多有两个公共点， 故当时，直线必与其中三个圆有两个公共点， 且与另外一个圆有至少一个不同的公共点． 若存在这样的直线，显然其斜率存在，设直线的方程为． 不妨设与，，均有两个公共点， 则，，， 此时，， 两式相加得，即， 而，解得， 于是，即与相离，矛盾，故的最大值为6． 2．（2026·山东潍坊·一模）(多选)半径为1的圆沿圆外侧无滑动滚动一周，设圆上的点的运动轨迹为曲线.已知点的初始位置为，则（    ） A．点在曲线上 B．曲线围成的区域面积等于16 C．曲线与直线有三个交点 D．曲线上点的横坐标的最大值为 【答案】ACD 【分析】选项A根据题意可知点到原点的距离，从而确定点在曲线上；选项B曲线围成的区域面积大于半径为的圆面积；选项C由曲线方程与直线方程可判断；选项D由参数方程得出点的横坐标，求最大值. 【详解】圆沿圆外侧无滑动滚动， 所以圆心的轨迹是以原点为圆心、半径为的圆， 点到原点的距离满足， 点到原点的距离为， 当圆滚动到圆正上方时，点恰好位于， 故选项A正确； 由参数方程设圆的圆心为， 外摆线参数方程标准形式， 代入可得曲线的参数方程为（为参数）， 曲线由三个全等的瓣组成，并且包含圆围成的圆形区域． 取上方一瓣，两个相邻尖点为，，且由A项可知在该瓣上． 该瓣在圆外至少包含三角形位于圆外的部分． 因为，而圆中由弦截得的小弓形面积为，所以这一瓣在圆外的部分面积大于． 由三瓣全等可知，曲线围成区域的面积大于，故不可能等于，选项B不成立． 解方程，， 整理得 ， 作出与在的图象，有2个交点， 令，所以曲线与直线有三个交点，C正确； ， 令， ，， ，，在上递增， ，或， 在，上递减， 所以在处取得极大值，即最大值. 点坐标为， 当时，横坐标为最大值， 选项D正确. 3．（26-27高三上·陕西榆林·开学考试）(多选)已知关于直线对称，，则（    ） A． B．经过的直线方程为 C．与的公切线的数量为3 D．若，分别是圆与圆上的点，则的最大值为 【答案】ABD 【详解】对A，因为关于直线对称，所以圆心在直线上， 所以.故A正确； 对B，根据两点式，直线的方程为：即.故B正确； 对C，因为，，，所以， 所以与相交，故两圆有2条公切线.故C错误； 对D，.故D正确. 4．（26-27高三上·广东湛江·开学考试）(多选)已知圆：与圆：有公共点，则（     ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】由圆，圆的方程确定两圆的圆心和半径，结合条件可得，解不等式求的范围即可. 【详解】由题得圆：的圆心为，半径为； 圆：的圆心为，半径为； 因为圆与圆有公共点， 所以，又， 所以 由，可得， 由可得， 所以， 所以的最小值为，最大值为. 5．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）与直线和圆都相切的半径最小的圆的标准方程是_____. 【答案】 【分析】首先把所给方程标准化，找到圆心和半径，再得到圆心到所给直线的距离，从而确定所求圆心的位置，列方程求解． 【详解】把圆的方程标准化为：，圆心，半径， 圆心到直线的距离为：， 如图：易知所求圆的圆心在直线上，且半径， 设，，则到的距离为，， 解得，所求圆的标准方程为： ． 故答案为： 6．（25-26高二下·湖南衡阳·阶段检测）已知圆，直线上至少存在一点P，使得以点P为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的最小值是___________. 【答案】 【详解】将圆C的方程化为标准方程，得，故圆心为，半径. 因为直线上至少存在一点P，使得以点P为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，所以点C到直线的距离小于或等于2， 即，解得，所以实数k的最小值是. 7．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知圆：，直线：，圆与圆外切，且圆与直线相切，记圆心的轨迹为，若直线MN经过点，且与曲线交于M、N两点，则的最小值为________. 【答案】8 【分析】先设圆心的坐标与圆的半径，利用圆与圆外切、与直线相切的条件推导出圆心的轨迹为抛物线，再结合过原点的直线与抛物线相交的性质计算弦长的最小值. 【详解】设点到直线的距离为，设，点到直线的距离为， 据题意知．又因为 （点在直线下方，故， 所以）， 所以，根据拋物线的定义知，点的轨迹是抛物线， 记该抛物线为，其中点为的焦点，直线为的准线， 易得拋物线的焦准距. 则的最小值是通径． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $